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专题 05 平面直角坐标系中三角形面积与角度的三种考法
考点01 根据面积求点的坐标
考点02 根据面积求参数
考点03 角度之间数量关系问题
考点01 根据面积求点的坐标
1．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点 ．
(1)求 的面积；
(2)若 是 轴上一动点，当 时，求点 的坐标．2．如图 ，在平面直角坐标系中， ， ，且满足 ，将线段 平移得线段
，点 对应点 ，点 对应点 ，点 的对应点 在 轴上，点 的对应点 在 轴上．
(1)直接写出 、 、 三点的坐标；
(2)如图 ，点 是 轴上的一个动点，当三角形 面积是三角形 的面积的一半时，求点 的坐标；
(3)如图 ，若动点 从点 出发向左运动，同时动点 从点 出发向上运动，两个点的运动速度之比是 ：
，运动过程中直线 和 交于点 ，若三角形 的面积等于 ，求出点 的坐标．
3．已知点 ，且 ．
(1)直接写出A，B两点坐标；
(2)将线段 平移至线段 （点A与C对应，点B与D对应），
①如图（1），若点D坐标为 ，点C在y轴上，求线段 与y轴交点E的坐标；
②如图（2），若点D坐标为 ，点P在坐标轴上，三角形 的面积是三角形 面积的2倍，直接
写出P点坐标．4．如图1，在平面直角坐标系中，点 在 轴正半轴，到 轴的距离为 ，点 的坐标为 ，点 在
轴上点 的右侧，且 ，过点 作平行于 轴的直线 ，点 是直线 上的一个动点．
(1)若点 在第一象限，且到 轴的距离为 ．
①则点 的坐标为______；
②如图2，连接 、 、 ，平移线段 ，使点 到点 的位置、点 到点 的位置，则点 的坐标
为______．
(2)平移图2中的线段 ，点 始终在直线 上，设点 的纵坐标为 ．
①在点 运动的过程中，若线段 与 轴有一个交点，求点 的纵坐标 的取值范围；
②当三角形 的面积等于 时，求点 的坐标．
5．如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ， ，其中 是 的立方根，且 满足
．
(1)直接写出 、 、 三点坐标： ___________， ___________， ___________；
(2)如图1，将三角形 向左平移 个单位 ，三角形 被 轴分成面积比为 的两个部分，
求 的值．
(3)如图2，将线段 向上平移2个单位长度，点 为 轴上一动点，点 为第一象限内动点，且，连接 ，若 ，直接写出点 的纵坐标（用含 的式子表示）．
6．在平面直角坐标系中 、 ，a、b满足 ．
(1)如图1，求点A、B的坐标；
(2)如图2，y轴上有一点E， 的面积是6，求点E的坐标；
(3)如图3，将线段 沿x轴的正方向平移4个单位长度，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为
D、C，在坐标平面内是否存在点 ，使得 与 的面积相等，且 与
的面积相等？若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由．
考点02 根据面积求参数
7．如图，平面直角坐标系中， ， ， ， ， ．
(1)求 的面积；
(2)如图2，点 以每秒 个单位的速度向下运动至 ，与此同时，点 从原点出发，以每秒2个单位的速
度沿 轴向右运动至 ， 秒后， ， ， 在同一直线上，求 的值；
(3)如图3，点 在线段 上，将点 向右平移4个单位长度至 点，若 的面积大于14，求点 横
坐标 的取值范围．8．已知长方形 在平面直角坐标系中，连接线段 ， ，且 交 于点 ．
(1)如图1， 边与 轴平行， 是 轴的正半轴上一点， 是 轴的正半轴上一点， 的平分线和
的平分线交于点 ，若 ，求 的度数；
(2)如图2，若长方形的三个顶点 ， ， 的坐标分别为 ， ， ．
①请直接写出点 的坐标；
②若长方形 以每秒1个单位的速度向下运动，设运动的时间为 秒．是否存在某一时刻 ，
使得三角形 的面积等于长方形 的面积的一半？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．
9．在平面直角坐标系中，已知 ，点 ，且 满足 ；
(1)求 的值；
(2)如图1求三角形 的面积；
(3)若点P从点A出发在射线 上运动（点P不与点A点B重合），设运动时间为t秒
①如图2连接 ，当动点P的速度为每秒3个单位时，请用含t的式子表示三角形 的面积；②如图3设 与y轴交点为C，在点P运动的同时，点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿y轴向下
运动，连接 ，问：是否存在某一时刻t，使三角形 的面积是三角形 的面积的2倍，若存
在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
10．如图1，在平面直角坐标系中 ， ，其中a，b满足 ，现将线段 先向
上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到线段 ．
(1)直接写出点C，D的坐标：C______，D______；
(2)若点P在x轴上，且使得三角形 的面积是三角形 面积的 倍，求点P坐标；
(3)如图2，点 是三角形 内部的一个动点，连接 ， ， ，若三角形 与三角形
面积之比为 ，求m，n之间满足的关系式．
11．综合与探究：
如图，已知点 满足 ．将线段 先向上平移2个单位，再向右平移1个
单位后得到线段 ，并连接
(1)点 的坐标是 ，点 的坐标是 ；
(2)点 从 点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为 秒，问：是否存在这样的 ，
使得四边形 的面积等于9？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由；(3)在（2）的条件下，点 从 点出发的同时，点 从点 出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，
设射线 交 轴于点 ．设运动时间为 秒，直接写出 的值．
考点03 角度之间数量关系问题
12．如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ， ，且满足 ，点 、点
同时出发， 点从 点出发沿 轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动， 点从 点出发沿 轴
负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．
(1) 和 位置关系是_______；
(2)如图（1）当 、 分别在线段 ， 上时，连接 ， ，设此时点 、点 的运动时间为 ．
①请分别用含t的式子表示 和 的面积；
②若 ，求出点P的坐标；
(3)在 、 的运动过程中，当 时，请直接写出 和 的数量关系．
13．如图，平面直角坐标系中，点 的坐标分别为 ，其中 满足 ，
将点 向右平移 个单位得到点 ．
(1)求 两点的坐标；
(2)点 分别为线段 上两个动点， 自 点向 点以 个单位/秒向右运动，同时点 自 点向
点以 个单位/秒向左运动、设运动的时间为 秒（ ），连接 ，当 恰好平分四边形 的面积时，求 的值．
(3)点 是直线 上一点，连接 ，作一个 ，边 与 的延长线相交于点 ， 平分
， 平分 ，当点 运动时， 的度数变不变？如变化．请求变化范围：如不变，请
求出 的度数．
14．如图1，在平面直角坐标系中，点A，C在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上， ， ，
，且 ．
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)若点P在y轴上，且三角形 的面积是三角形 面积的 ，求点P的坐标；
(3)过点B作 轴，已知 平分 ，点E是y轴上的一个动点（不与点A，C重合）， 平分
交直线 于点F，过点F作 交直线 于点G．
①如图2，点E在点A的上方， ，求 的值；
②请直接写出 和 之间的数量关系．
15．如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， ，且满足 ，P点从点A
出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，点Q从点O出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度匀
速运动．(1)求点 的坐标和点 的坐标；
(2)在点P，Q运动的过程中，连接 ， ，使三角形 的面积是三角形 面积的4倍，求出点P的
坐标；
(3)在点P，Q运动的过程中，当 时，请探究 和 的数量关系，并说明理由．
16．如图，在平面直角坐标系中，点 ，且 与 是一个正实数的两个不同平方根， 轴，
且 ，点C在x轴的正半轴， 的平分线 交 于点D，过点A作 ，交 于点
E，点F是线段 上一点，且 ．
(1)求点B的坐标．
(2)若 ，求 的度数．
(3)点P在线段 上， ，直线 交 于点Q，求 的值．
17．如图1，点 ， ，且满足 ．
(1)直接写出 、 的坐标： （0，______）， （________，0）；
(2)点 以每秒2个单位长度从点 向 轴负半轴运动，同时，点 以每秒3个单位长度从 点向 轴正半
轴运动，直线 ， 交于点 ，设点 ， 运动的时间为 秒．
①当 时，求证： ；②如图2，当 时，在线段 上任取一点 ，连接 ．点 为 的角平分线
上一点，连接 ，且满足 ．请将图2补全，直接写出 、 、 之间的
数量关系．
