文档内容
专题 05 平面直角坐标系中三角形面积与角度的三种考法
考点01 根据面积求点的坐标
考点02 根据面积求参数
考点03 角度之间数量关系问题
考点01 根据面积求点的坐标
1．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点 ．
(1)求 的面积；
(2)若 是 轴上一动点，当 时，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题考查了三角形的面积公式．
（1）根据点的坐标求出 的长和 边上的高得长度，再根据面积公式即可求解；
（2）先根据面积公式求出 的长，再求点 的坐标．
【详解】（1）解： 点 ，
， 边上的高为 ，
．
（2）由（1）可得 ，则 ，
，
点 的坐标为 或 ．
2．如图 ，在平面直角坐标系中， ， ，且满足 ，将线段 平移得线段
，点 对应点 ，点 对应点 ，点 的对应点 在 轴上，点 的对应点 在 轴上．
(1)直接写出 、 、 三点的坐标；
(2)如图 ，点 是 轴上的一个动点，当三角形 面积是三角形 的面积的一半时，求点 的坐标；
(3)如图 ，若动点 从点 出发向左运动，同时动点 从点 出发向上运动，两个点的运动速度之比是 ：
，运动过程中直线 和 交于点 ，若三角形 的面积等于 ，求出点 的坐标．
【答案】(1) ， ，
(2) 或
(3) 或
【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性求出 ， ，根据 到 向下平移的距离，求出点 坐标
即可；
（2）设 交 轴于 ，作 轴于 ，根据 的面积等于 和梯形 的面积和，求出
点坐标，根据割补法，用 点坐标表示出 和 的面积，然后代入数量关系求解即可；
（3）连接 ，假设 点坐标，根据 点位置分类讨论，根据不同的割补方法列出关于 点坐标的二元
一次方程组，求解 点坐标即可．
【详解】（1）解： ，
， ，
， ，
， ，平移到 向下平移了 ，
到 向下平移了 ，
；
（2）解： ， ， ，
，
设 交 轴于 ，作 轴于 ，如图：
设 ，
，
，
解得： ，
，
设 ，
， ，
，
当 或 时， ，
解得： ，
当 时， ，
解得： ，
或 ；
（3）解： ，
不在 内，设 ，
， 运动速度之比是 ，
，
设 ， ，
当 在 轴上方时，如图：
，
，
，
又 ，
，
解得： ， ，
；
当 在 轴下方时，作 轴于 ， 轴于 ，如图：
，
，
，，
，
解得： ， ，
，
综上所述， 点坐标为 或 ．
【点睛】本题考查的是坐标与图形，平移的性质，动点问题与面积，合理利用割补法求三角形面积是本题
解题的关键．
3．已知点 ，且 ．
(1)直接写出A，B两点坐标；
(2)将线段 平移至线段 （点A与C对应，点B与D对应），
①如图（1），若点D坐标为 ，点C在y轴上，求线段 与y轴交点E的坐标；
②如图（2），若点D坐标为 ，点P在坐标轴上，三角形 的面积是三角形 面积的2倍，直接
写出P点坐标．
【答案】(1) ；
(2)① ② 或 或 或
【分析】本题主要考查了非负数的性质、坐标图形与平移、动点面积问题等内容，熟练掌握相关知识是解
题的关键．
（1）由非负数的性质即可得解；
（2）①连接 ，根据等面积建立关于 的方程求解即可；②分类讨论，当点P在x轴上：直接可利用
面积公式建立方程求解；当点P在y轴上时，需用割补法表示出三角形 的面积，进而建立方程求解即
可．
【详解】（1）解：（1）∵ ， ，且 ，∴ ，
∴ ；
（2）①由平移可得， ，
∴ ，
连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②由题可知线段 向右平移6个单位，向下平移3个单位，
∴ ，
当点P在x轴上时，设 ，
此时 与 是等高的，
∵ 的面积是 面积的2倍，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ，∴ 或 ；
当点P在y轴上时，设 ，
i如图，当点P在直线 上方时，连接 ，
，
，
∵ 的面积是 面积的2倍，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
ii当如图，当点P在直线 下方时，连接 ，
，
m-9，∵ 的面积是 面积的2倍，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
综上，点P的坐标为 或 或 或 ．
4．如图1，在平面直角坐标系中，点 在 轴正半轴，到 轴的距离为 ，点 的坐标为 ，点 在
轴上点 的右侧，且 ，过点 作平行于 轴的直线 ，点 是直线 上的一个动点．
(1)若点 在第一象限，且到 轴的距离为 ．
①则点 的坐标为______；
②如图2，连接 、 、 ，平移线段 ，使点 到点 的位置、点 到点 的位置，则点 的坐标
为______．
(2)平移图2中的线段 ，点 始终在直线 上，设点 的纵坐标为 ．
①在点 运动的过程中，若线段 与 轴有一个交点，求点 的纵坐标 的取值范围；
②当三角形 的面积等于 时，求点 的坐标．
【答案】(1)① ；②
(2)① ；② 或
【分析】本题考查了平移的性质，三角形、梯形的面积公式及利用割补法求面积，掌握平移的性质是解本
题的关键．
（1）①先确定出 ，进而求出 ，求出 ，即可求出答案；
②先判断出点A向右平移 个单位，向上平移1个单位到点 ，即可求出答案；
（2）①找出当点 平移到 轴上时和当点 平移到 轴上时， 的值，即可求出答案；
②分两种情况，由平移的性质，利用割补法，即可分别求出答案．
【详解】（1）解：① 点A在 轴正半轴，到 轴的距离为 ，
，
，点 在 轴上点A的右侧，且 ，
，
，
过点 作平行于 轴的直线 ，
点 的横坐标为 ，
点 在第一象限，且到 轴的距离为 ，
点 ，
故答案为： ；
②由平移得，点 平移到点 ，
点A向右平移 个单位，向上平移1个单位到点 ，
点 向右平移 个单位，向上平移1个单位到点 ，
，
，
故答案为： ；
（2）解：由（1）知， ， ，
①当点 平移到 轴上时，点 向下平移 个单位，此时 ，
当点 平移到 轴上时，点 向下平移2个单位，
点 也向下平移2个单位，此时 ，
当线段 与 轴有一个交点时，点 的纵坐标 的取值范围是 ，
故答案为： ；
② ，
，
由（1）知， ，
如备用图，当点 在 轴上方时， ，
三角形 的面积等于 ， ，，
解得 ，
点 ，
，
；
当点 在 轴下方时， ，
如备用图2：过点 作 直线 ，于点 ，
三角形 的面积等于 ， ， ， ，
，
解得 ，
点 ，
，
，
即点 或 ．
5．如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ， ，其中 是 的立方根，且 满足
．
(1)直接写出 、 、 三点坐标： ___________， ___________， ___________；(2)如图1，将三角形 向左平移 个单位 ，三角形 被 轴分成面积比为 的两个部分，
求 的值．
(3)如图2，将线段 向上平移2个单位长度，点 为 轴上一动点，点 为第一象限内动点，且
，连接 ，若 ，直接写出点 的纵坐标（用含 的式子表示）．
【答案】(1)
(2) 或3
(3) 或
【分析】1）根据立方根定义求出a的值，根据非负数的性质求出b、c的值，即可得出答案；
（2）先求出 ，再求出面积小的那个部分为 ，共有两种情况分别画
出图形，求出结果即可；
（3）先求出平移后点A的坐标为 ， ，连接 ，过点A作 轴于点M，过点B作
轴，求出 ，再求出 ，分两种情况：当点G在
下方时，当点G在 上方时，求出结果即可．
【详解】（1）解：∵ 是 的立方根，且 满足 ，
∴ ， ， ，
解得： ， ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵要将面积分为 两个部分，
∴面积小的那个部分为 ，
共有两种情况：
①如图1，设 与y轴交于点 ，平移后 点坐标分别为 ，
，
则 ， ，连接 ，
，即 ，解得： ，
，
，
开平方得： ，
解得： 或 ，
∵ ，
∴ ；
如图2，设 与 轴交于点 ，平移后 点坐标分别为 ， ， ，
则 ，连接 ．
同理： ，
即 ，
解得： ，
，
开平方得： ，
解得： 或9，
∵当 时，三角形 都在 轴左侧，不符合题意，
；
综上所述， 或3；
（3）解：根据平移可知，平移后点A的坐标为 ， ，
连接 ，过点A作 轴于点M，过点B作 轴，如图所示：设 与y轴交于点P，设 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
∵ ， ， ， ， ， ，
∴
，
当点G在 下方时，如图所示：
，
∵ ，
∴ ，解得： ；
当点G在 上方时，如图所示：，
∵ ，∴ ，解得： ；
综上分析可知： 点纵坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的非负性，坐标与平移，三角形面积计算，解题的关键是数形结合，
注意进行分类讨论．
6．在平面直角坐标系中 、 ，a、b满足 ．
(1)如图1，求点A、B的坐标；
(2)如图2，y轴上有一点E， 的面积是6，求点E的坐标；
(3)如图3，将线段 沿x轴的正方向平移4个单位长度，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为
D、C，在坐标平面内是否存在点 ，使得 与 的面积相等，且 与
的面积相等？若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2) 或
(3) 或
【分析】本题是三角形综合题，考查了非负性，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的
关键．
（1）利用非负性可求a、b的值，即可求解；
（2）分两种情况讨论：①当E在直线 上方时；②当E在直线 下方时；分别根据 的面积是6，
列方程求解；
（3）由 与 的面积相等，列出方程可求m的值，再分两种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，且 ，又∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ；
（2）解：设E为 ，
分以下两种情况讨论：
①如图，当E在直线 上方时，作 轴，作 连接 ，
则
，
∴ ， ，
②当E在直线 下方时，同样可得 ，
∴ ， ，
∴点E的坐标为 或 ；
（3）解：存在，设点P的坐标为 ，由平移得 、 ，则 、 ，
依题意知点P不可能在梯形 的上方或线段 的右上方或线段 左方，故分以下两种情形：
①如图，当点P在梯形 的内部时，
∵ ，∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
②如图，当点P在梯形 的下方时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴点 在x轴上，
如图，作 轴于G，连接 ，
，
，
∴ ，
解得 ，∴ ，
综上所述，P点的坐标为 或 ．
考点02 根据面积求参数
7．如图，平面直角坐标系中， ， ， ， ， ．
(1)求 的面积；
(2)如图2，点 以每秒 个单位的速度向下运动至 ，与此同时，点 从原点出发，以每秒2个单位的速
度沿 轴向右运动至 ， 秒后， ， ， 在同一直线上，求 的值；
(3)如图3，点 在线段 上，将点 向右平移4个单位长度至 点，若 的面积大于14，求点 横
坐标 的取值范围．
【答案】(1)10
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的综合应用，结合绝对值、二次根式非负性的性质求解，准确理
解点的平移规律是解题的关键．
（1）根据二次根式非负性和绝对值非负性，求出 ， ，得到点 ， ， 的坐标，即可得到 ，
的长，即可得解；
（2）根据等量关系 求解即可；
（3）连接 ， ，设 ，根据 得到 ，根据点的平移得到 ，再根
据 代入计算即可．
【详解】（1）解： ， ， ，
， ，
， ，
，， ， ，
， ，
；
（2）解：由题意知： ， ，
，
，
．
（3）解：连接 ， ，设 ，
，
，
，
点 向右平移4个单位长度得到 点，
，
，
，
，
，
．
8．已知长方形 在平面直角坐标系中，连接线段 ， ，且 交 于点 ．(1)如图1， 边与 轴平行， 是 轴的正半轴上一点， 是 轴的正半轴上一点， 的平分线和
的平分线交于点 ，若 ，求 的度数；
(2)如图2，若长方形的三个顶点 ， ， 的坐标分别为 ， ， ．
①请直接写出点 的坐标；
②若长方形 以每秒1个单位的速度向下运动，设运动的时间为 秒．是否存在某一时刻 ，
使得三角形 的面积等于长方形 的面积的一半？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 的度数为
(2)① ；②存在某一时刻 ，使得三角形 的面积等于长方形 面积的一半
【分析】本题考查了平行线的性质、平面直角坐标系中点的坐标、动点问题，熟练掌握以上知识点是解题
的关键．
（1）设 ， ，过点 作 ，则 ，根据平行线的性质解题；
（2）①由长方形的性质写出坐标；
②延长 交 轴于点 ，则 ，列出对应方程，进行求解．
【详解】（1）解：如图1，设 ， ，
的平分线和 的平分线交于点 ，
， ，
，
，
，
，
过点 作 ，则 ，
，，
，
即 的度数为 ；
（2）解：①∵ ， ， ，
∴ ，
由长方形的性质知 ，
∴ ；
②存在某一时刻 ，使得三角形 的面积等于长方形 面积的一半；理由如下：
，
∴长方形 只在第一象限内移动，
如图2，延长 交 轴于点 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
由题意知 ， ， ， ，
，
∵ ，
，
，
，
解得 ．
9．在平面直角坐标系中，已知 ，点 ，且 满足 ；(1)求 的值；
(2)如图1求三角形 的面积；
(3)若点P从点A出发在射线 上运动（点P不与点A点B重合），设运动时间为t秒
①如图2连接 ，当动点P的速度为每秒3个单位时，请用含t的式子表示三角形 的面积；
②如图3设 与y轴交点为C，在点P运动的同时，点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿y轴向下
运动，连接 ，问：是否存在某一时刻t，使三角形 的面积是三角形 的面积的2倍，若存
在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)3
(3)① ；②存在， 或
【分析】（1）利用算术平方根和绝对值的非负性求解；
（2）根据 即可求解；
（3）①如图，作 于点H，先根据面积法计算出 ，再分点P在线段 上和线段 的延长
线上两种情况，根据 列代数式即可；②先用含t的式子表示出 ，再根据
，结合①中结论，列方程求出t的值即可．
【详解】（1）解： ，
，
解得 ；
（2）解：由（1）得 ， ，，
；
（3）解：①如图，作 于点H，
则 ，
解得 ；
点P的速度为每秒3个单位， ，
当 时，点P在线段 上，当 点P在线段 的延长线上，
当点P在线段 上时，
，
当点P在线段 的延长线上时，
，
，
综上可知 ；
②存在，t的值为 或 ．
由题意知， ，
，
当 时，由 得： ，解得 ，符合题意；
当 时，由 得： ，
解得 ，符合题意；
综上可知，t的值为 或 ．
【点睛】本题考查坐标与图形，非负数的性质，三角形面积公式，一元一次方程的应用，注意分情况讨论
是解题的关键．
10．如图1，在平面直角坐标系中 ， ，其中a，b满足 ，现将线段 先向
上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到线段 ．
(1)直接写出点C，D的坐标：C______，D______；
(2)若点P在x轴上，且使得三角形 的面积是三角形 面积的 倍，求点P坐标；
(3)如图2，点 是三角形 内部的一个动点，连接 ， ， ，若三角形 与三角形
面积之比为 ，求m，n之间满足的关系式．
【答案】(1) ，
(2) 或
(3)
【分析】（1）根据非负数的性质，平移的性质即可得到结论；
（2）根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；
（3）根据三角形的面积公式列方程即可得到m，n之间满足的关系．
【详解】（1）解： ，
， ，
， ,
， ，将线段 先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到线段 ，
， ；
故答案为： ， ；
（2）由（1）可知， ， ， ，
，
，
，
，且点P在x轴上， ，
，
，
，
点P的坐标为 或 ；
（3）已知 ，如图所示，连接 ，
， ， ，
，
，
∵三角形 与三角形 面积之比为 ，
，
化简得： ．【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了非负数的性质，平移的性质，三角形的面积公式，熟练掌握
三角形的面积公式是解题的关键．
11．综合与探究：
如图，已知点 满足 ．将线段 先向上平移2个单位，再向右平移1个
单位后得到线段 ，并连接
(1)点 的坐标是 ，点 的坐标是 ；
(2)点 从 点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为 秒，问：是否存在这样的 ，
使得四边形 的面积等于9？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，点 从 点出发的同时，点 从点 出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，
设射线 交 轴于点 ．设运动时间为 秒，直接写出 的值．
【答案】(1) ；
(2)存在，3
(3)3
【分析】（1）利用绝对值与平方的非负性求出a，b的值，即可求解；
（2）由平移的性质可得点 ，点 ， ，由面积关系可求解；
（3）分点N在线段 上，点N在 的延长线上两种情况讨论，由面积和差关系可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
，解得 ，
∴点A和点 的坐标分别为 ； ，
故答案为： ； ；
（2）解：存在．
过D作 的延长线，垂足为H，如图所示：∵点A和点 的坐标分别为 ； ，
∴ ，
∵将线段 先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段 ，
∴点C和点D的坐标分别为 和 ，
∴ ，
设M点坐标为 ，连接 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，解得 ，
∴存在这样的 ，使得四边形 的面积等于9；
（3）解：不变．
理由如下：
当点N在线段 上时，如图所示，设运动时间为 秒， ，
过D作 的延长线，垂足为H ，连接 ，
∵ ， ，
∴
=
=
，当点N运动到线段 的延长线上时，如图所示，设运动时间为 秒，
，连接 ，
，
综上可知， 的值为 ．
【点睛】本题是考查了平移的性质，非负数性质，解二元一次方程组，坐标与图形的性质，三角形的面积
公式等知识，利用分类讨论思想解决是本题的关键．
考点03 角度之间数量关系问题
12．如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ， ，且满足 ，点 、点
同时出发， 点从 点出发沿 轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动， 点从 点出发沿 轴
负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．
(1) 和 位置关系是_______；
(2)如图（1）当 、 分别在线段 ， 上时，连接 ， ，设此时点 、点 的运动时间为 ．
①请分别用含t的式子表示 和 的面积；
②若 ，求出点P的坐标；
(3)在 、 的运动过程中，当 时，请直接写出 和 的数量关系．
【答案】(1)平行；(2)① ；② ；
(3) 或
【分析】本题考查的是三角形综合题，涉及到坐标与图形性质、平行线的性质、三角形内角和定理，掌握
非负数的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键；
（1）根据非负数的性质分别求出 、 ，得到点 、 、 的坐标，根据坐标与图形性质判断 和
位置关系；
（2）①过 点作 于 ，设时间经过 秒， ，则 ， ， ，
， ，根据 ， ，代入即可求解；②根据 ，
由①得 ，求解得 ，即可求得 、 值，从而得出点 坐标；
（3）分点 在点 的上方、点 在点 的下方两种情况，根据平行线的性质解答即可．
【详解】（1）解： ，
， ，
， ，
， ， ，
．
故答案为： ；
（2）解：①过 点作 于 ，
设时间经过 秒， ，则 ， ， ， ， ，
， ，
② ，
解得， ，
，，
点 的坐标为 ；
（3）解： 或 ．
理由如下：
①当点 在点 的上方时，过 点作 ，如图2所示，
，
， ，
，
，
，即 ；
②当点 在点 的下方时；过 点作 如图3所示，
，
， ，
，
，
，
，
即 ，
综上所述， 或 ．
13．如图，平面直角坐标系中，点 的坐标分别为 ，其中 满足 ，
将点 向右平移 个单位得到点 ．(1)求 两点的坐标；
(2)点 分别为线段 上两个动点， 自 点向 点以 个单位/秒向右运动，同时点 自 点向
点以 个单位/秒向左运动、设运动的时间为 秒（ ），连接 ，当 恰好平分四边形 的
面积时，求 的值．
(3)点 是直线 上一点，连接 ，作一个 ，边 与 的延长线相交于点 ， 平分
， 平分 ，当点 运动时， 的度数变不变？如变化．请求变化范围：如不变，请
求出 的度数．
【答案】(1) ，
(2)
(3) 或
【分析】（ ）根据非负数的性质解答即可求解；
（ ）由题意可得 ，即得 ，进而得到 ，又由
题意得 ， ， ， ， 根据梯形的面积公式列出关于 的方程解答即可；
（ ）分两种情况：点 在线段 的延长线上或 的延长线 上；点 在线段 上，分别画出图形，
根据角平分线的定义解答即可；
本题考查了非负数的性质，一元一次方程的应用，角平分线的定义等，运用分类讨论思想解答是解题的关
键．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ；
（2）解：∵ 轴， ，
∴ ，
∴ ，
当运动时间为 时， ， ， ， ，
∵ 恰好平分四边形 时，
∴ ，∴ ，
解得 ；
（3）解：当点 运动时， 的度数不变．
如图，当点 在线段 的延长线上或 的延长线上时，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ；
当点 在线段 上时，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ， ，
设 ， 则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上所述， 或 ．
14．如图1，在平面直角坐标系中，点A，C在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上， ， ，
，且 ．(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)若点P在y轴上，且三角形 的面积是三角形 面积的 ，求点P的坐标；
(3)过点B作 轴，已知 平分 ，点E是y轴上的一个动点（不与点A，C重合）， 平分
交直线 于点F，过点F作 交直线 于点G．
①如图2，点E在点A的上方， ，求 的值；
②请直接写出 和 之间的数量关系．
【答案】(1) ， ，
(2) 或
(3)① ；②当点E在点D的左侧， ；当点E在点D的左侧，
【分析】本题考查坐标与图形，非负性，平行线的性质，与角平分线有关的计算，利用属性集合和分类讨
论的思想进行求解，是解题的关键：
（1）非负性求出 的值即可得出结果；
（2）求出 ，进而求出 ，设点P坐标为 ，根据三角形的面积公式进行求解即可；
（3）①根据平行线的性质，结合角平分线的定义，以及角的和差关系进行求解即可；②分点E在点 的
上方和点E在点 的下方，两种情况进行求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
∵点C、A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，
∴ ， ， ．
（2）解：由（1）可得 ，∴ ，
∴ ，
设点P坐标为 ，
则 ，
即 ，
解得： 或 ，
∴P坐标为 或 ．
（3）①解：∵ ，
∴ ，
设 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 轴，
∴ ．
②解：当点E在点 的上方，设 ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ， ，∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 轴，
∴ ．
当点E在点A的下方，设 ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 轴，
∴ ，
即： ．
综上： 或 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， ，且满足 ，P点从点A
出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动，点Q从点O出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度匀
速运动．
(1)求点 的坐标和点 的坐标；
(2)在点P，Q运动的过程中，连接 ， ，使三角形 的面积是三角形 面积的4倍，求出点P的坐标；
(3)在点P，Q运动的过程中，当 时，请探究 和 的数量关系，并说明理由．
【答案】(1) ，
(2)点 的坐标为 或
(3) 或 ，见解析
【分析】本题考查了三角形的面积计算、坐标与图形性质、平行线的性质．
（1）根据非负数的性质分别求出a、b，即可得点A、B、C的坐标；
（2）过点 作 于点 ，分两种情况讨论：①如图，当点 在点 上方时；②如图，当点 在点
下方时；分别根据三角形的面积公式求出 ，得到点P的坐标；
（3）分点Q在点C的上方、点Q在点C的下方两种情况，根据平行线的性质解答即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，
解得， ， ，
则 ， ， ；
（2）解：如图，过点 作 于点 ，
设时间经过 秒，三角形 的面积是三角形 面积的4倍，则 ， ， ， ，
三角形 的面积是： ，
分以下两种情况：
①如图，当点 在点 上方时，
，
三角形 的面积是： ，
，
解得 ，
，，
点 的坐标为 ；
②如图，当点 在点 下方时，
，
三角形 的面积是： ，
，
解得 ，
，
，
点 的坐标为 ，
综上所述，点 的坐标为 或 ；
（3）解： 或 ．理由如下：
过点 作 ，
，
， ，
，
分以下两种情况讨论：
①如图，当点 在点 上方时，
有 ，
；
②如图，当点 在点 下方时，有 ，
，
，
综上所述， 或 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，点 ，且 与 是一个正实数的两个不同平方根， 轴，
且 ，点C在x轴的正半轴， 的平分线 交 于点D，过点A作 ，交 于点
E，点F是线段 上一点，且 ．
(1)求点B的坐标．
(2)若 ，求 的度数．
(3)点P在线段 上， ，直线 交 于点Q，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由平方根的定义计算得出 ，从而得出 ，再结合 轴即可得解；
（2）先求出 ，再由平行线的性质可得 ，再由角平分线的定义可得
，由平行线的性质得出 ，结合题意计算即可得解；
（3）设 ， ，则 ， ，由平行线的性质可
得 ，由角平分线的定义可得 ，再由平行线的性质得出 ，
表示出 ， ，代入计算即可得解．
【详解】（1）解：∵ 与 是一个正实数的两个不同平方根，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
（3）解：设 ， ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了平方根的定义、坐标与图形、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握以上知识点
并灵活运用是解此题的关键．
17．如图1，点 ， ，且满足 ．(1)直接写出 、 的坐标： （0，______）， （________，0）；
(2)点 以每秒2个单位长度从点 向 轴负半轴运动，同时，点 以每秒3个单位长度从 点向 轴正半
轴运动，直线 ， 交于点 ，设点 ， 运动的时间为 秒．
①当 时，求证： ；
②如图2，当 时，在线段 上任取一点 ，连接 ．点 为 的角平分线
上一点，连接 ，且满足 ．请将图2补全，直接写出 、 、 之间的
数量关系．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②图见解析， 或
【分析】本题考查的是非负数的性质，坐标与图形，三角形的面积的计算，平行线的性质，平行公理的应
用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
（1）由非负数的性质可得： ， ，从而可得答案；
（2）利用三角形的面积公式证明 ，再进一步可得答案；
（3）先根据题意补全图形，设 ，设 ，则 ，再证明
， ，再进一步可得答案．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴
∴ ， ，
解得： ， ，
∴点 ，
故答案为： ；
（2）①当 时， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ；
②如图，补全图形如下：
当点 在 上方时，
∵点 为 的角平分线上一点，
∴设 ，
∵ ，
设 ，则 ，
如图，∵ ，
∴ ，
过 作 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
过 作 ，而 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当点 在 下方时，∵点 为 的角平分线上一点，
∴设 ，
∵ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
过 作 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
过 作 ，而 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
