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专题 05 平方根与立方根的三类综合题型
目录
典例详解
类型一、平方根与立方根综合问题
类型二、平方根、立方根与数轴综合问题
类型三、平方根、立方根的整数部分问题
压轴专练
类型一、平方根与立方根综合问题
例1．已知正数 两个不同的平方根分别为 和 ， 的立方根为 ， 是 的整数部分．
(1)求 的值；
(2)求 的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了无理数的估算和平方根与立方根．
（1）先根据平方根的定义列出关于a的方程，解方程求出a，再求出这个数的算术平方根，从而求出m即
可；
（2）根据立方根的定义列出关于b的方程，解方程求出b，再估算 的大小，求出其整数部分c，最后
把a，b，c代入 进行计算，求出其平方根即可．
【详解】（1）解：∵一个正数m的两个平方根分别是 和 ，∴ ，
，
，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ 的立方根为2，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ 的整数部分 ，
∴ ，
∴ 的平方根是 ．
变式1-1．已知某正数的两个不同的平方根是 和 ， 的立方根为 ，c是 的整数部分；
(1)求a，b，c的值；
(2)求 的平方根．
【答案】(1) ， ， ；(2) ．
【分析】（1）利用正数的两个不同平方根互为相反数这一性质，列出关于 的方程 ，
求解得出 的值。
根据立方根的定义，由 的立方根为 ，得到 ，进而求出 的值。通过估算 的大小，确
定其整数部分，得到 的值。
（2）把（1）中求得的 、 、 的值代入 ，计算出该式的值。
再根据平方根的定义，求出这个值的平方根。
本题主要考查了平方根的性质（正数的两个平方根互为相反数 ）、立方根的定义以及无理数的估算，熟
练掌握这些概念和性质是解题的关键。
【详解】（1）解：∵某正数的两个平方根分别是 和 ，∴ ，
∴ ，
∵ 的立方根为 ，
∴ ，
∴ ，
∵c是 的整数部分，
∴ ，
∴ ， ， ；
（2）解：当 ， ， 时，
，
∴ 的平方根是 ．
变式1-2．已知 是 的平方根， 是 的算术平方根：
(1)求出 的值；
(2)若 ，且 是整数，求 的算术平方根．
【答案】(1) ；(2)
【分析】本题考查了平方根和算术平方根，无理数的估算，代数式求值，掌握无理数的估算方法是解题关
键．
（1）根据平方根和算术平方根的定义，得到 ， ，即可求出 的值；
（2）根据无理数的估算，得到 ，再代入计算求出算术平方根即可．
【详解】（1）解： 是 的平方根， 是 的算术平方根，
， ，
， ；
（2）解： ，，
，
，
，
的算术平方根是 ．
变式1-3．已知 的立方根是3， 的算术平方根是4， c是 的整数部分．
(1)求 的小数部分；
(2)求 的平方根．
【答案】(1) ；(2)
【分析】本题主要考查的是算术平方根以及立方根的意义，无理数的估算，掌握立方根的定义、算术平方
根的定义和平方根的定义是解决此题的关键．
（1）先估算 的整数部分，进而得到 的整数部分，再求其小数部分即可；
（21）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，代入代数式
求出值后，进一步求 的平方根即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ 的整数部分为3，
的小数部分为
（2）解：由（1） 的整数部分为3，则 ，
由 的立方根是3，可知 ，解得， ，
由 的算术平方根是4，
可知 ，则 ，解得， ，
∴ ，∴ 的平方根为 ．
类型二、平方根、立方根与数轴综合问题
例1．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示 ，设点B所表示的数
为m．
(1)求 的值；
(2)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有 与 互为相反数，求 的平方根．
【答案】(1)2；(2)
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式、平方根、非负数的性质及绝对值的计算，解题的关键是求
得 的值及非负数性质的应用，注意平方根有两个．
（1）利用数轴上两点间的距离公式计算即可；
（2）利用非负数的性质，得到c，d的值，代入求值即可．
【详解】（1）解：由题意得 ，
∴ ，
∴ ，
∴
；
（2）解：∵ 与 互为相反数，∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的平方根是 ．
变式2-1．已知点 ， 是数轴上两点， ，点 在点 右侧，点 表示的数为 ，点 表示的数为
的算术平方根．
(1)求 的值；
(2)化简 ；
(3) ， 是数轴上两点，所表示的数分别为 和 ， ，且满足 与 互为相反数，
其中 为实数，求 的平方根．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，立方根，平方根，实数与数轴，化简绝对值，熟知相关
知识是解题的关键．
（1）求出 ，再由2的算术平方根为 得到点B表示的数为 ，再根据数轴上两点距离计算公式
求解即可；
（2）可证明 ，据此化简绝对值求解即可；
（3）根据相反数的定义可得 ，则由非负性的性质可得 ，，再根据 求出d的值，进而求出b的值，最后求出 的值即可得到答案．
【详解】（1）解；∵ ，2的算术平方根为 ，
∴点B表示的数为 ，
∵ ，点 在点 右侧，
∴点A表示的数为 ，即 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
；
（3）解：∵ 与 互为相反数，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 或 ，当 时，则 ，解得 ，
∴ ，
∴ 的平方根为 ；
当 时，则 ，解得 ，
∴ ，
∴ 的平方根为 ；
综上所述， 的平方根为 或 ．
变式2-2．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬到点B，点C，B在数轴上的对应点表示的数为3和 ，
其中点C是 的中点，设点A表示的数为m．
(1)实数m的值是______；
(2)求 的值；
(3)蚂蚁在数轴上还爬过D、E两点，D、E两点分别表示实数d和e，且有 与 互为相反数，求
的平方根．
【答案】(1)
(2)6
(3)
【分析】（1）根据数轴上两点之间距离求解即可．
（2）根据绝对值的意义化简绝对值，再进行运算即可．
（3）根据相反数的定义以及非负数的性质得到e，d的值，代入代数式求值，再求平方根即可得出答案．
【详解】（1）解：∵点C，B在数轴上的对应点表示的数为3和 ，其中点C是 的中点，设点A表
示的数为m，
∴ ，解得： ；
故答案为：
（2）解： ，则 ，
；
答： 的值为6．
（3）解： 与 互为相反数，
，
，且 ，
解得： ，
，
的平方根为 ．
答： 的平方根为 ．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，实数的运算，相反数的定义，绝对值的
非负性，代数式求值，以及求一个数的平方根，掌握这些定义以及性质是解题的关键．
类型三、平方根、立方根的整数部分问题
例3．已知 的算术平方根是3， 的立方根是2．
(1)求 和 的值；
(2)若 ， 是整数，求 的平方根．
【答案】(1) ， ；
(2)
【分析】本题考查了算术平方根、立方根和平方根，无理数的估算，代数式求值，掌握相关知识点是解题关键．
（1）根据算术平方根和立方根的定义列方程求解即可；
（2）估算 的范围确定 的值，代入计算后求平方根即可．
【详解】（1）解： 的算术平方根是3， 的立方根是2，
， ，
， ；
（2）解： ，
，
， 是整数，
，
，
的平方根为 ．
变式3-1．已知 的立方根是 ， 的算术平方根是 ， 是 的整数部分，求 的平方
根．
【答案】 的平方根是 ．
【分析】本题考查了立方根、算术平方根、平方根概念，无理数大小估算，先由题意得 ，
，求出 ， ，再利用无理数大小估算求出 ，然后代入求出 的值，最后
通过平方根的定义即可求解，熟练掌握相关概念及运算是解题的关键．
【详解】解：∵ 的立方根是 ， 的算术平方根是 ，
∴ ， ，
解得： ，
把 代入 ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴
，
∴ 的平方根为 ，
∴ 的平方根是 ．
变式3-2．已知 的算术平方根是3， 的立方根是 ， 是 的整数部分．
(1)求 的值；
(2)求 的平方根．
【答案】(1) ， ， ；(2)
【分析】本题主要考查了算术平方根、立方根的定义，无理数整数部分的估算以及平方根的计算，熟练掌
握这些定义和估算方法是解题的关键．
（1）根据算术平方根、立方根的定义，以及无理数整数部分的确定方法来求解 、 、 的值．对于 ，
利用算术平方根的定义建立方程；对于 ，依据立方根的定义构建方程；对于 ，通过估算 的范围确
定其整数部分．
（2）先将（1）中求得的 、 、 的值代入 计算出结果，再根据平方根的定义求出该结果的
平方根．
【详解】（1）解： 的算术平方根是 （算术平方根的定义：若一个非负数 的平方等于 ，即
，则 叫做 的算术平方根 ）
的立方根是 （立方根的定义：若一个数 的立方等于 ，即 ，则 叫做 的立方根 ）
把 代入得：（比较 与完全平方数 、 的大小 ）
即
的整数部分
综上， ， ，
（2）解：把 ， ， 代入 得：
（平方根的定义：若 （ ），则 叫做 的平方根， ）
的平方根是
即 的平方根是
1．若 的整数部分为 ，小数部分为 ，则代数式 的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键．
先估算 的大小后即可求得 ， 的值，然后代入 中计算即可．
【详解】解： ，
，
，
则 ， ，那么 ，
故选：D．
2．在数轴上有 ， 两点分别表示实数 和 ，且有 与 互为相反数，则 的平方根为
（ ）
A． B． C．7 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平方根的定义，绝对值和算术平方根的非负性，先根据非负数的性质和相反数的
定义求出 ， ，得出 ，最后根据平方根定义求出结果即可．
【详解】解：∵ 与 互为相反数，
∴ ，
∴ ， ，解得： ， ，
∴ ，
∵14的平方根为 ，
∴ 的平方根为 ．
故选：A
3．（1）若 ， ，请求出 的值；
（2） 是 的立方根和 的算术平方根的和， 是比 大且最相邻的整数，请求出 的立方根
【答案】（1）4或 ；（2）
【分析】本题考查平方根和立方根，理解平方根和立方根定义是解答的关键．
（1）先根据平方根和立方根定义求得 或 ， ，再代值求解即可；
（2）先求得 ，再根据无理数的估算方法求解 ，然后代值求解 ，进而利用立方根定
义求解即可．
【详解】解：（1）∵ ， ，∴ 或 ， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴ 的值为：4或 ；
（2）∵ 是 的立方根和 的算术平方根的和，
∴ ，
∵ ，又 是比 大且最相邻的整数，
∴ ，
∴ ，
∴ 的立方根是 ．
4．如图，已知数轴上的点A，B，C分别表示实数a，b，c，
(1)化简：
(2)若 ， ， ．且满足 与 互为相反数， 是绝对值最小的负整数， ， 互为倒
数，试求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由数轴判断数 ， ， 的大小关系，继而求得 ， ， ，再结合算术
平方根和绝对值的性质化简，整理即可；
（2）由相反数的定义得 ，由绝对值的性质得到 ，由倒数的性质得到 ，再利用有理数
的加减乘除法则，分别解出 ， ， 的值，继而解题．
【详解】（1）解：由数轴可知：
， ， ，；
（2）解：由题意可知： ， ， ，
， ， ，
．
【点睛】本题考查数轴、绝对值、相反数、倒数、有理数的混合运算等知识，是重要考点，难度较易，掌
握相关知识是解题关键．
5．已知a是 的整数部分，b是 的小数部分，求 的平方根．
【答案】
【分析】本题考查了无理数的估算，求平方根等知识，正确估算是解题的关键；先对无理数 进行估
算，则可求得a与b的值，代入 计算，最后即可求得其平方根．
【详解】解：∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
6．（1）一个长方体的体积为 .它的长、宽、高之比为 .求这个长方体的表面积；
（2）已知一个正数的平方根分别是 和 ， 的立方根为 ，求 的平方根.
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）设这个长方体的长、宽、高分别为 ， ， ，根据这个长方体的体积为列方程得 ，求得 ，则可得这个长方体的长、宽、高分别为 ， ，
，进而可求出这个长方体的表面积；
（2）根据平方根的性质可得 ，求得 ．根据立方根的定义可得 ，求得
，再代入 中，求得 ，再根据平方根的定义即可得解．
本题主要考查了平方根和立方根的性质，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题的关键．
【详解】(1)解：设这个长方体的长、宽、高分别为 ， ， ，
则 ，
，
，
，
∴ ， ，
∴这个长方体的长、宽、高分别为 ， ， ，
∴这个长方体的表面积为 ．
（2）解：∵一个正数的平方根分别是 和 ，
∴ ，
解得 ．
∵ 的立方根为 ，
，
解得 ，
，
2的平方根为 ，
∴ 的平方根为 ．
7．（1）已知 是 的算术平方根， 是 的立方根，求 的立方根．
（2）若 的算术平方根是5，求 的平方根．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查算术平方根、平方根和立方根的定义，非负数的性质，代数式求值．解题的关键是：（1）由算术平方根和立方根的定义可求出 ， ，即得出 ， ，，代入 中求值，再
求其立方根即可；
（2）由被开方数为非负数即可求出 ，由算术平方根的定义可求出 ，代入 中求值，再求
其平方根即可．
【详解】解：（1）∵ 是 的算术平方根， 是 的立方根，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ 的立方根为 ；
（2）根据题意得 ，
∴ ，
∴
∵n的算术平方根是5，
∴ ，
∴ 的平方根为 ．
8．已知 的算术平方根是5， 是27的立方根， 的平方根是0．
(1)求a、b、c的值；
(2)求 的平方根．
【答案】(1) ， ， ；(2)
【分析】本题考查平方根、算术平方根以及立方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
（1）算术平方根、立方根、平方根的定义求出a、b、c的值即可；
（2）将a，b，c的值代入，求出代数式的值，再求其平方根即可．
【详解】（1）解：∵ 的算术平方根是5，
∴
解得： ；
∵ 是27的立方根，
∴解得： ；
∵ 的平方根是0
∴
解得： ．
（2）解：∵ ， ， ，
∴
∴ 的平方根为 ．
9．在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例如：
，即 ，
的整数部分为2，
的小数部分为 ．
(1)求 的整数部分和小数部分．
(2)已知 的立方根是 的算术平方根是 是 的整数部分，求 的平方根．
【答案】(1) 的整数部分为4， 小数部分为 ．(2)
【分析】本题考查了估算无理数的大小，立方根和算术平方根以及平方根的定义，审清题意掌握相关概念
是解题的关键．
（1）根据无理数的估算方法求解即可；
（2）根据题意立方根和算术平方根的定义求出a、b的值，再仿照题意求出c的值，然后代入 求
其值，最后根据平方根的定义可得答案．
【详解】（1）解：（1）∵ ，∴ ，
∴ 的整数部分为4，
∴ 的小数部分为 ．
（2）解：∵ 的立方根是3， 的算术平方根是4，c是 的整数部分，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的整数部分是3，
∴ ，
∴ ，
∴ 的平方根是 ．
10．已知 的平方根为 ， 的立方根为 ， 是 的整数部分
(1)求a和b的值；
(2)求 的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了平方根、立方根的定义以及无理数的估算，熟练掌握平方根、立方根的定义和无
理数估算方法是解题的关键．
（1）根据平方根的定义，一个数的平方根互为相反数，其平方相等，可由 的平方根为 列出方程求
；再依据立方根的定义，若一个数的立方根为 ，则这个数是 的立方，结合 的值列出关于 的方程求
解．
（2）先确定 的整数部分得到 ，再将 、 、 的值代入 计算，最后求其平方根．
【详解】（1）解： 的平方根为 ，，即 ，
，
．
的立方根为 ， ，
，即 ，
，
，
．
（2）解： ，
，即 ，
．
把 ， ， 代入，
．
，
的平方根为 ．
