文档内容
专题 03 期末复习专题：图形的平移和旋转
目录
【考点一 生活中的平移及图形的平移】................................................................................................................3
【考点二 利用平移的性质求解】............................................................................................................................4
【考点三 点在平面直角坐标系中的平移】............................................................................................................7
【考点四 中心对称图形的识别】............................................................................................................................9
【考点五 求关于原点的对称点的坐标】..............................................................................................................11
【考点六 旋转中心、旋转角】..............................................................................................................................12
【考点七 求某点旋转后的坐标】..........................................................................................................................15
【考点八 平面直角坐标系中平移和旋转作图】..................................................................................................18
【考点九 旋转的综合问题】..................................................................................................................................25
知识点01 平移的概念和性质
1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离。注：平移=移动方向+移动距离
2.平移的性质：（1）图形（形状、大小）不变，仅改变图形的位置
（2）对应点间连线，这些线段长度相等，且对应直线平行
（3）对应点的连线即为平移的路径（直线），包括方向和距离
知识点02 平移作图
平移作图步骤：①找出能代表图形的关键点;②将原图中某一关键点按要求平移后，与原来点连接起来;
③过其他点分别作线段，使它们与确定直线段平行且相等，即确定其他关键点平移后的位置;④连接关键点，
还原图形.
知识点03 旋转的概念和性质
（1）旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一定角度的变换.
点O叫作旋转中心；转动的角度叫作旋转角；
图形上点P旋转后得到点P’，这两个点叫作对应点.
（2）旋转三要素：①旋转方向；②旋转中心；③旋转角度
注：旋转中心可在任意位置.即可在旋转图形上，也可不在旋转图形上.
（3）旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点
分别与旋转中心连线所成的角相等.
知识点04 旋转作图
旋转作图：在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向
旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形.
作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；（4）连接所得到的各对应点.
知识点05 中心对称
（1）中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这
两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．
（2）中心对称是指两个图形的位置关系，涉及到两个图形，如图所示，△ABC与△A’B’C’关于点O对称.
（3）中心对称与轴对称的区别与联系：
中心对称 轴对称
有一个对称中心 有一条对称轴
区别
图形绕对称中心旋转180° 图形沿对称轴翻折
旋转后与另一个图形重合 翻折后与另一个图形重合
联系 都是两个图形之间的关系，并且变换前后的两个图形全等
（4）中心对称的性质：中心对称是一种特殊的旋转变换，具有旋转的一切性质，成中心对称的两个图形
中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，成中心对称的两个图形是全等图形.
（5）确定对称中心的方法：
1.连接任意一组对称点，连线的中点就是对称中心；
2.连接任意两组对称点，这两条线段的交点就是对称中心.
（6）中心对称作图
1.连接原图形的关键点与对称中心；
2.延长所连接的线段，在延长线上分别找出关键点的对称点，使对称点到对称中心的距离和关键点到对称
中心的距离相等；
3.将对称点按照原图形的顺序依次连接即可得到原图形关于对称中心对称的图形.
知识点06 中心对称图形
（1）中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那
么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
（2）中心对称与中心对称图形的区别与联系：
中心对称 中心对称图形
针对两个图形 针对一个图形
两个图形位置上的关系 具有某种性质的一个图形
区别
对称点在两个图形上 对称点在一个图形上
对称中心在两个图形之间 对称中心在图形上或图形内部
如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称
联系
图形；如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称．【考点一 生活中的平移及图形的平移】
例题：（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，在园林设计中常常可
以看到．下列窗棂图案中可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】生活中的平移现象、图形的平移
【分析】本题考查了图形的平移，根据平移只改变位置，不改变大小，形状和方向，进行逐项分析，即可
作答．
【详解】解：由平移只改变位置，不改变大小，形状和方向可知，四个选项中只有A选项中的图案可以有
平移得到，
选项B，D中的图形可通过旋转或轴对称得到；C中的图形可通过旋转得到；
故选：A．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·湖北咸宁·期末）下列生活现象是数学中的平移的是（ ）
A．彩旗随风飘扬 B．电梯升降 C．钟表指针转动 D．教室门从开到关
【答案】B
【知识点】生活中的平移现象
【分析】本题考查生活中的平移，根据平移的定义，平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某
个方向作相同距离的移动．平移不改变图形的形状和大小，只是改变位置，据此进行判断即可．
【详解】解：A、彩旗随风飘扬，是无规则运算，不是平移，不符合题意；
B、电梯升降，是平移，符合题意；
C、钟表指针转动，是旋转，不是平移，不符合题意；
D、教室门从开到关，不是平移，不符合题意；
故选B．
2．（24-25七年级上·上海宝山·期末）中国的历史文化源远流长，我们的祖先创造了很多造型别致且实用
美观的纹样．下面四个纹样中，属于四方连续纹样的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】生活中的平移现象【分析】本题考查了四方连续纹样，四方连续纹样是一种图案设计形式，由一个单位纹样向上下左右四个
方向反复连续循环排列而成．据此分析即可．
【详解】解：属于四方连续纹样的是选项D，
故选：D．
3．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）现实世界中平移现象无处不在，下列汉字可由其中一部分平移得到
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】生活中的平移现象
【分析】本题考查生活中的平移，根据平移的性质，进行判断即可．
【详解】解：根据题意，由两或三个完全相同的部分组成的汉字可以通过平移得到，
∴“ ”可以通过平移得到．
故选：A．
【考点二 利用平移的性质求解】
例题：（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图所示， 的周长为 ，将 沿一条直角边 所
在的直线向右平移 个单位到 位置，如图所示．下列结论：① 且 ；②
且 ；③ 和 的周长和为 ；④ ；⑤若 ，
，则 边扫过的图形的面积为 ，正确的是 ．（填序号）
【答案】①②③④
【知识点】利用平移的性质求解
【分析】本题考查平移的性质，利用平移的性质即可判断结论①②③；利用平移可得 ，根据
， ，即可判断结论④；根据 边扫过的图形的面积等
于 ，即可判断结论⑤．解题的关键是掌握平移的性质：平移前后图形的形状大小都不变，对应边
平行且相等，对应点的连线平行且相等．
【详解】解：∵将 沿一条直角边 所在的直线向右平移 个单位到 位置，∴ 且 ； 且 ； ，
故结论①②正确；
∵将 沿一条直角边 所在的直线向右平移 个单位到 位置，
∴ ， ，
∴ 和 的周长和为： ，
故结论③正确；
∵ ，
又∵ ， ，
∴ ，
故结论④正确；
根据平移可知， ，
则 边扫过的图形的面积为：
，
即 边扫过的图形的面积为 ，
故结论⑤错误；
综上所述，正确的是①②③④．
故答案为：①②③④．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图， 平移后得到 ， ， ，则
的度数是 ．
【答案】 / 度
【知识点】利用平移的性质求解、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了平移的性质，三角形内角和定理的运用，掌握平移的性质是解题的关键．
根据三角形内角和定理得到 ，再根据平移得到 ，即可求解．
【详解】解：在 中， ，
∴ ，
∵ 平移后得到 ，
∴ ，
故答案为： ．
2．（23-24八年级下·山东济南·期中）如图，在三角形 中， ， ， ，，将三角形 沿 方向平移 得到三角形 ，且 与 相交于点G，连接
，则阴影部分的周长为 ．
【答案】12
【知识点】利用平移的性质求解
【分析】本题考查的平移的性质，先利用平移的性质得到 ， ，则
，然后计算阴影部分的周长．
【详解】解： 沿 方向平移 得到 ，
， ，
，
阴影部分的周长为 ．
故本题答案为：12．
3．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）如图，将 沿 所在的直线翻折后，使点B落在点D处，再将
线段 沿着射线 向左平移若干单位长度得到 ，如果四边形 的周长是10，那么 ．
【答案】
【知识点】折叠问题、利用平移的性质求解
【分析】本题主要考查了平移的性质，折叠的性质，先由平移的性质得到 ，再由四边
形周长计算公式推出 ，进一步由折叠的性质得到 ，据此根据线段的和差关系可得答
案．
【详解】解：由平移的性质可得 ，
∵四边形 的周长是10，
∴ ，
∴ ，
由折叠的性质可得 ，
∴ ，
故答案为： ．
【考点三 点在平面直角坐标系中的平移】例题：（24-25八年级上·山东淄博·期末）在平面直角坐标系中，点 先向右平移4个单位，再向上
平移2个单位，得到点A，那么点A的坐标是 ．
【答案】
【知识点】由平移方式确定点的坐标
【分析】本题考查点的平移，根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
【详解】解：∵点 先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，得到A点，
∴ ，即 ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）已知点 ， ，将线段 平移至 ，点 的对应点
分别为点 ，若 ， ，则 的值是 ．
【答案】
【知识点】由平移方式确定点的坐标、已知点平移前后的坐标，判断平移方式
【分析】本题考查平移的坐标与图形变化，根据点平移的性质“左减右加（横轴），上加下减（纵轴）”
得出平移规律，求出 的值即可解答．
【详解】解：由题可得 ， ，
解得： ， ，
∴
故答案为： ．
2．（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图，三角形 在平面直角坐标系中，其中点 ，点
，点 ，将三角形 的A，B，C三点中的任意一点平移至点 的位置后，那么点C
的对应点的坐标是 ．
【答案】 或 或
【知识点】已知图形的平移，求点的坐标、由平移方式确定点的坐标、利用平移的性质求解
【分析】本题考查了平移的性质，分点 分别平移至点 的位置三种情况讨论即可求解，得
到平移的方向和距离是解答本题的关键．【详解】解：当点 平移至点 的位置时，即点 向右平移 个单位长度，再向下平移
个单位长度，
∴点 向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度的对应点的坐标是 ，即 ，
当点 平移至点 的位置时，即点 向右平移 个单位长度，再向上平移
个单位长度，
∴点 向右平移8个单位长度，再向下平移3个单位长度的对应点的坐标是 ，即 ，
当点 平移至点 的位置时，即点 向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位
长度，
∴点 的对应点的坐标是 ，
故答案为： 或 或 ．
3．（24-25八年级上·广西梧州·期末）如图，点 的坐标是 ，将 沿 轴向右平移3个单位至
位置，点 的对应点 恰好落在直线 上，当 时，则 的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、由平移方式确定点的坐标
【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征以及坐标与图形变换中的平移，根据题意得出点 的对
应点 为 ，待定系数法求得直线解析式，进而根据 ，得出不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：∵点 的坐标是 ，将 沿 轴向右平移3个单位至 位置
∴点 的对应点 为
∵点 恰好落在直线 上，
∴
解得：
∴直线
当 时，即
解得：
∴当 时，则 的取值范围是
故答案为： ．【考点四 中心对称图形的识别】
例题：（24-25九年级上·云南临沧·期末）中国传统工艺美术纹样承载着深厚的文化内涵和象征意义 下列纹
样中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称图形的识别
【分析】本题主要考查中心对称图形的定义，掌握其定义，数形结合，找出对称轴中心是关键．
中心对称：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 ，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说
明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心，根据定义，结合图形，找出对称
中心即可求解．
【详解】解：选项A中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 后与原来的图形重合，
∴是中心对称图形．
选项B、C、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 后与原来的图形重合，
∴不是中心对称图形．
故选：A．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·天津·期末）我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下
列与我国古代数学发现相关的图形中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别
【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这
个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转 ，如果旋转后的图形与
另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是
解题关键．根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，则此项不符合题意；
故选：B．2．（24-25八年级上·山东烟台·期末）下列四幅交通标示图案，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称图形的识别
【分析】本题考查的是中心对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来
的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心是解题的关键．根据中心对称图形
的定义解答即可．
【详解】解：A、图形是中心对称图形，符合题意；
B、图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
3．（24-25九年级上·广东云浮·期末）医院作为社会健康体系的核心支柱，在国民经济与民众生活中占据
着举足轻重的地位．下列医院图标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称图形的识别
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图
形绕着某个点旋转 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个
点叫做它的对称中心．
【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转 后与原来的图形完全重合，
所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转 后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形．
故选C．【考点五 求关于原点的对称点的坐标】
例题：（24-25九年级上·广西百色·期末）点 关于原点对称的点 的坐标是 ．
【答案】
【知识点】求关于原点对称的点的坐标
【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的坐标的纵横坐标互为相反数，据此
进行作答即可．
【详解】解：依题意，点 关于原点对称的点 的坐标是 ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·广东湛江·期末）若点 与 关于原点对称，则 ．
【答案】
【知识点】求关于原点对称的点的坐标
【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质和负整数指数幂，正确得出 ， 的值是解题关键．直接
利用关于原点对称点的性质得出 ， 的值，进而代入求值即可．
【详解】解：点 与 关于原点对称，
， ，
解得： ，
．
故答案为： ．
2．（24-25九年级上·山东德州·期末）若点 与点 关于原点对称，则 ．
【答案】
【知识点】负整数指数幂、求关于原点对称的点的坐标
【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数，
据此求解即可．
【详解】解：∵点 与点 关于原点对称，
∴ ，
∴ ， ，
∴
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·重庆·期末）若点 与点 关于原点对称，则 ．【答案】1
【知识点】求关于原点对称的点的坐标
【分析】本题考查了关于原点对称的点坐标的特征，有理数的乘方．熟练掌握关于原点对称的点坐标的横
纵坐标均互为相反数是解题的关键．由题意知 ， ，然后代入 求解即可．
【详解】 点 与点 关于原点对称，
， ，
．
故答案为：1．
【考点六 旋转中心、旋转角】
例题：（23-24九年级上·天津河西·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，
，将线段 绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段 （旋转后A
与D重合，B与C重合），则这个旋转中心的坐标为 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形、找旋转中心、旋转角、对应点
【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，根据点的坐标建立平面直角坐标系，点的坐标，掌握确定旋转中
心的方法：连接对应点的线段的垂直平分线的交点是旋转中心是解题的关键．根据确定旋转中心的方法：
连接对应点的线段的垂直平分线的交点是旋转中心，作出旋转中心，由坐标系写出旋转中心的坐标即可．
【详解】解：如图所示，旋转中心的坐标为 ．故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·广西南宁·期末）图中的风车图案，绕着它的中心 旋转，旋转角至少为 度，
旋转后的风车能与自身重合．
【答案】
【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查了旋转的性质，根据图示信息圆周角分成了4份，由此即可求解，掌握周角的度数，旋
转的性质是解题的关键．
【详解】解： ，
∴绕着它的中心 旋转，旋转角至少 ，旋转后的风车能与自身重合，
故答案为： ．
2．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，将 绕点O按逆时针方向旋转一定的角度后得到 ，
若 ， ，则图中的旋转角的度数是 ．
【答案】 /50度
【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点
【分析】本题考查旋转的性质，正确得出旋转角为 是解题关键．根据旋转的性质旋转角为 ，结合 ， ，即可解决问题．
【详解】解：∵将 绕点O按逆时针方向旋转一定的角度后得到 ，
∴旋转角为 ，
∵ ， ，
∴ ，即旋转角的度数是 ，
故答案为：
3．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，正方形网格中， 绕某一点逆时针旋转n度后得到
．在A、B、C、D等4个格点中，是旋转中心的为 ．
【答案】B点
【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点
【分析】本题主要考查图形旋转的性质，牢记旋转中心的确定方法（对应点连线的垂直平分线的交点即为
旋转中心）是解题的关键．
根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心的距离相等，则对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【详解】如图，连接 ， ，分别作线段 ， 的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点 ，点
即为旋转中心．
故答案为： 点．
【考点七 求某点旋转后的坐标】
例题：（24-25九年级上·重庆江北·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，以点O为旋转中心将点
逆时针旋转 后，它的对应点的坐标是 ．
【答案】【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，作出辅助线、构造全等三角形是解
题的关键．如图：过点P作 轴于点G，过点Q作 轴于点H，再证明三角形全等即可解答．
【详解】解：如图：过点P作 轴于点G，过点Q作 轴于点H，
由旋转性质得 ， ，
∴ ，
∵ 轴于点G， 轴于点H，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
∵点 ，
∴ ．
∵点Q在第三象限，
∴点Q的坐标为 ．
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，已知点 ，将线段 绕点A逆时针旋转 至 ，则
的坐标是 ．【答案】
【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标
【分析】本题考查坐标与旋转，过点 作 轴，过点 作 ，交 轴于点 ，证明
，求出 的长，即可得出结果．
【详解】解：过点 作 轴，过点 作 ，交 轴于点 ，则： ，
∵ ，
∴ ，
∵线段 绕点A逆时针旋转 至 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
2．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，第一象限内点 的坐标是 ， 绕原
点O顺时针旋转 ，则 的对应点的坐标是 .【答案】
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求绕原点旋转90度的点的坐标
【分析】本题主要考查了旋转的性质，依据旋转的性质，即可得出 ，进而得到
，据此可得点A的坐标为 ， 结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋
转后的点的坐标是解此题的关键．
【详解】如图所示，由旋转作图可得： ，
过点P作 轴，过点 作 轴，
∴ ,
∵ ，
∴ ，
∴ ，
点 的坐标为 ；
故答案为： ．
3．（23-24八年级下·山东德州·期末）如图， 的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是
，现将 绕点B按逆时针方向旋转 ，则旋转后点A的坐标是 ．
【答案】
【知识点】求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标
【分析】本题主要考查坐标与图形变化 旋转，解题关键是图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．
根据网格的特点结合旋转的性质画出 绕点 按逆时针方向旋转 的图形，以此即可求解．
【详解】解： 绕点 按逆时针方向旋转 后，得到 ，如图，
由图可知，点 的坐标为 ，
故旋转后点 的坐标是 ．
故答案为： ．
【考点八 平面直角坐标系中平移和旋转作图】
例题：（23-24八年级下·甘肃兰州·期末） 在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)将 向右平移五个单位长度，向上平移一个单位长度，画出平移后的 ，并写出点 的对应点
的坐标；
(2)画出 关于原点 对称的 ，并写出点 的坐标；
(3)在 轴上求作一点 ，使 ．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】(1)作图见详解，
(2)作图见详解，
(3)作图见详解
【知识点】由平移方式确定点的坐标、求关于原点对称的点的坐标、作垂线(尺规作图)、平移(作图)【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握平移，中心对称，尺规作线段垂直平分线的方
法是关键．
（1）根据平移作图，图形与坐标特点得到点坐标，由此即可求解；
（2）根据中心对称的性质作图，数形结合得到点坐标，由此即可求解；
（3）尺规作线段垂直平分线即可．
【详解】（1）解：如图所示，根据平移， 即为所求图形，
∴ ；
（2）解：根据中心对称图形作图如下， 即为所求图形，
∴ ；
（3）解：如图所示，尺规作线段垂直平分线交 轴于点 ，
∴根据垂直平分线的性质得到，点 即为所求点的位置．
【变式训练】1．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点均在格点（网格线
的交点）上．
(1)画出 关于原点O成中心对称的 ；
(2)画出 绕原点O逆时针旋转 后得到的 ．
【答案】(1)如图所示；
(2)如图所示．
【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标、求关于原点对称的点的坐标、画旋转图形、画已知图形关于某
点对称的图形
【分析】本题主要考查中心对称图形及旋转的性质，熟练掌握点的坐标关于原点对称及旋转的性质是解题
的关键；
（1）先得出点A、B、C关于原点对称的对称点，进而可作图；
（2）根据旋转的性质得出点A、B、C的对应点，进而问题可求解
【详解】（1）解：所作 如图所示：
（2）解：所作 如图所示；2．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为 ，
， ．
(1)画出与 关于原点 对称的 ；
(2)画出将 绕原点 顺时针旋转 后得到的 ，点 的坐标是________；
(3)试说明 经过怎样的变换可以得到 ．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析， ；
(3)将 绕原点 逆时针旋转 后可得到 ．
【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标、根据旋转的性质求解、画已知图形关于某点对称的图形、画旋
转图形
【分析】本题考查了中心对称，旋转变换作图，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）利用中心对称的性质分别作出 ， ， 的对应点 ， ， 即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出 ， ， 的对应点 ， ， 即可，再根据图可知点 的坐标；
（3）利用旋转变换的性质判断．
【详解】（1）解：根据题意，利用网格的特点分别作出 ， ， 关于原点 对称的对应点 ， ， ，再依次连接，如图， 即为所求，
（2）解：根据题意，利用网格的特点分别作出 ， ， 绕原点 顺时针旋转 后的对应点 ， ，
，再依次连接，如图， 即为所求，
由图可知点 的坐标为 ，
故答案为： ．
（3）解：如下图，
将 绕原点 逆时针旋转 后可以得到 ．
3．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在直角坐标系中， 的三个顶点分别是 ，， ．
(1)将 以点 为旋转中心旋转 ，画出旋转后对应的 ，并直接写出点 的对应点 的坐标；
(2)平移 ，若点 的对应点 的坐标为 ，画出平移后对应的 ，并直接写出点 的对应
点 的坐标；
(3)将 绕某一点旋转 可以得到 ，请画出旋转中心 ，并直接写出旋转中心 的坐标；
(4)在 轴上找一点 ，使 的值最小，并直接写出点 的坐标．
【答案】(1)见解析，
(2)见解析，
(3)见解析，
(4)见解析，
【知识点】坐标与图形变化——轴对称、平移(作图)、画旋转图形、找旋转中心、旋转角、对应点
【分析】本题考查作图-旋转变换、轴对称-最短路线问题、作图-平移变换．
（1）根据旋转的性质作图，再看图写出 的坐标即可；
（2）根据平移的性质作图，再看图写出 的坐标即可；
（3）连接 ， ， ，相交于点P，则 绕点P旋转 可以得到 ，即可得出答案；
（4）取点A关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点Q，则点Q即为所求，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图， 即为所求；点 的坐标为 ；
（2）解：如图， 即为所求；
点 的坐标为 ；
（3）解：连接 ， ， ，相交于点P，
则 绕点P旋转 可以得到 ，
∴旋转中心的坐标为 ；
（4）解：取点A关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点Q，连接 ，此时 为最小值，
则点Q即为所求，
∴点Q的坐标为 ．
【考点九 旋转的综合问题】
例题：（23-24九年级上·广西河池·期末）如图， 和 都是等边三角形， 可以看作是
经过平移、轴对称或旋转得到．
(1)说明得到 的过程；
(2)若点 恰为 的中点， ，求 的长．
【答案】(1) 可以看作是由 绕顶点 逆时针旋转 而得到
(2)3
【知识点】含30度角的直角三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）、判断由一个图形旋转而成的图案、
等边三角形的性质
【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、图形
的旋转等知识，熟练掌握图形的旋转和等边三角形的性质是解题关键．
（1）先根据等边三角形的性质可得 ， ， ，再证出 ，
根据全等三角形的性质可得 ，由此即可得；
（2）先根据等边三角形的性质可得 ， ，再根据全等三角形的性质可得
， ，然后求出 ，根据含30度角的直角三角形的性质可得 ，
由此即可得．【详解】（1）解：∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 可以看作是由 绕顶点 逆时针旋转 而得到．
（2）解：∵ 是等边三角形， ，
∴ ， ，
∵点 恰为 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由（1）已证： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图1，在 中， ， ，D，E分别为
的中点，将 绕点C逆时针方向旋转得到 （如图2），使直线 恰好过点B，连接
．(1)判断 与 的位置关系，并说明理由；
(2)求 的长；
【答案】(1) ，见详解
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等的应用，正确熟练掌握知识点是
解题的关键．
（1）根据旋转的不变性证明 ，再由对应角相等及邻补角即可得证；
（2）设 ，在 中，由勾股定理得： ，解方程即可；
【详解】（1）解： 与 的位置关系为 ，理由如下．
∵ ，D，E分别为 的中点，
∴ ，即 ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即： ．
（2）解： 中， ，
∴ ，同理可求 ，
∵ ，
∴ ，
设 ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： （舍负），
∴ ．
2．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在 中， ， ，线段 ，是由线段 绕点D顺时针旋转 得到．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长；
(3)若点M是 的中点，连接 ， ，求证： ．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求
解、等腰三角形的性质和判定
【分析】（1）根据旋转的性质得出 ， ，根据等边对等角和三角形内角和定理可得出
， ，结合垂直定义，可求出 ，最后根据平
行线的判断即可得证；
（2）过E作 于H，证明 ，得出 ， ，结合已知可求出 ，
在 中，根据勾股定理求出 ，然后在 中，根据勾股定理求解即可；
（3）延长 交 于N，连接 ， ，根据 证明 ，得出 ，
，再根据 证明 ，得出 ，最后根据三线合一的性质证明即可．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是由线段 绕点D顺时针旋转 得到，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：过E作 于H，则 ，
又 ， ，
∴ ，
∴ ， ，
又 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）证明：延长 交 于N，连接 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又M是 中点，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ， ，
又 ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，即 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，明确
题意，添加合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
3．（24-25八年级上·吉林长春·期末）感知：如图①， 和 都是等腰直角三角形，
，点 在线段 上，点 在线段 上，我们很容易得到 ，不需证明．探究：如图②，将 绕点 逆时针旋转 ，连接 和 ，此时 是否依然成立？
若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．
应用：如图③，当 绕点 逆时针旋转，使得点 落在 的延长线上，连接 ．
① 的度数为____________度；
②线段 、 、 之间的数量关系是_____________；
③若 ， ，则线段 的长为_____________．
【答案】探究：成立，理由见解析
应用：①45；② ；③
【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、全等的性质和SAS综
合（SAS）
【分析】本题主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三
角形的判定和性质是解题的关键．
探究：利用 证明 ，即可得到结论；
应用：①证明 ，得到 ；
②得到 ，即可得到结论；
③证明 ，求出 ，即可得到答案．
【详解】解：探究：成立，证明如下：
和 都是等腰直角三角形，
，
将 绕点 逆时针旋转 ，连接 和 ，
，
在 与 中，
，
，
；
应用：① 和 都是等腰直角三角形，，
在 与 中，
，
，
，
故答案为： ；
② ，
，
，
故答案为： ；
③ ，
，
，
，
在 中，
，
，
，
．
故答案为： ．
