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专题 03 正方形的性质与判定
考点一 根据正方形的性质与判定求角度 考点二 根据正方形的性质与判定求线段长
考点三 根据正方形的性质与判定求面积 考点四 根据正方形的性质与判定求动点中的最值问题
考点五 根据正方形的性质与判定求折叠问题 考点六 根据正方形的性质与判定无刻度作图
考点一 根据正方形的性质与判定求角度
例题：（2022·重庆·中考真题）如图，在正方形 中，对角线 、 相交于点O． E、F分别为
、 上一点，且 ，连接 ， ， ．若 ，则 的度数为（ ）
A．50° B．55° C．65° D．70°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正方形的性质证明△AOF≌△BOE（SAS），得到∠OBE=∠OAF，利用OE=OF，∠EOF=90°，求出
∠OEF=∠OFE=45°，由此得到∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°，进而得到∠CBE的度数．
【详解】
解：在正方形 中，AO=BO，∠AOD=∠AOB=90°，∠CBO=45°，
∵ ，
∴△AOF≌△BOE（SAS），
∴∠OBE=∠OAF，
∵OE=OF，∠EOF=90°，∴∠OEF=∠OFE=45°，
∵ ，
∴∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°，
∴∠CBE=∠CBO+∠OBE=45°+20°=65°，
故选：C．
【点睛】
此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，熟记正方形的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2020·江苏镇江·中考真题）如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则
∠BPC的度数为_____°．
【答案】135
【解析】
【分析】
由正方形的性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2＋∠BCP＝45°＝∠1＋∠BCP，由三角形内角和定理可
求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形
∴∠ACB＝∠BAC＝45°
∴∠2+∠BCP＝45°
∵∠1＝∠2
∴∠1+∠BCP＝45°
∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP
∴∠BPC＝135°
故答案为：135．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，掌握正方形的性质是本题的关键．
2．（2020·山东滨州·八年级期末）如图，正方形 中， 为 边上一点， 为 延长线上一点，
且 ，若 ，则 ____________ ．
【答案】64°
【解析】
【分析】
由正方形的性质得出BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°，由SAS证明△BCE≌△DCF，得出对应角相等即可求出
∠BEC的度数．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCE=90°，
∴∠DCF=90°，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∴∠BEC＝∠DFC，
∵CE=CF，∠ECF=90°，
∴△ECF为等腰直角三角形，
∴∠EFC=45°，
则∠DFC=∠EFD+∠EFC=19°+45°=64°，
∴∠BEC＝64°，
故答案为：64°.
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练
掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．考点二 根据正方形的性质与判定求线段长
例题：（2021·江西九江·九年级期中）如图，在边长为6的正方形ABCD内作 ，AE交BC于点
E，AF交CD于点F，连接EF，将 绕点A顺时针旋转90°得到 ，若 ，则BE的长为
__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据旋转的性质可知， ADF≌ ABG，然后即可得到DF=BG，∠DAF=∠BAG，然后根据已知条件证明
EAG≌ EAF，设 △ ，在△ 中，由勾股定理可以求出BE的长．
△【详解】△
解：由旋转可知， ADF≌ ABG，
∴ ，∠△DAF=∠△BAG，
∵∠DAB=90°，∠EAF=45°，
∴∠DAF+∠EAB=45°，
∴∠BAG+∠EAB=45°，
∴∠EAF=∠EAG，
在△EAG和△EAF中，
，
∴△EAG≌△EAF(SAS)，
∴GE=FE，
设 ，则 ， ，
∴ ，
∵CD=6，DF=3，∴ ，
∵∠C=90°，
∴在 中， ，即 ，
解得， ，即BE=2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合
的思想解题．
【变式训练】
1．（2022·浙江温州·三模）如图，在正方形ABCD中， ，点P在正方形内， ，交边AD于
点F， ，交PF延长线于点E，且 ，连结AP，AE．若五边形AEDCP的面积为24，则
的度数为______，PC的长为______．
【答案】 45°
【解析】
【分析】
过C作CG⊥ED于G，即可得到正方形PCGE，可得 ,进而得到E、F、P、B四点在一条直线
上，过A作AM⊥DE于M，AN⊥PE于N，易证 ，即可得到AE平分 ，即
，再利用五边形AEDCP的面积为24列方程求出PC的长即可．
【详解】
过C作CG⊥ED于G，过A作AM⊥DE于M，AN⊥PE于N，连结PB∵ ， ， ，CG⊥ED
∴四边形PCGE是正方形
∴ ,
∵正方形ABCD
∴ ,
∴
∴ (SAS)
∴
∴
∴E、F、P、B四点在一条直线上，
∴
∵AM⊥DE于M，AN⊥PE
∴四边形AMEN是矩形
∴ (AAS)
∴
∴矩形AMEN是正方形，AE平分分 ，
∴ ，
设 ，
∵
∴ （AAS）
∴
∵
∴
∴
即
【点睛】
本题综合考查正方形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、角平分线的判定通过手拉手模型构造正方
形证明E、F、P、B四点在一条直线上是解题的关键．2．（2022·辽宁沈阳·二模）（1）问题情境：如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E为射线BC上一动点，
将 ABE沿AE所在直线翻折，得到 AFE，延长EF，射线EF与射线CD交于点G，连接AG．
△ △
①当点E在线段BC上时，求证：DG＝FG；
②当CE＝3时，则CG的长为______．
（2）思维深化：在 ABC中∠BAC＝45°，AD为BC边上的高，且BD＝ +1，CD＝ ﹣1，请直接写出
△
AD的长．
【答案】（1）①见解析；②4或 ；（2）AD的长为 或
【解析】
【分析】
（1）①根据翻折得到 ，进而有 ，结合正方形性质得到
，再利用全等性质即可得证；②由①可知 ，进而有
，在 中利用勾股定理求解即可；
（2）结合（1）中所给的提示，构造出满足题意的图形，分两种情况求解：①设正方形边长为 ，则
， ，在 中，由勾股定理可知 ，代值解方程可得
；②设正方形边长为 ，则 ， ，在 中，由勾股定理
可知 ，代值解方程可得 ，从而得到AD的长为 或 ．
【详解】解：（1）①证明： 将 ABE沿AE所在直线翻折得到 AFE，
， △ △
，
在正方形ABCD中， ，
，
在 和 中，
，
，
；
②由①中两组全等的三角形可得 ，
正方形ABCD中，AB＝6， ，
，
设 ，则 ，
在 中， ， ， ， 则根据勾股定理得
，即 ，解得 ，即 ，
故答案为： ；
（2）根据题意，结合（1）可知，有两种情况，
①三角形在正方形内部，如下图所示：
已知 ，
由（1）知 ， ，，则 ，
设正方形边长为 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理可知 ，即 ，化简得
，解得 ，
是正方形边长，满足 ，
，即 ；
②三角形在正方形外部，如下图所示：
已知 ，
由（1）知 ， ，
，则 ，
设正方形边长为 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理可知 ，即 ，化简得，解得 ，即
综上所述，AD的长为 或 ．
【点睛】
本题考查正方形综合题，涉及到全等三角形的判定与性质、翻折的性质特征、勾股定理等知识点，读懂题
意，根据题意找到有特殊到一般题型的解题思路是解决问题的关键．
考点三 根据正方形的性质与判定求面积
例题：（2021·黑龙江·讷河市第三中学九年级期中）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝
AD，AE⊥BC，垂足是E，若线段AE＝4，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】B
【解析】
【分析】
延长CD，作 的延长线于点F，构造出全等三角形， ，即可得到四边形
ABCD的面积就等于正方形AECF的面积．
【详解】
解：如图，延长CD，作 的延长线于点F，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形AECF是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴四边形AECF是正方形，
∵ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，正方形的性质和判定，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．
【变式训练】
1．（2021·湖北·武汉第三寄宿中学八年级阶段练习）如图，已知点E为正方形ABCD外一点，连接AE、
BE，∠AEB=90°，过C点作CF//AE，过D点作DF//BE，交点为F，连接EF，若AE=5，BE=4，则四边形
EBCF的面积为________．
【答案】 ##30 ##30.5【解析】
【分析】
延长EB、FC交于点H，延长EA、FD交于点G，得到边长为9的正方形GEHF，根据四边形EBCF的面积
= 即可求解．
【详解】
解：延长EB、FC交于点H，延长EA、FD交于点G，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，
∵CF//AE，DF//BE，
∴四边形GEHF是平行四边形，
∵∠AEB=90°，
∴平行四边形GEHF是矩形，
∴∠AEB =∠G=∠CFD=∠H=90°，
根据等角的余角相等，
∴∠EAB=∠GDA=∠FCD=∠HBC，
∴Rt EAB≌Rt GDA≌Rt FCD≌Rt HBC，
∴EA△=GD=FC=△HB=5，E△B=GA=FD△=HC=4，
∴EG=GF=FH=HE=5+4=9，即矩形GEHF是边长为9的正方形，
∴四边形EBCF的面积为：
．
故答案为： ．【点睛】
本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
2．（2021·辽宁丹东·九年级期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上一点，
且△ACE是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠AED＝2∠EAD，AB＝a，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）见解析；（2）正方形ABCD的面积为
【解析】
【分析】
（1）由等边三角形的性质得EO⊥AC，即BD⊥AC，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得
出结论；
（2）证明菱形ABCD是正方形，即可得出答案．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，
∵△ACE是等边三角形，
∴EO⊥AC （三线合一），
即BD⊥AC，
∴▱ABCD是菱形；
（2）解：∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC＝60°
由（1）知，EO⊥AC，AO＝OC
∴∠AEO＝∠OEC＝30°，△AOE是直角三角形，
∵∠AED＝2∠EAD，
∴∠EAD＝15°，
∴∠DAO＝∠EAO﹣∠EAD＝45°，∵▱ABCD是菱形，
∴∠BAD＝2∠DAO＝90°，
∴菱形ABCD是正方形，
∴正方形ABCD的面积＝AB2＝a2．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质、正方形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识，证
明四边形ABCD为菱形是解题的关键．
考点四 根据正方形的性质与判定求动点中的最值问题
例题：（2022·全国·八年级）如图，正方形 中， ，动点 在 边上，以 为直角边向上作
正方形 ，连接 ，则 在运动过程中 最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
过点 作 ，交 的延长线于点 ，根据题意，首先证出 ，得到 ，
，进而证出 为等腰直角三角形，得到 ，当 在 上移动时，
点在 的角平分线上移动，当 时， 最短．再证得 为等腰直角三角形，解这个
直角三角形得 ，进一步再求出 的最小值，从而得解．
【详解】
解：过点 作 ，交 的延长线于点 ，∵四边形 是正方形
∴
∴
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴ ， ，
∴ ，
∴
∴ 为等腰直角三角形
∴
∵
∴
∴当 在 上移动时， 点在 的角平分线上移动，当 时， 最短
∵
∴ 为等腰直角三角形
∴
∴∴
∵ ， ，
∴
故选：B．
【点睛】
本题主要考查的是线段的最小值的问题，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练
掌握各种图形的性质与判定，确定点的运动轨迹是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·江苏扬州·三模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED
绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF＋CF的最小值是（ ）
A．4 B．4 C．5 D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，通过证明 ，确定点F在BF的射线上
运动，作点C关于BF的对称点 ，由三角形全等得到 ，从而确定点 在AB的延长线上，当
D、F、 三点共线时，DF＋CF＝ 最小，通过勾股定理即可求得长度．
【详解】
解：如图，连接BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，
∵ED绕点E顺时针旋转90°到EF，
∴ ，ED＝EF，
∴ ，
又∵在 中， ，
∴ ，在 和 中，
∴
∴FG＝AE，EG＝DA，
∴点F在BF的射线上运动，
作点C关于BF的对称点 ，
∵EG＝DA，
∴EG＝DA，
∴EG－EB＝DA－EB，即BG＝AE，
∴BG＝FG， 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴点 在AB的延长线上，
当D、F、 三点共线时，DF＋CF＝ 最小，
在 中，AD＝4， ，
∴ ，
∴DF＋CF的最小值为 ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、正方形的性质、轴对称性质、最短路径，能够将线段的和通过轴对称转化为共线
线段是解题的关键．
2．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝ ．D是边AB上一动点，连接CD，以CD为直角边在CD左侧作等腰直角△CDE，且∠DCE＝90°，连接AE，则DE长度的最小值
为 _____；△ADE面积的最大值为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】
要求DE得最小值，只需求CD、CE的最小值，过C作AB的垂线交AB于F，CF即为CD=CE的最小值，
然后运用勾股定理即可求得DE的最小值；当DE最小时，△ADE为等腰直角三角形，此时其面积有最大
值，然后求解即可．
【详解】
解：如图：过C作AB的垂线交AB于F
∴CF是CD的最小值
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝
∴AB=
∵CF⊥AB
∴CF=1
∴CD=CE的最小值为1，AF=1
∴DE的最小值为
∵∠GCE=90°、∠CFA=90°，∠CAG=90°，CG=CF=1
∴四边形AFCG是正方形
∴AF=AG=1∴当D点在F点时，△ADE的面积最大，且等腰△AGF的面积
∴△ADE的面积最大值为： ．
故答案为： ， ．
【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、正方形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识
成为解答本题的关键．
考点五 根据正方形的性质与判定求折叠问题
例题：（2022·山东泰安·中考真题）如图，四边形 为正方形，点E是 的中点，将正方形 沿
折叠，得到点B的对应点为点F，延长 交线段 于点P，若 ，则 的长度为___________．
【答案】2
【解析】
【分析】
连接AP，根据正方形的性质和翻折的性质证明Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），可得PF＝PD，设PF＝PD＝
x，则CP＝CD−PD＝6−x，EP＝EF＋FP＝3＋x，然后根据勾股定理即可解决问题．
【详解】
解：连接AP，如图所示，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE＝ AB＝3，
由翻折可知：AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，
∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°，
在Rt△AFP和Rt△ADP中，
，
∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），
∴PF＝PD，
设PF＝PD＝x，则CP＝CD−PD＝6−x，EP＝EF＋FP＝3＋x，
在Rt△PEC中，根据勾股定理得：EP2＝EC2＋CP2，
∴（3＋x）2＝32＋（6−x）2，解得x＝2，则DP的长度为2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
【变式训练】
1．（2022·上海市张江集团中学八年级期中）如图，已知正方形ABCD的边长为 ，将正方形ABCD沿直
线EF折叠，则图中阴影部分的周长为________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用轴对称的性质将边进行转化，再利用正方形的边长求解即可．
【详解】解：由轴对称可知：
∴阴影部分的周长为
．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了阴影部分的周长问题，解题关键是利用轴对称的性质进行边的转化．
2．（2022·江苏镇江·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一个动点，连接BE，将
ABE沿直线BE翻折得到 FBE．
△ △
(1)如图1，若点F落在对角线BD上，则线段DE与AE的数量关系是______；
(2)若点F落在线段CD的垂直平分线上，在图2中用直尺和圆规作出 FBE（不写作法，保留作图痕迹）．
连接DF，则∠EDF＝______°； △
(3)如图3，连接CF，DF，若∠CFD＝90°，求AE的长．【答案】(1)
(2)图见解析，75°
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据折叠的性质和正方形的性质，求解即可；
（2）先作出CD的垂直平分线MN，以B为圆点，以BA长为半径画弧，交MN于点F（正方形内部的点），
连接BF，作 的角平分线，交AD于点E，连接EF，即可，根据垂直平分线的性质和等腰三角形的性
质求解即可；
（3）方法一：取CD边的中点为O，连接BO，FO，通过证明 BCO≌△BFO得到点E，F，O三点共线，
设AE＝EF＝x，勾股定理求解即可； △
方法二：延长BF交AD于G．先证明FG＝DG，再在Rt ABG中应用勾股定理可求解．
(1) △
解：正方形ABCD中， ，
由折叠的性质可得， ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，即 ，
由勾股定理可得： ，即 ，
(2)
解：作图如下：
则 FBE为所求的三角形，
△由题意可得：MN垂直平分CD，MN垂直平分AB，
点F在MN上，则AF=BF，
由折叠的性质可得，AB=BF
∴ 为等边三角形，
∴ ， 为等腰三角形
∴ ，
∴ ；
(3)
解：取CD边的中点为O，连接BO，FO，如图：
∵∠CFD＝90°
∴OF＝CO＝OD＝2．
∵BC＝BA＝BF，BO＝BO，
∴△BCO≌△BFO（SSS）．
∴∠BFO＝∠BCO＝90°．
∴∠EFB＋∠BFO＝180°．
∴点E，F，O三点共线．
设AE＝EF＝x，则DE＝4－x．
在Rt ODE中， ．
△
∴
解这个方程，得 ．即AE的长是 ．
方法二：延长BF交AD于G．如图：由题意可得：AB=BF=BC
∴ ，
∴
∴ ，
∴FG＝DG，
设 ，则AG=4-x，BG=4+x，
Rt ABG中，由勾股定理可得： ，解得 ，
△
设 ， ，
在Rt EFG中，由勾股定理可得： ，解得
△
【点睛】
此题考查了正方形与折叠的综合问题，涉及了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，尺规
作图（垂直平分线和角平分线），等腰三角形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是熟练掌握并灵活
应用相关性质进行求解．
考点六 根据正方形的性质与判定无刻度作图
例题：（2021·江西九江·九年级期中）如图，点E是正方形ABCD内一点，且 ，请仅用无刻度的
直尺按要求作图（保留画图痕迹，不写作法）．(1)在图1中，作出边BC的中点；
(2)在图2中，作出边CD的中点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）连接AC，BD交于O，连接EO并延长交BC于F，点F即为所求；
（2）如图所示，连接DF交AC于G，连接BG并延长交CD于H，点H即为所求；
(1)
解：如图所示，点F即为所求；
连接AC，BD交于O，连接EO并延长交BC于F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，即点C在BC的线段垂直平分线上，
同理可证E在线段BC的垂直平分线上，
∴EO是BC的线段垂直平分线，
∴F即为BC的中点；
(2)
解：如图所示，连接DF交AC于G，连接BG并延长交CD于H，点H即为所求；
∵四边形ABCD是正方形，
∴CB=CD，∠BCG=∠DCG=45°，又∵CG=CG，
∴△BCG≌△DCG（SAS），
∴∠BGC=∠DGC，
又∵∠BGF=∠DGH，
∴∠HGC=∠FGC，
∵CG=CG，∠CGH=∠CGF，
∴△CFG≌△CHG（ASA），
∴CH=CF，
∵F是BC的中点，即BC=2CF，
∴BC=CD=2CH，即点H为CD的中点；
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，熟知正方形的性质是解题的
关键．
【变式训练】
1．（2022·江西九江·三模）如图，四边形ABCD为正方形，点E在边BC上．请仅用无刻度直尺完成以下
作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个平行四边形；
(2)在图2中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析【解析】
【分析】
（1）连接 ，过点 与 对角线的交点作 交 于点 ，则四边形 即为所求，
（2）在（1）的基础上，记CF交BD于点H，连接AH并延交CD于点M，则△ADM≌△CDF，则
AM=CF，由（1）知CF=AE，AM=AE，连接EM,则△AEM即为所求．
(1)
如图（1）所示，连接 ，过点 与 对角线的交点作 交 于点 ，
则四边形 即为所求，
(2)
如图（2）所示，等腰三角形 即为所求，
在（1）的基础上，记CF交BD于点H，连接AH并延交CD于点M，
，
，
∴ ，
，AD=CD，
△ADM≌△CDF，则AM=CF，
由（1）知CF=AE，AM=AE，连接EM，则△AEM即为所求．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的性质与判定，等腰三角形的判定，平行四边形的性质与判定，掌
握以上知识是解题的关键．
2．（2022·江西吉安·一模）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且 ，请仅用
无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图①中，以点E、F为顶点作正方形EGHF；
(2)在图②中，连接AE、BF交于点P，以点P为顶点作正方形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）连接AC，BD，AC交BD 于点O，连接EO，延长EO交AD于H，连接FO，延长FO交AB于G，四
边形EGHF即为所求作；
（2）同（1）作出四边形EGHF，连接CH、DG，CH交DG于点M，DG交AE于点N，CH交BF于点L，
四边形PNML即为所求作
(1)
解：如图，四边形EGHF即为所求作．
；
(2)
解：如图，四边形PNML即为所求作．．
【点睛】
本题考查作图-应用与设计作图，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
一、选择题
1．（2022·广东·雷州四中八年级期中）已知正方形ABCD的周长为4，则它的对角线AC的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据正方形的周长为4，求出边长，然后根据勾股定理求解即可得到答案．
【详解】
解：∵正方形ABCD的周长为4，
∴AB=BC=1，∠B=90°，∴AC= = ，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
2．（2022·天津红桥·三模）如图，将正方形ABCD放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，顶点C，D在
第一象限，若点 ，点 ，则点C的坐标为（ ）．
A．（2，3） B．（2，5） C．（5，2） D．（5，3）
【答案】D
【解析】
【分析】
过点C作CE⊥x轴，垂足为E，证明 AOB≌ BEC，得到BE=AO，EC=OB，计算OE的长即可．
【详解】 △ △
如图，过点C作CE⊥x轴，垂足为E．
∵四边形ABCD是正方形，点A（0，2），B（3，0），
∴AB=BC，∠ABC=90°，AO=2，OB=3，
∴∠AOB=∠BEC= 90°，∠ABO=∠BCE=90°-∠CBE，
∴ AOB≌ BEC，
∴△BE=AO=△2，EC=OB=3，
∴OE=OB+BE=2+3=5，
∴点C（5，3），
故选：D．【点睛】
本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，线段与坐标的关系，熟练掌握正方形的性质，准确
理解线段与坐标的关系是解题的关键．
3．（2022·河南许昌·二模）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是OB的中点，
连接AE，若AB=4，则线段AE的长为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正方形的性质求得AO=BO=2 ，再根据勾股定理即可求解．
【详解】
解：在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=4，
∴AC=BD=4 ，AC⊥BD，
∴AO=BO=2 ，
∵点E是OB的中点，
∴EO= ，在Rt EOA中，EO= ，AO=2 ，
△
∴AE= ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、勾股定理，解题的关键是熟知正方形的对角线相等且垂直平分．
4．（2022·河南洛阳·二模）如图，正方形 的边长为4，点F为 边的中点，点P是 边上不与端
点重合的一动点，连接 ．将 沿 翻折，点A的对应点为点E，则线段 长的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先确定线段EF的最小值的临界点，然后结合正方形的性质，折叠的性质，以及勾股定理，即可求出答案．
【详解】
解：连接BF，则EF≥BF－BE，当点B、E、F在同一条直线上时，EF的长度有最小值，如图
由翻折的性质，BE=AB=4，
在正方形ABCD中，BC=CD=4，∠C=90°，
∵点F为 边的中点，∴CF=2，
∴ ，
∴ ；
故选：B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，最短路径问题，解题的关键掌握所学的知识，正确找
出线段最小值的临界点，从而进行解题．
5．（2022·安徽宿州·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在BC的延
长线上，连接DE，F是DE的中点，连接OF交CD于点G，连接CF，若 ， ，则点D到CF
的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
点D到CF的距离为 ，根据正方形的性质及中位线的性质，求得 的值，在利用勾股定理及直
角三角形斜边的中线可求得 的值，再利用等面积法求高的方法，即 即可求得答案．
【详解】
解：点D到CF的距离为 ，
四边形ABCD是正方形，
，
对角线AC与BD相交于点O，F是DE的中点，
是 的中位线， 是 的中线，是 的中位线， 是 的中位线， ，
，
，
，
，
，
在 中， ， ， ，
，
，
，
，解得 ，
点D到CF的距离为 ，
故选D．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、勾股定理的应用、中位线性质、直角三角形斜边的中线性质及三角形等面积法
求高，熟练掌握等面积法求相应边长是解题的关键．
二、填空题
6．（2022·全国·八年级）如图，在正方形ABCD中，E为边BC的中点，连接AE．若AB＝2，则AE的长
为 _____．
【答案】
【解析】【分析】
根据题意可知AB＝2，BE＝1，利用勾股定理即可求出结果．
【详解】
解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝2，∠B＝90°，
∵E为BC中点，
∴BE＝CE＝1，
∴AE＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形四边相等、四个角为直角的性质是解题关键．
7．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，在菱形 中，对角线 与 相交于点O，添加一个条件
____________，使菱形 是正方形．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．
【详解】
解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等．
如∠ABC=90°或AC=BD．
故答案为：AC=BD（答案不唯一）
【点睛】
本题考查特殊四边形的判定，关键是根据菱形的性质及正方形的判定解答．
8．（2022·山东临沂·八年级期中）如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，连接CE，过点E作
，垂足为点F．若 ， ，则正方形ABCD的面积为___．【答案】196
【解析】
【分析】
连接AE可得AE=CE，勾股定理求出EF，DF=EF，求出AD可得答案．
【详解】
解：连接AE，如图，
∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，
∵BE=BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE=EC=10，
∵EF⊥AD，AF=6，
∴EF= ，
∴DF=EF=8，AD=8+6=14，
∴正方形ABCD的面积为 196，
故答案为：196．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
9．（2022·上海市张江集团中学八年级期中）如图，已知正方形ABCD的边长为5厘米，EG AD，点H
在边AD上，△CEH的面积为8平方厘米，则FG＝________厘米．
【答案】 ##1.8
【解析】
【分析】
过H作HM⊥EG于M，由四边形ABCD是正方形， ，HM⊥EG，可得四边形AEGD、四边形
HMGD是矩形，根据△CEH的面积为8平方厘米，有 EF•MH+ EF•CG=8，即得 EF•CD=8，可求出
EF= 厘米，故FG=EG-EF= 厘米．
【详解】
解：过H作HM⊥EG于M，如图：
∵四边形ABCD是正方形，边长为5厘米，
∴AD=CD=5厘米，∠A=∠D=90°，
∵ ，HM⊥EG，
∴四边形AEGD、四边形HMGD是矩形，
∴EG=AD=5厘米，MH=DG，
∵△CEH的面积为8平方厘米，∴ EF•MH+ EF•CG=8，
∴ EF•（MH+CG）=8，
∴ EF•（DG+CG）=8，即 EF•CD=8， 又CD=5，
∴EF= ，
∴FG=EG-EF= （厘米），
故答案为： ．
【点睛】
本题考查正方形性质及应用，解题的关键是根据△CEH的面积为8平方厘米，列出关于EF的方程，从而
求得EF的长度．
10．（2022·广东·执信中学二模）如图，正方形ABCD的边长为10，E为BA延长线上一动点，连接DE，
以DE为边作等边 ，连接AF，则AF的最小值为__________．
【答案】5
【解析】
【分析】
以AD为边作等边三角形 ADH，连接EH，由“SAS”可证 EDH≌△FDA，可得AF＝EH，由垂线段最短可
得当EH⊥AB时，EH有最△小值，即AF有最小值，即可求解△．
【详解】
解：如图，以AD为边作等边三角形 ADH，连接EH，
△∴HD＝AD＝AH＝10，∠HDA＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴ED＝DF，∠EDF＝60°＝∠HDA，
∴∠EDH＝∠FDA，
在 EDH和 FDA中， ，
△ △
∴△EDH≌△FDA（SAS），
∴AF＝EH，
∴当EH⊥AB时，EH有最小值，即AF有最小值，
∵∠EAH＝90°−∠HAD＝30°，EH⊥AB，
∴EH＝ AH＝5，
∴AF的最小值为5，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，含30°直角三角
形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题
11．（2022··八年级阶段练习）如图，正方形ABCD中，E为边BC上一点，连结AE，作AE的垂直平分线
交AB于G，交CD于F，若BG＝nBE．(1)若n＝1时，
①求∠BAE的度数；
②设BE＝x，S AGFD＝S，S ABE＝S，求S−S．(用含x的代数式表示)
四边形 1 2 1 2
△
(2)若CF＝mBG，求证：mn−n＝1．
【答案】(1)①22.5°；②x2
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）①连接GE，由正方形ABCD得∠B＝90°，由n＝1可得BG＝BE，可得出∠BGE＝45°，根据线段垂直
平分线的性质可得AG＝GE，由等边对等角得∠BAE＝∠AEG，由三角形外角的性质即可求解；
②过点F作FM⊥AB于点M，则四边形AMFD是矩形，证明 ABE≌△FMG，根据全等三角形的性质得MG
△
＝BE＝GB＝x，根据勾股定理可得GE＝AG＝ x，求出AM＝DF＝ x−x，用含x的式子表示出S，S，
1 2
即可得出S−S；
1 2
（2）首先由CF＝mBG，BG＝nBE得CF＝mnBE，则CF−BG＝mnBE−nBE＝（mn−n）BE，过点G作
GN⊥CD于点N，证明△GFN≌△FGM，可得△GNF≌△ABE≌△FMG，根据全等三角形的性质得BE＝FN，可
得CF−BG＝CF−CN＝FN＝BE，即可求解．
(1)
解：①如图，连接GE，
∵BG＝nBE，n＝1，∴BG＝BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∴∠BGE＝45°，
∵AE的垂直平分线交AB于G，
∴AG＝GE，
∴∠BAE＝∠AEG，
∵∠BGE＝∠BAE+∠AEG＝45°，
∴2∠BAE＝45°，
∴∠BAE＝22.5°；
②如图，过点F作FM⊥AB于点M，则四边形AMFD是矩形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴MF＝AD＝AB，∠BAE+∠AEB＝90°，
∵AE的垂直平分线交AB于G，
∴∠BAE+∠FGM＝90°，
∴∠AEB＝∠FGM，
∵∠B＝∠FMG＝90°，AB＝FM，
∴△ABE≌△FMG（AAS），
∴MG＝BE＝GB＝x，
∴GE＝AG＝ x，
∴AM＝DF＝ x−x，
∴S＝S AGFD＝ AD（DF+AG）
1 四边形
＝ （ x+x）（ x−x+ x）＝ （3+ ）x2，
S＝S ABE＝ AB•BE
2
△
＝ （ x+x）•x
＝ （1+ ）x2，
∴S−S＝ （3+ ）x2− （1+ ）x2
1 2
＝（ + − − ）x2
＝x2；
(2)
证明：∵CF＝mBG，BG＝nBE，
∴CF＝mnBE，
∴CF−BG＝mnBE−nBE＝（mn−n）BE，
如图，过点G作GN⊥CD于点N，则四边形GNFM是矩形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴MG＝NF，MF＝NG，GN∥MF，
∴CN＝BG，
∴CF−BG＝CF−CN＝NF，
∵GN∥MF，
∴∠NGF＝∠MFG，
∵∠GNF＝∠FMG＝90°，GF＝FG，
∴△GFN≌△FGM（AAS），
∵△ABE≌△FMG，∴△GNF≌△ABE≌△FMG，
∴BE＝MG＝NF，
∴CF−BG＝CF−CN＝FN＝BE，
∵CF−BG＝（mn−n）BE，
∴mn−n＝1．
【点睛】
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，三角形的外角性质、等腰三角形的性质、矩形的判定和
性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，
灵活运用正方形的性质等几何知识点来分析、判断、推理或解答．
12．（2022·全国·八年级）如图1，在正方形ABCD中，点E为BC上一点，连接DE，把 DEC沿DE折叠
得到 DEF，延长EF交AB于点G，连接DG． △
△
(1)填空，∠EDG=_________°．
(2)如图2，若正方形边长为6，点E为BC的中点，连接BF．
①求线段AG的长；
②求 BEF的面积；
(3)填△空：当DE=DG时，若令CE=a，则BF=_________（用含a的式子表示）．
【答案】(1)
(2)① ；②
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据正方形的性质可得DC=DA，∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，根据翻折前后两个图形能够完全重合可得
∠DFE=∠C，DC=DF，∠1=∠2，再求出∠DFG=∠A，DA=DF，然后利用“HL”证明Rt△DGA和Rt△DGF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠3=∠4，然后求出∠2+∠3=45°，从而得解；
（2）①设AG=x，则BG=6-x，根据勾股定理得：EG2=BG2+BE2，列方程可得AG的长；
②先计算△BEG的面积，根据同高三角形面积的关系可得：S BEF= ；
△
（3）根据等腰三角形三线合一的性质可得F是EG的中点，由（1）和折叠得：AG=FG=EF=CE=a，根据勾
股定理可得结论．
(1)
解：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，
∵△DEC沿DE折叠得到△DEF，
∴∠DFE＝∠C，DC＝DF，∠1＝∠2，
∴∠DFG＝∠A＝90°，DA＝DF，
在Rt△DGA和Rt△DGF中，
，
∴Rt△DGA≌Rt△DGF（HL），
∴∠3＝∠4，
∴∠EDG＝∠3+∠2
＝ ∠ADF+ ∠FDC
＝ （∠ADF+∠FDC）
＝ ×90°，
＝45°
故答案为45．(2)
①由（1）知：Rt△DGA≌Rt△DGF，
∴AG＝FG，
∵E为BC的中点，
∴CE＝EF＝BE＝3，
设AG＝x，则BG＝6﹣x，
在Rt△BEG中，由勾股定理得：EG2＝BG2+BE2，
即（3+x）2＝32+（6﹣x）2，
解得：x＝2，
∴AG＝2；
②由①知：BG＝4，BE＝3，
∴S BEG＝ ＝6，
△
∵EF＝3，FG＝2，
∴S BEF＝ ．
△
(3)
∵DE＝DG，∠DFE＝∠C＝90°，
∴点F是EG的中点，
∴AG＝FG＝EF＝CE＝a，
∴EG=EF+FG=2a，
∵ ，
∴ ．故答案为：a．
【点睛】
四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾
股定理的应用，翻折变换的性质，熟记各性质是解题的关键．
13．（2022·广东·珠海市拱北中学八年级期中）如图1，正方形 和正方形 如图所示放置，连接
， ， ， 与 交于点 ．
(1)请判断 与 的数量及位置关系，并说明理由；
(2)如图2，连接 ，求证： 是 的平分线；
(3)如图3，连接 ，若 面积为12，求 的面积．
【答案】(1) ， ，理由见解析；
(2)见解析；
(3) ；
【解析】
【分析】
（1）设BG、CD交于点M，由正方形的性质可得 ，于是 ， ，再
由三角形外角的性质可得∠BMD=∠BCM+∠CBM=∠MOD+∠MDO，于是∠BCM=∠MOD=90°；
（2）过点C作CM⊥BG于M，过点C作CN⊥DE于N，由（1）可得 ，BG=DE，于是
， ，即可证明；
（3）作 于 ，作 的延长线于点 ，由 可得 ，于是
， ，进而 ；
(1)解：如图，设BG、CD交于点M，
∵四边形 ，四边形 都是正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，即 ，
∴ （SAS），
∴ ， ，
∵∠BMD=∠BCM+∠CBM=∠MOD+∠MDO，
∴∠BCM=∠MOD=90°，
∴ ；
(2)
解：如图，过点C作CM⊥BG于M，过点C作CN⊥DE于N，
由（1）可得 ，
∴ ，BG=DE，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 平分 ；
(3)
解：如图，作 于 ，作 的延长线于点 ，∵ ，
∴∠DCQ-∠GCQ=∠GCE-∠GCQ，
∴ ，
又∵ ，∠GPC=∠EQC=90°，
∴ （AAS），
∴ ，
∵ ，
∴ ；
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定；正确作出辅助线是解题关键．
14．（2022·辽宁辽阳·一模）如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD>2CE），直线BG与DE交于
点H．
(1)如图1，当点G在CD上时，请直接写出线段BG与DE的数量关系和位置关系；
(2)将正方形CEFG绕点C旋转一周．
①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证： ；
②当∠DEC＝45°时，若AB＝3，CE＝1，请直接写出线段DH的长．
【答案】(1)BG＝DE，BG⊥DE(2)①见解析；② 或
【解析】
【分析】
（1）证明 BCG≌ DCE可得结论；
（2）①在△线段BG△上截取BK＝DH，连接CK．证明 BCK≌ DCH(SAS)，推出CK＝CH，∠BCK＝
∠DCH，推出 KCH是等腰直角三角形，即可解决问△题； △
②分两种情形：△当D，G，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD；和当D，H，E三点共线时∠DEC＝45°，
连接BD，分别根据正方形的性质结合勾股定理求解即可解决问题．
(1)
解：BG＝DE，BG⊥DE，理由如下：
∵四边形ABCD和四边形CEFG都为正方形，
∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE＝90°，CG＝CE，
∴ BCG≌ DCE(SAS)，
∴△BG＝DE△，∠CBG＝∠CDE．
∵∠CDE+∠DEC＝90°，
∴∠HBE+∠BEH＝90°，
∴∠BHD＝90°，即 ．
综上可知BG和DE的关系为BG＝DE且 ．
故答案为：BG＝DE且 ；
(2)
①证明：如图，在线段BG上截取BK＝DH，连接CK．
∵四边形ABCD和四边形CEFG都为正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝∠GCE＝90°，CG＝CE，
∴∠BCG＝∠DCE，∴ BCG≌ DCE(SAS)，
∴△∠CBK＝△∠CDH，
∵BK＝DH，BC＝DC，
∴△BCK≌△DCH(SAS)，
∴CK＝CH，∠BCK＝∠DCH，
∴∠BCK+∠KCD＝∠DCH+∠KCD，即∠KCH＝∠BCD＝90°，
∴△KCH是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ；
②如图，当D，G，E三点共线时∠DEC＝45°，连接BD．
由（1）同样的方法可知，BH＝DE，
∵四边形CEFG为正方形
∴CE＝CH＝1，
∴ ．
∵AB＝3，
∴ ，
设DH＝x，则 ，
在Rt△BDH中， ，即 ，
解得： （舍）故此时 ；
如图，当H，E重合时，∠DEC＝45°，连接BD．
设DH＝x，
∵BG＝DH，
∴ ，
在Rt△BDH中， ，即
解得： （舍）
故此时 ；
综上所述，满足条件的DH的值为 或 ．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，
勾股定理等知识，正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键．
