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专题03 有理数及其运算（难点）
一、单选题
1．在 ， ， ， ，0中，负数共有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【分析】根据有理数的乘方，多重符号化简，去绝对值，化简各数，再根据负数的定义，进行判断即可．
【解析】解： ， ， ， ，
∴ ， ， ， ，0中， ， 是负数，共有2个；
故选B．
【点睛】本题考查有理数的分类．熟练掌握有理数的乘方法则，多重符号化简，绝对值的意义，是解题的
关键．
2．下列说法正确的有（ ）
①一个数不是正数就是负数；②海拔 表示比海平面低 ；
③负分数不是有理数；④零是最小的数；
⑤零是整数，也是正数；⑥ 是最大的负数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】利用正数和负数的定义判断即可.
【解析】解：0既不是正数也不是负数，①错误；
海拔 表示比海平面低 ，②正确；
负分数是有理数，③错误；
负数比零小，④错误；
零是整数，不是正数，⑤错误；
是最大的负整数，⑥错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了对有理数有关内容的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，解题的关键是掌握
正数和负数的定义以及注意0的特殊性．
13．如图，把半径为 的圆放到数轴上，圆上一点A与表示1的点重合，圆沿着数轴滚动一周，此时点A
表示的数是（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】根据半径为 的圆从数轴上表示1的点沿着数轴滚动一周到达A点，再由圆的周长公式得出周长
为 ，分两种情况，即可得答案．
【解析】解：由半径为 的圆从数轴上表示1的点沿着数轴滚动一周到达A点，
故滚动一周后A点与1之间的距离是 ，
故当A点在1的左边时表示的数是 ，当A点在1的右边时表示的数是 ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，准确求得数轴上两点间的距离是解决本题的关键．
4．以下的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，若表中给出的是国外四个城市与北京
的时差，则这五个时钟对应的城市从左到右依次是（ ）
城
时差/h
市
纽
﹣13
约
悉
+2
尼
伦
﹣8
敦
罗
﹣7
马
A．纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京 B．罗马、北京、悉尼、伦敦、纽约
2C．伦敦、纽约、北京、罗马、悉尼 D．北京、罗马、伦敦、悉尼、纽约
【答案】A
【分析】根据纽约、悉尼、伦敦、罗马与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可．
【解析】解：由表格，可知悉尼比北京时差为+2，所以北京时间是16点或18点，推理可得北京时间是16
点，
则纽约时间为16﹣13＝3点，悉尼时间16+2＝18点，伦敦时间16﹣8＝8点，罗马时间16﹣7＝9点，
由钟表显示的时间可得对应城市为纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京；
故答案为纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京．
故选：A．
【点睛】本题考查正负数的应用，熟练掌握正负数的意义是解题关键 ．
5．50个连续正奇数的和l+3+5+7+…+99与50个连续正偶数的和：2+4+6+8+…+100，它们的差是（ ）
A．0 B．50 C．﹣50 D．5050
【答案】C
【解析】试题解析：：（1+3+5+7+…+99）-（2+4+6+8+…+100）
=-[（2-1）+（4-3）+（6-5）+（8-7）…+（100-99）]
=-（1+1+1+1+…+1）
=-50．
故选C．
6．如图是测量一个铁球体积的过程：①将300mL的水倒进一个容量为500mL的杯子中；②将四个质量和
体积都相同的球放入水中，结果水没满；③再把一个同样的铁球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，
推测这样一个铁球的体积大约是（ ）
A． 以上 B． 以上， 以下
C． 以上， 以下 D． 以上， 以下
【答案】C
【分析】要求每颗铁球的体积在哪一个范围内，根据题意，先求出5颗铁球的体积最少是多少，5颗铁球
3的体积最少是 ，进而推测这样一颗铁球的体积的范围即可．
【解析】解：因为把5颗铁球放入水中，结果水满溢出，将四个质量和体积都相同的铁球放入水中，结果
水没满；
所以5颗铁球的体积最少是： ，
以4颗铁球的体积最大是不超过200，一颗铁球的体积最少是： ，一颗铁球的体积小于不
超过： ，因此推得这样一颗玻璃球的体积在 以上， 以下．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了探索某些实物体积的测量方法，理解杯子里水上升的体积就是玻璃球的体积是解
答本题的关键．
7．下列结论：①一个数和它的倒数相等，则这个数是±1和0；②若﹣1＜m＜0，则 ；③若a＋
b＜0，且 ，则|a＋2b|＝﹣a﹣2b；④若m是有理数，则|m|＋m是非负数；⑤若c＜0＜a＜b，则（a
﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据倒数的意义，绝对值的化简，绝对值的性质，有理数乘法法则分别计算并判断即可．
【解析】解：∵0没有倒数，∴①错误．
∵﹣1＜m＜0，
∴ ＜0，m2＞0，∴②错误．
∵a+b＜0，且 ，
∴a＜0，b＜0．
∴a+2b＜0，
∴|a+2b|＝﹣a﹣2b．∴③正确．
∵|m|≥﹣m，
∴|m|+m≥0，∴④正确，
4∵c＜0＜a＜b，
∴a﹣b＜0，b﹣c＞0，c﹣a＜0．
∴（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0正确．∴⑤正确．
故选：C．
【点睛】此题考查了有理数的知识，正确掌握倒数的意义，绝对值的化简，绝对值的性质，有理数乘法法
则是解题的关键．
8．计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写出若
干 数的和，依次写出1或0即可．如 为二进制下
的五位数，则十进制 是二进制下的（ ）
A．10位数 B．11位数 C．12位数 D．13位数
【答案】B
【分析】根据题意， ， ，根据规律可知最高位应是 ，故可求共有 位数．
【解析】解：∵ ， ，
∴最高位应是 ，
故共有 位数．
故选B
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，此题只需分析是几位数，所以只需估计最高位是乘以2的几次方
即可分析出共有几位数，此题也可以用除以2取余的方法写出对应的二进制的数．
9．下面是按一定规律排列的一列数：
第1个数： ；
第2个数： ；
第3个数： ；
……第 个数： ；
那么，在第20个数、第21个数、第22个数、第23个数中，最大的数是（ ）
5A．第23个数 B．第22个数 C．第21个数 D．第20个数
【答案】D
【分析】通过计算可以发现，第一个数 ，第二个数为 ，第三个数为 ， ，第n个数为
，由此求得数，通过比较得出答案．
【解析】解：第1个数： ，
第2个数： ，
第3个数：
，
第n个数： ，
所以第20个数，第21个数、第22个数、第23个数分别为 ， ，
， ，其中最大的数为第20个数，
故选：D．
【点睛】此题考查了有理数的计算，规律探索，解题的关键是通过计算发现第n个数的规律为： ．
10．设有理数a、b、c满足 ，且 ，则 的最小值是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
6【分析】根据 可知 ， 异号，再根据 ，以及 ，即可确定 ， ， ， ， ，
在数轴上的位置，而 表示到 ， ， 三点的距离的和，根据
数轴即可确定．
【解析】解：∵ ，
∴a，c异号，
∵ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ 表示到 ， ， 三点的距离的和，
当 在 时距离最小，
即 最小，最小值是 与 之间的距离，即 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值函数的最值问题，解决的关键是根据条件确定 ， ， ， ， ， 之间
的大小关系，把求式子的最值的问题转化为距离的问题，有一定难度．
二、填空题
11．计算：
（﹣1）+2+（﹣3）+4+…+（﹣2017）+2018+（﹣2019）+2020＝ ．
【答案】1010
【分析】根据数的特点，每两个一组进行运算即可．
【解析】解：（﹣1）+2+（﹣3）+4+…+（﹣2017）+2018+（﹣2019）+2020
＝[（﹣1）+2]+[（﹣3）+4]+…+[（﹣2017）+2018]+[（﹣2019）+2020]
＝1+1+…+1
＝1010，
故答案为：1010．
7【点睛】本题考查数字的变化规律，根据所给数的特点，分组进行求解是解题的关键．
12．已知a、m、n均为有理数，且满足|a+m|＝6，|n﹣a|＝3，那么|m+n|的值为 ．
【答案】3或9/9或3
【分析】根据绝对值的意义，求出m＝-a±6，n＝a±3，进而得到m+n＝±6±3，再分情况讨论即可求解．
【解析】解：∵|a+m|＝6，|n﹣a|＝3，
∴a+m＝±6，n-a＝±3，
∴m＝-a±6，n＝a±3，
∴m+n＝±6±3，
∴① ，
② ；
③ ，
④ ，
故答案为：3或9．
【点睛】本题主要考查了绝对值的相关知识，掌握绝对值的意义是解答本题的基础，解答本题需要注意分
类讨论的思想以及整体代入的思想．
13．已知数轴上有A和B两点，它们之间的距离为1，点A和原点的距离为2，那么所有满足条件的点B
对应的数有 ．
【答案】1、3、 、
【分析】设点B对应的数为 ，根据点A与原点O的距离为2，得到点A表示的数为 ，当点A表示的数
为-2时，根据数轴上A，B两点之间的距离为1，得到 ，推出 ，解得x=-3，或x=-1，当点
A表示的数为2时，得到 ，推出 ，解得x=3，或x=1．
【解析】解：设点B对应的数为 ，
∵数轴上A，B两点之间的距离为1，点A与原点O的距离为2，
∴点A表示的数为
当点A表示的数为-2时， ，
8∴ ，
∴x=-3，或x=-1，
当点A表示的数为2时，
，
∴ ，
∴x=3，或x=1，
综上点B对应的数为：1、3、 、 ．
故答案为：1、3、 、 ．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，解决问题的关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式，绝对值
的化简．
14．如图，一个由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，每个小正方体的6个面上都分别写有数字 ，
2，3， ，5， ，则所有看不见的面上的数字之和是 ．
【答案】
【分析】一个正方体的数字之和是−1，4个正方体的数字之和是−1×4＝−4，然后用4个正方体的数字之和
减去可以看见的数字就是看不见的面上的数字之和．
【解析】解：4个小正方体的数字总和为（−1＋2＋3−4＋5−6）×4＝−4，
图中看得见的数字之和为−1＋2＋5−6＋3＋5＋2−6＋3＝7，
所以所有看不见的面上的数字之和为：−4−7＝−11，
故答案为：－11．
【点睛】本题考查了有理数加减运算的实际应用，理解4个正方体的数字之和减去可以看见的数字就是看
9不见的面上的数字之和是解题的关键．
15．请你在心里任意想一个两位数，然后把这个数的十位数字与个位数字相加，再用原来的两位数减去它
们的和，会得到一个新数，然后重复上面的过程，把新的两位数的十位数字与个位数字再相加，用新的两
位数减去这个和，一直这样重复下去，直到所得的数不再是两位数为止，则最终你得到的数字是 ．
【答案】9
【分析】可任意选几个两位数，根据题意进行操作，从而可得出结果．
【解析】解：当心里想的一个两位数是12时，则：12-(1+2)=9，
当心里想的一个两位数是21时，则：21-(2+1)=18，18-(1+8)=9，
当心里想的一个两位数是35时，则：35-(3+5)=27，27-(2+7)=18，18-(1+8)=9，
……
故最终得到的数是：9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是理解清楚题意，多列几个数进行求证．
16．“转化”是一种解决问题的常用策略，有时画图可以帮助我们找到转化的方法．例如借助图①，可以
把算式1＋3＋5＋7＋9＋11转化为62＝36，请你观察图②，可以把算式 转化
为 ．
【答案】
【分析】根据图形观察发现，把正方形看作单位“1”，即算式可以转化成 ，再求出答案即可．
【解析】解：把正方形看作单位“1”，由图可得，
，
10故答案为： ．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算和数据分析能力，同时还考查了数据的推理能力．
17．若 ， 的最大值和最小值的差 ．
【答案】11
【分析】根据 ，而 ，求出 ，
分别计算x+y的最大值和最小值，即可得到答案．
【解析】解：∵ ，
∴ ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
∴当x=2，y=5时，x+y有最大值2+5=7，
当x=-4，y=0时，x+y有最小值-4+0=-4，
∴x+y的最大值和最小值的差为7-（-4）=11，
故答案为：11．
【点睛】此题考查了绝对值最值问题，根据式子讨论得到字母的取值范围进行计算是解题的关键．
18．对于有理数 ， ， ，若 ，则称 是 关于 的“相关数”，例如， ，
则3是2关于2的“相关数”．若 是 关于1的“相关数”， 是 关于2的“相关数”，…， 是
关于4的“相关数”．则 ．（用含 的式子表示）
【答案】9﹣3|x﹣1|
【分析】先读懂“相关数”的定义，列出对应等式，再根据等式分析各个数的取值范围，去绝对值，进而
求出结果．
【解析】解：依题意有：|x﹣1|+|x﹣1|＝1，①
1
11|x﹣2|+|x﹣2|＝1，②
2 1
|x﹣3|+|x﹣3|＝1，③
3 2
|x﹣4|+|x﹣4|＝1，④
4 3
由①可知0≤x，x≤2，若否，则①不成立，
1
由②可知1≤x，x≤3，若否，则②不成立，
1 2
同理可知2≤x，x≤4，3≤x，x≤5，
2 3 3 4
∴x﹣1+|x﹣1|＝1，⑤
1
x﹣2+2﹣x＝1，⑥
2 1
x﹣3+3﹣x＝1，⑦
3 2
3×⑤+2×⑥+⑦，得x+x+x﹣3+3|x﹣1|＝6，
1 2 3
∴x+x+x＝9﹣3|x﹣1|．
1 2 3
故答案为：9﹣3|x﹣1|．
【点睛】本题考查绝对值和新定义问题．解题的关键在于读懂题意，列出等式，根据等式判断出五个数的
取值范围，进而去绝对值符号，最后得出结果．注意可以取特殊值，如x＝1或x＝2，来验证计算的结果
是否正确．
三、解答题
19．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
12(3)
(4)
【分析】（1）先算同分母分数，再计算加减法；
（2）先算乘法，再去括号，再算同分母分数，再计算加减法；
（3）先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算；
（4）根据乘法分配律简便计算．
【解析】（1）解：
原式＝
＝
＝
＝
（2）解：
原式＝
＝
＝
＝
＝
（3）解：
原式＝
13＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
（4）解：
原式＝
＝
＝
＝
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级
运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注
意各个运算律的运用，简化运算过程．
20．（1）计算： ；
（2）计算： ；
（3）计算： ．
【答案】（1）1；（2）1；（3）
14【分析】（1）根据同分母的分数相加，分母不变分子相加得出结论；
（2）利用（1）中规律相加即可；
（3）根据（1）规律加 ，再减 ，然后作和即可．
【解析】解：（1）
；
（2）
……
；
（3）
……
15．
【点睛】本题考查数字变化类，关键是找到式子中的规律进行求和．
21．观察下列解题过程：
计算： 的值
解：设 ①，
则 ②，
由②－①，得 .即原式
通过阅读，你一定学会了这种解决问题的方法，请你用学到的方法计算：
【答案】
【分析】利用所给的解答方式进行求解即可．
【解析】解：设 ①，
则 ②，
由② ①，得 ．
∴ ，
即原式 ．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律和有理数的乘方，解答的关键是理解清楚题目所给的解答方式并灵
活运用．
22．探索研究：
（1）比较下列各式的大小（用“<”“>”或“=”连接）
① _________ ；
② _______ ；
16③ ________ ．
（2）通过以上比较，请你归纳出当a，b为有理数时 与 的大小关系．（直接写出结果）
（3）根据（2）中得出的结论，当 时，x的取值范围是________．若
， ，则 ________．
【答案】（1）①>；②=；③>；（2） ；（3） ，10或 或5或
【分析】（1）根据有理数绝对值的化简方法分别化简、计算后进行比较即可；
（2）根据（1）的规律即可得到答案；
（3）根据（2）的规律即可得到答案.
【解析】（1）①因为 ，
所以 .
②因为 ，
所以 .
③因为 ，
所以 .
故答案为>，=，>；
（2）当a，b异号时， ，
当a，b同号时， ，
所以 ；
（3）由（2）中得出的结论可知，x与 同号，
所以x的取值范围是 .
因为 ，
17所以 与 异号，
则 或 或5或 ，
故答案为 ，10或 或5或 .
【点睛】此题考查了有理数绝对值的化简：正数的绝对值等于它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值等
于它的相反数，以及绝对值的化简方法的应用.
23．在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），
将线段 与线段 的长度之比定义为点P的特征值，记作 ．即 ．例如：当点P是线段 的中
点时，因为 ，所以 ．
（1）如图，点 ， ， 为数轴上三个点，点 表示的数是 ，点 与 关于原点对称．
① ______；
②比较 ， ， 的大小______（用“<”连接）；
（2）数轴上的点M满足 ，求 ；
（3）数轴上的点P表示有理数p，已知 且 为整数，则所有满足条件的p的倒数之和为______．
【答案】（1）① ；② ＜ ＜ ；（2） 或 ；（3）198．
【分析】（1）①先确定 的表示的数，然后根据题意求出 即可；②先确定 的表示的数根据题意求出
、 ，然后比较即可；
18（2）先由 确定M所表示的数，然后根据题意求出 即可；
（3）根据题意可得PO＞PA且PO为PA的整数倍，然后分别求出所有P所表示的数，最后求和即可．
【解析】解：（1）①∵点 表示的数是 ，点 与 关于原点对称．
∴ 表示的数是 ；
∴
故答案是 ；
②∵ 表示的数大约是
∴ ，
∴ ＜ ＜
故答案是 ＜ ＜ ；
（2）∵
∴M表示的数是 或-
∴ 或 ；
（3）∵P表示有理数， ＜100且为整数
∴PO＞PA且PO为PA的整数倍
由题意可得，当P为OA中点时，则 =1，此时为最小正整数且P表示 ；
19当 =2，即PO=2PA,此时P表示 或2；
当 =3，即PO=3PA,此时P表示 或 ；
…
当 =99，即PO=3PA,此时P表示 或 ；
∴所有满足条件的p的倒数之和为：
=
=2+98×2
=198．
故答案是198．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离以及有理数的混合运算等知识点，理解题意、确定各点所表
示的数成为解答本题的关键．
24．阅读材料，解决问题：由 ， ， ， ， ， ， ，
，．．．．．．不难发现3的正整数幂的个位数字以3、9、7、1为一个周期循环出现，由此可
以得到：因为 ，所以 个位数字与 的个位数字相同，应为1；因为 ，所以 的
个位数字与 的个位数字相同，应为3．
（1）请你仿照材料，分析求出 的个位数字及 的个位数字；
（2）请探索出 的个位数字；
（3）请直接写出 的个位数字．
【答案】（1）2；（2）3；（3）1；
【分析】（1）仿照材料内容，得到规律，7的正整数幂的个位数字以7、9、3、1为一个周期循环出现，8
的正整数幂的个位数字以8、4、2、6为一个周期循环出现，由此可以得出；
（2）仿照材料内容，得到规律，发现2的正整数次幂的个位数字以2、4、8、6为一个周期循环出现，即
20可求得；
（3）仿照材料内容，82018个位数字是4，22018的个位数字是4，32018的个位数字是9，即可求得；
【解析】解：（1）由于71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807…
发现7的正整数幂的个位数字以7、9、3、1为一个周期循环出现，由此可以得出：
∵799＝74×24+3
∴799的个位数字与73的个位数字相同，应为3
由于81＝8，82＝64，83＝512，84＝4096，85＝32768…发现8的正整数幂的个位数字以8、4、2、6为一个
周期循环出现，由此可以得出：
∵899＝84×24+3
∴899的个位数字与83的个位数字相同，应为2
（2）由于2¹=2，2²=4，2³=8，24=16，25=32…，发现2的正整数次幂的个位数字以2、4、8、6为一个周期
循环出现，由此可知22019=2504×4+3与2³的个位数子相同，22019的个位数字是8 , 根据（1）可知72019的个位数
字是3, 82019的个位数字是2
∴22019＋72019＋82019的个位数字是3；
(3) 据前面的分析可知82018=8504×4+2与82的个位数字相同，82018个位数字是4；
22018=2504×4+2与22的个位数字相同，22018的个位数字是4；
32018=3504×4+2与22的个位数字相同，32018的个位数字是9；
∴ 82018－22018－32018的个位数字是14-4-9==1．
【点睛】本题为仿照材料找规律的题目，主要考查了理解和观察能力．
25．一般地，n个相同的因数．相乘a×a×a……a×a记作an，如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底的8的
“劳格数”记为L(8)，则L(8)=3，一般地，若an=b(a＞0且a≠1)，则n叫做以a为底的b的“劳格数”，
2 2
记为L(b)=n，如34=81，则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为L(81)=4．
a 3
（1）下列各“劳格数”的值：L（4）=______，L(16)=______，L(64)=______．
2 2 2
（2）观察（1）中的数据易4×16=64此时L（4），L(16)，L(64)满足关系式________．
2 2 2
（3）由（2）的结果，你能归纳出一般性的结果吗？L(M)+L(N)=______．(a＞0且a≠1，M＞0，N＞0)．
a a
（4）据上述结论解决下列问：已知，L（3）=0.5，求L(9)的值和L(81)的值．（a＞0且a≠1）
a a a
【答案】（1） ；（2）L（4）+L(16)=L(64)；（3） ；（4）
2 2 2
【分析】（1）根据定义写出各“劳格数”的值；
（2）由（1）的结论直接得出结果；
（3）根据定义归纳出一般性的结果；
21（4）根据（3）的结论进行计算即可．
【解析】（1）
L（4）=2，L(16)=4，L(64)=6
2 2 2
故答案为：
（2）
L（4）+L(16)=L(64)
2 2 2
故答案为：L（4）+L(16)=L(64)
2 2 2
（3）设
则
即La(M)+La(N)= La(M N)
故答案为：
（4） La（3）=0.5
【点睛】本题考查了有理数乘方的概念，新定义概念，理解题意是解题的关键．
26．阅读下列两则材料：
材料1：君君同学在研究数学问题时遇到一个定义：对于按固定顺序排列的k个数：x，x，x，……，
1 2 3
xk，称为数列Ak：x，x，x，……，xk，其中k为整数且k≥3．定义：V（Ak）＝|x﹣x|+|x﹣x|+……+|xk
1 2 3 1 2 2 3
﹣xk|．例如数列A：1，2，3，4，5，则V（A）＝|1﹣2|+|2﹣3|+|3﹣4|+|4﹣5|＝4．
﹣1 5 5
材料2：有理数a，b在数轴上对应的两点A，B之间的距离是|a﹣b|；反之，|a﹣b|表示有理数a，b在数
轴上对应点A，B之间的距离，我们称之为绝对值的几何意义．君君同学在解方程|x﹣1|+|x+2|＝5时，利
用绝对值的几何意义分析得到，该方程的左式表示在数轴上x对应点到1和-2对应点的距离之和，而
22当-2≤x≤1时，取到它的最小值3，即为1和-2对应点之间的距离．由方程右式的值为5可知，满足方程的x
对应点在1的右边或一2的左边，若x的对应点在1的右边，利用数轴分析可以得到x=2；同理，若x的对
应点在-2的左边，可得x＝﹣3；故原方程的解是x＝2或x＝﹣3．
根据以上材料，回答下列问题：
(1)已知数列A：x，x，x，x，其中x，x，x，x 为4个整数，且x＝3，x＝5，V（A）＝4，请直接写
4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 4 4
出一种可能的数列A．
4
(2)已知数列A：3，a，3，a+1，若V（A）＝3，则a的值为 ．
4 4
(3)已知数列A：x，x，x，x，x，5个数均为非负整数，且x+x+x+x+x＝a（a≥1），求V（A）的最小
5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5
值．
【答案】(1) ， （答案不唯一）
(2)
(3)0
【分析】（1）根据材料1列出算式，再根据绝对值的意义可求解，答案不唯一．
（2）根据材料1列出算式，再分类讨论，再根据绝对值的意义可求解．
（3）因为x，x，x，x，x，5个数均为非负整数，所以 >| |， >| |， >| |，
1 2 3 4 5
>| |， >0，然后列出不等式可求解．
【解析】（1）解：V（A）=| |+| |+| |=4，
4
∴| |+| |+| |=4，
当 ， ，V（A）=| |+| |+| |=4
4
（2）解：| |+| |+| |=3，
即| |+| |+| |=3
①2≤a<3时，| |+| |+| |=3，
所以 ，
解得以a=1，但不符合题意，舍去．
23②a≤2时，| |+| |+| |=3
所以 ，
解得以 ，符合题意．
③a>3时，| |+| |+| |=3
所以， ，
解得以 ，符合题意．
综上所述， 或 ．
（3）解：∵x，x，x，x，x，5个数均为非负整数
1 2 3 4 5
∴ >| |， >| |， >| |， >| |， >0，
∴0≤| |+| |+| |+| |≤
∴0≤V（A）≤a
5
∴V（A）的最小值为0．
5
【点睛】本题是一道综合题，正确理解题意、熟练掌握去绝对值的方法是解决本题的关键．
24
