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专题03 有理数及其运算（难点）
一、单选题
1．在 ， ， ， ，0中，负数共有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
2．下列说法正确的有（ ）
①一个数不是正数就是负数；②海拔 表示比海平面低 ；
③负分数不是有理数；④零是最小的数；
⑤零是整数，也是正数；⑥ 是最大的负数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，把半径为 的圆放到数轴上，圆上一点A与表示1的点重合，圆沿着数轴滚动一周，此时点A
表示的数是（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
4．以下的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，若表中给出的是国外四个城市与北京
的时差，则这五个时钟对应的城市从左到右依次是（ ）
城
时差/h
市
纽
﹣13
约
悉
+2
尼
伦
﹣8
敦
1罗
﹣7
马
A．纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京 B．罗马、北京、悉尼、伦敦、纽约
C．伦敦、纽约、北京、罗马、悉尼 D．北京、罗马、伦敦、悉尼、纽约
5．50个连续正奇数的和l+3+5+7+…+99与50个连续正偶数的和：2+4+6+8+…+100，它们的差是（ ）
A．0 B．50 C．﹣50 D．5050
6．如图是测量一个铁球体积的过程：①将300mL的水倒进一个容量为500mL的杯子中；②将四个质量和
体积都相同的球放入水中，结果水没满；③再把一个同样的铁球放入水中，结果水满溢出．根据以上过程，
推测这样一个铁球的体积大约是（ ）
A． 以上 B． 以上， 以下
C． 以上， 以下 D． 以上， 以下
7．下列结论：①一个数和它的倒数相等，则这个数是±1和0；②若﹣1＜m＜0，则 ；③若a＋
b＜0，且 ，则|a＋2b|＝﹣a﹣2b；④若m是有理数，则|m|＋m是非负数；⑤若c＜0＜a＜b，则（a
﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制，只需把该数写出若
干 数的和，依次写出1或0即可．如 为二进制下
的五位数，则十进制 是二进制下的（ ）
A．10位数 B．11位数 C．12位数 D．13位数
9．下面是按一定规律排列的一列数：
2第1个数： ；
第2个数： ；
第3个数： ；
……第 个数： ；
那么，在第20个数、第21个数、第22个数、第23个数中，最大的数是（ ）
A．第23个数 B．第22个数 C．第21个数 D．第20个数
10．设有理数a、b、c满足 ，且 ，则 的最小值是（
）
A． B． C． D．
二、填空题
11．计算：
（﹣1）+2+（﹣3）+4+…+（﹣2017）+2018+（﹣2019）+2020＝ ．
12．已知a、m、n均为有理数，且满足|a+m|＝6，|n﹣a|＝3，那么|m+n|的值为 ．
13．已知数轴上有A和B两点，它们之间的距离为1，点A和原点的距离为2，那么所有满足条件的点B
对应的数有 ．
14．如图，一个由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，每个小正方体的6个面上都分别写有数字 ，
2，3， ，5， ，则所有看不见的面上的数字之和是 ．
315．请你在心里任意想一个两位数，然后把这个数的十位数字与个位数字相加，再用原来的两位数减去它
们的和，会得到一个新数，然后重复上面的过程，把新的两位数的十位数字与个位数字再相加，用新的两
位数减去这个和，一直这样重复下去，直到所得的数不再是两位数为止，则最终你得到的数字是 ．
16．“转化”是一种解决问题的常用策略，有时画图可以帮助我们找到转化的方法．例如借助图①，可以
把算式1＋3＋5＋7＋9＋11转化为62＝36，请你观察图②，可以把算式 转化
为 ．
17．若 ， 的最大值和最小值的差 ．
18．对于有理数 ， ， ，若 ，则称 是 关于 的“相关数”，例如， ，
则3是2关于2的“相关数”．若 是 关于1的“相关数”， 是 关于2的“相关数”，…， 是
4关于4的“相关数”．则 ．（用含 的式子表示）
三、解答题
19．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
20．（1）计算： ；
（2）计算： ；
（3）计算： ．
21．观察下列解题过程：
计算： 的值
解：设 ①，
则 ②，
由②－①，得 .即原式
通过阅读，你一定学会了这种解决问题的方法，请你用学到的方法计算：
22．探索研究：
（1）比较下列各式的大小（用“<”“>”或“=”连接）
① _________ ；
5② _______ ；
③ ________ ．
（2）通过以上比较，请你归纳出当a，b为有理数时 与 的大小关系．（直接写出结果）
（3）根据（2）中得出的结论，当 时，x的取值范围是________．若
， ，则 ________．
23．在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），
将线段 与线段 的长度之比定义为点P的特征值，记作 ．即 ．例如：当点P是线段 的中
点时，因为 ，所以 ．
（1）如图，点 ， ， 为数轴上三个点，点 表示的数是 ，点 与 关于原点对称．
① ______；
②比较 ， ， 的大小______（用“<”连接）；
（2）数轴上的点M满足 ，求 ；
（3）数轴上的点P表示有理数p，已知 且 为整数，则所有满足条件的p的倒数之和为______．
24．阅读材料，解决问题：由 ， ， ， ， ， ， ，
6，．．．．．．不难发现3的正整数幂的个位数字以3、9、7、1为一个周期循环出现，由此可
以得到：因为 ，所以 个位数字与 的个位数字相同，应为1；因为 ，所以 的
个位数字与 的个位数字相同，应为3．
（1）请你仿照材料，分析求出 的个位数字及 的个位数字；
（2）请探索出 的个位数字；
（3）请直接写出 的个位数字．
25．一般地，n个相同的因数．相乘a×a×a……a×a记作an，如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底的8的
“劳格数”记为L(8)，则L(8)=3，一般地，若an=b(a＞0且a≠1)，则n叫做以a为底的b的“劳格数”，
2 2
记为L(b)=n，如34=81，则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为L(81)=4．
a 3
（1）下列各“劳格数”的值：L（4）=______，L(16)=______，L(64)=______．
2 2 2
（2）观察（1）中的数据易4×16=64此时L（4），L(16)，L(64)满足关系式________．
2 2 2
（3）由（2）的结果，你能归纳出一般性的结果吗？L(M)+L(N)=______．(a＞0且a≠1，M＞0，N＞0)．
a a
（4）据上述结论解决下列问：已知，L（3）=0.5，求L(9)的值和L(81)的值．（a＞0且a≠1）
a a a
26．阅读下列两则材料：
材料1：君君同学在研究数学问题时遇到一个定义：对于按固定顺序排列的k个数：x，x，x，……，
1 2 3
xk，称为数列Ak：x，x，x，……，xk，其中k为整数且k≥3．定义：V（Ak）＝|x﹣x|+|x﹣x|+……+|xk
1 2 3 1 2 2 3
﹣xk|．例如数列A：1，2，3，4，5，则V（A）＝|1﹣2|+|2﹣3|+|3﹣4|+|4﹣5|＝4．
﹣1 5 5
材料2：有理数a，b在数轴上对应的两点A，B之间的距离是|a﹣b|；反之，|a﹣b|表示有理数a，b在数
轴上对应点A，B之间的距离，我们称之为绝对值的几何意义．君君同学在解方程|x﹣1|+|x+2|＝5时，利
用绝对值的几何意义分析得到，该方程的左式表示在数轴上x对应点到1和-2对应点的距离之和，而
当-2≤x≤1时，取到它的最小值3，即为1和-2对应点之间的距离．由方程右式的值为5可知，满足方程的x
对应点在1的右边或一2的左边，若x的对应点在1的右边，利用数轴分析可以得到x=2；同理，若x的对
应点在-2的左边，可得x＝﹣3；故原方程的解是x＝2或x＝﹣3．
根据以上材料，回答下列问题：
(1)已知数列A：x，x，x，x，其中x，x，x，x 为4个整数，且x＝3，x＝5，V（A）＝4，请直接写
4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 4 4
出一种可能的数列A．
4
(2)已知数列A：3，a，3，a+1，若V（A）＝3，则a的值为 ．
4 4
(3)已知数列A：x，x，x，x，x，5个数均为非负整数，且x+x+x+x+x＝a（a≥1），求V（A）的最小
5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5
7值．
8
