文档内容
专题 03 整式的化简求值的四种方法
题型 01 化繁为简再求值
【典例分析】
【例1-1】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）先化简，再求值： ，其
中 ， ．
【答案】 ，
【分析】此题主要考查了整式的加减，直接利用整式的加减运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．
【详解】原式
当 ，
原式 ．【例1-2】（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）先化简，再求值： ．其中
．
【答案】 ，
【分析】此题考查了整式的化简求值．根据整式的加减运算进行化简然后代入求解即可．
【详解】解：
，
当 时，原式
【例 1-3】（23-24 七年级上·吉林白山·阶段练习）先化简，再求值： ，其中
．
【答案】 ，36
【分析】
本题考查整式的化简求值．
运用去括号与合并同类项法则对整式进行化简，最后代入求值即可．
【详解】
，
当 ， 时，
原式
【变式演练】
【变式1-1】（22-23七年级上·江苏南通·期末）先化简，再求值： ，其中
， ．
【答案】 ，1【分析】本题考查整式的加减与化简求值；根据整式的运算法则化简，再代入求值即可求出答案．
【详解】解：
；
当 ， 时，原式
【变式1-2】（23-24七年级上·宁夏银川·阶段练习）先化简，再求值： ，其中
， ．
【答案】 ，
【分析】本题主要考查了整式的加减运算，及其求值，解题的关键是熟练掌握整式加减运算法则，准确进
行计算．先去括，然后再合并同类项，最后将 ， 代入计算即可．
【详解】解：
，
当 ， 时，原式
【变式1-3】（24-25七年级上·全国·假期作业）先化简，再求值： ，其中 ，
．
【答案】 ；14
【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
将原式去括号，合并同类项后代入数值计算即可．
【详解】解：原式
；
当 ， 时，
原式题型 02 整体代入求值
【典例分析】
【例2-1】（23-24七年级上·湖南岳阳·期中）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：若
，则 ；我们将 作为一个整体代入，则原式 ．咱仿照
上面的解题方法，完成下面的问题：
(1)若 ，求 的值：
(2)若 ， ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了整式加减化简求值：
（1）把 化为 的形式，然后整体代入计算；
（2） 得 ，再把 化为 的形式，最后整体代入计算；
掌握整式的加减的计算法则，理解题意根据题目要求用整体思想解题是关键．
【详解】（1）解： ，
因为 ，
所以 ，
所以 ；
（2）解：依题意， ，
故 得 ，
那么 ，
所以
【例2-2】（23-24七年级上·湖北孝感·期末）先化简，再整体代入求值： ，
其中 ， ．
【答案】 ；【分析】本题考查的是整式的加减混合运算，化简求值，先去括号，再合并同类项，最后把 ，
整体代入计算即可．
【详解】解：
；
∵ ， ，
∴
【例2-3】（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法，例如：
若 ，则 ；
我们将 作为一个整体代入，则原式 ．
仿照上面的解题方法，完成下面的问题：
(1)若 ，则 ；
(2)如果 ，求 的值；
(3)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)15
(3)36
【分析】本题主要考查了整式的加减—化简求值，正确运用整体思想是解答的关键．
（1）由 可得 ，然后将 作为一个整体代入计算即可；
（2）将所求代数式化为 ，将 作为一个整体代入计算即可．（3）先将所求代数式化为 ，然后将 代入计算即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
（2）解：
∵ ，
∴ ．
（3）解：∵ ，
∴
【变式演练】
【变式2-1】（23-24七年级上·河北邢台·阶段练习）【阅读理解】已知代数式 的值是8，求代数
式 的值解决的方法如下所示：根据题意得 ，则 ，
，所以代数式 的值为7．
【知识总结】观察已知条件和需要求解的代数式，将已知条件合理变形或者将所求的代数式合理变形，整
体代入，可以使复杂问题简单化
【方法运用】
(1)已知 的值是6，则 ___________．
(2)当 时，代数式 的值为8，当 时，求代数式 的值，
(3)若 ，求代数式 的值．【答案】(1)11
(2)2
(3)
【分析】本题主要考查求代数式的值，整式的化简求值，
（1）根据整体代入法求解即可；
（2）根据题意代入得出 ，然后将 代入化简，整体代入求解即可；
（3）先将代数式化简，然后再整体代入求解即可；
将代数式化简，整体代入是解题关键．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：11；
（2）当 时，代数式 的值为8，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
当 时， ．
（3）
．
∵ ，
∴原式
．
【变式2-2】（23-24七年级上·吉林长春·期末）【教材呈现】下图是华师版七年级上册数学教材第117页
的部分内容．【阅读理解】
小明通过观察发现：
前后两个多项式中，含x次数相同项的系数存在相同的倍数关系．
思考：只需求得 的值即可求得 的值，进而解决问题．
于是他在做作业时采用了如下方法：
由题意，得 ，则有 ．
．
所以代数式 的值为5．
【方法学习】
这种方法叫整体代入法，是我们在整式求值时常用到的一种方法，即题目已知条件告诉我们的不是单个未
知数的值，而是一个或者几个式子的值，让我们根据条件去求其它代数式的值．这个时候，我们要将问题
中的式子转化成含有已知式子的形式，然后整体将已知条件代入求值．
【方法运用】
（1）若代数式 的值为5，求代数式 的值．
（2）当 时，代数式 的值为9．当 时，求代数式 的值．
【方法拓展】
（3）若 ，则代数式 的值为 ．
【答案】（1）9；（2） ；（3）28
【分析】本题考查整式的加减和代数式求值，解题的关键是掌握整式是加减法则和整体思想的应用；
（1）利用题干给定的方法，利用整体思想代入求值即可；
（2）利用题干给定的方法，利用整体思想代入求值即可；
（3）把 变为 ，根据整体思想代入求值即可；【详解】解：（1） ，
，
；
（2）当 时， ，
，
∴当 时， ；
（3） ，
．
故答案为：28
【变式2-3】（23-24七年级上·湖南长沙·期中）有这样一道题“如果代数式 的值为 ，那么代数式
的值是多少？”，爱动脑筋的汤同学解题过程如下：
原式 ．
汤同学把 作为一个整体求解．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，请仿照上面的解题
方法，完成下面的问题：
【简单应用】
(1)已知 ，则 ．
(2)已知 ，求 的值；
【拓展提高】
(3)已知 ， ，求代数式 的值．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】（1）利用整体代入的思想代入计算即可；
（ ）首先把整式去括号，合并同类项进行化简，然后利用整体思想代入计算即可；（ ）首先把代数式进行变形，然后再代入计算即可．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴原式 ，
，
，
，
，
；
（3）∵ ，
原式 ，
，
，
，
．
【点睛】此题考查了整式的加减——化简求值，掌握去括号，合并同类项的运算法则，利用整体代入的思
想是解题的关键
题型 03 整体加减求值
【典例分析】
【例3-1】（23-24七年级上·湖南衡阳·期中）已知代数式 ，
(1)求 ；
(2)当 ， 时，求 的值．【答案】(1) ；
(2)17．
【分析】本题考查整式的化简求值，正确运用运算法则是解题的关键．
（1）先把式子代入再化简即可；
（2）代入计算即可．
【详解】（1）解： ，
（2）解：当 ， 时，
【例3-2】（23-24七年级上·四川眉山·期中）已知 ，
(1)若 ，求 的值
(2)若 的值与a的取值无关，求b的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的加减运算，熟知运算法则是解本题的关键．
（1）根据整式的加减运算法则计算即可；
（2）根据整式的加减运算法则计算出 的值，然后根据 的值与 a 的取值无关，即可得出答案．
【详解】（1）∵
∴原式 ；
（2）
∵ 的值与a的取值无关，
∴
∴ ．
【例3-3】（23-24七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知多项式A，B，其中 ，马小虎同学
在计算“ ”时，误将“ ”看成了“ ”，求得的结果为 ．
(1)求多项式A；
(2)当 时，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型．
（1）根据 可求出A；
（2）先化简，再求值．
【详解】（1）解：∵ ，
∴
．（2）解：
，
当 时， ．
【变式演练】
【变式3-1】（23-24七年级上·浙江金华·期末）已知 ，
(1)当 时，求 的值．
(2)若 的值与a的取值无关，求b的值．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】本题考查了整式的加减−化简求值，掌握整式的加减−化简方法是解题的关键．
（1）先去括号合并同类项，再代值计算即可解答；
（2）根据已知可得含a项的系数为0，然后进行计算即可解答．
【详解】（1）解：∵
∴
把 代入 ，
得 ；
（2）解：∵
∵ 的值与a的值无关，
∴
∴ ．
【变式3-2】（23-24七年级上·天津红桥·期末）已知：
(1)求 ；
(2)当 时，求 的值．【答案】(1)
(2)28
【分析】本题考查整式加减中的化简求值．掌握整式加减的运算法则，正确的计算，是解题的关键．
（1）根据整式加减的运算法则，进行计算即可；
（2）将 代入（1）中的结果，求值即可．
【详解】（1）解：
；
（2）当 时，原式
【变式3-3】（23-24七年级上·广西南宁·期中）已知 ， ，求：
(1) ；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)18
【分析】本题考查整式的加减 化简求值、非负数的性质：绝对值、偶次方，熟练掌握运算法则是解答本
题的关键．
（1）先去括号，再合并同类项即可．
（2）根据非负数的性质可得 ， ，即 ， ，将 ， 的值代入 即可．
【详解】（1）
．
（2） ，
， ，
解得 ， ，
当 ， 时， ，的值为18
题型 04 整式的化简求值与数轴、绝对值的综合
【典例分析】
【例4-1】（23-24七年级上·河南周口·期中）小明在写作业时，不慎将一滴墨水滴在了卷子上，遮住了数
轴上 和2之间的数据，如图：
若遮住的最大整数是x，最小整数是y，根据图中信息，先化简下列多项式然后求值：
．
【答案】 ，
【分析】本题考查整式的加减，熟练掌握整式的加减法运算法则，并能准确计算是解题的关键． 和2
之间的整数有 ，0，1，则可求 、 的值，再化简代数后将 、 代入即可．
【详解】解： 是 和2之间的最大整数，
，
是 和2之间的最小整数，
，
【例4-2】（23-24七年级上·山东德州·期中）已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为
A、B、C，(1)在数轴上表示2的点与表示5的点之间的距离为 ；在数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离为 ；
由此可得点A、B之间的距离为 ．
(2)化简： ；
(3)若 ， 的倒数是它本身，a的绝对值的相反数是 ，求 的值．
【答案】(1)3，2，
(2)
(3)
【分析】（1）根据两点间距离公式可得；
（2）结合数轴根据绝对值性质去绝对值符号，再合并即可得；
（3）根据a、b、c在数轴上的位置，结合题目条件得出 ， ， ，再将其代入化简后的代数
式即可．
本题主要考查数轴、绝对值性质、整式的化简求值，根据数轴和题目条件判断出a、b、c的大小关系和数
值是解题的关键．
【详解】（1）解： ，所以表示2的点与表示5的点之间的距离为 ；
，所以表示 的点与表示 的点之间的距离为 ；
所以，点A、B之间的距离为 ；
故答案为：3，2， ；
（2）解：由数轴可知， ， ， ， ，
；
（3）解： ， 的倒数是它本身， 的绝对值的相反数是 ，
， ， ，【例4-3】（23-24七年级上·重庆黔江·期末）小明同学在写作业时，不小心将一滴墨水滴在卷子上，遮住
了数轴 和 之间的数据（如图），设遮住的最大整数是a，最小整数是b．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的值．
【答案】(1)13
(2) ，
【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，整式的加减化简求值，熟练掌握整式的加减化简求值是解
答本题的关键．
（1）在数轴上找出在 和 之间的数中的最大整数和最小整数，即为a，b的值，再代入 计算
即得答案；
（2）先化简代数式的值，然后利用a，b的值求出m，n的值，再代入化简后的代数式计算即得答案．
【详解】（1）在 和 之间的数中，
最大的整数是2，则 ，
最小的整数是 ，则 ，
；
（2）原式
，
，，
原式
【变式演练】
【变式4-1】（22-23七年级上·四川宜宾·期末）在数轴上，点 分别表示数 ，则点 之间的距离
为线段 的长，即 ．
(1)如图，点 在以点 为原点的数轴上，点 表示的数为 ，点 在原点左侧，且 ，求点
表示的数；
(2)在（1）的条件下，设 ， ，求代数式 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据点 表示的数为 ，可知 的长，根据 ，可求出 的长，根据两点之间的
距离的计算方法，即可求解；
（2）先化简代数式，再将 ， 的代入，即可求解．
【详解】（1）解：∵点 为原点，点 表示的数为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
根据两点之间的距离计算方法，设点 对应的数字为 ，且点 在原点的左边，
∴ ，解得， ， （舍去）
∴点 表示的数是 ．（2）解：
，
∵ ， ，
∴原始 ．
【点睛】本题主要考查数轴的知识，掌握数轴上两点之间距离的计算方法，代数式的化简求值计算方法是
解题的关键
【变式4-2】（23-24七年级上·四川宜宾·阶段练习）如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有三个点
A、B、C，且 .
(1)若点B为原点，设点A、C所对应数为x，y，若 ，则点A对应的数x为________，点C对应的数
y为________；
(2)在（1）的条件下，求： 的值.
【答案】(1) ，1
(2)10
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，整式的加减中的化简求值：
（1）先根据点在数轴上的位置判断出来正负，然后根据边长之间的关系得到有关 的二元一次方程组，
求解即可；
（2）先将式子化简，然后根据（1）得到的结果代入即可．
【详解】（1）解：∵点B为原点，点A在点B左侧，点C在点B右侧，点A、C所对应数为x，y，
∴ 为负数，y为正数，
∵ ， ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ，1；（2）解：
=
=
= ，
将 代入可得：
，
∴ 的值为10
【变式4-3】（22-23七年级上·全国·期中）（1）如图，数轴上的点 ， ， 分别表示有理数 ， ， ．
化简： ；
（2）已知关于 、 的多项式 中不含 项和 项，且 ，求
代数式： 的值．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）由数轴可知， ， ，据此可得 ， ， ， ，
再根据绝对值性质去绝对值符号化简可得；
（2）多项式合并后，根据结果中不含 项和 项，求出 与 的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解：（1） ， ，
， ， ， ，．
（2）原式
，
由题意得 ， ，
解得 ， ，
，
，
原式
．
的值为 ．
【点睛】本题主要考查了有理数大小的比较，整式的化简求值，解题的关键是掌握数轴和绝对值的定义，
以及整式化简得法则
