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专题 03 化简二次根式的四种考法
考点01 利用数轴化简绝对值
考点02 利用非负性化简绝对值
考点03 双重二次根式化简
考点04 分母有理化
考点01 利用数轴化简绝对值
1．实数 ，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 的结果是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了数轴上的点位置、化简二次根式、整式的加减运算法则等知识点，熟练掌握和运用各
运算法则是解题的关键．
先由实数a、b在数轴上的位置可得 ，则 ，再根据二次根式的性质化简，最后
根据整式的加减法则求解即可．
【详解】解：由实数a、b在数轴上的位置，可得 ，
∴ ，
∴
．
故答案为：2．
2．已知 ， ， 的位置如图所示，求 的值．
【答案】
【分析】根据数轴可知 ， ，求出 ， ， ，再根据绝对值和二次根
式的性质进行化简即可．
【详解】解：根据题意，得 ， ，∴ ， ， ，
∴
．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值、二次根式的性质的应用，主要考查化简能力，解题的关键是根据数轴
确定出各式子的取值范围．
3．已知 ，化简二次根式：
【答案】
【分析】本题考查二次根式化简．根据题意利用二次根式性质可知 ，再利用二次根式非负性化
简即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
4．（1）已知x、y为实数，且 ，求 的值；
（2）实数a，b，c在数轴上的对应点如图，化简： ．
【答案】（1）5；（2）
【分析】此题考查二次根式的化简求值，实数与数轴，整式的加减运算，理解题意，综合运用这些知识点
是解题关键．
（1）根据题意得出 ，确定 ，得出 ，然后代入求解即可；
（2）根据数轴上实数a，b，c的位置，得到 ， ，得出 ， ，再化简
计算即可．
【详解】解：（1）根据题意得： ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∴（2）根据题意得： ， ，， ，
∴
．
5．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简： ．
【答案】
【分析】本题考查的是实数与数轴的关系，掌握二次根式的性质并根据性质进行二次根式的化简是解题的
关键，解答时，注意： ．根据数轴所示，判断a、b、c的符号，进一步判断 、 、
的符号，根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：根据数轴可知 ， ， ， ，
所以原式 ．
考点02 利用非负性化简绝对值
6．当 时，化简 的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：∵ ，
∴
，
故选：D．
7．当 时，多项式 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了代数式的化简求值；先根据 的值推导出关于 的二次方程，再利用该方程化简多项式，最后计算结果．
【详解】解：∵
可得 ,
即
∴ ,即 ,
∴ ,
把 代入 ，
得 ,即 ,
把 代入 可得:
原式
故选:C．
8．已知实数 满足， 那么 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了算术平方根的非负性、绝对值的意义，得出 是解决此题的关键．
先由算术平方根的非负性得出 ，根据绝对值的意义得出 ，从而得出
，进而求解即可．
【详解】因为实数 满足， ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故选：B．
9．若代数式 的值为3，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，分 ， ， 三种情况，根据二次
根式的性质分类讨论即可．【详解】解：当 时，
原式 ，
当 时，
原式 ，
当 时，
原式 ．
故选：D．
10．已知 ，化简：
【答案】
【分析】本题考查了绝对值的化简，二次根式的性质，立方根的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据运算法则逐一化简再运算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
11．若 ，则化简 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数、二次根式的运算和二次根式的性质，熟练掌握二次根式的乘除法和
是解题的关键．
【详解】 ，
，
故答案为： ．
12．当 时，化简 的结果是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
13．已知 ，求 的值
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，算术平方根的非负性，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
根据求代数式值中的整体思想，即可解答．
【详解】解： ，
，
原式 ．
14．（1）若 、 都是实数，且满足 ，试化简代数式：
．
（2）设 、 、 为 的三边，化简： ．
【答案】（1） ，（2）
【分析】本题考查二次根式有意义的条件和分式的加减法、三角形三边关系．
（1）先根据二次根式有意义的条件求出 ，再把 代入求出 的取值范围，最后进行化简即可；
（2）由三角形三边关系求得 ， ， ， ，再利用二次根式的性质化简即可
求解．
【详解】解：（1）因为 、 都是实数，且满足 ，
则 且 ，所以 ，则 ．
所以
；（2）因为 、 、 为 的三边，所以 ， ， ， ，
所以
．
考点03 双重二次根式化简
15．我们已经学过完全平方公式 ，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，
如 那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求 的算术平方根．
解： 的算术平方根是 ．
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：（直接写出结果，结果化成最简）．
(1) = ；
(2) = ；
(3)在 中， ，那么 边的长为多少？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）将 变形为完全平方式 的形式，然后开平方即可；
（2）先利用（1）中得到的结论，把 换成 ，然后将 变形为完全平方式 ，
最后开平方即可；
（3）先利用勾股定理表示出 ，同样仿造上面把 变形为完全平方式 ，最后
开平方即可．
【详解】（1）解：原式，
故答案为： ；
（2）解：原式
，
故答案为： ；
（3）解：根据题意，得
．
16．双重二次根式为形如 的代数式，我们可以尝试通过配方将其转化为形如 的形式，
再开根号即可完成化简．请完成下列题目：
(1)若 ，试化简代数式 ；
(2)解方程： ；
(3)直接写出代数式 的化简结果．
【答案】(1)
(2)
(3)【分析】本题主要考查了二次根式的计算，考查二次根式的化简，完全平方公式和平方差公式，考查计算
能力，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
（1）根据二次根式的非负性，求出 的值，然后代数利用完全平方式进行求值即可；
（2）利用完全平方式和平方差公式进行求解即可；
（3）利用完全平方式进行求解即可．
【详解】（1）解：由 得，
，
∴ ，
∴
；
（2）解：
，经检验，符合题意；
（3）解： ∵即
∴ ，
∴ ．
17．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
．善于思考的小明进行了以下探索：
形如 的化简，只要我们找到两个数a，b使 ，这样 ，
，那么便有 ．
例如：化简 ，首先把 化为 ，这里 ， ；
由于 ，即 ，
原式
由上述例题的方法，化简下列各式：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题中的方法变化为 即可求出答案；（2）根据题中的方法变化为 即可求出答案；
（3）先得到 ，再求出 即可得到答案．
【详解】（1）解： 中， ， ，
由于 ，即 ， ，
∴ ，
（2）在 中，这里 ， ，
由于 ，即 ， ，
；
（3） 中，这里 ， ，
由于 ，即 ， ，
，
∴ ．
18．像 ， …这样的根式叫做复合二次根式，有一些复合二次根式可以借助构造完全
平方式进行化简，如：
再如：
根据上述方法解决下列问题：
(1)化简：① ；② ；
(2)化简： ；
(3)化简： ．【答案】(1)① ；②
(2)
(3)
【分析】本题考查了完全平方公式，利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握完全平方公式，利用二次根
式的性质是解题的关键．
（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解；
（3）先将 凑成完全平方式 ，逐步对内部被开方数化简，计算即可．
【详解】（1）解：① ．
② ．
（2）解：设 ，两边平方可得：
，
所以 ．
则 ．
又因为 ，
所以 ．
（3）∵ ，
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∵ ，∴ ．
∴原式 ．
19．【阅读理解】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
．善于思考的小明进行了以下探索：
设 （其中a，b，m，n均为正整数），则有 ，
， ．这样小明就找到了一种把 化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索
并解决下列问题．
【实践探究】
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若 ，用含m、n的式子分别表示a、b，则
________， ________；
（2）若 ，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值．
【拓展延伸】
（3）化简 ________．
【答案】（1） ； ；（2） 或 ；（3）
【分析】本题考查了二次根式的恒等变形，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关
运算法则是解题的关键．
（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；
（2）根据题意，展开得到 ，然后根据 ，m，n为正整数进行求解；
（3）先设 ，m，n为正整数，再由例题的方法求解即可．
【详解】解：（1） ，
，
，
故答案为： ； ．
（2）由
得 ，
又 ，m，n为正整数
或
（3）设 ，m，n为正整数
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
20．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ．设 （其中
、 、 、 均为正整数），则有 ， ， ．这样可以把部
分 的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解∴ 决下列问题：
(1)当 、 、 、 均为正整数时，若 ，用含 、 的式子分别表示 、 ，得：
， ______；
(2)计算： ．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题考查了二次根式的恒等变形，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关
运算法则是解题的关键．
（1）根据 ，比较对应项系数即可．
（2）根据 ，得 ；根据得 ，最后代入计算即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，
故答案为： ， ．
（2）解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
考点04 分母有理化
21．阅读下面材料：
①计算： ．
②化简： ．
解：设 ， ；
， ；， ，且 ；
， ；
；
．
完成下列问题：
(1)计算： ； ；
(2)解方程： ；
(3)若 ，求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
(3)3
【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的应用，完全平方公式的应用；
（1）直接分母有理化化简 ，把 化为 再进一步化简即可；
（2）设 ， ，可得 ， ，可得 ，
再进一步求解即可；
（3）设 ，可得 ， ，可得 ，
，再进一步求解即可．
【详解】（1）解： ；
；
（2）解：∵ ，
设 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，经检验 是原方程的根．
（3）解：∵ ①，
设 ②，
∴① ②得 ，① ②得 ，
∴ ③， ④，
∴③ ④得 ，
③ ④得 ，
解得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
22．我们知道形如 的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数，如：
这样的化简过程叫做分母有理化．我们把
叫做 的有理化因式， 叫做 的有理化因式，完成下列各题．
(1)化简： ________；
(2)计算： ；
(3)计算：
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了分母有理化和二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质以及平方差公式是解本
题的关键．
（1）根据题目所给例子进行分母有理数即可；
（2）根据题目所给例子进行分母有理化即可；
（3）根据题意找出相应规律，然后计算求解即可．【详解】（1）解：
故答案为：
（2）
；
（3）∵ ，
，
∴
∴原式
．
23．认识概念：
①两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因
式．
如： ， ，我们称 的一个有理化因式是 ， 的一个有理化因式
是 ．
②如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根
号，这种变形叫做分母有理化．
如： ．
(1)填空： 的一个有理化因式是______； 的一个有理化因式是______；
(2)将 分母有理化；(3)计算： ．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，平方差公式．
（1）根据有理化因式的定义求解即可；
（2）分子分母同时乘 ，按照平方差公式计算化简即可；
（3）先分母有理化，然后合并即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ 的一个有理化因式是 ，
∵ ，
∴ 的一个有理化因式是 ．
故答案为： ， ．
（2）解：
．
（3）解：
．
24．（1）计算： ________； ________
（2）由以上计算结果：可知 的倒数是________．
（3）比较 与 的大小．【答案】（1）1，1；（2） ；（3）
【分析】本题考查了分母有理化，利用平方差公式是分母有理化的关键．
（1）根据平方差公式，可得答案；
（2）根据（1）的规律，可得答案；
（3）利用（2）的结论，可得答案．
【详解】解：（1）
，
，
故答案为：1，1；
（2）∵
，
∴
，
故答案为： ；
（3）
，，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
25．在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题：
已知 ，求 的值．他们是这样解答的：
，
，
即 ，
，
．
请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题：
(1) ．
(2)化简： ．
(3)若 ，
①求 的值，
②求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)①1；②6
【分析】本题考查了二次根式的化简求值的知识，二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考
查了分母有理化的知识，掌握以上知识是解答本题的关键．（1）把分子分母都乘以 ，然后利用平方差公式计算；
（2）先分母有理化，然后合并二次根式即可；
（3）先分母有理化得到 ，移项后再平方得到 ，再把原式化简变形为
，接着利用整体代入法计算得到原式 ，再应用同样方法计算即可．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ；
（2）解：原式
；
（3）解：①∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②∵ ，
∴
；
26．学习完“二次根式”后，小美在数学拓展活动中，和启智小组的同学们遇到一道题：
已知 ，求 的值．
她是这样解答的：
解： ，
，，
．
请你根据小美的解题过程，解答下列问题．
(1)计算： _______．
(2)计算： ．
(3)已知 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)2026
【分析】(1)仿照阅读资料中的化简解答即可．
(2) 仿照阅读资料中的化简解答即可．
(3) 仿照阅读资料中的化简解答即可．
本题考查了二次根式的分母有理化，平方差公式，化简求值，熟练掌握新方法是解题的关键．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ．
（2）解：
．
（3）解： ，
，
，
，
故
．．
27．阅读：
；
；
…
(1)归纳： ______， ______（ 为正整数）．
(2)探索：根据上面的规律，计算下列式子的值：
．
(3)提升：利用上面的规律，比较 与 的大小，并说明理由．
【答案】(1) ；
(2)2015
(3) ；理由见解析
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化，二次根式的大小比较，正确进行分母有理化
是解题的关键．
（1）分别对分母和分子乘以 ， ，再利用平方差公式计算；
（2）先分母有理化，再利用二次根式的混合运算法则计算；
（3）先分母有理化，再比较大小即可．
【详解】（1）解： ，
．
故答案为： ， ；
（2）解：；
（3）解： ，理由如下：
∵ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
28．【阅读材料】
黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取
长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“好搭档”，如 ，
，它们的乘积不含有二次根式，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个
是另一个的有理化因式．
于是，二次根式除法可以这样解：如 ， ．像这
样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化．
【解决问题】
（1）将下列式子分母有理化： ______．
（2）比较大小： ______ （用“ ”“ ”或“ ”填空）；
【能力提升】
（3）已知有理数m，n满足 ，则 ______；
（4）计算： ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）1；（4）
【分析】本题考查二次根式的运算，掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键．
（1）直接分母有理化即可；
（2）先将两边进行分母有理化后再进行比较大小即可；
（3）先将两边进行分母有理化后观察对比即可得出结果；
（4）先将其中的一项进行分母有理化后观察规律，再进行计算即可．【详解】解：（1） ；
故答案为： ；
（2） ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：＞；
（3）∵
，
∴ ，
， 是有理数，
，且 ，
；
故答案为：1；
（4）∵，
∴
．
