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专题 03 化简二次根式的四种考法
考点01 利用数轴化简绝对值
考点02 利用非负性化简绝对值
考点03 双重二次根式化简
考点04 分母有理化
考点01 利用数轴化简绝对值
1．实数 ，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 的结果是 ．
2．已知 ， ， 的位置如图所示，求 的值．
3．已知 ，化简二次根式：
4．（1）已知x、y为实数，且 ，求 的值；
（2）实数a，b，c在数轴上的对应点如图，化简： ．
5．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简： ．考点02 利用非负性化简绝对值
6．当 时，化简 的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
7．当 时，多项式 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知实数 满足， 那么 的值为（ ）
A． B． C． D．
9．若代数式 的值为3，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． 或 D．
10．已知 ，化简：
11．若 ，则化简 ．
12．当 时，化简 的结果是 ．13．已知 ，求 的值
14．（1）若 、 都是实数，且满足 ，试化简代数式：
．
（2）设 、 、 为 的三边，化简： ．
考点03 双重二次根式化简
15．我们已经学过完全平方公式 ，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，
如 那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求 的算术平方根．
解： 的算术平方根是 ．
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：（直接写出结果，结果化成最简）．
(1) = ；
(2) = ；
(3)在 中， ，那么 边的长为多少？16．双重二次根式为形如 的代数式，我们可以尝试通过配方将其转化为形如 的形式，
再开根号即可完成化简．请完成下列题目：
(1)若 ，试化简代数式 ；
(2)解方程： ；
(3)直接写出代数式 的化简结果．
17．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
．善于思考的小明进行了以下探索：
形如 的化简，只要我们找到两个数a，b使 ，这样 ，
，那么便有 ．
例如：化简 ，首先把 化为 ，这里 ， ；
由于 ，即 ，
原式
由上述例题的方法，化简下列各式：
(1) ；
(2) ；
(3) ．18．像 ， …这样的根式叫做复合二次根式，有一些复合二次根式可以借助构造完全
平方式进行化简，如：
再如：
根据上述方法解决下列问题：
(1)化简：① ；② ；
(2)化简： ；
(3)化简： ．
19．【阅读理解】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如
．善于思考的小明进行了以下探索：
设 （其中a，b，m，n均为正整数），则有 ，
， ．这样小明就找到了一种把 化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索
并解决下列问题．
【实践探究】
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若 ，用含m、n的式子分别表示a、b，则
________， ________；
（2）若 ，且x、m、n均为正整数，分别求出x、m、n的值．【拓展延伸】
（3）化简 ________．
20．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ．设 （其中
、 、 、 均为正整数），则有 ， ， ．这样可以把部
分 的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解∴ 决下列问题：
(1)当 、 、 、 均为正整数时，若 ，用含 、 的式子分别表示 、 ，得：
， ______；
(2)计算： ．
考点04 分母有理化
21．阅读下面材料：
①计算： ．
②化简： ．
解：设 ， ；
， ；
， ，且 ；
， ；
；
．
完成下列问题：
(1)计算： ； ；(2)解方程： ；
(3)若 ，求 的值．
22．我们知道形如 的数可以化简，其化简的目的主要是把原数分母中的无理数化为有理数，如：
这样的化简过程叫做分母有理化．我们把
叫做 的有理化因式， 叫做 的有理化因式，完成下列各题．
(1)化简： ________；
(2)计算： ；
(3)计算：
23．认识概念：
①两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因
式．
如： ， ，我们称 的一个有理化因式是 ， 的一个有理化因式
是 ．
②如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根
号，这种变形叫做分母有理化．
如： ．
(1)填空： 的一个有理化因式是______； 的一个有理化因式是______；
(2)将 分母有理化；(3)计算： ．
24．（1）计算： ________； ________
（2）由以上计算结果：可知 的倒数是________．
（3）比较 与 的大小．
25．在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题：
已知 ，求 的值．他们是这样解答的：
，
，
即 ，
，
．
请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题：
(1) ．
(2)化简： ．
(3)若 ，
①求 的值，
②求 的值．26．学习完“二次根式”后，小美在数学拓展活动中，和启智小组的同学们遇到一道题：
已知 ，求 的值．
她是这样解答的：
解： ，
，
，
．
请你根据小美的解题过程，解答下列问题．
(1)计算： _______．
(2)计算： ．
(3)已知 ，求 的值．
27．阅读：
；
；…
(1)归纳： ______， ______（ 为正整数）．
(2)探索：根据上面的规律，计算下列式子的值：
．
(3)提升：利用上面的规律，比较 与 的大小，并说明理由．
28．【阅读材料】
黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取
长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“好搭档”，如 ，
，它们的乘积不含有二次根式，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个
是另一个的有理化因式．
于是，二次根式除法可以这样解：如 ， ．像这
样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化．
【解决问题】
（1）将下列式子分母有理化： ______．
（2）比较大小： ______ （用“ ”“ ”或“ ”填空）；
【能力提升】
（3）已知有理数m，n满足 ，则 ______；
（4）计算： ．
