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专题 03 勾股定理的逆定理（综合题）
易错点拨
知识点01：勾股定理的逆定理
a，b，c a2 b2 c2
如果三角形的三条边长 ，满足 ，那么这个三角形是直角三角形.
细节剖析：（1）勾股定理的逆定理的作用是 判定某一个三角形是否是直角三角形 .
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角
三角形 .
知识点02：如何判定一个三角形是否是直角三角形
c
（1） 首先确定最大边（如 ）.
c2 a2 b2 c2 a2 b2
（2） 验证 与 是否具有相等关系.若 ，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若
c2 a2 b2
，则△ABC不是直角三角形.
a2 b2 c2 a2 b2 c2
细节剖析：当 时，此三角形为钝角三角形；当 时，此三角形为锐角三角形，
c
其中 为三角形的 最大边 .
易错题专训
一．选择题
1．（2021秋•新郑市期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定
△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
C．a2＝c2﹣b2 D．
解：A、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，∴△ABC为直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝ ，
∴△ABC为直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵a2＝c2﹣b2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵ ，
∴设a＝ k，b＝ k，c＝ k（其中k≠0），
∴a2+b2＝（ k）2+（ k）2＝ k2，c2＝（ k）2＝ k2，
∴a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
2．（2022春•林州市期末）下列各组数据为边，不能组成直角三角形的是（ ）
A．1，2， B． ， ， C．5，12，13 D．2，2，2
解：∵12+22≠（ ）2，故选项A中的三条线段不能构成直角三角形，符合题意；
∵（ ）2+（ ）2＝（ ）2，故选项B中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；
∵52+122＝132，故选项C中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；
∵22+22＝（2 ）2，故选项D中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；
故选：A．
3．（2022春•定远县校级期末）如图，小正方形的边长均为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ACB的度
数是（ ）A．30° B．45° C．60° D．90°
解：由图可知：AB＝ ，
BC＝ ，
AC＝ ，
∴AB2+BC2＝AC2，AB＝BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝45°．
故选：B．
4．（2021秋•洛江区期末）下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，6 C． ， ， D．5，12，13
解：A．∵22+32＝4+9＝13，42＝16，
∴22+32≠42，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵32+42＝9+16＝25，62＝36，
∴32+42≠62，
∴以3，4，6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵（ ）2+（ ）2＝3+4＝7，（ ）2＝5，
∴（ ）2+（ ）2＝（ ）2，
∴以 ， ， 为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵52+122＝25+144＝169，132＝169，
∴52+122＝132，
∴以5，12，13为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
5．（2021秋•本溪期末）△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，下列条件能判断△ABC是直角
三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B＝∠C B．a＝6，b＝7，c＝8
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a2+b2＝c2
解：A．∵∠A＝∠B＝∠C，
∴△ABC是等边三角形，不是直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵a＝6，b＝7，c＝8，
∴a2+b2＝36+49＝85，c2＝64，
∴a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴最大角∠C＝ ×180°＝75°＜90°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
6．（2021秋•偃师市期末）若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，
∴a﹣b＝0，a2+b2﹣c2＝0，
解得：a＝b，a2+b2＝c2，
∴△ABC的形状为等腰直角三角形；
故选：C．
7．（2021秋•连云港期末）△ABC的三边长分别为a，b，c．下列条件，其中能判断△ABC是直角三角形的
个数有（ ）
①∠A＝∠B﹣∠C
②a2＝（b+c）（b﹣c）
③∠A：∠B：∠C＝3：4：5
④a：b：c＝5：12：13
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①∠A＝∠B﹣∠C，可得：∠B＝90°，是直角三角形；
②a2＝（b+c）（b﹣c），可得：a2+c2＝b2，是直角三角形；
③∠A：∠B：∠C＝3：4：5，可得：∠C＝75°，不是直角三角形；
④a：b：c＝5：12：13，可得：a2+b2＝c2，是直角三角形；故选：C．
二．填空题
8．（2022春•滨城区期末）一个三角形两条边长为3和4，当第三条边长为 或 5 时，此三角形为直
角三角形．
解：设第三条边长为x，此三角形为直角三角形，那么可能出现以下两种情况：
①边长为4的边为斜边，此时x＜4，则32+x2＝42，得x＝ ；
②边长为4的边为直角边，此时边长为x的边为斜边，则32+42＝x2，得x＝5．
综上，x＝ 或5．
故答案为： 或5．
9．（2021秋•沙坪坝区校级期末）如图，已知∠A＝90°，AC＝AB＝3，CD＝ ，BD＝2 ，则点C到BD
的距离为 ．
解：∵∠A＝90°，AC＝AB＝3，
∴BC＝ ＝ ＝3 ，
∵CD＝ ，BD＝2 ，
（ ）2+（3 ）2＝（2 ）2，
∴△BCD是直角三角形，
∴点C到BD的距离为 ×3 ÷2×2÷2 ＝ ．
故答案为： ．
10．（2022•滨海县模拟）如图所示的网格是正方形网格，则∠BAC+∠CDE＝ 45° （点A，B，C，D，E
是网格线交点）．解：设小正方形的边长是1，连接AD，
∵AD＝ ＝ ，CD＝ ＝ ，AC＝ ＝ ，
∴AD＝CD，AD2+CD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°，
即△ADC是等腰直角三角形，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°，
∵AB∥DE，
∴∠BAC+∠DAC+∠CDE＝180°，
∴∠BAC+∠CDE＝45°，
故答案为：45°．
11．（2022春•邹城市期末）如图，在3×3的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点 A、B、C、D都在
格点上，连接AC，BD相交于P，那么∠APB的大小是 45° ．
解：取格点M，连接BM，∴BM∥AC，如图，连接DM，
由勾股定理得：DM＝ ，BM＝ ，BD＝ ，AC＝ ，
∴DM＝BM，DM2+BM2＝BD2，
∴△DMB是等腰直角三角形，
∴∠DBM＝45°，
∵AC∥BM，
∴∠APB＝∠DBM＝45°，
故答案为：45°．
12．（2018秋•兴宁市校级月考）已知线段a＝3，b＝4，若线段c能和a，b构成直角三角形，则c的长度
是 5 或 ．
解：分两种情况，当c为斜边时，x＝ ＝5，当长4的边为斜边时，c＝ ＝ （根据
勾股定理列出算式）．故填5和 ．
13．（2021•江西模拟）Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，BC＝4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角
形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 3. 6 或 4.3 2 或 4. 8 ．
解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，BC＝4，
∴AB＝ ＝ ＝3，S ＝ AB•BC＝6．
△ABC
沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：
①当AB＝AP＝3时，如图①所示，
S ＝ S ＝ ×6＝3.6；
等腰△ABP △ABC
②当AB＝BP＝3，且P在AC上时，如图②所示，作△ABC的高BD，则BD＝ ＝ ＝2.4，
∴AD＝DP＝ ＝1.8，
∴AP＝2AD＝3.6，
∴S ＝ S ＝ ×6＝4.32；
等腰△ABP △ABC
③当CB＝CP＝4时，如图③所示，
S ＝ S ＝ ×6＝4.8；
等腰△BCP △ABC
④当BP＝CP时，点P在线段BC的垂直平分线上，
根据平行线分线段成比例定理得点P是AC的中点，
∴BP是Rt△ABC斜边上的中线，
∴BP＝AP，
此时△ABP也是等腰三角形，不符合题意，舍去．
综上所述：等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8．
故答案为3.6或4.32或4.8．
三．解答题
14．（2021秋•台江区校级期末）如图，连接四边形ABCD的对角线AC，已知∠B＝90°，BC＝1，AB＝
，CD＝2，AD＝2 ．
（1）求证：△ACD是直角三角形；
（2）求四边形ABCD的面积．
（1）证明：∵∠B＝90°，BC＝1，AB＝ ，
∴AC＝ ，
∵CD＝2，AD＝2 ，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形；（2）解：∵AB＝ ，BC＝1，
∴S ＝S +S ＝ ．
四边形ABCD △ABC △ACD
15．（2021秋•苏州期末）如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE＝2，DE＝
4，AE＝8．
（1）求证：∠ADC＝90°；
（2）求DF的长．
证明：（1）∵DE⊥AC于点E，
∴∠AED＝∠CED＝90°，
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∴AD2＝AE2+DE2＝82+42＝80，
同理：CD2＝20，
∴AD2+CD2＝100，
∵AC＝AE+CE＝8+2＝10，
∴AC2＝100，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠ADC＝90°；
（2）∵AD是△ABC的中线，∠ADC＝90°，
∴AD垂直平分BC，
∴AB＝AC＝10，
在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，
∵点F是边AB的中点，
∴DF＝ ．
16．（2022春•长沙期中）如图，已知点C是线段BD上一点，∠B＝∠D＝90°，若AB＝4，BC＝3，CD＝8，DE＝6，AE2＝125．
（1）求AC、CE的长；
（2）求证：∠ACE＝90°．
（1）解：∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝ ＝ ＝5，
∵∠D＝90°，CD＝8，DE＝6，
∴CE＝ ＝ ＝10；
（2）证明：∵AC＝5，CE＝10，AE2＝125，
∴AE2＝AC2+CE2，
∴∠ACE＝90°．
17．（2022春•互助县期中）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，连接
AC．
（1）求AC的长；
（2）判断三角形ACD的形状，并求出四边形ABCD的面积．
解：（1）∵∠B＝90°，AB＝2，BC＝1，
∴AC2＝AB2+BC2＝4+1＝5，
∴AC＝ ；
（2）∵△ACD中，AC＝ ，CD＝2，AD＝3，
∴AC2+CD2＝5+4＝9，AD2＝9，
∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积＝ 1×2+ 2× ＝1+ ．
18．（2019秋•灌云县期中）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD＝4米，CD＝3米，
∠ADC＝90°，AB＝13米，BC＝12米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米30元，
试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？
解：连接AC，在Rt△ACD中，
∵AC2＝CD2+AD2＝32+42＝25，
∴AC＝5，
∵AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
该区域面积＝S ﹣S ＝30﹣6＝24平方米，
△ACB △ACD
铺满这块空地共需花费＝24×30＝720元．
19．（2017秋•宝应县月考）如图，在边长为 1的小正方形组成的方格纸中，有一个以格点为顶点的
△ABC．
（1）试根据三角形三边关系，判断△ABC的形状；
（2）在方格纸中利用直尺分别画出AB、BC的垂直平分线（要求描出关键格点），交点为O．问点O到
△ABC三个顶点的距离相等吗？说明理由．解：（1）如图所示，AB2＝42+42＝32，BC2＝62+22＝40，AC2＝22+22＝8，
所以AB2+AC2＝BC2．
所以△ABC是直角三角形；
（2）如图所示，点O是△ABC的外心，且在斜边BC上．
