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专题 05 分式必刷常考题
选择题必练
1．在式子 、 、 、 、 、 中，分式的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．下列化简中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．计算a3•（ ）2的结果是（ ）
A．a B．a3 C．a6 D．a9
4．如果把 中的x和y都变为原来的5倍，那么分式的值（ ）
A．变为原来的5倍 B．不变
C．变为原来的 D．变为原来的4倍
5．下列运算正确的是（ ）
A．（2a2）3＝6a6 B．﹣a2b2•3ab3＝﹣3a2b5
C． • ＝﹣1 D． + ＝﹣1
6．要使分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≠﹣1
7．若分式 的值为0，则x的值为（ ）A．1 B．﹣1 C．±1 D．2
8．化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．化简 ÷（1+ ）的结果是（ ）
A． B． C． D．
10．分式方程 的解为（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
11．方程 ＝ 的解为（ ）
A．x＝2 B．x＝6 C．x＝﹣6 D．无解
12．A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A
地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，
则可列方程（ ）
A． B．
C． +4＝9 D．
13．化简 的结果是（ ）
A．x+1 B． C．x﹣1 D．
填空题必练
14．若分式 的值为0，则x的值为 ．15．计算： ﹣ ＝ ．
16．若a＝2b≠0，则 的值为 ．
17．杭州到北京的铁路长1487千米．火车的原平均速度为x千米/时，提速后平均速度增加
了70千米/时，由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时，则可列方程为 ．
解答题必练
18．解方程： ．
19．解方程： ．
20．解方程： ﹣ ＝1．
21．先化简，再求值： ÷（x+1﹣ ），其中x＝ ﹣2．22．先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ﹣ ，其中x满足x2﹣x﹣1＝0．
23．先化简，再求值：（ + ）÷ ，其中x＝2．
24．荣庆公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手
电筒多用20元，若用400元购买台灯和用160元购买手电筒，则购买台灯的个数是购买
手电筒个数的一半．
（1）求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元？
（2）经商谈，商店给予荣庆公司购买一个该品牌台灯赠送一个该品牌手电筒的优惠，
如果荣庆公司需要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个，且该公司购买台灯和手电
筒的总费用不超过670元，那么荣庆公司最多可购买多少个该品牌台灯？
25．某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二
批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．
（1）求第一批购进书包的单价是多少元？
（2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少
元？
26．华昌中学开学初在金利源商场购进 A、B两种品牌的足球，购买 A品牌足球花费了
2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数
量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？
（2）华昌中学响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进 A、B两种品牌足球
共50个，恰逢金利源商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购
买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的 9折出售，如果这所中学此次购买
A、B两种品牌足球的总费用不超过3260元，那么华昌中学此次最多可购买多少个B品
牌足球？
27．某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用 13200元购进了一批这种衬衫，面市后果
然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的 2
倍，但单价贵了10元．（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全
部售完后利润率不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
28．兴发服装店老板用4500元购进一批某款T恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板
又用4950元购进第二批该款式T恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批
多了9元．
（1）第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？
（2）老板以每件120元的价格销售该款式T恤衫，当第二批T恤衫售出 时，出现了滞
销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于650元，剩余的T恤衫每件售
价至少要多少元？（利润＝售价﹣进价）
29．某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共
用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款
型每件的进价少30元．（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？
（2）商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一
半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批 T恤衫商店
共获利多少元？
30.李老师家距学校1900米，某天他步行去上班，走到路程的一半时发现忘带手机，此时
离上班时间还有23分钟，于是他立刻步行回家取手机，随后骑电瓶车返回学校．已知
李老师骑电瓶车到学校比他步行到学校少用20分钟，且骑电瓶车的平均速度是步行速
度的5倍，李老师到家开门、取手机、启动电瓶车等共用4分钟．
（1）求李老师步行的平均速度；
（2）请你判断李老师能否按时上班，并说明理由．专题 05 分式必刷常考题
选择题必练
1．在式子 、 、 、 、 、 中，分式的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解答】解： 、 、9x+ 这3个式子的分母中含有字母，因此是分式．
其它式子分母中均不含有字母，是整式，不是分式．
故选：B．
2．下列化简中正确的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【解答】解：A、 ＝x4，故A选项错误；
B、 ≠0，故B选项错误；
C、 ＝ ，故C选项正确；
D、 ＝ ，故D选项错误；
故选：C．
3．计算a3•（ ）2的结果是（ ）
A．a B．a3 C．a6 D．a9
【答案】A
【解答】解：原式＝a3•
＝a，
故选：A．
4．如果把 中的x和y都变为原来的5倍，那么分式的值（ ）
A．变为原来的5倍 B．不变
C．变为原来的 D．变为原来的4倍
【答案】B
【解答】解： ，
即分式的值不变．
故选：B．
5．下列运算正确的是（ ）
A．（2a2）3＝6a6 B．﹣a2b2•3ab3＝﹣3a2b5
C． • ＝﹣1 D． + ＝﹣1【答案】D
【解答】解：A、原式＝8a6，错误；
B、原式＝﹣3a3b5，错误；
C、原式＝ ，错误；
D、原式＝ ＝ ＝﹣1，正确；
故选：D．
6．要使分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≠﹣1
【答案】A
【解答】解：∵分式 有意义，
∴x﹣1≠0，
解得：x≠1．
故选：A．
7．若分式 的值为0，则x的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．2
【答案】D
【解答】解：由题意可得：x﹣2＝0且x2﹣1≠0，
解得x＝2．
故选：D．
8．化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解： ＝ ，＝﹣ ，
故选：B．
9．化简 ÷（1+ ）的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：原式＝ ÷
＝ •
＝ ．
故选：A．
10．分式方程 的解为（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4
【答案】C
【解答】解： ，
去分母得：3x﹣3＝2x，
移项得：3x﹣2x＝3，
合并同类项得：x＝3，
检验：把x＝3代入最简公分母2x（x﹣1）＝12≠0，故x＝3是原方程的解，
故原方程的解为：x＝3，
故选：C．
11．方程 ＝ 的解为（ ）
A．x＝2 B．x＝6 C．x＝﹣6 D．无解
【答案】B【解答】解：方程两边同乘以x（x﹣2），得3（x﹣2）＝2x，解得x＝6，
将x＝6代入x（x﹣2）＝24≠0，所以原方程的解为：x＝6，故选B．
12．A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A
地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，
则可列方程（ ）
A． B．
C． +4＝9 D．
【答案】A
【解答】解：顺流时间为： ；逆流时间为： ．
所列方程为： + ＝9．
故选：A．
13．化简 的结果是（ ）
A．x+1 B． C．x﹣1 D．
【答案】A
【解答】解：原式＝ ﹣ ＝ ＝ ＝x+1．
故选：A．
填空题必练
14．若分式 的值为0，则x的值为 ．
【答案】 ﹣ 1
【解答】解：由题意可得x2﹣1＝0且x﹣1≠0，
解得x＝﹣1．
故答案为﹣1．15．计算： ﹣ ＝ ．
【答案】1
【解答】解：原式＝
＝1．
故答案为：1．
16．若a＝2b≠0，则 的值为 ．
【答案】
【解答】解：∵a＝2b，
∴原式＝ ＝ ，
故答案为：
17．杭州到北京的铁路长1487千米．火车的原平均速度为x千米/时，提速后平均速度增加
了70千米/时，由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时，则可列方程为 ．
【答案】 ﹣ ＝ 3
【解答】解：根据题意得：
﹣ ＝3；
故答案为： ﹣ ＝3．
解答题必练
18．解方程： ．
【解答】解：方程两边都乘3（x+1），
得：3x﹣2x＝3（x+1），
解得：x＝﹣ ，经检验x＝﹣ 是方程的解，
∴原方程的解为x＝﹣ ．
19．解方程： ．
【解答】解：方程两边同乘以（x﹣2），
得：x﹣3+（x﹣2）＝﹣3，
解得x＝1，
检验：x＝1时，x﹣2≠0，
∴x＝1是原分式方程的解．
20．解方程： ﹣ ＝1．
【解答】解：方程两边同乘（x+1）（x﹣1），得
（x+1）2﹣4＝（x+1）（x﹣1），
整理得2x﹣2＝0，
解得x＝1．
检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
所以x＝1是增根，应舍去．
∴原方程无解．
21．先化简，再求值： ÷（x+1﹣ ），其中x＝ ﹣2．
【解答】解： ÷（x+1﹣ ）
＝ ÷[ ﹣ ]
＝ ÷
＝ ×
＝当x＝ ﹣2时，
原式＝ ＝ ．
22．先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ﹣ ，其中x满足x2﹣x﹣1＝0．
【解答】解：原式＝ • ﹣ ＝ • ﹣ ＝x﹣ ＝
，
∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2＝x+1，
则原式＝1．
23．先化简，再求值：（ + ）÷ ，其中x＝2．
【解答】解：（ + ）÷
＝（ + ）•
＝ •
＝x﹣1，
当x＝2时，运算＝2﹣1＝1．
24．荣庆公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手
电筒多用20元，若用400元购买台灯和用160元购买手电筒，则购买台灯的个数是购买
手电筒个数的一半．
（1）求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元？
（2）经商谈，商店给予荣庆公司购买一个该品牌台灯赠送一个该品牌手电筒的优惠，
如果荣庆公司需要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个，且该公司购买台灯和手电
筒的总费用不超过670元，那么荣庆公司最多可购买多少个该品牌台灯？【解答】解：（1）设购买该品牌一个手电筒需要x元，则购买一个台灯需要（x+20）
元．
根据题意 得 ＝ ×
解得 x＝5
经检验，x＝5是原方程的解．
所以 x+20＝25．
答：购买一个台灯需要25元，购买一个手电筒需要5元；
（2）设公司购买台灯的个数为a，则还需要购买手电筒的个数是（2a+8﹣a）
由题意得 25a+5（2a+8﹣a）≤670
解得 a≤21
∴荣庆公司最多可购买21个该品牌的台灯．
25．某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二
批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了
6300元．
（1）求第一批购进书包的单价是多少元？
（2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少
元？
【解答】解：（1）设第一批购进书包的单价是x元．第二批供应书包单价（x+4）元
则： ×3＝ ．
解得：x＝80．
经检验：x＝80是原方程的根．
答：第一批购进书包的单价是80元．
（2） ×（120﹣80）+ ×（120﹣84）＝3700（元）．
答：商店共盈利3700元．
26．华昌中学开学初在金利源商场购进 A、B两种品牌的足球，购买 A品牌足球花费了
2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数
量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？
（2）华昌中学响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进 A、B两种品牌足球
共50个，恰逢金利源商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购
买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的 9折出售，如果这所中学此次购买
A、B两种品牌足球的总费用不超过3260元，那么华昌中学此次最多可购买多少个B品
牌足球？
【解答】解：（1）设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需（x+30）元，
由题意得
＝ ×2
解得：x＝50
经检验x＝50是原方程的解，
x+30＝80
答：一个A品牌的足球需50元，则一个B品牌的足球需80元．
（2）设此次可购买a个B品牌足球，则购进A牌足球（50﹣a）个，由题意得
50×（1+8%）（50﹣a）+80×0.9a≤3260
解得a≤31
∵a是整数，
∴a最大等于31，
答：华昌中学此次最多可购买31个B品牌足球．
27．某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用 13200元购进了一批这种衬衫，面市后果
然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的 2
倍，但单价贵了10元．
（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全
部售完后利润率不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
【解答】解：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，
依题意有
+10＝ ，
解得x＝120，经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意．
答：该商家购进的第一批衬衫是120件．
（2）3x＝3×120＝360，
设每件衬衫的标价y元，依题意有
（360﹣50）y+50×0.8y≥（13200+28800）×（1+25%），
解得y≥150．
答：每件衬衫的标价至少是150元．
28．兴发服装店老板用4500元购进一批某款T恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板
又用4950元购进第二批该款式T恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批
多了9元．
（1）第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？
（2）老板以每件120元的价格销售该款式T恤衫，当第二批T恤衫售出 时，出现了滞
销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于650元，剩余的T恤衫每件售
价至少要多少元？（利润＝售价﹣进价）
【解答】解：（1）设第一批T恤衫每件进价是x元，由题意，得
＝ ，
解得x＝90，
经检验x＝90是分式方程的解，符合题意．
答：第一批T恤衫每件的进价是90元；
（2）设剩余的T恤衫每件售价y元．
由（1）知，第二批购进 ＝50（件）．
由题意，得120×50× +y×50× ﹣4950≥650，
解得y≥80．
答：剩余的T恤衫每件售价至少要80元．
29．某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共
用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．
（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？
（2）商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一
半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批 T恤衫商店
共获利多少元？
【解答】解：（1）设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进1.5x件，
依题意有
+30＝ ，
解得x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
1.5x＝60．
答：甲种款型的T恤衫购进60件，乙种款型的T恤衫购进40件；
（2） ＝160，
160﹣30＝130（元），
130×60%×60+160×60%×（40÷2）﹣160×[1﹣（1+60%）×0.5]×（40÷2）
＝4680+1920﹣640
＝5960（元）
答：售完这批T恤衫商店共获利5960元．
30.李老师家距学校1900米，某天他步行去上班，走到路程的一半时发现忘带手机，此时
离上班时间还有23分钟，于是他立刻步行回家取手机，随后骑电瓶车返回学校．已知
李老师骑电瓶车到学校比他步行到学校少用20分钟，且骑电瓶车的平均速度是步行速
度的5倍，李老师到家开门、取手机、启动电瓶车等共用4分钟．
（1）求李老师步行的平均速度；
（2）请你判断李老师能否按时上班，并说明理由．
【解答】解：（1）设李老师步行的平均速度为 xm/分钟，骑电瓶车的平均速度为
5xm/分钟，
由题意得， ﹣ ＝20，
解得：x＝76，
经检验，x＝76是原分式方程的解，且符合题意，则5x＝76×5＝380，
答：李老师步行的平均速度为76m/分钟，骑电瓶车的平均速度为380m/分；
（2）由（1）得，李老师走回家需要的时间为： ＝12.5（分钟），
骑车走到学校的时间为： ＝5，
则李老师走到学校所用的时间为：12.5+5+4＝21.5＜23，
答：李老师能按时上班．
