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专题 05 勾股定理中的最值问题
题型一 立体图形中的最短距离问题
1．如图，圆柱形容器中，高为1.2米，底面周长为1米，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．
此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿 0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离
为（ ）米．
A．1.3米 B．1.4米 C．1.5米 D．1.2米
【解答】解：如图：
∵高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，
此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，
∴A′D＝0.5m，BD＝1.2m，
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B＝
＝
＝1.3（m）．
故选：A．
2．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（ ）A．10 B．50 C．120 D．130
【解答】解：如图所示，
∵它的每一级的长宽高为20cm，宽30cm，长50cm，
∴AB＝ ＝50 （cm）．
答：蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程是50 cm，
故选：B．
3．如图，教室的墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上．若PA＝AB＝50，点P到AD的距离是
30，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，则蚂蚁的最短行程为 4 0 ．
【解答】解：如图，过P作PG⊥BF于G，连接PB，
∵AG＝30，AP＝AB＝50，
∴PG＝40，
∴BG＝80，
∴PB＝ ＝ ＝40 ．
故这只蚂蚁的最短行程应该是40 ．
故答案为：40 ．4．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为 8dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，
点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B的最短路程为 17
dm．
【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为（2+3）×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2＝82+[（2+3）×3]2＝172，
解得x＝17．
故答案为：17．
5．固定在地面上的一个正方体木块（如图①所示），其棱长为2（ ），沿其相邻三个面的对角线
（图中虚线）剪掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点 A爬行到点
B的最短距离为 4 cm ．
【解答】解：如图所示：连接AB交CD于E，△BCD是等腰直角三角形，△ACD是等边三角形，
在Rt△BCD中，CD＝ ＝2（2 ﹣2）（cm），
∴BE＝ CD＝（2 ﹣2）cm，
在Rt△ACE中，AE＝ ＝2（3﹣ ）（cm），
∴从顶点A爬行到顶点B的最短距离为4cm．
故答案为：4cm．
6．某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜（如图）．在三棱镜的侧面上，从顶点 A
到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为9cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为
（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm
【解答】解：将三棱柱沿AA′展开，其展开图如图，
则AA′＝ ＝15（cm）．故选：D．
7．如图，桌面上的长方体长为8，宽为6，高为4，B为CD的中点．一只蚂蚁从A点出发沿长方体的表面
到达B点，则它运动的最短路程为（ ）
A． B． C．10 D．
【解答】解：如图1所示，
则AB＝ ＝2 ；
如图2所示，
AB＝ ＝10，
故它运动的最短路程为10，
故选：C．
8．如图，圆柱形容器外壁距离下底面 3cm的A处有一只蚂蚁，它想吃到正对面外壁距离上底面 3cm的B
处的米粒，若圆柱的高为12cm，底面周长为24cm．则蚂蚁爬行的最短距离为 6 cm．【解答】解：如图，将圆柱的侧面沿过A点的一条母线剪开，得到长方形，
连接AB，则线段AB的长就是蚂蚁爬行的最短距离，
故AB＝ ＝6 （cm）．
故答案为：6 ．
9．如图，动点P从点A出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，若BC＝8，点P移动的最短距离为
5，则圆柱的底面周长为（ ）
A．6 B．4 C．8 D．10
【解答】解：如图所示， π
在圆柱的截面ABCD中，BC＝8，
设AB＝x，
∵点P移动的最短距离为5，
∴AS＝5，
∵点S是BC的中点，
∴BS＝ BC＝4，
∴AB＝ ＝3，
∴圆柱的底面周长为2AB＝6．故选：A．
10．如图，小彬到雁江区高洞产业示范村参观，看到一个贴有大红“年”字的圆柱状粮仓非常漂亮，回家
后小彬制作了一个底面周长为10cm，高为5cm的圆柱粮仓模型．如图BC是底面直径，AB是高．现要
在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（
）
A．10 cm B．20 cm C．10 cm D．5 cm
【解答
π
】解：如图，圆柱的侧
π
面展开图为长方形，AC＝A'C，且点C为BB'的中点，
∵AB＝5cm，BC＝ ×10＝5（cm），
∴装饰带的长度＝2AC＝2 ＝2 ＝10 （cm），
故选：C．
11．如图，长方体的底面边长分别为 1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠
绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要 1 0 cm．
【解答】解：将长方体展开，连接A、B′，∵AA′＝1+3+1+3＝8（cm），A′B′＝6cm，
根据两点之间线段最短，AB′＝ ＝10cm．
故答案为：10．
12．如图，圆柱体的底面圆周长为8cm，高AB为3cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着
圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程为（ ）
A．4cm B．5cm C． cm D． cm
【解答】解：如图所示，圆柱体的侧面展开图为：
∵底面圆周长为8cm，
∴AD＝BC＝4cm，
又∵AB＝3cm，
在Rt△ABC中，AC＝ ＝ ＝5（cm），
∴蚂蚁爬行的最短路程为5cm，
故选：B．
13．边长分别为4cm，3cm两正方体如图放置，点P在E F 上，且E P＝ ，一只蚂蚁如果要沿着长
1 1 1
方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是 cm．【解答】解：如图，有两种展开方法：
方法一：PA＝ ＝ cm，
方法二：PA＝ ＝ cm．
故需要爬行的最短距离是 cm．
14．如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝20m，宽AD＝10m．中间竖有一堵砖墙高MN＝2m．一只蚂
蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 2 6 m的路程．
【解答】解：如图所示，将图展开，图形长度增加2MN，
原图长度增加4米，则AB＝20+4＝24m，
连接AC，
∵四边形ABCD是长方形，AB＝24m，宽AD＝10m，
∴AC＝ ＝ ＝ ＝26m，
∴蚂蚱从A点爬到C点，它至少要走26m的路程．
故答案为：26m．15．庆安中学要举办第四届运动会，现需装饰一根高为9米，底面半径为 米的圆柱，如图，点A、B分
别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上．用一根彩带（宽度不计）从点A顺着圆柱侧面绕
3圈到点B，那么这根彩带的长度最短是多少？
【解答】解：圆柱体的展开图如图所示，
用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB，
即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B
的路线最短，
∵圆柱底面半径为 cm，
∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长＝2 × ＝4cm，
又∵圆柱高为9cm， π
∴小长方形的一条边长是3cm，
根据勾股定理求得AC＝CD＝DB＝5cm，
∴AC+CD+DB＝15cm，
答：这根棉线的长度最短是15cm．题型二 将军饮马问题
16．如图，A，B两村在河L的同侧，A，B到河L的距离分别为1.5km和2km，AB＝1.3km，现要在河边建
一供水厂，同时向A，B两村供水．若铺设水管的工程费用为每千米1.8万元，问水厂与A村的水平距
离为多远时，能使铺设费用最省，并求出总费用约多少万元．
【解答】解：连接AB，作AF⊥BD于点F，则BF＝BD﹣AE＝0.5km，
∴AF＝1.2，
作A关于直线L的对称点A′，连接A′B到L交于点C，则C点为水厂所在地，
如图，过B作BD⊥L于D，作A′G⊥BD于点G，
∵BG＝BD+DG＝3.5，
A′G＝AF＝1.2，
CD＝2÷3.5×1.2＝ ，
EC＝1.2﹣ ＝ ，
∴AC+BC＝A′C+BC＝A′B＝3.7km，
∴总费用为3.7×1.8＝6.66万元．17．如图，A，B两个工厂位于一段直线形河的异侧，A厂距离河边AC＝5km，B厂距离河边BD＝1km，经
测量CD＝8km，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂E．
（1）设ED＝x，请用x的代数式表示AE+BE的长；
（2）为了使两厂的排污管道最短，污水厂E的位置应怎样来确定此时需要管道多长？
（3）通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想 的最小
值为多少？
【解答】解：（1）在Rt△ACE和Rt△BDE中，根据勾股定理可得AE＝ ，BE＝
，
∴AE+BE＝ + ，
（2）根据两点之间线段最短可知，连接AB与CD的交点就是污水处理厂E的位置．
过点B作BF⊥AC于F，则有BF＝CD＝8，BD＝CF＝1．
∴AF＝AC+CF＝6．在Rt△ABF中，BA＝ ，
∴此时最少需要管道10km．
（3）根据以上推理，可作出下图，设ED＝x，BD＝3，CD＝15，AC＝5，当A、E、B共线时，求出
AB的值即为原式的最小值．
在Rt△ABF中，AF＝8，BF＝CD＝15，
由勾股定理可得：AB＝ ，
∴ 的最小值为17．
18．如图，河边有A，B两个村庄，A村距河边10m，B村距河边30m，两村平行于河边方向的水平距离为
30m，现要在河边建一抽水站E，需铺设管道抽水到A村和B村．
（1）要使铺设管道的长度最短，请作图找出水站E的位置（不写作法）
（2）若铺设管道每米需要500元，则最低费用为多少？
【解答】解：（1）如图所示，抽水站修在点E处才能使所需的管道最短．
先求出点A关于河流的对称点A′，然后连接A′B，与河流的交点E即为所求作的抽水站的位置．
作BC垂直于河，A′C平行河．∵两村的水平距离为30米，
∴A′C＝30米．
∵A村距河边10米，B村距河边30米，
∴BC＝10+30＝40（米）．
∴A′B＝ ＝50（米）．
（2）最低费用为：50×500＝25000（元）．
19．恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷（A）和世界
级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB＝50km，A、B到直线x的距离分别为
10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区 P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，
图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S ＝PA+PB，图
1
（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A'，连接BA'交直线X于点P），P到A、B的距
离之和S ＝PA+PB．
2
（1）求S 、S ，并比较它们的大小；
1 2
（2）请你说明S ＝PA+PB的值为最小；
2
（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直
线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最
小．并求出这个最小值．
【解答】解：（1）图（1）中过B作BC⊥X于C，垂足为C；AD⊥BC于D，垂足为D，
则BC＝40，
又∵AP＝10，
∴BD＝BC﹣CD＝40﹣10＝30．
在△ABD中，AD＝ ＝40，
在Rt△PBC中，∴BP＝ ，
S ＝ ．
1
图（2）中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C＝50，
又∵BC＝40，
∴BA'＝ ，
由轴对称知：PA＝PA'，
∴S ＝BA'＝ ，
2
∴S ＞S ．
1 2
（2）如图（2），在公路上任找一点M，连接MA，MB，MA'，由轴对称知MA＝MA'，
∴MB+MA＝MB+MA'＞A'B，
∴S ＝BA'为最小．
2
（3）过A作关于X轴的对称点A'，过B作关于Y轴的对称点B'，
连接A'B'，交X轴于点P，交Y轴于点Q，则P，Q即为所求．
过A'、B'分别作X轴、Y轴的平行线交于点G，
B′G＝40+10＝50，A′G＝30+30+40＝100，
A'B'＝ ，
∴AB+AP+BQ+QP＝AB+A′P+PQ+B′Q＝50+50 ，
∴所求四边形的周长为 ．题型三 其他求最值问题
20．如图，在△ABC中，有一点P在直线AC上移动，若AB＝AC＝5，BC＝6，则BP的最小值为（ ）
A．4.8 B．5 C．4 D．
【解答】解：根据垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，
过A作AD⊥BC，交BC于点D，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴D为BC的中点，又BC＝6，
∴BD＝CD＝3，
在Rt△ADC中，AC＝5，CD＝3，
根据勾股定理得：AD＝ ＝ ＝4，
又∵S△ABC ＝ BC•AD＝ BP•AC，
∴BP＝ ＝ ＝4.8．
故选：A．
21．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，若P是AC上的一个动点，则AP+BP+CP的最小值是（ ）
A．14.8 B．15 C．15.2 D．16
【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝ ＝ ＝10，
∵AP+BP+PC＝BP+AC＝BP+10，
根据垂线段最短可知，当BP⊥AC时，BP的值最小，最小值BP＝ ＝ ＝4.8，
∴AP+BP+CP的最小值＝10+4.8＝14.8，
故选：A．
22．如图，∠MOB＝45°，点P位于∠AOB内，OP＝5，点M、N分别是射线 OA，OB上的动点，则
△PMN的最小周长为 5 ．
【解答】解：作点P关于OB的对称点P ，作点P关于OA的对称点P ，连接OP 、OP 、P P ，
1 2 1 2 1 2
则P P 的长就是△△PMN的最小周长，
1 2
∵∠MOB＝45°，点P位于∠AOB内，OP＝5，
∴∠P OP ＝90°，OP ＝OP ＝5，
1 2 1 2
∴P P ＝ ＝5 ，
1 2
故答案为：5 ．23．如图△ABC中，AB＝CB，AC＝10，S△ABC ＝60，E为AB上一动点．连接CE，过A作AF⊥CE于F，
连接BF，则BF的最小值是 7 ．
【解答】解：过B作BD⊥AC于D，
∵AB＝BC，
∴AD＝CD＝ AC＝5，
∵S△ABC ＝60，
∴ ×AC•BD＝60，即 ＝60，
BD＝12，
∵AF⊥CE，
∴∠AFC＝90°，
∴F在以AC为直径的圆上，
∵BF+DF＞BD，且DF＝DF'，
∴当F在BD上时，BF的值最小，
此时BF'＝12﹣5＝7，
则BF的最小值是7，
故答案为：7．24．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝2 ，BC＝2 +2，等腰直角△DAE中，∠DAE＝90°，且点D
是边BC上一点．
（1）求AC的长；
（2）如图1，当点E恰在AC上时，求点E到BC的距离；
（3）如图2，当点D从点B向点C运动时，求点E到BC的距离的最大值．
【解答】解：（1）作AF⊥BC于F，
∵∠B＝45°，
∴AF＝BF＝ AB＝2，
∴FC＝BC﹣BF＝2 ，
由勾股定理得，AC＝ ＝4；
（2）作EH⊥BC于H，
在Rt△AFC中，AF＝2，AC＝4，
∴∠C＝30°，
∴∠ADF＝60°，
∴∠DAF＝30°，
设DF＝x，则AD＝2x，
由勾股定理得，AD2﹣DF2＝AF2，即（2x）2﹣x2＝22，
解得，x＝ ，∴AD＝2x＝ ，
∴AE＝AD＝ ，
∴EC＝AC﹣AE＝4﹣ ，
∵∠C＝30°，
∴EH＝ EC＝2﹣ ；
（3）由题意得，当点D运动到点C的位置时，点E到BC的距离的最大，如图2，
作AF⊥BC于F，EM⊥AF交FA的延长线于M，
∵∠EAM+∠CAF＝90°，∠CAF+∠ACF＝90°，
∴∠EAM＝∠ACF，
在△AME和△CFA中，
，
∴△AME≌△CFA（AAS），
∴AM＝CF＝2 ，
∴EH＝MF＝2 +2．
