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专题 03 有理数的运算 30 考点复习指南
知识点1加法法则
⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1值。互为相反数的两个数相加得0。
⑶一个数同0相加，仍得这个数。
知识点2加法运算定律
（1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a
（2）加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不
变。
即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）
知识点3减法法则
减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a－b=a＋（﹣）b
知识点4乘法法则
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
（2）任何数同0相乘，都得0。
（3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，
即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。
（4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。
知识点5乘法运算定律
（1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即 a×b×c＝
﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即 a×
﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。
知识点6倒数
（1）定义： 乘积为1的两个数互为倒数。
（2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。
注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 ±1.
知识点7除法法则
（1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。
（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
（3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。
知识点8乘方法则运算
（1）正数的任何次幂都是正数
（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 2（3）0的任何正整数次幂都是0
知识点9混合运算
（1）先乘方，再乘除，最后加减。
（2）同级运算，从左到右的顺序进行。
（3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算
时，要分两步走：先确定符号，再求值。
知识点10科学计数法
1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为
正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚
注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1
2.近似数的精确度：两种形式
（1）精确到某位或精确到小数点后某位。
（2）保留几个有效数字
注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示
例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105
3.有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。
注：
（1） 用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字
是3 。
（2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。
例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。
一、有理数加法运算
1．（24-25七年级上·广东佛山·期中）在学习了《有理数及其运算》后，总结得出以下结论：①两数相加，
和一定大于任何一个加数；②一个数的绝对值一定是正数；③整数和分数统称为有理数；④若 ，
则 ， 中至少有一个是负数．其中正确的结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（23-24七年级上·天津·期末）计算 的结果是（ ）
A． B． C．5 D．1
3．（22-23七年级上·北京通州·期中）我国是最早认识负数并进行相关运算的国家，在古代数学名著《九
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 3章算术》里就记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图1表示的是计算 的过程．按照这种方法，
图2表示的过程应是在计算（ ）
A． B． C． D．
二、有理数加法中的符号问题
4．（23-24七年级上·江苏南通·期末）如图，数轴上点 表示的数分别是 ，且满足 ，则下
列各式的值一定是正数的是（ ）
A．a B． C． D．
5．（23-24七年级上·福建泉州·期末）数轴上A，B两点（不与原点O重合）分别表示有理数 、 ，
的中点为P，若 ，则关于原点O的位置，下列说法正确的个数（ ）
①当 时，点O与点P重合； ②当 时，点O在线段 上；
③当点O在点P的左侧时， ； ④当点O在线段 上时， ；
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．（21-22七年级上·江苏南京·期中）如果 ，且 ，那么一定正确的是（ ）
A．a为正数，且 B．a为正数，且
C．b为负数，且 D．b为负数，且
三、有理数加法在生活中的应用
7．（21-22七年级上·甘肃庆阳·期末）某种药品说明书上标明保存温度是 ，则保存该药品最合适
的温度范围是（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 4A． B． C． D．
8．（23-24七年级上·河南郑州·期末）温度由 上升 是（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24七年级上·广东深圳·期末）我国新冠疫苗的保存温度一般是 ．以下温度适合储存我国
新冠疫苗的是（ ）
A． B． C． D．
四、有理数加法运算律
10．（23-24七年级上·河北邢台·期末） 是应用了（ ）
A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．移项
11．（22-23七年级上·河北廊坊·期末）能与 相加得0的是（ ）
A． B． C． D．
12．（21-22七年级上·河北承德·期末）在计算 时，佳佳的板演过程如下：
解：原式 ．
老师问：“佳佳同学在解答过程中运用了哪些运算律？”
甲同学回答说：“佳佳在解答过程中运用了加法交换律”；
乙同学回答说：“佳佳在解答过程中运用了加法结合律”；
丙同学回答说：“佳佳在解答过程中既运用了加法交换律，也运用了加法结合律”．
下列对甲、乙、丙三名同学说法判断正确的是（ ）
A．甲同学说的对 B．乙同学说的对
C．丙同学说的对 D．甲、乙、丙说的都不对
五、有理数的减法运算
13．（23-24七年级下·河北保定·期中）如图所示，已知北京时间2024年10月25日上午8时对应数轴上的
数字8，多伦多时间2024年10月24日晚20时对应数轴上的数字 ，由此推断当纽约时间是2024年10月
24日晚19时时，对应数轴上的数字是（ ）
A．9 B．7 C． D．
14．（23-24七年级上·天津·期末）如图，在数轴上表示到原点的距离为3个单位长度的点是（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 5A．D点 B．A点 C．A点和D点 D．B点和C点
15．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）点A在数轴上的位置如图所示，若将点A向左移动4个单位长度得
到点B，则点B表示的数是（ ）
A．5 B．4 C． D．
六、有理数的加减混合运算
16．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）将 写成省略加号的和的形式是（ ）
A． B．
C． D．
17．（22-23七年级上·湖南邵阳·期末）在 ， ， ， ， ， ， −2 ， 这些数中，正有
理数有 个，非负整数有 个，分数有 个，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
18．（11-12七年级上·江苏苏州·期中）不改变原式的值，将 中的减法改成加法并写成
省略加号和的形式是（ ）
A． B．
C． D．
七、有理数加减中的简便运算
19．（21-22七年级·全国·假期作业）嘉琪同学在计算 时，运算过程正确且比较简便的是
（ ）
A． B．
C． D．
20．（21-22七年级上·广东揭阳·期末）计算 的结果是（ ）
A．-1009 B．-2018 C．0 D．-1
21．（21-22七年级上·河南洛阳·期末）计算
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 6的值为（ ）
A． B． C． D．
八、有理数加减混合运算的应用
22．（23-24七年级下·福建莆田·期末）将 ， ， ，0，1，2，3，4，5，6这10个数填到图中的10
个格子里，每个格子中只填一个数，使得所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于 ，则 的最大值
是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
23．（23-24七年级上·广西北海·期末）某地区的气温在一段时间里，先从 上升了 ，后下降了 ，
则此时的气温是（ ）
A． B． C． D．
24．（23-24七年级上·四川达州·期末）小明近期几次数学测试的成绩如下：第一次85分，第二次比第一
次高8分，第三次比第二次低12分，第四次又比第三次高10分，则小明第四次测试的成绩是（ ）
A．85分 B．93分 C．81分 D．91分
九、两个有理数的乘法运算
25．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
26．（24-25七年级上·全国·期末）若实数 在数轴上的位置如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
27．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）下列各式结果为负数的是（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 7A． B． C． D．
十、多个有理数的乘法运算
28．（24-25七年级上·福建泉州·期中）若 ，则 的值是（ ）
A． B．1 C．2 D．−2
29．（23-24七年级上·广西玉林·期末）如果 ，那么下列判断正确的是（ ）
A． B． C． 异号 D．
30．（23-24七年级上·云南文山·期末）下列各式中化简或计算结果为正的是（ ）
A． B．
C． D．
十一、有理数乘法运算律
31．（24-25七年级上·全国·期末）算式 可以化为（ ）
A． B．
C． D．
32．（23-24七年级上·福建福州·期末）下列等式能表示分配律的是（ ）
A． B．
C． D．
33．（23-24七年级上·河北保定·期末）下面计算 的过程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 8十二、有理数乘法的实际应用
34．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）已知某通讯公司所收取的电话费 （元）随用户通话时间 （分
钟）的变化情况如下表：（不足1分钟按1分钟算）
通话时间t/分钟 1 2 3 4 …
电话费y/元 …
若小明通话6分钟，则需要付电话费（ ）
A．0.85元 B．0.9元 C．1.2元 D．1.35元
35．（23-24七年级上·甘肃平凉·期末）某服装店在十周年店庆之际，所有衣服一律8折酬宾，那么买一件
标价为150的衣服只需要付（ ）钱．
A．142元 B．130元 C．120元 D．110元
36．（19-20七年级上·河北保定·期末）某校食堂买了5袋白菜，以每袋 千克为标准，超过的千克数记为
正数，称重后的记录分别为（单位：千克） ， ， ， ， 请大家快速准确地算出5袋白
菜的总质量是（ ）
A． 千克 B．2千克 C． 千克 D． 千克
十三、倒数
37．（24-25七年级上·江苏南京·期末）2024的倒数是（ ）
A．2024 B． C． D．
38．（24-25七年级上·广西柳州·期中） 的倒数是（ ）
A． B． C． D．
39．（21-22七年级上·重庆·期末） 的倒数是（ ）
A． B． C． D．
十四、有理数的除法运算
40．（24-25七年级上·全国·期末）已知a与b互为相反数，且 ，下列关系式： ， ，
， ， ，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
41．（24-25七年级上·北京通州·期中）如果有理数x、y满足 ，那么 的值为（ ）．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 9A． B．2 C．2或 D． 或2
42．（23-24七年级上·四川达州·期末）计算 得（ ）
A． B．8 C． D．
十五、有理数除法的应用
43．（23-24七年级下·山东德州·开学考试）已知某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个
盈利 ，另一个亏损 ，在这次买卖中，这家商店（ ）
A．不盈不亏 B．盈利10元
C．亏损10元 D．盈利50元
44．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）甲乙丙三位同学合乘一辆滴滴车去顺路的三个地点，事先约定三人
根据路程分摊车费，甲在全程的四分之一处下车，甲下车时，乙离下车点还有一半的路程，丙坐完全程．
已知乙支付了18元车费，则三人一共支付多少车费？（ ）
A．36元 B．48元 C．63元 D．81元
45．（23-24七年级上·福建厦门·期末）甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成
剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如下表：则完成这项工作共需（ ）
天数 第3天 第5天
工作进度
A．6天 B．8天 C．9天 D．10天
十六、有理数乘除混合运算
46．（18-19七年级上·四川·单元测试）计算 的结果是（ ）
A．6 B．36 C． D．1
47．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）小林在计算“ ”时，误将“÷”看成“＋”，结果得
50，则 的值为（ ）
A．10 B．16 C． D．
48．（23-24七年级上·湖北恩施·期末）计算 的结果是（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 10A． B． C．3 D．9
十七、有理数幂的概念理解
49．（23-24七年级上·福建泉州·期末）代数式 可表示为（ ）
A． B． C． D．
50．（23-24七年级上·江苏南通·期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
51．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）代数式 化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
十八、有理数的乘方运算
52．（24-25七年级上·全国·期末）下列式子中相等的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
53．（24-25七年级上·全国·期末）下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
54．（24-25七年级上·四川达州·期中）下列各组数中：① 与 ；② 与 ；③ 与 ；
④ 与 ；⑤ 与 ．其中结果相等的组共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
十九、有理数乘方逆运算
55．（22-23七年级上·湖北武汉·期中）已知 ，若 ，则 的值（ ）
A．86.2 B． C． D．
56．（21-22七年级上·江苏南京·期末）若x、y、z是三个连续的正整数，若x2＝44944，z2＝45796，则y2＝
（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 11A．45369 B．45371 C．45465 D．46489
57．（23-24六年级上·黑龙江大庆·期末）已知 ，则 ，若 ， ．
二十、乘方运算的符号规律
58．（20-21七年级上·安徽合肥·期中）下列各组数中，数值相等的一组是（ ）
A．32和23 B．（﹣2）3和﹣23
C．﹣32和（﹣3）2 D．﹣（2×3）2和﹣2×32
59．（21-22七年级上·福建厦门·期末）观察下列三组数的运算： ， ； ，
； ， ．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母 表示的式子：
①当 时， ；②当 时， ．其中表示的规律正确的是（ ）
A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确
60．（15-16七年级上·广西南宁·阶段练习）若 ，则a， ， 由小到大排列正确的是（ ）
A． B． C． D．
二十一、乘方的应用
61．（24-25七年级上·全国·期末）手机流量是指手机上网产生的流量数据，用手机打开软件或进行互联网
操作时，会和服务器之间交换数据，手机流量就是指这数据的大小，同时手机流量的单位是采取 进制，
同时单位有 ，单位的换算是 ，请问这上面的信
息中的 所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
62．（23-24七年级上·河南郑州·期末）《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，
枝有九巢……”．大意为：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树
枝上有9个鸟巢……．文中的鸟巢共有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
63．（23-24七年级上·云南曲靖·期末）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学
模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型 来表
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 12示即； ， ， ， ， ，…，请你推算 的个位数字是（ ）
A．6 B．4 C．2 D．8
二十二、用科学记数法表示绝对值大于1的数
64．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）据统计，2024年辽宁中考报名人数约为25万，数据25万用科学记
数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
65．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）“2024沈阳皇姑马拉松赛”8月19日上午 ，正式开跑，共有
约16000名选手参加了比赛．16000用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
66．（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）中国国家图书馆藏书约 万册，居世界第五位．请将 万用
科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
二十三、将用科学记数法表示的数变回原数
67．（2024·广东珠海·一模）“学习强国”平台上线的某天，全国大约有 人在此平台上学习，用
科学记数法表示的数 的原数为（ ）
A．126300000 B．12630000 C．1263000000 D．1263000
68．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）用科学记数法表示的数 的原数为（ ）
A．80700000000 B．8070000000 C．807000000 D．80700000
69．（23-24七年级上·广东江门·期末）减少过度包装既节约资源又保护环境，据测算如果全国每年减少
的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳 吨，把 写成原数为（ ）
A．312 B．31200 C．3120000 D．312000000
二十四、有理数四则混合运算
70．（23-24七年级上·湖北黄石·期中）法国的“小九九”从“一 一得一”到“五五二十五”和我国的
“小九九”是一样的，后面的就改用手势了．下面两个图框是用法国“小九九”计算 和 的两个示
例，且左手伸出的手指数不大于右手伸出的手指数．若用法国的“小九九”计算 ，左、右手依次伸出
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 13手指的个数是（ ）
？
？
因为两手伸出的手指数的和为 ，未 因为两手伸出的手指数的和为
伸出的手指数的积为 ，所以
，未伸出的手指数的积为 ，所以
A． ， B． ， C． ， D． ，
71．（23-24七年级上·浙江金华·期末）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第10个图形
中正方形的个数是……（ ）
A．110 B．330 C．440 D．572
72．（23-24七年级上·四川遂宁·期末）有下列四个算式① ；② ；③
；④ ．其中，正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二十五、有理数四则混合运算的实际应用
73．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）一件衣服的进价为 元，商家提高 进行标价，为了吸引顾客，
商店进行打 折促销活动，商家出售这件衣服时，获得的利润是（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
74．（22-23七年级上·浙江台州·期末）某商品进价为100元，该商品在进价基础上提高 进行标价，但
实际销售时，又降价 出售，则销售此商品的盈亏情况是（ ）
A．赚了91元 B．赚了9元 C．亏了91元 D．亏了9元
75．（23-24七年级上·河北保定·期末）小明妈妈买了一盒蛋黄酥（共计6枚），小明将蛋黄酥进行称重，
情况如下表所示（单位：克，标准质量为100克/枚，超过部分记为正，不足部分记为负），则这盒蛋黄酥
的实际重量是（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 14第n枚 1 2 3 4 5 6
与标准质量的差
A．596克 B．594克 C．593克 D．592克
二十六、含乘方的有理数混合运算
76．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）定义一种新运算： ，则 的结果为
（ ）
A． B．3 C．15 D．
77．（23-24七年级上·广东东莞·期末）式子 计算正确的是（ ）
A．0 B． C．17 D．
78．（23-24七年级下·湖南永州·期末）计算： （ ）
A．1 B．2 C．0 D．
二十七、计算器——有理数
79 ． （ 23-24 七 年 级 上 · 浙 江 绍 兴 · 期 末 ） 用 计 算 器 ， 按 下 列 按 键 顺 序 输 入
，则它表达的算式是（ ）
A． B． C． D．
80．（23-24六年级上·山东淄博·期末）下面科学计算器的按键顺序：
对应的计算任务是（ ）
A． B． C． D．
81．（24-25九年级上·山东临沂·期末）用型号为“大雁牌 ”的计算器计算 ，按键顺序正确
的是（ ）
A．
B．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 15C．
D．
二十八、求一个数的近似数
82．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）用四舍五入按要求对 分别取近似值，其中错误的是
（ ）
A． 精确到 B． 精确到百分位
C． 精确到千分位 D． 精确到
83．（24-25七年级上·福建厦门·期中）用四舍五入法按要求对 分别取近似值，其中错误的是
（ ）
A． （精确到 ） B． （精确到千分位）
C． （精确到百分位） D． （精确到0.0001）
84．（22-23七年级上·河南郑州·期末）下列说法正确的是（ ）
A．近似数6.50和近似数6.5的精确度一样
B．近似数6.50和近似数6.5的有效数字相同
C．近似数8千万和近似数8000万的精确度一样
D．近似数68.0和近似数6.8的精确度一样
二十九、求近似数的精确度
85．（24-25六年级上·全国·期末）按括号内的要求用四舍五入法求近似数，其中正确的是（ ）
A． （精确到十分位） B． （精确到 ）
C． 亿 亿（精确到个位） D． （精确到 ）
86．（23-24九年级下·吉林长春·期末）如果把202400这个数精确到千位，并且用科学记数法表示，正确
的是（ ）
A． B． C． D．
87．（23-24七年级上·安徽安庆·期末）下列说法正确的是（ ）
A．近似数 与 精确度相同 B．数 精确到百分位为
C．近似数 精确到十分位 D．近似数 万精确到百分位
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 16三十、近似数推断取值范围
88．（22-23七年级上·湖南湘西·期末）已知 是由四舍五入得到的近似数，则a的可能取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
89．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）一个数a精确到十分位的结果是 ，那么这个数a的范围满足
（ ）
A． B． C． D．
90．（23-24七年级上·广东汕头·期中）用四舍五入法得到的近似数 ．其准确数a的范围是（ ）
A． B．
C． D．
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