文档内容
七年级上册数学《第 2 章有理数及其运算》
2.1 认识有理数
2.1.1 有理数
具有相反意义的量
知识点一
★1、具有相反意义的量包含两层含义：（1）具有相反意义；（2）具有数量．
★2、用正负数表示具有相反意义的量
为了更好的区分这些具有相反意义的量，通常我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它
具有相反意义的量就可以用负数表示．
用正、负数表示具有相反意义的量
知识点二
★1、正数和负数的概念： 像 1，2，3，1.8％ 这样大于 0 的数叫做正数.
像 -3，-1，-2，-2.7％ 这样在正数前面加上符号“ - ”(负) 的数叫做负数.
【注意】
正数前面的“＋”号可以省略不写，负数前面的“﹣”号不能省略不写.
★2、0 的意义：
（1）0 既不是正数也不是负数；
（2）0是正数与负数的分界.
（3）0不仅表示“没有”，还可以表示某种量的基准，如0℃可以表示实际温度为冰点时的计量结果.
有理数的分类
知识点三
★1、整数：正整数、负整数、零统称为整数．
★2、分数：正分数、负分数统称为分数．
★3、有理数：整数和分数统称为有理数.有限小数和无限循环小数都是分数，所以也是有理数；
无限不循环小数（如 π）不是分数，就不是有理数.
m
拓展：任何一个有理数都可以写成 n （m、n是整数，n≠0）的数叫做有理数．
★4、部分常用的数：
（1）正整数：例如： 1，2，3，… ；
负整数：例如：－1，－2，－3，…；
2 1
（2）正分数：例如： ，2 ，3.14， …，
3 2
1
− ,−0.65,−300%,−0.6˙
2
负分数：例如： ….
（3）非负数：正数和0； 非正数：负数和0；
（4）非负整数：正整数和0；非正整数：负整数和0；
【注意】
引入负数之后，小学学过的奇数和偶数的范围相应地扩大了，奇数和偶数也可以是负数.
{ {正整数
整数 0
①按整数、分数的关系分类：有理数 负整数；
{正分数
分数
负分数
{正有理数
{正整数
正分数
②按正数、负数与0的关系分类：有理数 ．
0
{负整数
负有理数
负分数
【注意】：
① 分类的标准不同，结果也不同；
② 分类的结果应无遗漏、无重复；
③ 0是整数，但0既不是正数，也不是负数.题型一 正数和负数的概念
解题技巧提炼
在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个
数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
1
1．（2024•雁塔区校级四模）在﹣2，0， ，2这四个数中，是负数的是（ ）
2
1
A．﹣2 B．0 C． D．2
2
2．（2024•港南区二模）下列各数是正数的是（ ）1
A． B．0 C．﹣1 D．﹣0.3
7
3．（2023•文昌二模）下列各数中，是负数的是（ ）
1
A．+2 B．﹣3 C．1.5 D．
3
4．（2023秋•博尔塔拉州期末）在﹣1， ，0，11，﹣8，3这五个数中，正数的个数是（ ）
A．1 B．2 π C．3 D．4
5．（2023秋•宁德期末）用﹣a表示的数是（ ）
A．负数 B．正数
C．负数或正数 D．负数或正数或0
1
6．（2023秋•仁化县期末）在0，﹣7， ，﹣0.3中，负数的个数是（ ）
4
A．1 B．2 C．3 D．4
2 1 1
7．已知下列各数：− ，﹣2 ，3.14，0，0.2，﹣216，6， ，其中正数有 ；负数有
3 2 2
．
题型二 0 的再认识
解题技巧提炼
0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，0不仅表示“没有”，还可以表
示某种量的基准．
1．（2022秋•天山区校级期中）有下列关于“0”的说法：①0是正数和负数的分界；②0只表示“什么
也没有”；③0可以表示特定的意义；④0是正数；⑤0是非负数；⑥某地海拔为0m表示没有海拔．
其中正确的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．（2023•泗阳县一模）既不是正数也不是负数的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
3．下列对“0”的说法正确的个数是（ ）
①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如0℃；④0是
正数；⑤0是自然数．
A．2 B．3 C．4 D．54．规定10吨记为0吨，11吨记为+1吨，则下列说法错误的是（ ）
A．8吨记为﹣8吨 B．15吨记为+5吨
C．6吨记为﹣4吨 D．+3吨表示重量为13吨
5．（2023秋•宜州区期末）下列说法错误的是（ ）
A．0既不是正数，也不是负数
B．零上4摄氏度可以写成+4°C，也可以写成4°C
C．若盈利100元记作+100元，则﹣20元表示亏损20元
D．向正北走一定用正数表示，向正南走一定用负数表示
题型三 判断是否为相反意义的量
解题技巧提炼
具有相反意义的量必须满足两个条件，一是它们的意义相反，二是它们都是数
量．
1．（2023秋•竞秀区校级月考）下列各组量中具有相反意义的量是（ ）
A．上升与下降 B．向东走3m与向南走5m
C．长大4岁与减少5kg D．零上2℃与零下6℃
2．下列是具有相反意义的量的是（ ）
A．向东走5米和向北走5米
B．身高增加2厘米和体重减少2千克
C．胜1局和亏本70元
D．收入50元和支出40元
3．（2023秋•衡阳期末）下列不具有相反意义的量的是（ ）
A．前进5米和后退5米
B．节约10吨水和浪费1吨水
C．超过5克和不足2克
D．身高增加2厘米和体重减少2千克
4．（2023•杭州模拟）下列选项中具有相反意义的量是（ ）
A．气温上升5℃和零下5℃ B．顺时针4圈和逆时针3圈
C．盈利200元和支出300元 D．走了100米和跑了100米
5．（2023秋•雨湖区校级月考）在下列选项中，具有相反意义的量是（ ）
A．向东走3千米与向北走3千米B．收入100元与支出50元
C．气温上升3℃与上升7℃
D．5个老人与5个小孩
6．（2023秋•安次区期末）下列各组数中，不是互为相反意义的量的是（ ）
A．收入80元和支出20元
B．长大两岁和减少两公斤
C．上升5米和下降2米
D．向东9米和向西3米
7．下面四个选项中，不具有相反意义的量的是（ ）
A．借贷5万元与还贷6万元
B．高出海平面8888米与低于海平面188米
C．亏损2万元与盈利8万元
D．增产10吨粮食与减产-10吨粮食
题型四 运用正负数表示具有相反意义的量
解题技巧提炼
用正负数表示两种具有相反意义的量．通常我们把其中一种意义的量规定为正，
用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示．
1．（2024•黑山县一模）某地提倡“节约用水，保护环境”的口号，如果节约30cm3的水记为+30cm3，那
么浪费10cm3的水记为（ ）
A．+10cm3 B．﹣10cm3 C．+0cm3 D．﹣20cm3
2．（2024•西山区校级模拟）正负数可以表示一组具有相反意义的量，如果将小明在图书馆借书10本记作
+10，那么还书5本可以记作（ ）
A．﹣10 B．+10 C．﹣5 D．+5
3．（2024•开原市一模）某校仪仗队队员的平均身高为175cm，如果高于平均身高2cm记作+2cm，那么低
于平均身高2cm应该记作（ ）
A．2cm B．﹣2cm C．175cm D．﹣175cm
4．（2023•昆明模拟）徐志摩的《泰山日出》一文描写了“泰山佛光”壮丽景象，3月份的泰山，山脚平
均气温为零上9℃，记作+9℃，山顶平均气温为零下1℃，记作（ ）
A．﹣1℃ B．+1℃ C．﹣9℃ D．+9℃5．（2023•吉林）月球表面的白天平均温度零上126℃记作+126℃夜间平均温度零下150℃应记
作（ ）
A．+150℃ B．﹣150℃ C．+276℃ D．﹣276℃
6．（2023•宽城区校级模拟）在某次班级测验中，班级的平均分为90分，小明的成绩为87分，记做﹣3，
若小亮的成绩记做+2，则小亮的成绩为（ ）
A．2分 B．88分 C．92分 D．90分
7．（2023秋•苍溪县期末）中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果盈利50元，记作
“+50元”，那么亏损30元，记作 元．
8．在下列横线上填上适当的词，构成相反意义的量．
（1）收入10元， 6元；
（2）高出海平面500m， 海平面100m；
（3）减少60kg， 80kg；
（4） 500元，节约700元；
（5）向东走5米， 走6米．
（6） 3m2，缩小4m2．
9．写出与下面各量具有相反意义的量，并用正负数表示．
（1）气温是零上8℃，零上为正；
（2）向南走200米，向南为负；
（3）转动转盘，顺时针转动5圈，顺时针旋转为正；
（4）高于海平面8米，高于海平面为正．
题型五 运用正负数表示误差范围
解题技巧提炼
用正负数表示误差范围，首先根据 a±b的实际意义，确定了最大值和最小值的结
果，从而求出物体允许的误差范围；再将数据与这个误差范围比较，若在这个范
围内，则为合格，反之为不合格.
1．（2023秋•巴楚县期末）某种药品说明书上标明保存温度是（20±3）℃，则该药品在（ ）范围内保存最合适．
A．17℃～23℃ B．20℃～23℃ C．17℃～20℃ D．20℃～26℃
2．（2023秋•渝北区期末）两江新区正加快打造智能网联新能源汽车产业集群，集聚了长安、长安福特、
赛力斯、吉利、理想等10家整车企业，200余家核心零部件企业．小虎所在的生产车间需要加工标准尺
寸为4.5mm的零部件，其中（4.5±0.2）mm范围内的尺寸为合格，则下列尺寸的零部件不合格的是（
）
A．4.4mm B．4.5mm C．4.6mm D．4.8mm
3．（2023秋•白云区期末）某药品说明书上标明药品保存的温度是（20±2）℃，则该药品保存的温度范围
是（ ）
A．20～22℃ B．18～20℃ C．18～22℃ D．20～24℃
4．一袋大米的质量标识为“10±0.15千克”，则下列大米中质量合格的是（ ）
A．9.80千克 B．10.16千克 C．9.90千克 D．10.21千克
5．（2023秋•莱西市期中）如图是加工某零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其
中不合格的是（ ）
A． 45.04 B． 44.96 C． 44.98 D． 45.02
6．（20Φ23秋•康巴什期末）若Φ一种零件的直径尺寸为Φ
30+0.04mm
，则该种零Φ件的最小直径为 mm．
−0.03
7．某超市出售的三种品牌的大米袋上，分别标有质量为（50±0.2）kg、（50±0.3）kg、（50±0.25）kg的字
样，从超市中任意拿出两袋大米，它们的质量最多相差（ ）
A．0.4kg B．0.5kg C．0.55kg D．0.6kg
题型六 正数、负数的探究题解题技巧提炼
1、探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，
形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
2、探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通
常要从符号和数（不考虑符号）两个方面进行观察，若是分数还要分别观察分
子、分母，特别要注意观察符号的变化规律，才能得到这种数的一般特征．
1．已知一列数：1、﹣2、3、﹣4、5、﹣6、……，将这列数排成下列形式：
按照上述规律排列下去，第10行数的第1个数是（ ）
A．﹣46 B．﹣36 C．37 D．45
2．观察下面依次排列的两列数，请按其规律写出后面的3个数，你能说出每组第15个数、第101个数、
第2018个数分别是什么吗？
（1）﹣1，﹣2，+3，﹣4，﹣5，+6，﹣7，﹣8， ， ， ，…；
1 1 1 1
（2）﹣1， ，﹣3， ，﹣5， ，﹣7， ， ， ， ，…．
2 4 6 8
3．观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的3个数．
1 1 1 1
（1）﹣1， ，﹣3， ，﹣5， ，﹣7， ， ， ， ，…；
2 4 6 8
（2）﹣1，﹣2，+3，﹣4，﹣5，+6，﹣7，﹣8， ， ， ，…
4．观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的3个数，你能说出这三列数第100个数，第2016个数
是什么吗？它们的排列规律是什么？
（1）2，﹣2，2，﹣2，2，﹣2， ， ， …
（2）﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6， ， ， …
1 1 1 1 1
（3）− ， ，− ， ，− ， ， ， …
2 4 6 8 10
5．（2023•市南区校级开学）已知一列数：1，2，3，4，5，6，7，…将这列数排成下列形式：
第1行 1
第2行 2 3
第3行 4 5 6第4行 7 8 9 10
第5行 11 12 13 14 15
…
按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数是 ，第20行从右边数第5个数是 ．
6．如图，将一串数按下列规律排列，回答下列问题：
（1）在A处的数是正数还是负数？
（2）负数排在A，B，C，D中的什么位置？
（3）第2020个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？
题型七 与正负数有关的图表信息题
解题技巧提炼
解决图表信息题的关键是根据图表得出正确信息，再结合题意计算，解决此类题
要注意用正负数正确表示变化量．
1．体育课上全班女生进行百米测验达标成绩为18秒，下面是第一小组8名女生的成绩记录，其中“+”表
示成绩大于 18 秒，“﹣”表示成绩小于 18 秒，“0”表示刚好达标，这个小组女生的达标率是
（ ）﹣2 +0.3 0 0 ﹣1.2 ﹣1 +0.5 ﹣0.4
A．25% B．37.5% C．50% D．75%
2．下表是某水库一周内水位高低的变化情况（用正数记水位比前一日上升数，用负数记下降数）．那么
本周星期几水位最低（ ）
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位变化/米 0.12 ﹣0.02 ﹣0.13 ﹣0.20 ﹣0.08 ﹣0.02 0.32
A．星期二 B．星期四 C．星期六 D．星期五
3．如图，标号为①②③④的时钟准确显示了同一时刻的伦敦、悉尼、纽约和北京时间，根据如表给出
伦敦、悉尼、纽约与北京的时差，表示伦敦、悉尼、纽约和北京时间的时钟标号分别是 ．
城市 伦敦 悉尼 纽约
时差 ﹣8 +2 ﹣13
4．（2023秋•衢江区期末）为迎接校运会，需要在七年级男生中选拔彩旗队，要求彩旗队队员的标准身高
为170cm，身高在“170±2cm”为合格身高．某体育老师在两个班中挑选了与标准身高接近的 12名男生，
如表是这12名男生的身高情况：
与标准身高 ﹣3 ﹣2 0 1 2 3
的差
（cm）
人数（人） 3 2 3 1 2 1
（1）这12名男生中有多少人身高合格？
（2）身高合格男生的平均身高比标准身高高（或低）多少cm？
5．国庆期间，观看电影《长津湖》成为了人们的假期活动首选节目．某区9月30日售票量为1.2万张，
该区10月1日到10月7日售票量的变化如表（正号表示售票量比前一天多，负号表示售票量比前一天少）：
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
售票量的变化 +0.6 +0.1 ﹣0.3 ﹣0.2 +0.4 ﹣0.2 +0.1
（单位：万
张）
（1）10月2日的售票量为多少万张？
（2）若平均每张票价为50元，则10月1日到10月7日该区销售《长津湖》共多少万元？
题型八 有理数概念的辨析
解题技巧提炼
整数和分数统称为有理数；有限小数和无限循环小数都是分数，所以也是有理
数；
22 π
1．（2023秋•梁山县期末）在3.14， ，0， ，0.1010010001中有理数的个数有（ ）
7 3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023•大新县校级模拟）下列各数中，是负整数的数是（ ）
A．2 B．2.5 C．﹣2 D．﹣2.5
22 π
3．（2023秋•长沙期末）在﹣3.5， ，0.3070809，0， 中，有理数有（ ）个．
7 3
A．1 B．2 C．3 D．41 3
4．（2023春•闵行区期中）在﹣15，5 ，﹣0.23，0，7.6，2，− ，314%．这八个有理数中非负数有（
3 5
）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
22
5．（2023秋•博罗县期末）有理数0，6，﹣5，− ，9中整数有 ；负数有 ．
7
3 4
6．（2023秋•射洪市期末）在+8，0，− ，+ ，2023，﹣5，0.26，11.3中，非负整数有 个．
7 5
22
7．（2023秋•船营区校级期中）在﹣3.6，﹣10%， ， ，0，2这六个数中，非负有理数有 个．
7
π
2 1
8．（2023秋•雁塔区校级月考）在﹣8，2020，3 ，0.1，﹣5，+13， ，﹣6.9中，分数有 个．
7 4
题型九 有理数的分类
解题技巧提炼
有理数有两种分类方法，一是按定义来分，分为整数和分数；一是按性质符号来
分，分为正有理数、0和负无理数.
注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，
所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无
限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
1．（2024•民勤县三模）下列四个有理数中，既是分数又是正数的是（ ）
1
A．3 B．﹣3 C．0 D．2.4
2
1 22
2．（2023秋•隆回县期末）在− ， ，0，﹣1，0.12，14，﹣2，﹣1.5这些数中，正有理数有m个，
3 7
非负整数有n个，分数有k个，则m﹣n+k的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
3．（2023秋•凉州区校级期末）把下列各数填到相应的集合中．
1 6
1， ，0.5，+7，0，﹣ ，﹣6.4，﹣9， ，0.3，5%，﹣26，1.010010001…．
3 13
π
正数集合：{ …}；
负数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；；
分数集合：{ …}；．4．（2023秋•凉州区期末）把下面个各数填入相应的大括号内
4 21
﹣13.5，5，0，﹣10，3.14，+27，− ，﹣15%， ．
5 3
负数集合：{ …}，
非负数集合：{ …}，
整数集合：{ …}，
负分数集合：{ …}．
3
5．（2023秋•天桥区校级月考）把下列各数的序号填入相应的集合中：①﹣5.3，②+31，③− ，
4
12
④0，⑤﹣7，⑥ ，⑦2005，⑧﹣1.69．
13
负数集合： ；
整数集合： ；
负分数集合： ；
非负整数集合： ．
6．将下面一组数填入相应集合的圈内：
7
﹣0.5，﹣7，+2.8，﹣30，﹣4，100.2，0，8，
8
7．（2023秋•雨花区校级月考）把下列各数的序号填在相应的大括号里：
2 1
①0；②3.1415926；③200；④﹣2020；⑤﹣6. ⋅ ⋅；⑥+108；⑦−2 ；⑧ ．
143
7 11
整数：{ ⋯}；
正数：{ ⋯}；
正分数：{ ⋯}；
负有理数：{ ⋯}．8．（2023秋•平阴县期末）请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里．
7
1，0.0708，﹣700，﹣3.88，0，3.14，− ，0. ⋅⋅．
23
23
正有理数集合：{ …}，
负整数集合：{ …}，
正分数集合：{ …}，
非负整数集合：{ …}．
