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专项 11 实数的相关运算（5 大类概念）
考点1 无理数的概念
1.有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何有限小数或无限循环小数
也都是有理数。
2、无限不循环小数叫做无理数。
3、有理数和无理数统称实数。
考点2 平方根和算术平方根
1、平方根：如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个x就叫a的平方根，表示为±
√a
，也叫二次方根。只有非负数才有平方根。
2、算数平方根： 若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x就叫做a的算术平方
根。记为“ ”读作“根号a”。算术平方根都是非负数。
考点3 立方根
立方根：如果一个数x的立方等于 ，这个数叫做 的立方根（也叫做三次方根），即如
果 ，那么 叫做 的立方根。任何数都有立方根。
考点4 二次根式
形如 的式子，叫做二次根式。（ ）
1．二次根式的主要性质：
√ 2
a =|a|=¿{a a≥0¿¿¿¿
2
(√a) =a(a≥0,)
① ； ② ；
√a √a √ab
= = (a≥0, b>0)
√ab=√a⋅√b (a≥0,b≥0) b √b b
③ ； ④ ；
1 √a−√b √a−√b 1 √a+√b
= = =
√a+√b (√a+√b)(√a−√b) a−b √a−√b a−b
⑤ ； ⑥ ．考点5 最简二次根式
被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式，像这样的二次根式成
为最简二次根式。
最简二次根式的条件：①根号内不含有开的尽方的因数或因式；②根号内不含有分母，小
数；③分母不含有根号。
被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式。
【考点1 无理数的概念】
【典例 1】（2022 秋•射阳县月考）在数 ，1.010010001， ，0，﹣2 ，﹣
2.62662666…，3.1415中，无理数的个数是（ ） π
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-1】（2022春•蚌埠期末）在0， ，0.0101101110…（每两个0之间的1依次增
π
加），3.14， 中，无理数的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式1-2】（2022•福建）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理
数是（ ）
A． B． C． D．
π
【变式1-3】（2011•宜昌校级一模）在0.03，0.3， ， ， 中，无理数有（ ）个．
π
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点2 平方根、算术平方根与立方根的概念】
【典例2】（2021秋•新乐市期末）16的平方根是（ ）A．4 B．﹣4 C．±4 D．8
【变式2-1】（2022春•红河州期末）9的平方根是（ ）
A．±3 B．3 C．± D．
【变式2-2】（2022春•沙依巴克区校级期末） 的平方根是（ ）
A．4 B．2 C．4或﹣4 D．2或﹣2
【典例3】（2022春•江夏区校级月考）25的算术平方根是（ ）
A．﹣5 B．5 C．±5 D．
【变式3-1】（2022春•绵阳期末）已知 ，则x＝（ ）
A．16 B．8 C．2 D．±2
【变式3-2】（2022春•威县期末）式子 表示（ ）
A．﹣4的算术平方根 B．8的算术平方根
C．16的平方根 D．16的算术平方根
【典例3】（2022•陇县二模） 的立方根为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2022•武威模拟）﹣8的立方根是（ ）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．﹣512
【变式 3-2】（2022 春•宜城市期末）如果 x 是 64 的立方根，那么 x 的算术平方根是
（ ）
A．4 B．2 C． D．±4
【考点3 实数大小比较、无理数的估算】
【典例4】（2022春•涪陵区校级期中）估计2 ﹣1的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【变式4-1】（2022春•大足区期末）估计 +1的值（ ）A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间
【变式4-2】（2022春•滨海新区期末）估计 大小在（ ）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
【变式4-3】（2005•芜湖）估算 的值（ ）
A．在4和5之间 B．在5和6之间 C．在6和7之间 D．在7和8之间
【典例5】（2021秋•皇姑区校级月考）观察下列一组等式，解答后面的问题：
（ +1）（ ﹣1）＝1，（ + ）（ ﹣ ）＝1，（ + ）（ ﹣
）＝1，（ + ）（ ﹣ ）＝1，…
（1）根据上面的规律，计算下列式子的值：
（ ）（ +1）．
（2）利用上面的规律，比较 与 的大小．
【变式5-1】（2016春•苏仙区校级期中）先阅读，后解答：
＝ ＝ ＝3+
像上述解题过程中， ﹣ 与 + 相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式
子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化，
（1） 的有理化因式是 ； +2的有理化因式是 ．
（2）将下列式子进行分母有理化：＝ ； ＝ 1 ﹣ ．
（3）已知a＝ ，b＝2﹣ ，比较a与b的大小关系．
【变式5-2】（2014秋•资中县月考）阅读下面的计算过程：
＝ ＝ ﹣1；
＝ ＝ ﹣ ；
＝ ＝ ﹣2
…
根据以上信息，解答下面的问题：
（1）化简 ＝ （直接写出结果）；
（2）化简 ＝ （n为正整数，直接写出结果）；
（3）计算：（ +1）（ + +…+ +
）
（4）比较 ﹣ 与 ﹣ 的大小．声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/9/29 15:20:50；用户：gaga；邮箱：18376708956；学号：189
【考点4 最简二次根式及同类二次根式】
【典例 6】（2022 春•绥滨县期末）二次根式 、 、 、 、 、
中，最简二次根式有（ ）个．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4个
【变式6-1】（2022春•温州期中）下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【变式 6-2】（2022 春•武邑县校级期末）若 是最简二次根式，则 m 的值可以是
（ ）
A．﹣2 B．4 C．5 D．8
【考点5 无理数在数轴上的表示】
【典例7】（2021春•渝水区校级月考）如图，若实数 ，则数轴上表示m的点
应落在（ ）
A．线段AB上 B．线段BC上 C．线段CD上 D．线段DE上
【变式7-1】（2021春•回民区期中）若将 ， ， 分别表示在数轴上，其中能被
如图所示的墨迹覆盖的数是（ ）A． B． C． D．无法确定
【变式7-2】（2022春•顺德区校级期中）如图，数轴上表示 1， 的对应点分别为A，
B，AB＝AC，则点C所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【典例8】（2022春•朝天区期末）如图，面积为7的正方形OABC的顶点O在数轴的原点
处，若点 D 在数轴上（点 D 在点 O 的左侧），且 OC＝OD，则点 D 表示的数为
（ ）
A．3﹣ B．3﹣ C．﹣ D．﹣
【变式8-1】（2022春•松滋市期末）如图，一条长度为 的线段OA绕着O点旋转一周，
当OA与数轴重合时，A点表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2022春•芜湖期末）实数a、b在数轴上的位置如图，则化简 ﹣ ﹣
的结果是（ ）A．0 B．﹣2a C．2（b﹣a） D．﹣2b
1．（2022春•泾阳县月考）以下正方形的边长是无理数的是（ ）
A．面积为9的正方形 B．面积为49的正方形
C．面积为8的正方形 D．面积为64的正方形
2．（2022春•营口期中） 的值（ ）
A．9 B．±9 C．3 D．±3
3．（2022春•宜州区期中）若x2＝3，则x的值是（ ）
A． B． C．±9 D．±
4．（2022春•合江县期末）下列写法正确的是（ ）
A．﹣ ＝±9 B． ＝±9 C． ＝±9 D． ＝9
5．（2022春•红河州期末）已知 ，则（a+c）b等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣4 D．4
6．（2022春•朔州期末）若 ＝a，则a的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．
7．（2022春•宝清县期中）若 ，则 的值为（ ）
A．5 B．15 C．25 D．﹣5
8．（2022春•兴庆区校级期末）下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022春•凤阳县校级期末）如果一个数的平方为64，则这个数的立方根是（ ）A．2 B．﹣2 C．4 D．±2
10．（2022春•沙河口区期末）下列对于 的大小估算正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022春•集美区期末）小明想裁出一块面积为12dm2的正方形纸片，画上冰墩墩参加
学校的美术比赛，设该纸片的边长为xdm，下列对x的大小估计正确的是（ ）
A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6
12．（2022春•东莞市校级期中）下列各式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2022春•武邑县校级期末）如图1，将面积为2的正方形向外等距扩0.5．在如图2
所示的数轴上标示了四段范围，则大正方形的边长数值落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
14．（2022春•济源期末）如图，正方形ABCD的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为
1，若点 E 在数轴上（点 E 在点 A 的左侧），且 AD＝AE，则点 E 所表示的数为
（ ）
A． B． C． D．
15．（2022春•双台子区期末）下列大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．16．（2010•怀化）若0＜x＜1，则x，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x＜x2＜x3 B．x＜x3＜x2 C．x3＜x2＜x D．x2＜x3＜x
17．（2019•九龙坡区校级模拟）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌．
这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次
根 式 中 也 有 这 种 相 辅 相 成 的 “ 对 子 ” ， 如 ，
，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因
式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：如
， ．像这样通过分子、分母
同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化．
解决问题：
（1）比较大小： （用“＞”“＜”或“＝”填空）；
（2）计算： + ；
（3）设实数x，y满足 ，求x+y+2019的值．
