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专项 10 相似三角形-射影定理综合应用
一、射影定理 直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；
且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，
则有ＣD２＝ＢＤ•AD、
ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或
ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。（证明略）
二、变式推广
１．逆用 如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•Ａ
Ｄ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ
＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。
２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地
仍有部分结论成立。（后文简称：射影定理变式（2））
如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，
或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，
若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△
ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。【类型1：直角三角形中射影定理】
【典例1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若AD＝4，BD＝8，则CD的长为
（ ）
A．4 B．4 C．4 D．
【答案】A
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠B＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∵∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴△ADC∽△CDB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：CD＝4 ，
故选：A．
【变式1-1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，AD＝4，BD＝9，则CD的长是
（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】B【解答】解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，AD＝4，BD＝9，
∴由射影定理得：CD2＝BD•AD＝9×4＝36，
∴CD＝6（舍去负值）．
故选：B．
【变式1-2】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（
）
A．AC2＝AD•AB B．CD2＝CA•CB C．CD2＝AD•DB D．BC2＝BD•BA
【答案】B
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，
∴AC2＝AD•AB，CD2＝DA•DB，BC2＝BD•BA．
故选：B．
【变式1-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且 ＝ ．
（1）求证△ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
【解答】（1）证明：∵ ＝ ，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC；
（2）解：∵△ACD∽△ABC，
∴∠ACD＝∠B，
∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝∠BDC，
∵∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△CBD，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴CD＝ ．
【类型2：非直角三角形中射影定理】
【典例2】如图，已知∠A＝70°，∠APC＝65°，AC2＝AP•AB，则∠B的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】A
【解答】解：∵∠A＝70°，∠APC＝65°，
∴∠ACP＝180°﹣70°﹣65°＝45°．
∵AC2＝AP•AB，
∴ ＝ ．
∵∠B＝∠B，
∴△BAC∽△CPA．
∴∠B＝∠ACP＝45°．
故选：A．
【变式2-1】如图，在△ABC中，点D在边AB上，若∠ACD＝∠B，AD＝3，BD＝4，则
AC的长为（ ）A．2 B． C．5 D．2
【答案】B
【解答】解：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴ ，
∵AD＝3，BD＝4，
∴AB＝AD+BD＝3+4＝7，
∴ ，
∴AC＝ 或﹣ （舍去），
故选：B．
【变式2-2】如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AD＝2，AB＝6．求AC的长．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ACD，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ACD；
（2）解：∵△ABC∽△ACD，
∴ ，
∴AC2＝2×6＝12，
∴AC＝2 ．
【典例3】如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在AC、BC边上，BD＝CD＝2DE，且∠C+ ∠CDE＝45°，若AD＝6，则BC的长为 ．
【答案】8
【解答】解：∵∠A＝90°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∵BD＝CD，
∴∠DBC＝∠C，
∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝2∠C，
∵∠C+ ∠CDE＝45°
∴2∠C+∠CDE＝90°，
∴∠ADB+∠CDE＝90°，
∴∠BDE＝90°，
作DF⊥BC于F，如图所示：
则BF＝CF，△DEF∽△BED∽△BDF，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
设EF＝x，则DF＝2x，BF＝CF＝4x，
∴BC＝8x，DE＝ x，
∴CD＝BD＝2 x，AC＝6+2 x，
∵∠DFC＝∠A＝90°，∠C＝∠C，
∴△CDF∽△CBA，∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：x＝ ，
∴BC＝8 ；
故答案为：8 ．
【变式3】如图，在锐角△ABC中，BD⊥AC于D，DE⊥BC于E，AB＝14，AD＝4，BE：
EC＝9：2，则CD＝ ．
【答案】2
【解答】解：∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∴BD2＝AB2﹣AD2＝142﹣42＝180，
设BE＝9x，EC＝2x，
∵DE⊥BC，
∴BD2＝BE•BC，
即180＝9x（9x+2x），解得x2＝ ，
∵CD2＝CE•CB＝2x•11x＝22× ＝40，
∴CD＝2 ．1．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D，BC＝ ，BD＝1．求
AD＝ ．
【答案】5
【解答】解：由射影定理得，BC2＝BD•BA，
则BA＝6，
∴AD＝BA﹣BD＝5，
故答案为：5．
2．如图所示，△ABC中，AD⊥BC于D，对于下列中的每一个条件①∠B+∠DAC＝90°；
②∠B＝∠DAC；③CD：AD＝AC：AB；④AB2＝BD•BC．其中一定能判定△ABC是
直角三角形的共有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】A
【解答】解：①不能，
∵AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵∠B+∠DAC＝90°，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴无法证明△ABC是直角三角形；
②能，
∵∠B＝∠DAC，则∠BAD＝∠C，
∴∠B+∠BAD＝∠C+∠DAC＝180°÷2＝90°；
③能，
∵CD：AD＝AC：AB，∠ADB＝∠ADC＝90°，∴Rt△ABD∽Rt△CAD，
∴∠ABD＝∠CAD，∠BAD＝∠ACD，
∵∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠CAD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝∠CAD+∠BAD，
∴∠BAC＝90°；
④能，
∵AB2＝BD•BC，
∴ ，
∴sin∠BAD＝sinC，
∴∠BAD＝∠C．
∴△CBA∽△ABD，
∴△ABC一定是直角三角形．
共有3个．
故选：A．
3．如图，在矩形ABCD中，BD＝2 ．对角线AC与BD相交于点O，过点D作AC的垂
线，交AC于点E，AE＝3CE．则DE2的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．4
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AC＝BD＝2 ，
∵AE＝3CE，
∴AE＝ AC＝ ，CE＝ AC＝ ，∵∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝∠CED＝90°，
∴∠ADE+∠DAC＝90°，
∴∠ADE＝∠ACD，
∴△ADE∽△DCE，
∴ ＝ ，
∴DE2＝AE•CE＝ × ＝ ，
故选：C．
4．在矩形ABCD中，BE⊥AC交AD于点E，G为垂足．若CG＝CD＝1，则AC的长是
．
【答案】
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝1，∠ABC＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠AGB＝90°＝∠ABC，
∵∠BAG＝∠CAB，
∴△ABG∽△ACB，
∴ ＝ ，
∴AG•AC＝AB2（射影定理），
即（AC﹣1）•AC＝12，
解得：AC＝ 或AC＝ （不合题意舍去），即AC的长为 ，
故答案为： ．
故答案为2 ．
5．已知：如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，对角线AC、BD相交于点O，且BE：
ED＝1：3，AB＝6cm，则AC的长度为 cm．
【答案】12
【解答】解：设BE＝x，则ED＝3x，
∵∠ABE+∠BAE＝90°，
∠ABD+∠ADB＝90°，
∴∠BAE＝∠ADE，
∵∠AEB＝∠AED，
∴△ABE∽△DBA，
∴ ＝ ，
∴AB2＝BE×BD，
即36＝x（x+3x），
解得x＝3，BD＝3×（1+3）＝12，
故AC＝BD＝12
6．如图，点D在△ABC的边BC上，∠ADC+∠BAC＝180°，AB＝4，BC＝8，求BD的长．
【解答】解：∵∠ADC+∠BAC＝180°，∠ADC+∠ADB＝180°，
∴∠ADB＝∠BAC，又∵∠B＝∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∴ ＝ ，
∴BA2＝BD•BC，
∵AB＝4，BC＝8，
∴BD＝2．
即AC⋅CF＝CB⋅DF．
7．如图，AD是Rt△ABC斜边上的高，若AB＝4cm，BC＝10cm，求BD的长．
【解答】解：由射影定理得，AB2＝BD•BC，
则BD＝ ＝1.6．
8．如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，如果AC＝3，AB＝6，求BD的值．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，
∴ ，
∴BD＝AB﹣AD＝6﹣1.5＝4.5．
9．如图：在△ABC中，∠BAC＝108°，D为BC上的一点且AB＝AC＝BD．
（1）求证：△ACD∽△BCA；
（2）若AB＝6cm，求AD的长．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝108°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝36°，
∵AB＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA＝72°，
∴∠ADC＝180°﹣∠BDA＝180°﹣72°＝108°，
∴∠ADC＝∠BAC，∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCA；
（2）解：∵AB＝6cm，
∴AC＝BD＝AB＝6cm，
∵∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝108°﹣72°＝36°＝∠C，
∴AD＝CD，
设AD＝CD＝xcm，则BC＝BD+CD＝（6+x）cm，
∵△ACD∽△BCA，
∴ ＝ ，
∴AD•BC＝AB•AC，
即x（6+x）＝36，
解得：x ＝﹣3﹣3 （不符合题意，舍去），x ＝3 ﹣3，
1 2
∴AD＝3 ﹣3．
10．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝2，∠A＝90°，点E为腰AC中点，点F在底边BC
上，且FE⊥BE，求△CEF的面积．
【解答】解：作EH⊥BC于H，如图，∵∠A＝90°，AB＝2，
∴BC＝ AB＝2 ，∠C＝45°，
∵点E为AC的中点，
∴AE＝CE＝1，
∵△CEH为等腰直角三角形，
∴EH＝CH＝ ，
∴BH＝ ，
在Rt△ABE中，BE＝ ＝ ，
在Rt△BEF中，∵EH⊥BF，
∴BE2＝BH•BF，
即BF＝ ＝
∴CF＝BC﹣BF＝2 ﹣ ＝ ，
∴△CEF的面积＝ × × ＝ ．
11．如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AE⊥BC交BC于点E，点F在BC的延
长线上，且CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接AC，若∠ACD＝90°，AE＝4，CF＝2，求EC和AC的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵CF＝BE∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFD是矩形；
（2）解：如图，∵CF＝BE，CF＝2，
∴BE＝2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°，
∵AE⊥BC，
∴AE2＝BE•EC（射影定理），
∴EC＝ ＝ ＝8，
∴AC＝ ＝ ＝4 ．
