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专题02 勾股定理（二）
考点1：勾股定理逆定理
题型一：判断直角三角形
例1.（1）三角形的三边长为a，b，c，且满足 ，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
【答案】C
【分析】先利用完全平方公式化简已知等式，再根据勾股定理的逆定理即可得．
【详解】由 得： ，即 ，
为三角形的三边长， 这个三角形是直角三角形，故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
（2）若△ABC的三边长分别为a，b，c．下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；
③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝5：12：13．其中能判断△ABC是直角三角形的是_____（填序
号）．
【答案】①②④
【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可．
【详解】解：∵∠A＝∠B﹣∠C，∴∠A+∠C＝∠B，
∵∠A+∠C+∠B＝180°，∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形，故①符合题意；
∵a2＝（b+c）（b﹣c）∴a2+c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形，故②符合题意；∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，∴△ABC不是直角三角形，故③不符合题意；
∵a：b：c＝5：12：13，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故④符合题意；故答案为①②④．
【点睛】此题主要考查直角三角形的判定，解题的关键是熟知勾股定理逆定理与三角形的内角和定理的
运用.
例2.已知 中， ，点 在 上， ， ， ，判断 是否是直
角三角形？并说明理由．【答案】是直角三角形，理由见解析
【分析】根据勾股定理分别求得BC和AC的长，再判断AC2+BC2与AB2是否相等，从而得出结论．
【详解】△ABC是直角三角形，理由如下：
∵ ，∴△ADC和△BCD是直角三角形，
又∵ ， ， ，∴AC2=AD2+CD2=1+4=5，BC2=CD2+BD2=20，AB2=（AD+BD）2=25，
∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形．
【点睛】考查了勾股定理及其逆定理，解题关键是运用勾股定理求得AC2、BC2的值和利用勾股定理逆定
理判断三角形的形状．
题型二：网格中判断直角三角形
例3.如图，每个小正方形的边长都是1， ， ， 分别在格点上，则 的度数为
A． B． C． D．
【答案】
.
【分析】连接 ，根据勾股定理逆定理可得 是以 、 为腰的等腰直角三角形，据此可得答案．
【详解】解：如图，连 ，
则 ， ，
，即 ，
为等腰直角三角形， ， ．故选： ．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理和等腰直角三角形的判
定和性质．
例4.如图，在 网格中，每个小正方形边长都为1．建立适当的平面直角坐标系，使点 、 ．
（1）判断 的形状，并求图中格点 的面积；
（2）在 轴上有一点 ，使得 最小，则 的最小值为 ．
【答案】（1）见详解，（2）
【分析】（1）依据勾股定理的逆定理即可得到 是直角三角形；再根据三角形面积计算公式即可得
到 的面积；
（2）作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 ，连接 ，依据勾股定理求得 的长，即可得
到 的最小值．
【详解】解：（1） 是直角三角形，理由：
， ， ，
是直角三角形；
的面积 ；
（2）如图所示，作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于 ，连接 ，则 ，
的最小值为 的长，
，
的最小值为 ，
故答案为： ．【点睛】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴
对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
题型三：勾股数
例5.下列数组是勾股数的是（ ）
A．2、3、4 B．0.3、0.4、0.5 C．6、8、10 D．7、12、15
【答案】C
【分析】
根据勾股数的定义：满足 的三个正整数，称为勾股数逐一判断即可．
【详解】A． ，此数组不是勾股数；
B．0.3、0.4、0.5不是整数，此数组不是勾股数；
C． ，此数组是勾股数；
D． ，此数组不是勾股数；
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股数的知识，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足
，则△ABC是直角三角形．
考点2：勾股定理逆定理的运用
例6.如图，有一块四边形土地，经测量得知， ， 米， 米， 米，
米，那么这块土地的面积是多少？【答案】面积为234平方米
【分析】由勾股定理可得AC的长，然后利用勾股定理逆定理得到△ADC是直角三角形，进而根据面积公式
进行求解即可．
【详解】解：∵ ，∴ 为直角三角形，
由勾股定理可得： ， ，
∵ ， ，可知 ，∴ 为直角三角形，
（平方米）．答：面积为234平方米．
【点睛】本题主要考查勾股定理及逆定理，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键．
考点3：勾股定理的运用--求最值
题型一：小鸟飞行的最短距离
例7.如图，有两棵树，一棵树高 ，另一棵树高 ，两树相距 ．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一
棵树的树梢，问小鸟至少飞行
A． B． C． D．
【答案】
.
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用
勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，连接 ，
一棵树高 ，另一棵树高 ，两树相距 ， ， ，．故选： ．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
题型二：圆柱中的最短路径
例8.（1）如图，一圆柱高8cm，底面半径为 cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程
是 cm．
【答案】10.
【分析】此题最直接的解法，就是将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：底面圆周长为2 r，底面半圆弧长为 r，即半圆弧长为： ×2 × ＝6（cm），展开得：
π π π
∵BC＝8cm，AC＝6cm，根据勾股定理得：AB＝ ＝10（cm）．故答案为：10．
【点睛】此题主要考查了立体图形的展开和两点之间线段最短，解题的关键是根据题意画出展开图，表
示出各线段的长度．
（2）如图，圆柱形容器的高为0.9m，底面周长为1.2m，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．
此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿 0.2m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离
为（ ）A．1m B．1.1m C．1.2m D．1.3m
【答案】A.
【分析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为
所求．
【详解】解：如图：∵高为0.9m，底面周长为1.2m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，
此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.2m与蚊子相对的点A处，
∴A′D＝0.6m，BD＝0.8m，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B＝ ＝ ＝1（m）．故选：A．
【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解
题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
题型三：棱柱中的最短路径
例9.已如长方体的长2cm、宽为1cm、高为4cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿
哪条路最近，最短的路程是（ ）
A． cm B．5cm C． cm D．4.5cm
【答案】B.【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线
段最短解答．
【详解】解：根据题意，如图所示，最短路径有以下三种情况：
（1）沿AA′，A′C′，C′B′，B′B剪开，得图1：
AB′2＝AB2+BB′2＝（2+1）2+42＝25；
（2）沿AC，CC′，C′B′，B′D′，D′A′，A′A剪开，得图2：
AB′2＝AC2+B′C2＝22+（4+1）2＝4+25＝29；
（3）沿AD，DD′，B′D′，C′B′，C′A′，AA′剪开，得图3：
AB′2＝AD2+B′D2＝12+（4+2）2＝1+36＝37；
综上所述，最短路径应为（1）所示，所以AB′2＝25，即AB′＝5cm，
故选：B．
【点睛】此题考查了平面展开﹣查最短路径问题，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，
注意不要漏解．
1.以下列三个数为边长的三角形中，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．6，8，10 D．9，16，25
【答案】C
【分析】由勾股定理的逆定理逐一判断各选项即可得到答案．
【详解】解： 故 错误； 故 错误；
故 正确； 故 错误；故选：
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
2.如图，由于受台风的影响，一颗大树在离地面6 m处折断，顶端落在离树干底部8 m处，则这棵树在折
断前的高度是（ ）
A．8m B．10m C．16m D．18m
【答案】C
【分析】根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可．
【详解】解：由题意得BC=8m，AC=6m，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB= =10（米）．所以大树的高度是10+6=16（米）．
故答案为16．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和
等于斜边的平方．
3．如图， 有两棵树， 一棵高 10 米， 另一棵树高 4 米， 两树相距 8 米 ． 一只鸟从一棵树的树梢
飞到另一棵树的树梢， 问小鸟至少飞行
A ． 8 米 B ． 10 米 C ． 12 米 D ． 14 米
【答案】
【分析】根据“两点之间线段最短”可知： 小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行， 所行的路程最短，
运用勾股定理可将两点之间的距离求出 ．
【详解】解： 如图， 设大树高为 ，
小树高为 ，
过 点作 于 ，则 是矩形，连接 ，
， ， ，
在 中， ，
故小鸟至少飞行 ．
故选： ．
【点睛】本题考查正确运用勾股定理 ． 善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键 ．
4.如图，一只蚂蚁从正方体的下底面 A点沿着侧面爬到上底面B点，正方体棱长为3cm，则蚂蚁所走过的
最短路径是（ ）
A．3 cm B．6cm C．3 cm D．3 cm
【答案】D
【分析】利用立方体的侧面展开图，将蚂蚁所走过的最短路转化为平面内两点间的距离，进而直接利用
勾股定理求出即可．
【详解】解：如图所示，将正面和右面展开在同一平面内，
连接AB，则AB长即为蚂蚁所走过的最短路径，
∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝3cm，
∴Rt△ABC中，AB＝ ＝ ＝ （cm），
∴蚂蚁所走过的最短路径是 cm，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
5.如图， ， ， 三点在边长为1的正方形网格的格点上，则 的度数为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用勾股定理求各边的长，根据勾股定理的逆定理可得结论．
【详解】解：连接 ，
由勾股定理得： ， ， ，
， ，
， ，
故选： ．
【点睛】此题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形性质和判定．熟练掌握勾股定
理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
6.三角形的三边长分别为a、b、c，且满足 ，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
【答案】C
【分析】化简： ，即可得到结论．
【详解】解：∵ ，∴a2+b2=c2．
因为a、b、c，为三角形的三边长，所以为直角三角形．故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，若是两边的平方和等于另一个边的平方，那么这个三角形是直角三
角形．7.如图，长方体的长为20cm，宽为15cm，高为10cm，点B离点C为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的
表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ）
A． cm B．25cm C． cm D．16cm
【答案】B
【分析】求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【详解】解：如图所示，将长方体展开，连接AB，
根据题意可知，BD＝5+10＝15cm，AD＝20cm，
由勾股定理得：AB＝ ＝ ＝25cm；
如图所示，将长方体展开，连接AB，
根据题意可知，AC＝10+20＝30cm，BC＝5cm，
由勾股定理得：AB＝ ＝ ＝5 cm；
如图所示，将长方体展开，连接AB，
根据题意可知，AC＝20+5＝25cm，AF＝10cm，
由勾股定理得：AB＝ ＝ ＝5 cm；则需要爬行的最短距离是25cm．
故选：B．
【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理
解答即可．
ABC的三边长分别为a、b、c．下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5；③a2＝
8（.△b+c）（b﹣c）；④a：b：c＝3：4：5，其中能判断是直角三角形的个数有____个．
【答案】3．
【分析】
①根据∠A＝∠B﹣∠C，∠A+∠B+∠C＝180°可解得∠B=90°
②根据∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，分别计算出角度，有90°角的即为直角三角形.
③把右边括号乘开，根据勾股定理判断即可.
④直接把三边长分别看成3，4，5，再根据勾股定理即可判断.
【详解】
①∠A＝∠B﹣∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，解得∠B＝90°，所以是直角三角形；
②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，解得∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，故不是
直角三角形；
③∵a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2+c2＝b2，根据勾股定理的逆定理是直角三角形；
④∵a：b：c＝3：4：5，∴a2+b2＝c2，根据勾股定理的逆定理是直角三角形．
∴其中能判断是直角三角形的个数有3个，故答案为：3．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定，务必清楚的两个锐角互余的三角形是直角三角形，两个短边的平
方和等于最长边的平方的三角形是直角三角形.
9．若 是 的三边，且 ，则的形状是__________．
【答案】直角三角形
【分析】根据 ，可以求得 、 、 的值，然后根据勾股定理的逆定理即
可解答本题．
【详解】解： ， ，
， ，， ， ，得 ， ， ，
， ，
、 、 是 的三边， 是直角三角形，故答案为：直角三角形．
【点睛】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解和勾
股定理的逆定理解答．
10.如图所示的圆柱体中底面圆的周长是2，高为3，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面匀速爬行一
周到B点，则小虫爬行的最短路程是 ．
【答案】
【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知，AB即为小虫爬行的最短路径，根据勾股定理
可求得AB．
【详解】解：圆柱的侧面展开图为矩形，此矩形的长等于圆柱的高，圆柱的底的周长等于矩形的宽，
AB即为小虫爬行的最短路径，（如图），
在Rt△ABC中，AB＝ ，∵AC＝2，BC＝3，∴AB＝ ＝ ，故答案为： ．
【点睛】考查圆柱侧面展开图及空间图形想象能力、运算能力，结合圆柱侧面展开图知识，把立体图形
问题转化为平面图形问题来解决是解决问题的关键．
11．如图，在四边形 中， ， ， ， ，且 ，则四边形
的面积是______.【答案】36
【分析】
连接BD，如图，在△ABD中，根据勾股定理可得BD的长，然后根据勾股定理的逆定理可判断△BDC是直
角三角形，然后根据S = 计算即可．
四边形
【详解】
解：连接BD，如图，在△ABD中，∵ ， ， ，∴ ，
∵ ，∴∠BDC=90°，
∴S = ．
四边形
故答案为：36．
【点睛】
本题考查了勾股定理及其逆定理以及三角形的面积等知识，属于基本题型，熟练掌握勾股定理及其逆定理
是解答的关键．
12.如图，在四边形 中， ， ， ，且 ，试说明 为
直角三角形．
【答案】见解析【分析】
利用勾股定理求出AC长度，在利用勾股定理逆定理推断出 为直角三角形．
【详解】根据题意， 为等腰直角三角形，∴
又∵ ，即 根据勾股定理逆定理所以 为直角三角形．
【点睛】本题考查勾股定理和勾股定理逆定理的应用．求出AC长是证明该题的关键．
13.如图，在平面直角坐标系中，正方形网格的每个小方格都是边长为 1的小正方形， 的顶点都在格
点上．
（1）试判断 的形状，并说明理由；
（2）求 的面积．
【答案】见解析
【分析】（1）利用勾股定理计算出 、 、 长，再利用逆定理判定 的形状；
（2）利用三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：（1） 是直角三角形，
理由： ， ， ， ， ， ，
， 是直角三角形， ；
（2） 是直角三角形， ， 的面积 ．
【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及勾股定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，
作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
14.如图是一块地，∠B＝90°，AD＝24 m，AB＝8 m，BC＝6 m，CD＝26 m，求这块地的面积．【答案】这块地的面积是96 m2.
【分析】先连接AC，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AC，进而求出AC2+AD2=CD2，利用勾股定理逆定
理可证△CAD是直角三角形，再利用S = S -S ，即可求地的面积．
四边形ABCD △ACD △ABC
【详解】连接AC.
在Rt△ABC中，∠B＝90°，∴AC＝ ＝10，在△ADC中，
AC2＋AD2＝102＋242＝676，CD2＝262＝676，∴AC2＋AD2＝CD2，∴∠CAD＝90°.
∴S ＝S －S ＝ AC·AD－ AB·BC＝ ×10×24－ ×8×6＝120－24＝96.
四边形ABCD △ADC △ABC
答：这块地的面积是96 m2.
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是要构造直角三角形ABC，并证出△CAD是直角三
角形.
15.如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只
蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，求蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离．
【答案】见解析
【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所
求．
【详解】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B＝ ＝20（cm）．
答：蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离是20cm．【点睛】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计
算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
