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专项 10 相似三角形-射影定理综合应用
一、射影定理 直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；
且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，
则有ＣD２＝ＢＤ•AD、
ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或
ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。（证明略）
二、变式推广
１．逆用 如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•Ａ
Ｄ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ
＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。
２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地
仍有部分结论成立。（后文简称：射影定理变式（2））
如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，
或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，
若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△
ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。【类型1：直角三角形中射影定理】
【典例1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，若AD＝4，BD＝8，则CD的长为
（ ）
A．4 B．4 C．4 D．
【变式1-1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，AD＝4，BD＝9，则CD的长是
（ ）
A． B．6 C． D．
【变式1-2】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（
）
A．AC2＝AD•AB B．CD2＝CA•CB C．CD2＝AD•DB D．BC2＝BD•BA
【变式1-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且 ＝ ．
（1）求证△ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．【类型2：非直角三角形中射影定理】
【典例2】如图，已知∠A＝70°，∠APC＝65°，AC2＝AP•AB，则∠B的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【变式2-1】如图，在△ABC中，点D在边AB上，若∠ACD＝∠B，AD＝3，BD＝4，则
AC的长为（ ）
A．2 B． C．5 D．2
【变式2-2】如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AD＝2，AB＝6．求AC的长．
【典例3】如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在AC、BC边上，BD＝CD＝2DE，且∠C+ ∠CDE＝45°，若AD＝6，则BC的长为 ．
【变式3】如图，在锐角△ABC中，BD⊥AC于D，DE⊥BC于E，AB＝14，AD＝4，BE：
EC＝9：2，则CD＝ ．1．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D，BC＝ ，BD＝1．求
AD＝ ．
2．如图所示，△ABC中，AD⊥BC于D，对于下列中的每一个条件①∠B+∠DAC＝90°；
②∠B＝∠DAC；③CD：AD＝AC：AB；④AB2＝BD•BC．其中一定能判定△ABC是
直角三角形的共有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
3．如图，在矩形ABCD中，BD＝2 ．对角线AC与BD相交于点O，过点D作AC的垂
线，交AC于点E，AE＝3CE．则DE2的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．4
4．在矩形ABCD中，BE⊥AC交AD于点E，G为垂足．若CG＝CD＝1，则AC的长是
．5．已知：如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，对角线AC、BD相交于点O，且BE：
ED＝1：3，AB＝6cm，则AC的长度为 cm．
6．如图，点D在△ABC的边BC上，∠ADC+∠BAC＝180°，AB＝4，BC＝8，求BD的长．
7．如图，AD是Rt△ABC斜边上的高，若AB＝4cm，BC＝10cm，求BD的长．
8．如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，如果AC＝3，AB＝6，求BD的值．9．如图：在△ABC中，∠BAC＝108°，D为BC上的一点且AB＝AC＝BD．
（1）求证：△ACD∽△BCA；
（2）若AB＝6cm，求AD的长．
10．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝2，∠A＝90°，点E为腰AC中点，点F在底边BC
上，且FE⊥BE，求△CEF的面积．
11．如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AE⊥BC交BC于点E，点F在BC的延
长线上，且CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接AC，若∠ACD＝90°，AE＝4，CF＝2，求EC和AC的长．
