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专项 10 勾股定理之垂美四边形模型综合应用（3 大类型）
【定义】对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.
【结论】如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，
则①AB²＋CD²＝AD²＋BC². ②S四ABCD＝ AC·BD
【典例1】定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
概念理解：如图②，在四边形ABCD中，如果AB＝AD，CB＝CD，那么四边形ABCD
是垂美四边形吗？请说明理由．性质探究：如图①，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数
量关系？写出你的猜想，并给出证明．
问题解决：如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG
和正方形ABDE，连接CE、BG、GE．若AC＝2，AB＝5，则
①求证：△AGB≌△ACE
②GE＝ ．
【解答】解：概念理解：四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：
∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
性质探究：AD2+BC2＝AB2+CD2．理由如下：
如图1，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，
∵AC⊥BD，
∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，
AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
问题解决：①连接CG，BE，如图2所示：∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△AGB和△ACE中，
∵ ，
∴△AGB≌△ACE（SAS）；
②∵△AGB≌△ACE，
∴∠ABG＝∠AEC，
又∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝2，AB＝5，
∴BC＝ ，CG＝2 ，BE＝5 ，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝37，
∴GE＝ ；
故答案为： ．
【变式1-1】四边形ABCD如图所示，已知AB⊥BC，AB＝3，BC＝6，AD＝7，CD＝2．
（1）求证：AC⊥CD；
（2）求四边形ABCD的面积．【解答】（1）证明：∵AB⊥BC，AB＝3，BC＝6，
∴AC＝ ，
∵AC2+CD2＝45+4＝49＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，
∴AC⊥CD；
（2）解：四边形ABCD的面积＝
＝9+3 ．
【变式1-2】如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：给出下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．其中
一定是“垂美四边形”的是 （填序号）；
（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．求证：
AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）解决问题：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形
ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE．已知AC＝ ，AB＝3．
①请问四边形CGEB是垂美四边形吗？并说明理由；
②求GE的长．【解答】解：（1）∵菱形、正方形的对角线垂直，
∴菱形、正方形都是垂美四边形．
故答案为：③④．
（2）证明：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理，得AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）①连接CG、BE，AB与CE交于点O，BG与CE交于点N，如图2，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即
∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
又∠AEC+∠AOE＝90°，
∴∠ABG+∠AOE＝90°，
即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形；
②由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝ ，AB＝3，∴BC＝ ＝ ＝2，CG＝ AC＝ ，BE＝ AB＝3 ，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝ ＝24，
∴GE＝2 ．
1．如图1，我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解，在四边形ABCD中，以下是垂美四边形的是 ．
①平行四边形；②矩形；③菱形；④AB＝AD，CB＝CD．
（2）性质探究，小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，即，如图1，在
四边形ABCD中，若AC⊥BD，则AB2+CD2＝AD2+BC2．请判断小美同学的猜想是否正
确，并说明理由．
（3）问题解决：如图2．在△ABC中，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC的中点，
连接AE、BD．有AE⊥BD，求AB．
【解答】解：（1）∵菱形的对角线互相垂直，
∴菱形是垂美四边形，
∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AC⊥BD，
∴当AB＝AD，CB＝CD的四边形ABCD是垂美四边形，
故答案为：③④；
（2）猜想正确，理由如下：
∵四边形ABCD中，AC⊥BD，∴∠AOB＝∠COD＝∠BOC＝∠AOD＝90°，
∴AB2＝OA2+OB2，CD2＝OC2+OD2，BC2＝OB2+OC2，AD2＝OA2+OD2，
∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OC2+OD2，BC2+AD2＝OB2+OC2+OA2+OD2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2；
（3）∵BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC的中点，
∴AD＝ AC＝2，BE＝ BC＝ ，DE＝ AB，
∵AE⊥BD，
∴AB2+ED2＝AD2+BE2，
∴ AB2＝4+ ，
∴AB＝ ．
2．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：在下列四边形中，①正方形；②矩形；③菱形；④平行四边形．是
垂美四边形的是： （填写序号）；
（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，试猜想：两组对
边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形
ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知BC＝6，AB＝10，求GE长．
【解答】解：（1）∵正方形，菱形的对角线互相垂直，
∴正方形，菱形是垂美四边形，
故答案为：①③．（2）结论：AD2+BC2＝AB2+CD2．
理由：∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2．
（3）连接CG、BE，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝
∠CAE，
∵AG＝AC，∠GAB＝∠CAE，AB＝AE，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
又∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
∴CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵BC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，
∴AC＝ ＝ ＝8，
∴CG＝8 ，BE＝10 ，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝292，
∴GE＝2 ．
3．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）判断：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的有 菱形和
正方形 ；
（2）如图2，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？
写出你的猜想，并给出证明；（3）如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方
形ABDE，连接CE，BG，GE，CE与BG交于点O，已知AC＝3，AB＝5，求△OGE的
中线OH的长．
【解答】解：（1）∵菱形、正方形的对角线垂直，
∴菱形、正方形都是垂美四边形．
故答案为：菱形和正方形．
（2）猜想：AD2+BC2＝AB2+CD2．
理由：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理，得AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2．
（3）连接CG、BE，设AB，CE交于点M，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
∵在△GAB和△CAE中，
，∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
又∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
∴CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝3，AB＝5，
∴BC＝ ＝4，CG＝ AC＝3 ，BE＝ AB＝5 ，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝18+50﹣16＝52，
∴GE＝2 ，
∴OH＝ GE＝ ．
4．【图形定义】
我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
【性质探究】
如图1，四边形ABCD是垂美四边形，试探究两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量
关系，并证明你的结论；
【拓展应用】
如图2，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，分别以AC和AB为直角边向外作等腰Rt△ACD和
等腰Rt△ABE，连接DE，若AC＝4，AB＝5，求DE的长．
【解答】解：（1）结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．
（或：AD2+BC2＝AB2+CD2．）
证明：设AC与BD相交于点E．
∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，
AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
（2）连接CE，BD相交于点N，CE交AB于点M．
∵∠CAD＝∠BAE＝90°，
∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠DAB＝∠CAE，
又∵AB＝AE，AD＝AC，
∴△DAB≌△CAE，
∴∠ABD＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABD+∠AME＝90°，即CE⊥BD，
∴四边形CDEB是垂美四边形，
由（1）得，CD2+BE2＝CB2+DE2，
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝3，CD＝ ，BE＝ ，
∴DE2＝CD2+BE2﹣CB2＝73，
∴DE＝ ．
5．[定义]有一组对角是直角的四边形是垂美四边形．
[理解]如图①，将一对相同的直角三角尺按如图所示的方式拼成四边形 ABCD，每个三
角尺三个内角的度数都是 30°、60°和 90°．四边形 ABCD 是 四边形，
∠ABC+∠ADC＝ 度；
[探究]如图②，四边形ABCD是垂美四边形．∠A＝90°．∠B＝80°，E是边AD延长线
上一点，求∠C和∠CDE的度数．[应用]如图③，四边形ABCD是垂美四边形，∠A＝90°，BE和DF分别是∠ABC和
∠ADC的平分线，交AD、BC于点E、F．试说明BE∥DF．
【解答】解：[理解]如图①中，∵∠A＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是垂美四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣90°﹣90°＝180°
故答案为垂美，180；
[探究]如图②中，∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴∠A＝∠C＝90°，
∵∠A+∠B+∠C+∠ADC＝360°，且∠B＝80°，
∴∠ADC＝360°﹣90°﹣90°﹣80°＝100°，
∵∠ADC+∠CDE＝180°，
∴∠CDE＝80°，
[应用]如图③中，由探究可知，∠ABC+∠ADC＝180°，
∵BE和DF分别是∠ABC和∠ADC的平分线，
∴∠ABE＝ ∠ABC，∠ADF＝ ∠ADC，
∴∠ABE+∠ADF＝ （∠ABC+∠ADC）＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠AEB＝∠ADF，
∴BE∥DF．6．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：我们已经学习了平行四边形、菱形、矩形、正方形，在这四种图形中
肯定是垂美四边形的是 ．
（2）性质探究：如图1，已知四边形ABCD是垂美四边形，直接写出其两组对边 AB、
CD与BC、AD之间的数量关系 ．
（3）问题解决：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形
ACFG和正方形ABDE，连接BE，CG，已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．
【解答】解：（1）∵菱形、正方形的对角线垂直，
∴菱形、正方形都是垂美四边形，
故答案为：菱形，正方形；
（2）猜想：AD2+BC2＝AB2+CD2．
理由如下：
∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理，得AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
故答案为AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）CE、BA相交于点M，连接CE，BG，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，AG＝AC，∠GAB＝∠CAE，AB＝AE，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
又∵∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，
又∵∠BMC＝∠AME，
∴∠ABG+∠BMC＝90°，
∴CE⊥BG．
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）可知CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，
∴由勾股定理，得CB2＝9，CG2＝32，BE2＝50，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，
∴GE＝ ．
7.如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是
垂美四边形吗？请说明理由．
（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关
系．
猜想结论：（要求用文字语言叙述）
写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形
ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE长．
【解答】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．
证明：∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．
如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，
求证：AD2+BC2＝AB2+CD2
证明：∵AC⊥BD，
∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，
AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
（3）连接CG、BE，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝
∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE，
∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝3，CG＝4 ，BE＝5 ，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，
∴GE＝ ．
8．如图，我把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，求证：AB2+CD2
＝AD2+BC2．
（2）解决问题：已知 AB＝5，BC＝4，分别以△ABC 的边 BC 和 AB 向外作等腰
Rt△BCQ和等腰Rt△ABP．
①如图2，当∠ACB＝90°，连接PQ，求PQ；
②如图3，当∠ACB≠90°，点M、N分别是AC、AP中点连接MN．若MN＝2 ，则
S△ABC ＝ ．【解答】解：（1）证明：如图1中，
∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2；
（2）①方法一：连接PC、AQ交于点D，如图2，
∵△ABP和△CBQ都是等腰直角三角形，
∴PB＝AB，CB＝BQ，∠ABP＝∠CBQ＝90°，
∴∠PBC＝∠ABQ，
∴△PBC≌△ABQ（SAS），∴∠BPC＝∠BAQ，
又∵∠BPC+∠CPA+∠BAP＝90°，
即∠BAQ+∠CPA+∠BAP＝90°，
∴∠PDA＝90°，
∴PC⊥AQ，
利用（1）中的结论：AP2+CQ2＝AC2+PQ2
即（5 ）2+（4 ）2＝32+PQ2；
∴PQ＝ ．
②连接PC、AQ交于点D，如图3，
同①可证△PBC≌△ABQ（SAS），AQ＝PC且AQ⊥PC，
∵M、N分别是AC、AP中点，
∴MN＝ PC，
∵MN＝2 ，
∴AQ＝PC＝4 ．
延长QB作AE⊥QE，
则有AE2+BE2＝25，AE2+QE2＝48，
∵EQ＝4+BE，
∴（4+BE）2﹣BE2＝23，
解得BE＝ ，
∴S△ABC ＝ ×BC×BE＝ ＝ ．
方法二：
连接PC，AQ，PQ，延长PB使BH＝AB，
由①得，△BPC≌△BAQ，
∴PC＝AQ＝2MN＝4 ，PC⊥AQ，
∴∠PBM＝∠QBC＝90°，∴∠PBQ+∠ABC＝180°，
即∠QBH＝∠CBA，
∵BQ＝BC，AB＝PB＝BH，
∴△BQH≌△BCA（SAS），
∴S△ABC ＝S△PBQ ＝S△QBH ，
∴S△ABC ＝
＝
＝ ．
故答案为： ．
