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专题02 勾股定理与构造图形解题
1．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到
△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=___度．
【答案】135
【解析】
【详解】
试题分析：如图，连接EE′，
∵将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，AE=1，BE=2，CE=3，
∴∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1．
∴EE′=2 ，∠BE′E=45°．
∵E′E2+E′C2=8+1=9，EC2=9．∴E′E2+E′C2=EC2．
∴△EE′C是直角三角形，∴∠EE′C=90°．∴∠BE′C=135°．
2．如图，在 ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P是 ABC内的一点，且PB＝1，PC＝2，PA
＝3，则∠BP△C＝_____°． △
【答案】135【解析】
【详解】
解：如图，将△APC绕点C旋转，使CA与CB重合，即△APC与△BEC全等，
∴△PCE为等腰直角三角形，∴∠CPE=45°， ，
又∵ ， ∴ ，则∠BPE=90°，
∴∠BPC=135°
故答案为：135．
3．已知：如图，四边形ABCD中，∠ADC=60°，∠ABC=30°，AD=CD．求证：BD2=AB2+BC2．
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】
将 ADB以D为旋转中心，顺时针旋转60°，使A与C点重合，B与E点重合，连接BE，根据旋
转△的性质得∴∠ABD=∠CED，∠A=∠ECD，AB=CE，DB=DE，易得 DBE为等边三角形，则
DB=BE，根据周角的定义和四边形内角和定理得∠ECB=360°-∠BCD-△∠DCE=360°-∠BCD-
∠A=360°-（360°-∠ADC-∠ABC）=60°+30°=90°，则 ECB为直角三角形，根据勾股定理得
EC2+BC2=BE2，利用等线段代换即可得到结论． △
【详解】
如图，将 ADB以D为旋转中心，顺时针旋转60°，使A与C点重合，B与E点重合，连接BE，
∴△∠ABD=∠CED，∠A=∠ECD，AB=CE，DB=DE，
又∵∠ADC=60°，
∴∠BDE=60°，
∴△DBE为等边三角形，
∴DB=BE，
又∵∠ECB=360°-∠BCD-∠DCE
=360°-∠BCD-∠A
=360°-（360°-∠ADC-∠ABC）
=60°+30°
=90°，
∴△ECB为直角三角形，
∴EC2+BC2=BE2，
∴BD2=AB2+BC2．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中
心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以
及勾股定理．
4．如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，若将△APB绕着点B逆时针旋
转后得到△CQB．（1）△BPQ是 三角形；
（2）求PQ的长度；
（3）求∠APB的度数．
【答案】（1）等边；（2）PQ=4；（3）∠APB=150°
【解析】
【分析】
（1）连接PQ，由旋转的性质可得△BAP≌△BCQ，可推出BP=BQ，∠PBQ=60°，进而得到等边
△BPQ；
（2）△BPQ为等边三角形，所以PQ=PB=4；
（3）由PQ=4，CQ=3，PC=5，可得出△PCQ为直角三角形，∠PQC=90°，由∠APB=∠CQB可得
结果.
【详解】
（1）连接PQ，
由旋转的性质可得△BAP≌△BCQ,
∴∠ABP=∠CBQ，BP=BQ，
又∵∠ABC=60°，
∴∠ABP+∠PBC=60°
∴∠CBQ+∠PBC=60°，即∠PBQ=60°，
∴△BPQ为等边三角形，
（2）∵△BPQ为等边三角形，∴PQ=PB=4
（3）∵△BAP≌△BCQ，
∴CQ=PA=3，
在△PCQ中，PQ=4，CQ=3，PC=5，
∵32+42=52，即CQ2+PQ2=PC2，
∴△PCQ为直角三角形，∠PQC=90°，
又∵△BPQ为等边三角形，
∴∠BQP=60°，
∴∠CQB=∠BQP+∠PQC=150°
∵△BAP≌△BCQ,
∴∠APB=∠CQB=150°.
【点睛】
本题考查全等三角形的旋转模型、等边三角形的判定和性质以及直角三角形的判定，利用旋转的
性质得到对应边和对应角相等是解题的关键.
5．为了探索代数式 的最小值，
小张巧妙的运用了数学思想．具体方法是这样的：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D
作 ，连结AC、EC．已知AB=1，DE=5，BD=8，设BC=x．则 ，
则问题即转化成求AC+CE的最小值．
(1)我们知道当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小，于是可求得 的
最小值等于 ，此时x= ；
(2)题中“小张巧妙的运用了数学思想”是指哪种主要的数学思想；
(选填：函数思想，分类讨论思想、类比思想、数形结合思想)
(3)请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式 的最小值．【答案】（1）10， ；（2）数形结合思想；（3）13
【解析】
【分析】
（1）根据两点之间线段最短可知AC+CE的最小值就是线段AE的长度．过点E作EF∥BD，交AB
的延长线于F点．在Rt AEF中运用勾股定理计算求解；
（2）小张巧妙的运用了△数形结合思想；
（3）由（1）的结果可作BD=12，过点A作AF∥BD，交DE的延长线于F点，使AB=2，ED=3，
连接AE交BD于点C，然后构造矩形AFDB，Rt AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE
△
的值就是代数式 的最小值．
【详解】
解：（1）过点E作EF∥BD，交AB的延长线于F点
根据题意，四边形BDEF为矩形
AF=AB+BF=5+1=6，EF=BD=8
∴
即AC+CE的最小值是10
∵EF∥BD
∴
∴
解得：
故答案为：10； ；
（2）小张巧妙的运用了数形结合思想；（3）过点A作AF∥BD，交DE的延长线于F点
根据题意，四边形ABDF为矩形
EF=AB+DE=2+3=5，AF=DB=12
∴
即AC+CE的最小值是13．
【点睛】
本题考查轴对称-最短路线问题．
6．如图1，点C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，
EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．
(1)用含x的代数式表示AC+CE的长；
(2)请在图2中画出C点位置，使AC+CE的值最小，并求出这个最小值；
(3)根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式 的最小值．
【答案】(1)
(2)图见解析， 的值最小值是10
(3) 的值最小值是13，图见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意表示出用含x的代数式表示AC+CE的长即可；
（2）当A，C，E三点在一条直线上时， 的值最小，在根据勾股定理即可求出
的长；（3）根据（1）的思路，通过代数式构造几何图形，再由（2）的思路求解即可；
(1)
解：
(2)
如图，
当A，C，E三点在一条直线上时， 的值最小．
过点E做BD的平行线交AB的延长线于点F，则BF=DE=1，EF=BD=8，
AF=AB+BF=5+1=6
根据勾股定理得
所以 的值最小值是10．
(3)
如图，如点C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D做AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已
当AB=3，DE=2，BD=12，CD= 时，用含 的代数式表示 的长为由（2）可知当A，C，E三点在一条直线上时， 的最小值就是线段AE的长．
过点E做AB的平行线交AB的延长线于点F，则BF=DE=2，EF=BD=12，
AF=AB+BF=3+2=5
根据勾股定理得
所以 的值最小值是13.
【点睛】
本题主要考查勾股定理的应用,根据题意判断出最值时的情况并正确计算是解题的关键．
7．如图，在△ABC中， BC=a，AC=b，AB=c，若∠C为直角，如图1，则有结论： ；
当∠C为锐角（如图2）或钝角（如图3）时，请你完成下列探究：
（1）分别猜想∠C为锐角或钝角这两种情况下 与 的大小关系；
（2）任选（1）中的一个猜想进行证明．
【答案】【解析】猜想：（1）当∠C为锐角时， > ；当∠C为钝角时， < ；
（2）当∠C为锐角时， > ；证明见解析．
【解析】
【分析】（1）猜想：若∠C为锐角时， > ；若∠C为钝角时， ．
（2）当∠C为锐角时，过点A作AD⊥CB于点D，设CD=x，则BD= ，利用 ，
即可证明；过点A作BC的垂线交BC的延长线于点M，设 ，则
，利用 ， ，即可证明.
【详解】
（1）猜想：若∠C为锐角时， >
若∠C为钝角时， ．
（2）当∠C为锐角时， ；证明如下：
如图，过点A作AD⊥CB于点D，设CD=x，则BD= ，
在直角三角形ACD中， ，
在直角三角形ABD中， ，
∴ ，即 ．
∵ >0，x>0，
∴
当∠C为钝角（如图）时， ，证明如下：
如图，过点A作BC的垂线交BC的延长线于点M，设 ，则 ，在直角三角形ACM中， ，
在直角三角形ABM中， ，
∴ ，即 ．
∵ >0， >0，
∴ < ．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的实际应用，解题的关键在于能够构造出直角三角形.
8．已知：如图1，Rt ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，DE、DF分别交AC于E，交BC于
F，且DE⊥DF． △
（1）如果CA=CB，求证：AE2+BF2=EF2；
（2）如图2，如果CA＜CB，（1）中结论还能成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析
【解析】
【分析】
（1）过点A作AM∥BC，交FD延长线于点M，连接EM，通过证明AM=BF，EF=EM即可得出答
案；（2）延长FD至M，使DM=DF，连接AM、EM，根据（1）通过证明AM=BF，EF=EM即可
得出答案．
【详解】
解答：（1）证明：过点A作AM∥BC，交FD延长线于点M，（或将 FBD旋转180°）
连接EM． △
∵AM∥BC，
∴∠MAE=∠ACB=90°，∠MAD=∠B．
∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，
∴△ADM≌△BDF．
∴AM=BF，MD=DF．
又DE⊥DF，∴EF=EM．
∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2．
（2）成立．
证明：延长FD至M，使DM=DF，连接AM、EM．
∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，
∴△ADM≌△BDF．
∴AM=BF，∠MAD=∠B．
∴AM∥BC．∴∠MAE=∠ACB=90°．
又DE⊥DF，MD=FD，∴EF=EM．
∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2
【点睛】
本题考查了勾股定理与全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
9．如图，在 中， ，若点 从点 出发，以每秒 的速度沿
折线 运动，设运动时间为 秒（ ）．（1）用尺规作线段 的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若点 恰好运动到 的垂直平分线上时，求 的值．
【答案】（1）见解析；（2） 的值为 或
【解析】
【分析】
(1)分别以AB为圆心,大于 AB为半径作弧,连接两户的交点即为线段AB的垂直平分线,
(2)勾股定理求出AC的长, 当P在AC上时,利用勾股定理解题,当P在AB上时,利用 解题.
【详解】
解：（1）分别以AB为圆心,大于 AB为半径作弧,连接两户的交点即为线段AB的垂直平分线,有
作图痕迹；
（2）如图，在 中，由勾股定理得
，
①当P在AC上时, ，
∴ ， ， ，
在 中，由勾股定理得：即：
解得： ；
②当P在AB上时, ，
即： ，
∴
∴ 的值为 或 .
【点睛】
本题考查了尺规作图--垂直平分线,勾股定理的实际应用,会根据P的运动进行分类讨论,建立等量关
系是解题关键.
10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路
径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒.
(1) 当t=1时，求△ACP的面积.
(2) t为何值时，线段AP是∠CAB的平分线？
(3) 请利用备用图2继续探索：当t为何值时，△ACP是以AC为腰的等腰三角形？(直接写出结论)
(4)当p点在AB上运动时，线段CP值为整数的点有_______________个.
【答案】(1)6;(2)t=1.5;(3) t为3s、5.4s、6s时，△ACP为等腰三角形;(4)6
【解析】
【分析】
(1)根据速度为每秒2cm，求出出发2秒后CP的长，然后根据面积公式即可得到结果；
(2)如图1，由勾股定理得到AB= =10，根据已知条件得到△ACP≌△ADP，于是得到
AD=AC=6cm， BD=AB−AD=4cm，根据勾股定理列方程即可得到结论；
(3)①如图2，若P在边BC上时， AC=CP=6cm，此时用的时间为3s，△ACP为等腰三角形；②若PP在AB边上时，有两种情况： (i)若CP=AC=6cm，过C作作CD⊥AB于点D，，根据面积法求
得高为4.8cm，在Rt PCD中， PD=3.6，所以AP=2PD=7.2cm，所以PP运动的路程为
18−7.2=10.8cm，则用△的时间为5.4s，△ACP为等腰三角形；(ii)若使AP=CA=6cm，此时BP=4cm，
P运动的路程为8+4=12cm，所以用的时间为6s，△ACP为等腰三角形；
(4) 当p点在AB上运动时,先求出AC的取值范围，然后分点P在点D两侧讨论即可.
【详解】
解：(1)当t=1时，PC=1×2=2，
∵AC=6，
∴S = ACPC= ×6×2=6；
ACP
△
⋅
(2)如图，
∵∠C=90°，
∴AB= =10，
根据题意得：△ACP≌△ADP，
∴AD=AC=6，BD=AB−AD=4，PD=PC=2t，
∴PB=8−2t，
在Rt PDB中，PD2+BD2=PB2，
∴(2t△)2+42=(8−2t)2，
解得： t=1.5；
(3)因为△ACP是以AC为腰的等腰三角形，
① 如图2，若P在边BC上时， AC=CP=6，
此时用的时间为t=6÷2=3，△ACP为等腰三角形；
②若P在AB边上时，有两种情况：(i)如图3,
若CP=AC=6，过C作作CD⊥AB于点D，根据面积法求得高为4.8cm，
在Rt PCD中， PD= =3.6，
△
所以AP=2PD=7.2，
所以P运动的路程为18−7.2=10.8，
则用的时间为t=10.8÷2=5.4，△ACP为等腰三角形；
(ii)如图4，
若使AP=AC=6，此时BP=4， P运动的路程为8+4=12，
所以用的时间为t=12÷2=6，△BCP为等腰三角形；
综上所述，当t为3s、5.4s、6s时，△ACP为等腰三角形．
（4）因为当p点在AB上运动时，由图3知，4.8 CP 8,
当p点在DB上运动时,CP的整数值可为8,7,6,5；
当p点在DA上运动时,CP的整数值可为6,5,
综上所述，当p点在AB上运动时，线段CP值为整数的点有6个.
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质和判定，勾股定理，灵活运用分情况讨论思想、掌握勾股定理和
等腰三角形的性质定理是解题的关键．
11．阅读下面的材料，并解决问题：
（1）如图①，等边 ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别是3、4、5，求∠APB
的度数．由于PA、P△B、PC不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将 ABP绕顶点A旋转到
处，此时 ．这样，就可以利用全等三角形△知识，将三条线段的长
度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数；（求∠APB的度数）（2）请你利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题：
如图②，在 ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：
EF2=BE2+FC△2．
【答案】（1） ， ；（2）见详解
【解析】
【分析】
（1）连接 ，由旋转的性质可直接进行求解，然后可得 ， 是等边三角形，
则有 ，进而问题可求解；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，点B与点C重合，连接FD，进而证明
△AEF≌△ADF，可得DF=EF，∠B=∠ACB=∠ACD=45°，然后可得∠DCF=90°，最后根据勾股定
理可求证．
【详解】
（1）解：由旋转的性质可得： ；连接 ，如图所示：
∴ ， ， ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，即∠BAP+∠PAC=60°，
∴ ，即 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，即 ，
∴ ；
故答案为 ；
（2）证明：把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，点B与点C重合，连接FD，如图所示：由旋转的性质可得： ， ，
∵∠CAB=90°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴ ，
∴∠DCF=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAF=∠DAF=45°，
∴△AEF≌△ADF（SAS），
∴DF=EF，
在Rt DCF中， ，
△
∴ ．
【点睛】
本题主要考查等腰直角三角形、等边三角形的性质及勾股定理逆定理，熟练掌握等腰直角三角形、
等边三角形的性质及勾股定理逆定理是解题的关键．
12．综合与实践
材料一：“转化思想”是几何变换中常用的思想，例如将图形进行旋转变换，实现图形位置的
“转化”，把一般情形转化为特殊情形，使问题化难为易．它是一种以变化的、运动的观点来处
理孤立的、离散问题的思想．
材料二：皮埃尔·德·费马（如图）， 世纪法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”．
年勒·笛卡儿邀请费马思考关于三个顶点距离为定值的问题，费马经过思考并由此推出费马点
的相关结论．定义：若一个三角形的最大内角小于 则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为 此时
该点叫做这个三角形的费马点.如图1，当 三个内角均小于 时，费马点 在 内部，
此时 的值最小．
（1）如图2，等边三角形 内有一点 若点 到顶点 的距离分别为 ，求 的
度数.为了解决本题，小林利用“转化”思想，将 绕顶点 旋转到 处，连接 此时
这样就可以通过旋转变换，将三条线段 ， 转化到一个三角形中，从而
求出 ；
（2）如图3，在图1的基础上延长 ，在射线 上取点 ，连接 ．使
求证： ；
（3）如图4，在 中， 点 为 的费马点，连接
，请直接写出 的值．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3） ．
【解析】
【分析】
（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及
等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答；（2）根据题意，先证明△APD是等边三角形，再证明 ，得到 ，然后即可
得到结论成立．
（3）将△APB绕点B顺时针旋转60°至△A′P′B处，连接PP′，根据直角三角形30°角所对的直角边
等于斜边的一半求出AB=2AC，即A′B的长，再根据旋转的性质求出△BPP′是等边三角形，根据等
边三角形的三条边都相等可得BP=PP′，等边三角形三个角都是60°求出∠BPP′=∠BP′P=60°，然后
求出C、P、A′、P′四点共线，再利用勾股定理列式求出A′C，从而得到PA+PB+PC=A′C．
【详解】
解：∵△ACP′≌△ABP，
∴AP′=AP=3、CP′=BP=4、∠AP′C=∠APB，
由题意知旋转角∠PAP′=60°，
∴△APP′为等边三角形，
PP′=AP=3，∠AP′P=60°，
易证△PP′C为直角三角形，且∠PP′C=90°，
∴∠APB=∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°；
故答案为： ；
证明: 点 为 的费马点，
又
为等边三角形
在 和 中，
，
；解：如图，将△APB绕点B顺时针旋转60°至△A′P′B处，连接PP′，
∵在Rt ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，∴AB=2，
△
∴BC= ，
∵△APB绕点B顺时针方向旋转60°，∴△A′P′B如图所示；
∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，
∵∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=2，
∵△APB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′P′B，
∴A′B=AB=2，BP=BP′，A′P′=AP，
∴△BPP′是等边三角形，
∴BP=PP′，∠BPP′=∠BP′P=60°，
∵∠APC=∠CPB=∠BPA=120°，
∴∠COP+∠BPP′=∠BP′A′+∠BP′P=120°+60°=180°，
∴C、P、A′、P′四点共线，
在Rt A′BC中，A′C= ，
△
∴PA+PB+PC=A′P′+PP′+PC=A′C= ．
【点睛】
本题考查了三角形综合题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，
解题的关键是学会利用旋转变换添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
