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专题02 勾股定理与构造图形解题
1．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到
△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=___度．
2．如图，在 ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P是 ABC内的一点，且PB＝1，PC＝2，PA
＝3，则∠BP△C＝_____°． △
3．已知：如图，四边形ABCD中，∠ADC=60°，∠ABC=30°，AD=CD．求证：BD2=AB2+BC2．
4．如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，若将△APB绕着点B逆时针旋
转后得到△CQB．
（1）△BPQ是 三角形；
（2）求PQ的长度；
（3）求∠APB的度数．5．为了探索代数式 的最小值，
小张巧妙的运用了数学思想．具体方法是这样的：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D
作 ，连结AC、EC．已知AB=1，DE=5，BD=8，设BC=x．则 ，
则问题即转化成求AC+CE的最小值．
(1)我们知道当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小，于是可求得 的
最小值等于 ，此时x= ；
(2)题中“小张巧妙的运用了数学思想”是指哪种主要的数学思想；
(选填：函数思想，分类讨论思想、类比思想、数形结合思想)
(3)请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式 的最小值．
6．如图1，点C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，
EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．
(1)用含x的代数式表示AC+CE的长；
(2)请在图2中画出C点位置，使AC+CE的值最小，并求出这个最小值；
(3)根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式 的最小值．
7．如图，在△ABC中， BC=a，AC=b，AB=c，若∠C为直角，如图1，则有结论： ；
当∠C为锐角（如图2）或钝角（如图3）时，请你完成下列探究：（1）分别猜想∠C为锐角或钝角这两种情况下 与 的大小关系；
（2）任选（1）中的一个猜想进行证明．
8．已知：如图1，Rt ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，DE、DF分别交AC于E，交BC于
F，且DE⊥DF． △
（1）如果CA=CB，求证：AE2+BF2=EF2；
（2）如图2，如果CA＜CB，（1）中结论还能成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
9．如图，在 中， ，若点 从点 出发，以每秒 的速度沿
折线 运动，设运动时间为 秒（ ）．
（1）用尺规作线段 的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若点 恰好运动到 的垂直平分线上时，求 的值．
10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路
径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒.
(1) 当t=1时，求△ACP的面积.
(2) t为何值时，线段AP是∠CAB的平分线？
(3) 请利用备用图2继续探索：当t为何值时，△ACP是以AC为腰的等腰三角形？(直接写出结论)(4)当p点在AB上运动时，线段CP值为整数的点有_______________个.
11．阅读下面的材料，并解决问题：
（1）如图①，等边 ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别是3、4、5，求∠APB
的度数．由于PA、P△B、PC不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将 ABP绕顶点A旋转到
处，此时 ．这样，就可以利用全等三角形△知识，将三条线段的长
度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数；（求∠APB的度数）
（2）请你利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题：
如图②，在 ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：
EF2=BE2+FC△2．
12．综合与实践
材料一：“转化思想”是几何变换中常用的思想，例如将图形进行旋转变换，实现图形位置的
“转化”，把一般情形转化为特殊情形，使问题化难为易．它是一种以变化的、运动的观点来处
理孤立的、离散问题的思想．
材料二：皮埃尔·德·费马（如图）， 世纪法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”．
年勒·笛卡儿邀请费马思考关于三个顶点距离为定值的问题，费马经过思考并由此推出费马点
的相关结论．定义：若一个三角形的最大内角小于 则在其内部有一点所对三角形三边的张角均为 此时
该点叫做这个三角形的费马点.如图1，当 三个内角均小于 时，费马点 在 内部，
此时 的值最小．
（1）如图2，等边三角形 内有一点 若点 到顶点 的距离分别为 ，求 的
度数.为了解决本题，小林利用“转化”思想，将 绕顶点 旋转到 处，连接 此时
这样就可以通过旋转变换，将三条线段 ， 转化到一个三角形中，从而
求出 ；
（2）如图3，在图1的基础上延长 ，在射线 上取点 ，连接 ．使
求证： ；
（3）如图4，在 中， 点 为 的费马点，连接
，请直接写出 的值．
