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专题 02 勾股定理逆定理的应用
题型一 勾股数的应用
1．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就
没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数： 1 1 ， 6 0 ， 6 1 ；
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为
和 ．
【解答】解：（1）11，60，61；
故答案为：11，60，61．
（2）后两个数表示为 和 ，
∵n2+（ ）2＝n2+ ＝ ，（ ）2＝ ，
∴n2+（ ）2＝（ ）2．
又∵n≥3，且n为奇数，
∴由n， ， 三个数组成的数是勾股数．
故答案为： ， ．
2．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时明《周牌算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如
果个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“正整数直角三角形”，这三个正整数叫做一
组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25等都是勾股数．
（1）小欢在研究勾股数时发现，某些正整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差，我们这样的勾股数叫做完美勾股数．如 3，4，5中，5＝22+12，3＝22﹣
12；5，12，13中，13＝32+22，5＝32﹣22．判断8，15，17和9，40，41这两组勾股数是不是完美勾股
数，并说明理由；
（2）有一个直角三角形两直角边长分别为 和 ，斜边长为4 ，且a和b均为正整数，
用含b的代数式表示a，并求出a和b的值．
【解答】解：（1）∵17＝42+12，15＝82﹣72，
∴8，15，17是完美勾股数；
∵41＝52+42，9＝52﹣42，
∴9，40，41是完美勾股数；
（2）由勾股定理得：
7a﹣7+（150﹣30b）＝16×15，
∴a＝ ，
由题意可知：7a﹣7＞0，150﹣30b＞0
∴a＞1，0＜b＜5
∵a和b均为正整数
∴b的可能值为：1，2，3，4．
当b＝1时，a＝ ＝ ，不是正整数，故b＝1不符合题意；
当b＝2时，a＝ ＝ ，不是正整数，故b＝2不符合题意；
当b＝3时，a＝ ＝ ，不是正整数，故b＝3不符合题意；
当b＝4时，a＝ ＝31，是正整数，此时， ＝ ， ＝ ，
∵（ ）2+（ ）2＝240，（4 ）2＝240，
∴（ ）2+（ ）2＝（4 ）2，
∴b＝4符合题意．
∴a＝ ；a＝31，b＝4．
3．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（ ）
A．47 B．62 C．79 D．98
【解答】解：由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，……
∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，
∴当c＝n2+1＝65时，n＝8，
∴x＝63，y＝16，
∴x+y＝79，
故选：C．
4．探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，
41）…请写出下一数组： （ 1 1 ， 6 0 ， 6 1 ） ．
【解答】解：∵（3，4，5）：3＝2×1+1，4＝2×12+2×1，5＝2×12+2×1+1；
（5，12，13）：5＝2×2+1，12＝2×22+2×2，13＝2×22+2×2+1；
（7，24，25）：7＝2×3+1，24＝2×32+2×3，25＝2×32+2×3+1；
（9，40，41）：9＝2×4+1，40＝2×42+2×4，41＝2×42+2×4+1；
∴下一组数为：11＝2×5+1，60＝2×52+2×5，61＝2×52+2×5+1，
故答案为：（11，60，61）．
5．观察下列各组勾股数，并寻找规律：
①4，3，5； ②6，8，10； ③8，15，17； ④10，24，26……
请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数： 1 6 ， 6 3 ， 6 5 ．
【解答】解：观察前4组数据的规律可知：第一个数是2（n+1）；第二个是：n（n+2）；第三个数是：
（n+1）2+1．
所以第⑦组勾股数：16，63，65．
故答案为：16，63，65．
6．观察下列等式：32+42＝52；52+122＝132；72+242＝252；92+402＝412；112+602＝612…按照这样的规律，
第六个等式是 1 3 2 +8 4 2 ＝ 8 5 2 ．【解答】解：∵第一个等式是：32+42＝52；
第二个等式是52+122＝132；
第三个等式是72+242＝252；
第四个等式是92+402＝412；
第五个等式是112+602＝612…
按照这样的规律，第六个等式是：132+842＝852，
故答案为：132+842＝852．
7．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．
如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”；这三个整数叫做一
组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41等等都是勾股数．
（1）小李在研究勾股数时发现，某些整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边
能写成这两个整数的平方差．如3，4，5中，5＝22+12，3＝22﹣12；5，12，13中，13＝32+22，5＝32﹣
22；请证明：m，n为正整数，且m＞n，若有一个直角三角形斜边长为m2+n2，有一条直角长为m2﹣
n2，则该直角三角形一定为“整数直角三角形”；
（2）有一个直角三角形两直角边长分别为 和 ，斜边长4 ，且a和b均为正整数，
用含b的代数式表示a，并求出a和b的值；
（3）若c ＝a 2+b 2，c ＝a 2+b 2，其中，a 、a 、b 、b 均为正整数．证明：存在一个整数直角三角形，
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
其斜边长为c •c ．
1 2
【解答】解：（1）证明：
∵（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2
＝（m2+n2+m2﹣n2）（m2+n2﹣m2+n2）
＝2m2•2n2
＝（2mn）2
∴（2mn）2+（m2﹣n2）2＝（m2+n2）2
∵m，n为正整数，且m＞n，
∴2mn，m2﹣n2，m2+n2均为正整数
∴该直角三角形一定为“整数直角三角形”；
（2）由勾股定理得：
7a﹣7+（150﹣30b）＝16×15
∴a＝由题意可知：7a﹣7＞0，150﹣30b＞0
∴a＞1，0＜b＜5
∵a和b均为正整数
∴b的可能值为：1，2，3，4．
当b＝1时，a＝ ＝ ，不是正整数，故b＝1不符合题意；
当b＝2时，a＝ ＝ ，不是正整数，故b＝2不符合题意；
当b＝3时，a＝ ＝ ，不是正整数，故b＝3不符合题意；
当b＝4时，a＝ ＝31，是正整数，此时， ＝ ， ＝ ，
∵ + ＝240， ＝240
∴ + ＝
∴b＝4符合题意．
∴a＝ ；a＝31，b＝4．
（3）证明：观察发现，当a ＝b ＝1，a ＝b ＝2时，c •c ＝5×5＝25，
1 1 2 2 1 2
152+202＝225+400＝625，252＝625
∴152+202＝252
∴存在一个整数直角三角形，其斜边长为c •c ．
1 2
8．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c
根据你发现的规律，请写出
（1）当a＝19时，求b、c的值；
（2）当a＝2n+1（n为正整数）时，求b、c的值；
（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．
【解答】解：（1）观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c﹣b＝1
∵a＝19，a2+b2＝c2，
∴192+b2＝（b+1）2，
∴b＝180，
∴c＝181；（2）通过观察知c﹣b＝1，
∵（2n+1）2+b2＝c2，
∴c2﹣b2＝（2n+1）2，
（b+c）（c﹣b）＝（2n+1）2，∴b+c＝（2n+1）2，
又c＝b+1，
∴2b+1＝（2n+1）2，
∴b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1；
（3）由（2）知，2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1为一组勾股数，
当n＝7时，2n+1＝15，112﹣111＝1，
但2n2+2n＝112≠111，
∴15，111，112不是一组勾股数．
9．请认真阅读题意，并根据你的发现填空
（1）将任何一组已知的勾股数中的每一个数都扩大为原来的正整数倍后，就得到一组新的勾股数，例
如：3、4、5，我们把每一个数扩大为原来的2倍、3倍，则分别得到6、8、10和9、12、15，
若把每一个数都扩大为原来的12倍，就得到 3 6 ， 4 8 ， 6 0 ，
若把每一数都扩大为原来的n（n为正整数）倍，则得到 3 n ， 4 n ， 5 n
（2）对于任意一个大于1的奇数，存在着下列勾股数
若勾股数为3、4、5．则有32＝4+5
若勾股数为5、12、13，则有52＝12+13
若勾股数为7、24、25，则有72＝24+25
若勾股数为m（m为奇数）、n、 n + 1
则有m2＝2n+1，用m表示n＝
当m＝17时，n＝ 14 4 ，此时勾股数为 1 7 ， 14 4 ， 14 5 ．
【解答】解：（1）若把每一个数都扩大为原来的12倍，就得到36，48，60，
若把每一数都扩大为原来的n（n为正整数）倍，则得到3n，4n，5n；
（2）若勾股数为m（m为奇数）、n，n+1；用m表示n＝ ；当m＝17时，n＝144；此时勾股数为 17，144，145；
故答案为：36，48，60；3n，4n，5n；n+1； ；144； 17，144，145．
题型二 判断三角形形状
10．（选做题）适合下列条件的△ABC中，是直角三角形的有（ ）
①
②a＝b，∠A＝45°
③
④a＝2.5，b＝6，c＝6.5
⑤∠A＝32°，∠B﹣∠A＝26°．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：①（ ）2+（ ）2≠（ ）2，故不能构成直角三角形；
②∵a＝b
∴∠B＝∠A＝45°
∴∠C＝90°，则三角形是直角三角形；
③（ ）2+（ ）2≠（ ）2，故不能构成直角三角形；
④2.52+62＝6.52，故能构成直角三角形；
⑤∵∠A＝32°，∠B﹣∠A＝26°
∴∠B＝58°
∴∠C＝180﹣32﹣58＝90°
∴△ABC是直角三角形．
故能构成直角三角形的有②④⑤共3个．
故选：B．
11．满足下列条件的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A．三个内角度数之比是3：4：5
B．三边的平方之比是5：12：13C．三边长度之比是1： ：
D．三个内角度数之比是2：3：4
【解答】解：当三个内角度数之比是3：4：5时，最大的角的度数是：180°× ＝75°＜90°，故选
项A不符合题意；
当三边长的平方比为5：12：13时，因为（ ）2+（ ）2≠（ ）2，故该三角形不是直角三角形，
故选项B不符合题意；
当三边长度是1： ： 时，12+（ ）2＝（ ）2，故该三角形不是直角三角形，故选项C符合题
意；
三个内角度数比为2：3：4时，最大的角的度数是：180°× ＝80°＜90°，故选项D不符合题意；
故选：C．
12．如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直
角三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：
理由是：连接AC、AB、AD、BC、CD、BD，
设小正方形的边长为1，
由勾股定理得：AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，AD2＝12+32＝10，BC2＝52＝25，CD2＝12+32＝10，
BD2＝12+22＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，AD2+CD2＝AC2，BD2+AB2＝AD2，
∴△ABC、△ADC、△ABD是直角三角形，共3个直角三角形，故选：C．
13．如图，每个小方格都是边长为1的小正方形，△ABC的位置如图所示，你能判断△ABC是什么三角形
吗？请说明理由．
【解答】解：△ABC是直角三角形．
在直角△ABF、直角△BCD、直角△ACE中，
根据勾股定理即可得到：AB＝ ＝ ；
BC＝ ＝ ；AC＝ ＝5；
则AC2＝BC2+AB2
∴△ABC是直角三角形．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，设AC＝b，BC＝a，AB＝c，CD＝h，有下列四
种说法：①a•b＝c•h；②a+b＜c+h；③以a+b、h、c+h为边的三角形，是直角三角形；④ +
＝ ．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①∵Rt△ABC的面积为： ab或 ch，
∴ab＝ch，故①正确；②∵c2＜c2+h2，a2+b2＝c2，
∴a2+b2＜c2+h2，
∵ab＝ch，
∴a2+b2+2ab＜c2+h2+2ch，
∴（a+b）2＜（c+h）2，
∴a+b＜c+h，故②正确；
③∵（c+h）2＝c2+2ch+h2，
h2+（a+b）2＝h2+a2+2ab+b2，
∵a2+b2＝c2，（勾股定理）
ab＝ch（面积公式推导）
∴c2+2ch+h2＝h2+a2+2ab+b2，
∴（c+h）2＝h2+（a+b）2，
∴根据勾股定理的逆定理知道
以h，c+h，a+b为边构成的三角形是直角三角形，③正确；
④∵ab＝ch，
∴（ab）2＝（ch）2，即a2b2＝c2h2，
∵a2+b2＝c2，
∴a2b2＝（a2+b2）h2，
∴ ＝h2，
∴ ＝ ，
∴ + ＝ ，
∴ + ＝ ，故④正确．
故选：D．
15．如图，方格中的点A，B称为格点（格线的交点），以AB为一边画△ABC，其中是直角三角形的格点
C的个数为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：如图所示：以AB为一边画△ABC，其中是直角三角形的格点C共有4个，
故选：B．
16．下列说法错误的是（ ）
A．△ABC中，若有∠A+∠B＝∠C，则△ABC是直角三角形
B．△ABC中，若有∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形
C．△ABC的三边长分别为：a，b，c，且a2﹣b2＝c2，则△ABC是直角三角形
D．在一个直角三角形中，有两边的长度分别是3和5，则第三边的长度是4
【解答】解：A、△ABC中，若有∠A+∠B＝∠C，则∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，说法正确；
B、△ABC中，若有∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，说法正确；
C、△ABC的三边长分别为：a，b，c，且a2﹣b2＝c2，则a2＝b2+c2，∴△ABC是直角三角形，说法正确；
D、在一个直角三角形中，有两边的长度分别是3和5，则第三边的长度是4或 ，说法错误；
故选：D．
17．下列说法中正确的个数为（ ）
（1）如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC为直角三角形；
（2）三角形三个内角之比为1：2：3，则此三角形为直角三角形；
（3）若三角形的三条边长分别为3k、4k、5k（k＞0），则此三角形为直角三角形；
（4）若三角形的三边a、b、c满足a2+b2﹣c2＝0，则此三角形为直角三角形．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：（1）如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC为直角三角形，该说法正确；
（2）三角形三个内角之比为1：2：3，则此三角形为直角三角形，该说法正确；
（3）若三角形的三条边长分别为3k、4k、5k（k＞0），则此三角形为直角三角形，该说法正确；
（4）若三角形的三边a、b、c满足a2+b2﹣c2＝0，则此三角形为直角三角形，该说法正确．故选：D．
18．若a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+200＝12a+16b+20c，试判断△ABC的形状并说明理由．
【解答】解：∵a2+b2+c2+200＝12a+16b+20c，
∴（a﹣6）2+（b﹣8）2+（c﹣10）2＝0，
∴（a﹣6）＝0，（b﹣8）＝0，（c﹣10）＝0，
∴a＝6，b＝8，c＝10，
∵62+82＝102，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形．
19．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，BD＝9，BC＝15，AC＝20．
（1）求CD的长；
（2）求AB的长；
（3）判断△ABC的形状．
【解答】解：（1）在△BCD中，因为CD⊥AB，
所以BD2+CD2＝BC2．
所以CD2＝BC2﹣BD2＝152﹣92＝144．
所以CD＝12．
（2）在△ACD中，因为CD⊥AB，
所以CD2+AD2＝AC2．
所以AD2＝AC2﹣CD2＝202﹣122＝256．
所以AD＝16．
所以AB＝AD+BD＝16+9＝25．
（3）因为BC2+AC2＝152+202＝625，AB2＝252＝625，
所以AB2＝BC2+AC2．
所以△ABC是直角三角形．
20．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边，当a2+b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当
a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）．
（1）当△ABC三边分别为6、8、9时，△ABC为 锐角 三角形；当△ABC三边分别为6、8、11时，△ABC为 钝角 三角形．
（2）猜想，当a2+b2 ＞ c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2 ＜ c2时，△ABC为钝角三角形．
（3）判断当a＝2，b＝4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．
