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专题 02 勾股定理逆定理的应用
题型一 勾股数的应用
1．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就
没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数： ；
（2）若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为
和 ．
2．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时明《周牌算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如
果个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“正整数直角三角形”，这三个正整数叫做一
组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25等都是勾股数．
（1）小欢在研究勾股数时发现，某些正整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角
边能写成这两个整数的平方差，我们这样的勾股数叫做完美勾股数．如 3，4，5中，5＝22+12，3＝22﹣
12；5，12，13中，13＝32+22，5＝32﹣22．判断8，15，17和9，40，41这两组勾股数是不是完美勾股
数，并说明理由；
（2）有一个直角三角形两直角边长分别为 和 ，斜边长为 ，且a和b均为正整
数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值．
3．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的
过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（ ）
A．47 B．62 C．79 D．984．探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，
41）…请写出下一数组： ．
5．观察下列各组勾股数，并寻找规律：
①4，3，5； ②6，8，10； ③8，15，17； ④10，24，26……
请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数： ．
6．观察下列等式：32+42＝52；52+122＝132；72+242＝252；92+402＝412；112+602＝612…按照这样的规律，
第六个等式是 ．
7．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．
如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”；这三个整数叫做一
组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41等等都是勾股数．
（1）小李在研究勾股数时发现，某些整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边
能写成这两个整数的平方差．如3，4，5中，5＝22+12，3＝22﹣12；5，12，13中，13＝32+22，5＝32﹣
22；请证明：m，n为正整数，且m＞n，若有一个直角三角形斜边长为m2+n2，有一条直角长为m2﹣
n2，则该直角三角形一定为“整数直角三角形”；
（2）有一个直角三角形两直角边长分别为 和 ，斜边长4 ，且a和b均为正整数，
用含b的代数式表示a，并求出a和b的值；
（3）若c ＝a 2+b 2，c ＝a 2+b 2，其中，a 、a 、b 、b 均为正整数．证明：存在一个整数直角三角形，
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
其斜边长为c •c ．
1 2
8．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c
根据你发现的规律，请写出
（1）当a＝19时，求b、c的值；
（2）当a＝2n+1（n为正整数）时，求b、c的值；
（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．9．请认真阅读题意，并根据你的发现填空
（1）将任何一组已知的勾股数中的每一个数都扩大为原来的正整数倍后，就得到一组新的勾股数，例
如：3、4、5，我们把每一个数扩大为原来的2倍、3倍，则分别得到6、8、10和9、12、15，
若把每一个数都扩大为原来的12倍，就得到 ，
若把每一数都扩大为原来的n（n为正整数）倍，则得到
（2）对于任意一个大于1的奇数，存在着下列勾股数
若勾股数为3、4、5．则有32＝4+5
若勾股数为5、12、13，则有52＝12+13
若勾股数为7、24、25，则有72＝24+25
若勾股数为m（m为奇数）、n、
则有m2＝2n+1，用m表示n＝
当m＝17时，n＝ ，此时勾股数为 ．
题型二 判断三角形形状
10．适合下列条件的△ABC中，是直角三角形的有（ ）
① ②a＝b，∠A＝45° ③
④a＝2.5，b＝6，c＝6.5 ⑤∠A＝32°，∠B﹣∠A＝26°．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．满足下列条件的三角形中，是直角三角形的是（ ）
A．三个内角度数之比是3：4：5 B．三边的平方之比是5：12：13
C．三边长度之比是1： ： D．三个内角度数之比是2：3：4
12．如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直
角三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．如图，每个小方格都是边长为1的小正方形，△ABC的位置如图所示，你能判断△ABC是什么三角形
吗？请说明理由．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，设AC＝b，BC＝a，AB＝c，CD＝h，有下列四
种说法：①a•b＝c•h；②a+b＜c+h；③以a+b、h、c+h为边的三角形，是直角三角形；④ +
＝ ．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．如图，方格中的点A，B称为格点（格线的交点），以AB为一边画△ABC，其中是直角三角形的格点
C的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
16．下列说法错误的是（ ）
A．△ABC中，若有∠A+∠B＝∠C，则△ABC是直角三角形
B．△ABC中，若有∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形
C．△ABC的三边长分别为：a，b，c，且a2﹣b2＝c2，则△ABC是直角三角形
D．在一个直角三角形中，有两边的长度分别是3和5，则第三边的长度是417．下列说法中正确的个数为（ ）
（1）如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC为直角三角形；
（2）三角形三个内角之比为1：2：3，则此三角形为直角三角形；
（3）若三角形的三条边长分别为3k、4k、5k（k＞0），则此三角形为直角三角形；
（4）若三角形的三边a、b、c满足a2+b2﹣c2＝0，则此三角形为直角三角形．
A．1 B．2 C．3 D．4
18．若a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+200＝12a+16b+20c，试判断△ABC的形状并说明理由．
19．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，BD＝9，BC＝15，AC＝20．
（1）求CD的长；
（2）求AB的长；
（3）判断△ABC的形状．
