文档内容
专题 02 勾股定理与全等三角形的四类几何模型
目录
典例详解
类型一、倍长中线模型
类型二、截长补短模型
类型三、一线三等角模型
类型四、手拉手模型
压轴专练
类型一、倍长中线模型
例1．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图1，在 中， ， ，D是 的中点，求 边上的中线 的取值范围．
【阅读理解】
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
（1）如图1，延长 到点E，使 ，连接 ．根据__________可以判定 __________，
得出 __________．
这样就能把线段 集中在 中．利用三角形三边的关系，即可得出中线 的取值范围是
__________．【方法感悟】
当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，把分散的已知
条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法．
【问题解决】
（2）如图2，在 中， ，D是 边的中点， ， 交 于点E， 交 于
点F，连接 ，请判断 的数量关系，并说明理由．
【问题拓展】
（3）如图3， 中， ， ， 是 的中线， ， ，且 ，
请直接写出 的长．
变式1-1 （1）如图1，点 是线段 的中点，连接 ，则 与 的数量关系为______，位
置关系为______；
（2）①如图2，在 中， ，点 为 内一点，连接 ，延长 到点 ，使
，连接 ，若 ，探究 之间的数量关系，并说明理由；
②如图3，在 中， ， ，点 为 中点，点 在线段 上（点 不与点 ，
点 重合），连接 ，过点 作 ，连接 ，若 ， ，请直接写出 的长．变式1-2．问题探究：
如图1，小明遇到这样一个问题：如图，在 中， 是中线，求 的取值范围．他
的做法是：延长 到 ，使 ，连接 ，证明 ，经过推理和计算使问题得到解
决．请回答：
（1）小明证明 的判定理由是______；（填写“ ”或“ ”）
（2） 的取值范围是______；
方法运用：
（3）如图2， 是 的中线，在 上取一点 ，连接 ，使得 ，延长 交 于点 ．
求证： ；
（4）如图3，在 中， 为 的中点， ．求证： ．
变式1-3 如图，分别以 的两边 为腰向外作等腰直角 和等腰直角 ，其中
．(1)如图1，连接 ．若 ，求 的长；
(2)如图2，M为 的中点，连接 ，过点M作 与 的反向延长线交于点N，连接 ，试
猜想 之间有何等量关系，并证明你的结论．
类型二、截长补短模型
例2．如图1，在四边形 中， ， 分别是 上的
点，且 ，探究图中线段 之间的数量关系．
(1)提示：探究此问题的方法是延长 到点G，使 ，连接 ，先证明 ，再证明
．请根据提示按照提示的方法完成探究求解过程．
(2)探索延伸：如图2，若在四边形 中， ，E，F分别是 上的点，且 ，
上述结论是否仍然成立？请说明理由．
(3)能力提高：
如图，等腰直角三角形 中， ，点M，N在边 上， ，若
，则 的长为 ．
变式2-1（1）【问题发现】①如图1， 中， ， 为 边上的中点，连接 ．设
的面积和周长分别为 和 ， 的面积和周长分别为 和 ，则 ， ．（填“>”，“<”或
“ ”）
②如图2， 中， 、 是 边上的两点，若 ，则 与 的数量关系是 ．
（2）【问题延伸】如图3，四边形 中， ， ，若 的长度为6，求出
四边形 的面积．
（3）【问题解决】国际港务区计划将一块四边形空地开发为小型公园，空地的示意图如图4所示．其中
， ， ， ．现计划将点 处设置为公园的入口，在
边上设置一个出口 ，并修建一条贯穿整个公园的小路 ．根据规划，要求小路 将整个公园分
成两块面积相同和周长相同的区域（即 与四边形 的周长和面积都相同），施工队能否按照规
划修建出这条小路？若能，请求出 的长度；若不能，请说明理由．（小路的宽度忽略不计）变式2-2 如图，在四边形 中， ， ， ， ，
(1)求 的长；
(2)点 从点 出发以每秒 速度沿着射线 运动，设运动时间为 秒，点 在射线 上，且
．
①如图1，若点E在线段 上，判断线段 之间的数量关系，并加以证明．②在整个运动过程中，求 的周长（结果可用含 的式子表示）．
类型三、一线三等角模型
B
A
D E
C
应用：通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；
例3 （1）问题发现：如图1，在 中， ，将边 绕点C顺时针旋转 得到线段 ，在
射线 上取点D，使得 ，线段 与 的数量关系是______；
（2）类比探究：如图2，若 ，作 ，且 ，其他条件不变，写出变化后线段
与 的数量关系，并给出证明；
（3）拓展延伸：如图3，正方形 的边长为6，点E是边 上一点，且 ，把线段 逆时针
旋转 得到线段 ，连接 ，直接写出线段 的长．变式3-1 （1）【问题提出】如图1，在 和 中， ， ， ，
， 三点在一条直线上， ， ，则 的长度为________；
（2）【问题探究】如图2，在 中， ， ， ，且 ，求点 到
的距离；
（3）【问题解决】如图3，在四边形 中， ， ， ，
求 的周长．
变式3-2 如图，用一副三角板摆放三种不同图形．在 中， ， ； 中，
， ．
(1)如图 ，当顶点 摆放在线段 上时，过点 作 ，垂足为点 ，过点 作 ，垂足为点 ，请在图 中找出一对全等三角形，并说明理由；
(2)如图 ，当顶点 在线段 上且顶点 在线段 上时，过点 作 ，垂足为点 ，猜想线段
、 、 的数量关系，并说明理由；
(3)如图 ，当顶点 在线段 上且顶点 在线段 上时，若 ， ，连接 ，则 的面
积为 ．
类型四、手拉手模型
应用：通过辅助线利用旋转构造全等三角形解决问题。
例4．在 中， ， ， 是直线 上的一点，连接 ，过点 作 ，
交直线 于点 ．
(1)当点P在线段 上时，如图①，求证： ；
(2)当点P在直线 上移动时，位置如图②、图③所示，线段 ， 与 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．
变式4-1 如图所示，等腰直角 中， ．
(1)如图1，若 是 内一点，将线段 绕点 顺时针旋转 得到 ，连 ，求证： ；
(2)若 是 外一点，将线段 绕点 顺时针旋转 得到 ，且 ，连结BD，猜想：线段
和 满足什么数量关系？请在图2中画出符合要求的图形（一种即可），并在你所画图形的基础上完
成证明；
(3)如图，若 是斜边 的中点， 为 下方一点，且 ， ， ，则
___________．
变式4-2 如图，在 中，以 为边向外作等边 ，以 为边向外作等边 ，连接 、
．求证： ．
【知识应用】如图，四边形 中， 、 是对角线， 是等腰直角三角形， ，
， ，求 的长．
【拓展提升】如图，四边形 中， ， ， ，则
________．1．如图，在 中， ， ， 是 外一点，连接 ，若
， ， ，则 的长为 ．
2．如图，在 中， 为中线，点F在 上，满足 ，连接 并延长交 于点E，若
则 的长为 ．
3．如图，在 中， ， 平分 ，点N为线段 上一点，连接 ，过点N作
交 于点D，连接 ．若 ， ， ，则 ．4．如图1，在 中， ，E为 上一点，D为 延长线上一点，且 ，
连接 ，并延长 交 于F．
(1)求证： ．
(2)若点N与C关于直线 对称，连接 ，连接 ．
①如图2，作 的角平分线 交 于点M，连接 ．判断 与 的数量关系，并证明
你的结论．
②如图3，若 ，求 的长．
5．[方法储备]如图1，在 中， 为 的中线，若 ， ，求 的取值范围．中线
倍长法：如图2，延长 至点 ，使得 ，连结 ，可证明，由全等得到 ，从而
在 中，根据三角形三边关系可以确定 的范围，进一步即可求得 的范围．
在上述过程中，证明 的依据是______， 的范围为______；[思考探究]如图3，在 中， ， 为 中点， 、 分别为 、 上的点，连结
、 、 ， ，若 ， ，求 的长；
[拓展延伸]如图4， 为线段 上一点， ，分别以 、 为斜边向上作等腰 和等腰
， 为 中点，连结 ， ， ．
①求证： 为等腰直角三角形；
②若将图4中的等腰 绕点 转至图5的位置（ ， ， 不在同一条直线上），连结 ， 为
中点，且 ， 在 同侧，连结 ， ．若 ， ，求 和 的面积之差．
6．【问题背景】
（1）如图1，点 是线段 ， 的中点，求证： ；
【变式迁移】
（2）如图2，在等腰 中， 是底边 上的高线，点 为 内一点，连接 ，延
长 到点 ，使 ，连接 ，若 ，请判断 、 、 三边数量关系并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，在等腰 中， ，点 为 中点，点 在线段 上（点E不与点
，点 重合），连接 ，过点 作 ，连接 ，若 ，求 的长．7．【问题呈现】“一直线三等角”，是几何证明的常见模型．
（1）如图1， 和 均为等边三角形，点D为 边上一个动点， ，点O为 边中点，
连接 ，写出图中全等的三角形______．线段 的最小值______．
【问题探索】
（2） 是等腰直角三角形， ，点E是 上一点， ，交 于
D．
①如图①试探究 数量关系，并给予证明；
②如图②，若 ，点F是 的中点，求 的长．
【灵活运用】
（3）如图3，四边形 中，对角线 相交于点E， ，
，求四边形 的面积．8．【知识背景】
勾股定理的内容是：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．在 中， ，则
三边的数量关系满足 ；
【提出问题】
某学生在学习了勾股定理之后提出：锐角三角形有没有类似于勾股定理的结论．首先定义一个新的概念：
如图1，锐角 中，M是 的中点，N是线段 上的点，设 ，若 ， ，
则称k为勾股比．
【解决问题】
（1）如图2，若 ， ， ，当勾股比 时，求 与 的数量关系．
（2）如图3，在锐角 中，M是 的中点，N是线段 上的点，过点B、C作 的垂线，垂足分
别为P、Q，①求证： ；
②若 ， 时，用勾股比k的代数式填空： （ ） ．
9．综合与实践
【问题重现】
义务教育教科书数学八年级上册《第十一章三角形》中我们学过了三角形中线的定义、画法、性质等．下
面是一道关于三角形的中线有关问题：
如图1， 是 的中线， ， ，求 的取值范围．
问题解决思路：延长 到 ，使得 ，连接 ，可证 （相当于将 绕点 顺
时针旋转 得到 ，把 ， ， 变换到 中，利用三角形的三边关系可得
，所以 ．根据上面信息，解决下面问题．
【问题变式】
如图2，点 ， ， 分别在 的边 ， ， 上， 是 边上的中点， ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）当 时，猜想线段 ， ， 之间的数量关系，并证明你的猜想；
【问题拓展】
（3）如图3，四边形 中， ， ， ，点 ， 分别在四边
形 的边 ， 上，且 ，连接 ．探索线段 ， ， 之间的数量关系并证明．
