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2021-2022 学年北师大版数学八年级下册压轴题专题精选汇编
专题 03 角平分线
一、选择题
1．（2021八上·海曙期末）如图，CD是等腰三角形 △ABC底边上的中线，BE平分∠ABC，交CD于点E，
AC＝8，DE＝2，则 △ BCE的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【完整解答】解：过点E作EF⊥BC于F，
∵AC＝BC＝8，CD是等腰三角形△ABC底边上的中线，
∴CD⊥AB，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF＝DE＝2，
∴△BCE的面积＝ ×BC×EF＝ ×8×2=8.
故答案为：C.【思路引导】过点E作EF⊥BC于F，利用等腰三角形的性质可证得CD⊥AB，利用角平分线上的点到角两边
的距离相等，可求出EF的长；再利用三角形的面积公式可求出△BCE的面积.
2．（2021八上·思南月考） 的两内角平分线 、 相交于点O，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【完整解答】解：∵
∴∠ABC+∠ACB=180°-
∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB
∴∠OBC+∠OCB= ∠ABC+ ∠ACB= （∠ABC+∠ACB）=35°
∴ 180°-（∠OBC+∠OCB）=145°
故答案为：C.
【思路引导】根据三角形内角和求出∠ABC+∠ACB的度数，由角平分线的定义可得∠OBC= ∠ABC，∠OCB=
∠ACB，从而得出∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB），最后根据三角形内角和可求解.
3．（2022八下·三角）如图所示，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点
F，若BC=6，则DF的长是（ ）A．2 B．3 C．5 D．4
【答案】B
【完整解答】解：∵D，E分别是BC，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，DB= BC=3；
∴DE∥AB，
∴∠ABF=∠BFD，
∵ BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠DBF，
∴∠DBF=∠BFD，
∴BD=DF=3.
故答案为：B.
【思路引导】利用中点的定义可证得DE是△ABC的中位线，同时可求出DB的长；再利用三角形的中位线
定理可证得DE∥AB，利用平行线的性质和角平分线的定义去证明∠DBF=∠BFD；然后利用等角对等边，可
求出DF的长.
4．（2020八上·荣县月考）如图， 是△ 的角平分线， 于 ，点 分别是
上的点， ， △ 与△ 的面积分别是 和 ，则△ 的面积是
（ ）
A．a-b B． C． D．
【答案】D
【完整解答】解：过点D作DH⊥AC，交于点H是△ 的角平分线， 于 ，
则
由 可以证明 ≌
≌
.
故答案为：D.
【思路引导】过点D作DH⊥AC，交于点H，由角平分线的性质可得DE=DH，由HL证Rt△ADE≌Rt△ADH，
Rt△DEF≌Rt△DHG，得 ，再由 即可求出答案.
5．（2021八上·道里期末）如图，AD是 的角平分线，作AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点
F，连接AF．下列结论：① ；② ；③ ；④ ．
其中命题一定成立的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C【完整解答】解：∵EF是线段AD的垂直平分线，
∴AF=DF，故①符合题意；
∴∠ADF=∠DAF，
过点D分别作DH⊥AB于H，DG⊥AC于G，
∵AD平分∠BAC，
∴DH=DG，∠BAD=∠CAD
∵ ， ，
∴ ，故②符合题意；
∵∠BAF=∠BAD+∠DAF，∠ACF=∠DAC+∠ADF，
∴∠BAF=∠ACF，故③符合题意；
∵∠BAF不一定为90°，
∴∠ACF不一定为90°，
∴AF与BC不一定垂直，故④不符合题意，
故答案为：C．
【思路引导】根据角平分线的性质、三角形的知识点即可得出答案。
6．（2021八上·西峰期末）如图，点E是 的中点， ， ， 平分 ，下列
结论：① ；② ；③ ；④ .其中正确的是（ ）A．①②④ B．①②③④ C．②③④ D．①③
【答案】A
【完整解答】解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，过E作EF⊥AD于F，
∴BE=EF，AE=AE，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)
∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以③错误；
∵EC＝EF，ED=ED，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD(HL)，
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；
∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，所以④正确；
∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝ ∠BEC＝90°，所以①正确，
综上：①②④正确，
故答案为：A
【思路引导】利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得BE=EF，AE=AE，利用HL证明
Rt△AEF≌Rt△AEB，利用全等三角形的对应边和对应角相等，可证得AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；由线段中点
的定义可证得EC＝EF＝BE，可对③作出判断；利用HL证明Rt△EFD≌Rt△ECD，利用全等三角形的性质可得到DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，可对②作出判断；同时可推出AD＝AB＋DC，可对④作出判断；然后求出
∠AED的度数，可对①作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
7．（2021八上·盐湖期中）有一题目：“如图，∠ABC=40°，BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交BC于点
E，若点F在AB上，且满足DF=DE，求∠DFB的度数．”小贤的解答：以D为圆心，DE长为半径画圆交AB
于点F，连接DF，则DE=DF，由图形的对称性可得∠DFB=∠DEB．结合平行线的性质可求得∠DFB=140°．
而小军说：“小贤考虑的不周全，∠DFB还应有另一个不同的值”．下列判断正确的是（ ）
A．小军说的对，且∠DFB的另一个值是40°
B．小军说的不对，∠DFB只有140°一个值
C．小贤求的结果不对，∠DFB应该是20°
D．两人都不对，∠DFB应有3个不同值
【答案】A
【完整解答】解：
如图，以点D为圆心， 长为半径画圆交 于点F， ，连接 ， ，则
，
，
平分 ，
由图形的对称性可知： ，
， ，
，
，
当点F位于点 处时，，
．
故答案为：A．
【思路引导】以点D为圆心， 长为半径画圆交 于点F， ，连接 ， ，则
，由图形的对称性可知 ，结合平行线的性质求∠DFB=140°，当点F
位于点 处时，由DF=DF'可求出∠DF'B的度数.
8．（2021八上·日照期中）如图，△ABC中，∠A＝∠ACB，CP平分∠ACB，BD，CD分别是△ABC的两外角
的平分线，下列结论中：①CP⊥CD②∠P＝ ③BC＝CD④ ⑤PD//AC，其中正确的结
论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【完整解答】解：∵∠BCA+∠BCF=180°，CP平分∠ACB，CD平分∠FCB，
∴∠PCB= ，∠DCB= ，
∴∠PCD=∠PCB+∠DCB = + ，
∴CP⊥CD；
故①符合题意；
延长CB到G，
∵BD平分∠CBE，
∴∠EBD=∠DBC，
∵∠EBD=∠PBA，∠CBD=∠PBG，∴∠PBA =∠PBG，
∴∠ABG=2∠GBP，
∵∠ABG=∠A+∠ACB，即2∠PBG=∠A+2∠PCB，∠PBG=∠P+∠PCB，
∴∠PBG= ∠A+∠PCB，
∴∠P= ∠A，
故②符合题意；
∵CD平分∠BCF，
∴∠BCD= ，
∠DBC= ，
∴∠BCD+∠CBD= + ，
= ，
= ，
= ，∴∠D=180°-（∠BCD+∠CBD）=180°- ，
故④符合题意；
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB，
∵2∠DBC=∠EBC=∠A+∠ACB=2∠A，
∴∠DBC=∠A，
∴∠D=90° ，
∴2∠D+∠DBC=180°，
当∠A=60°时，∠D=∠DBC=60°，
∴BC=CD，
故③不符合题意，
∵∠DBC=∠A=∠ACB，
∴PD∥AC，
故⑤符合题意；
故正确的结论有4个．
故答案为：D．
【思路引导】根据角平分线的定义得出∠PCB= ，∠DCB= ，根据垂直的定义得出
CP⊥CD，故①符合题意；延长CB到G，根据角平分线的定义和三角形外角的性质得出∠P= ∠A，故②
符合题意；根据平行线的判定定理得出AB//CD，推出 △ ABC是等边三角形，得出∠DBC=∠A=∠ACB，故③
不符合题意，根据角平分线的定义得出∠EBD=∠DBC，求出∠D= ，故④符合题意；根据三角形
外角的性质得出∠BAC=∠ACB，∠DBC=∠A，故⑤符合题意。9．（2021八上·营山月考）如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P
作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②AD=PF+PH；③DH平分
∠CDE；④S = S ；⑤S =S ，其中正确的结论有（ ）个
四边形ABDE △ABP △APH △ADE
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【完整解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD+∠ABE= （∠A+∠B）=45°，
∴∠APB=135°，故①正确.
∴∠BPD=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB=90°+45°=135°，
∴∠APB=∠FPB，
又∵∠ABP=∠FBP，
BP=BP，
∴△ABP≌△FBP（ASA），
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，
在△APH和△FPD中，
，∴△APH≌△FPD（ASA），
∴PH=PD，
∴AD=AP+PD=PF+PH，故②正确.
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，
∴S =S ，S =S ，PH=PD，
△APB △FPB △APH △FPD
∵∠HPD=90°，
∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD，
∴HD∥EP，
∴S =S ，
△EPH △EPD
∴S =S ，故⑤正确，
△APH △AED
∵S =S +S +S +S
四边形ABDE △ABP △AEP △EPD △PBD
=S +（S +S ）+S
△ABP △AEP △EPH △PBD
=S +S +S
△ABP △APH △PBD
=S +S +S
△ABP △FPD △PBD
=S +S
△ABP △FBP
=2S ，故④不正确.
△ABP
若DH平分∠CDE，则∠CDH=∠EDH，
∵DH∥BE，
∴∠CDH=∠CBE=∠ABE，
∴∠CDE=∠ABC，
∴DE∥AB，这个显然与条件矛盾，故③错误，
故答案为：B.
【思路引导】利用三角形的内角和定理得∠A+∠B=90°，由角平分线的定义可求出∠BAD+∠ABE的度数；
然后利用三角形的内角和定理求∠APB的度数，可对①作出判断；
求出∠BPD=45°，再证∠APB=∠FPB，由ASA证△ABP≌△FBP，由全等三角形性质证∠BAP=∠BFP，AB=FB，
PA=PF；利用ASA证明△APH≌△FPD，推出PH=PD，由AD=AP+PD，可对②作出判断；
由全等三角形的性质和面积公式可求出S =S ，S =S ，PH=PD；再证明HD∥EP，可推出
△APB △FPB △APH △FPD
S =S ，即可证得S =S ，可对⑤作出判断；
△EPH △EPD △APH △AED
根据S =S +S +S +S ，可推出S =2S ，可对④作出判断；若DH平分∠CDE，则
四边形ABDE △ABP △AEP △EPD △PBD 四边形ABDE △ABP
∠CDH=∠EDH，利用平行线的性质可推出∠CDE=∠ABC，可得到DE∥AB，这个显然与条件矛盾，可对③作出
判断；综上所述可得到正确结论的个数.二、填空题
10．（2021八上·汉阴期末）如图，在 中， ， 平分 ，
，点D到 的距离为5.6，则 .
【答案】16.8
【完整解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，
∴CD⊥AC，
∵AD平分∠BAC，
∴CD＝DE，
∵D到AB的距离等于5.6cm，
∴CD＝DE＝5.6cm，
又∵BD＝2CD，
∴BD＝11.2cm，
∴BC＝5.6＋11.2＝ cm，
故答案为：16.8.
【思路引导】过D作DE⊥AB于E，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得CD=DE，同时可求出
CD的长，然后根据BC=BD+CD，代入计算求出BC的长.
11．（2021八上·浦东期末）如图，在 中， ，三角形的两个外角 和
的平分线交于点E．则 ．【答案】26°
【完整解答】解：如图，过点 作 三边的垂线段 ，
三角形的两个外角 和 的平分线交于点E
在 的角平分线上，即 是 的角平分线
故答案为：26°
【思路引导】过点E作EM⊥AB于M、EN⊥BC于N、EO⊥AC于O，根据角平分线的性质即可得出EM=EO=EN，
结合EM⊥AB于M、EN⊥BC于N，即可得出BE平分∠ABC，再根据角平分线的定义即可得出结论。
12．如图，在 中，AD为BC边上的中线， 于点E，AD与CE交于点F，连接BF.若BF平分
， ， ，则 的面积为 ．【答案】4
【完整解答】解：过F作FG⊥BC于G，
∵BF平分 ，FG⊥BC， 即EF⊥AB，
∴FG=EF=2，
∵AD为△ABC的BC边上的中线，
∴FG为△BFC的BC边上在中线，又BC=8，
∴S = S = BC·FG= ×8×2=4，
△CDF △BFC
故答案为：4．
【思路引导】先求出FG=EF=2，再求出FG为△BFC的BC边上在中线，最后利用三角形的面积公式计算求解
即可。
13．（2021八上·农安期末）如图所示，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，AB=36cm，BC=24cm，
S =144cm，则DE的长是 ．
△ABC
【答案】4.8cm
【完整解答】如图，过点D作DF⊥BC于点F，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，
∴DF=DE.
∴S = S + S = AB DE+ BC DF= （AB+BC） DE=144，
△ABC △ABD △BCD
∴ （36+24） DE=144，解得：DE=4.8（cm.）
【思路引导】过点D作DF⊥BC于点F，根据平行线的性质可得DF=DE，再利用三角形的面积公式及割补法
列出S = S + S
△ABC △ABD △BCD
= AB DE+ BC DF= （AB+BC） DE=144，再求出DE的长即可。
14．（2021八上·长春期末）如图所示，已知∠AOB＝40°，现按照以下步骤作图：①在OA，OB上分别截
取线段OD，OE，使OD＝OE；②分别以D，E为圆心，以DE长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；③作
射线OC；④连接DC、EC．则∠OEC的度数为 ．
【答案】130°
【完整解答】解：由作法得OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∵DE＝DC＝EC，
∴△DEC为等边三角形，∴∠CED＝60°，
∴∠OEC＝70°+60°＝130°．
故答案为130°．
【思路引导】根据角平分线的性质、等边三角形的判定与性质即可得出答案。
15．（2021八上·建华期末）小聪在研究题目“如图，在等腰三角形ABC中， ，
， 的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点C沿直线EF折叠后与点O重合，
你能得出那些结论？”时，发现了下面三个结论：① ；②图中没有60°的角；③D、O、C
三点共线．请你直接写出其中正确的结论序号：
【答案】①
【完整解答】解：∵∠BAC=50°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO= ∠BAC= ×50°=25°．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°．
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=25°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°．
∵AO为∠BAC的平分线，AB=AC，
∴直线AO垂直平分BC，
∴OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE．
∴∠COE=∠OCB=40°；在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠OEF= ∠CEO=50°，①符合题意；
∵∠OCB=∠OBC=∠COE=40°，
∴∠BOE=180°-∠OBC-∠COE-∠OCB =180°-40°-40°-40°=60°, ②不符合题意；
∵∠ABO=∠BAO=25°，DO是AB的垂直平分线，
∴∠DOB=90°-∠ABO=75°，
∵∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠BOC=180°-∠OBC -∠OCB=180°-40°-40°=100°，
∴∠DOC=∠DOB+∠BOC=75°+100°=175°,即D、O、C三点不共线，③不符合题意.
故答案为：①．
【思路引导】根据等腰三角形的性质，角平分线，垂直平分线的定义对每个结论一一判断即可。
16．（2021八上·温州期中）如图，已知等腰 中， 平分 交
于点 ，过点 作 交 于点 ，若 ，则
，Ｓ .
四边形EDCF
【答案】8；
【完整解答】解：∵BD=CD，BD=4，
∴BC=2BD=8，
∵ ，
∴ ，
又∵BE平分 ，
∴∴∠ABF=∠CBF∴ ，
∴ ；
如图所示，作FH⊥BH交BC延长线于H点，
∵ ，
∴AD⊥BC，
又∵FH⊥BH，
∴ ，
∴设FH=x，
∴ ，即 ，
整理得： ，
∴在 中， ，
即 ，整理得： ，
解得： (舍去)， .
∴ ，
∴S =
四边形EDCF故答案为：8， .
【思路引导】易得BC=2BD=8，由平行线的性质可得∠ABF=∠F，由角平分线的概念可得∠ABF=∠CBF，推出
CF=BC=8，作FH⊥BH交BC延长线于H点，由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，证明△BDE∽△BHF，设
FH=x，由相似三角形的性质表示出CH，在Rt△CHF中，应用勾股定理可得x，即FH，然后根据S =
四边形EDCF
S -S 进行计算.
△BCF △BDE
17．（2021八上·赵县月考）如图，在△ABC中，∠A=64°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A，则∠A=
1 1
；∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A，得∠A；…；∠A BC与∠A CD的平分线相交于点A，要使∠A
1 1 2 2 n-1 n-1 n n
的度数为整数，则n的值最大为 ．
【答案】32˚；6
【完整解答】由三角形的外角性质得∠ACD=∠A+∠ABC，∠ACD=∠A+∠ABC，
1 1 1
∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A，
1
∴∠ABC= ∠ABC，∠ACD= ∠ACD，
1 1
∴∠A+∠ABC= （∠A+∠ABC）= ∠A+∠ABC，
1 1 1
∴∠A= ∠A= ×64°=32°；
1
∵AB、AC分别平分∠ABC和∠ACD，
1 1
∴∠ACD=2∠ACD，∠ABC=2∠ABC，
1 1
而∠ACD=∠A+∠ABC，∠ACD=∠ABC+∠A，
1 1 1
∴∠A=2∠A，
1
∴∠A= ∠A，
1
同理可得∠A=2∠A2，
1∴∠A= ∠A，
2
∴∠A=2n∠A，
n
∴∠A=（ ）n∠A= ，
n
∵∠A 的度数为整数，
n
∵n=6.
故答案为32°，6.
【思路引导】根据三角形的外角性质得∠ACD=∠A+∠ABC，∠ACD=∠A+∠ABC，再根据角平分线的定义可
1 1 1
得∠ABC= ∠ABC，∠ACD= ∠ACD，整理可得∠A= ∠A，同理可得∠A=2∠A，即得∠A=
1 1 1 1 2 2
∠A，从而得出规律∠A=（ ）n∠A，由∠A 的度数为整数求出n最大值即可.
n n
18．（2021八下·乐山期末）如图，菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=120°，过对角线AC延长线上的一点P分
别作AD、DC延长线的垂线，垂足分别为E、F，则PE-PF= 。
【答案】2
【完整解答】解：过点P作PQ⊥AB，过点C作CM⊥AB，如图所示，∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=4，AB∥CD，AC平分∠DAB，
∵PQ⊥AB，AD⊥EP，
∴QP=PE，
∵PF⊥CD，
∴点Q、F、P共线，
∴PE-PF=PQ-PF=FQ，
∵AB∥CD，CM⊥AB，PQ⊥AB，
∴QF=CM，
∵∠ABC为△BCM的外角，
∴∠ABC=∠BCM+∠CMB=120°，
∴∠BCM=30°，
∴BM=2，
在Rt△BCM中，由勾股定理得 ，
∴ ，
故答案为： .
【思路引导】过点P作PQ⊥AB，过点C作CM⊥AB，先根据菱形的性质得到AB=BC=4，AB∥CD，AC平分
∠DAB，再由角平分线的性质得到QP=PE，进而得到PE-PF=FQ，接着运用平行线的性质得到QF=CM，再由三
角形的外角结合勾股定理即可求解.19．（2021八上·沙坪坝期末）如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，
PN⊥BF，垂足分别为M、N.现有四个结论：
①CP平分∠ACF；②∠BPC＝ ∠BAC；③∠APC＝90°﹣ ∠ABC；④S +S ＞S .
△APM △CPN △APC
其中结论正确的为 .（填写结论的编号）
【答案】①②③
【完整解答】解：①过点P做PD⊥AC，如图所示：
∵AP是∠MAC的平分线，PM⊥AE
∴PM=PD
∵BP是∠ABC的角平分线，PN⊥BF
∴PM=PN
∴PD=PN
∵PC=PC
∴
∴∠PCD=∠PCN，故①正确；②∵BP和CP分别是∠ABC和∠ACN的角平分线以及三角形内角和为180°
∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°- ∠ABC-（180°-∠PCN）
=- ∠ABC+∠PCN=- ∠ABC+ ∠CAN
∵外角定理
∴∠BPC=- ∠ABC+ （∠BAC+∠ABC）= ∠BAC，故②正确；
③由①可得， ，且
∴∠APC= ∠MPN
∵∠PMB=∠PNB=90°以及四边形内角和为360°
∴∠MPN=180°-∠ABC
∴∠APC＝90°﹣ ∠ABC，故③正确；
③由①可得， ，且
∴S +S =S ，故④错误；
△APM △CPN △APC
故答案为：①②③.
【思路引导】①过点P做PD⊥AC，因为AP平分∠EAC，可以得到MP=PD，再证明 即可得
出结论；
②根据BP和CP都是角平分线，即可得到∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°- ∠ABC-（180°-∠PCN）
=- ∠ABC+∠PCN=- ∠ABC+ ∠ACN，根据外角定理，可以得到∠BPC=- ∠ABC+
（∠BAC+∠ABC）= ∠BAC，即可得到结论；③由①可得， ，故∠APC= ∠MPN，因为∠PMB=∠PNB=90°，所以∠MPN=180°-
∠ABC，代入得∠APC＝90°﹣ ∠ABC，即可得出结论；
④由①可得， ，故S +S =S ，即可得出结论.
△APM △CPN △APC
三、解答题
20．（2021八上·红桥期末）如图，在 和 中， ， ， ，
．
连接 ， 交于点 ，连接 ．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求 的大小；
（Ⅲ）求证：
【答案】解：（Ⅰ）证明∵ ，
∴ ，即 ．
∵ ， ，
∴ ≌ ．∴
（Ⅱ）如图，由（Ⅰ）可得 ．
∵ ，∴ ．
∴ ．
（Ⅲ）证明：如图，过 分别作 ， ，垂足分别为点 ， ．∵ ≌ ，∴ ．∴ ．
∵ ，∴ ．
∴ 点 在 的平分线上．∴ ．
【思路引导】（Ⅰ）先利用“SAS”证明 ≌ ，再利用全等的性质可得AC=BD；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论可得 ，再利用角的运算及等量代换可得
；
（Ⅲ）根据全等三角形的性质可得 ，再利用三角形的面积可得 ，即
可得到 ，即可证明 点 在 的平分线上，即可得到 。
21．（2021八上·南京期末）如图，在 ABC中，∠C＝90°，按下列要求用直尺和圆规作图.（不写作
法，保留作图痕迹）
（1）如图①，在边BC上求作一点P，使点P到点C的距离等于点P到边AB的距离；
（2）如图②，在边AB上求作一点Q，使点Q到点A的距离等于点Q到边BC的距离.
【答案】（1）解：如图①，点P即为所求作；
（2）解：如图②，点Q即为所求作.【思路引导】（1）利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点P在∠CAB的角平分线上，利用尺规
作图，作出∠CAB的角平分线，交BC于点P；
（2）利用已知∠C=90°，AP平分∠CAB，因此利用尺规作图作出PQ⊥BC，交AB于点Q，即可求解.
22．（2021八上·长沙期末）第五代移动通信技术（简称5G）是最新一代蜂窝移动通信技术，是4G、3G
和2G系统后的延伸.5G的性能目标是高数据速率、减少延迟、节省能源、降低成本、提高系统容量和大规
模设备连接.县电信部门要修建一座5G信号发射塔，要求发射塔离村庄A、B的距离必须相等，且到两条高
速公路MN、PQ的距离也必须相等.发射塔点G应修建在什么位置？在图上标出它的位置.（请保留作图痕迹，
并标注出点G，否则扣分.）
【答案】解：连接AB，分别以A、B为圆心，以大于AB长的一半为半径画弧，然后连接两个交点即为所求以O为圆心，以任意长为半径画弧，与OQ，ON分别交于E、F，连接EF，然后同样以O为圆心，以不同为
OE的长为半径画弧与OQ，ON分别交于R、S，连接ES，RF两者交于H，连接OH交AB垂直平分线于G，即为
所求G.
【思路引导】分别作出∠NOQ的平分线、线段AB的垂直平分线，两线的交点即为所求.
23．（2021八上·赣州期中）如图，已知∠ABC，D是BC边上一点．求作一点P：
（ 1 ）使△PBD为等腰三角形且底边为BD，
（ 2 ）点P到∠ABC两边的距离相等．（用尺规作图，保留痕迹，不写作法）
【答案】∵点P到∠ABC两边的距离相等，
∴点P在∠ABC的平分线上，
∵线段BD为等腰△PBD的底边，
∴PB= PD，
∴点P在线段BD的垂直平分线上，
∴点P是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分线的交点．
【思路引导】作线段BD额垂直平分线，再作∠ABC的平分线，点P是∠ABC的平分线与线段BD的垂直平分
线的交点．
24．（2021八上·芜湖期末）如图1，在△ABC中，BE、CF分别平分∠ABC和∠ACB，BE和CF相交于D点．（1）求证：∠BDC=90°+ ；
（2）如图2，若∠A＝∠ABE，求证：EB+EC＝BC+BF．
【答案】（1）证明： 、 分别平分 和 ，
，
，
，
；
（2）证明： ，
，
，
如图，过点 作 ，交 于点 ，
，
，
， ，在 和 中， ，
，
，
，
．
【思路引导】（1）利用角平分线和三角形的内角和计算求解即可；
（2）先求出AE=EB，再利用全等三角形的判定与性质求解即可。
25．（2022八下·三角）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，取BC的中点E，连结DE。
（1）求证：DE∥AC；
（2）若AB=8，AC=12，求DE的长。
【答案】（1）证明：如图，延长BD交AC于点F.
AD平分∠BAC， ∠BAD=∠FAD.
AD⊥BF，∴∠BDA=∠FDA.
又∵AD=AD.
△ABD≌△AFD（ASA），∴BD=FD.
又∵E为BC的中点， DE为△BCF的中位线.
DE∥FC，∴DE∥AC
（2）解：由△ABD≌△AFD得AB=AF.
CF=AC-AF=AC-AB=12-8=4.DE是△BCF的中位线，∴DE= FC=2。
【思路引导】（1）延长BD交AC于点F，利用角平分线的定义可证得∠BAD=∠FAD，利用垂直的定义可证
得∠BDA=∠FDA，再利用ASA证明△ABD≌△AFD，利用全等三角形的性质可证得BF=FD；再证明DE为△BCF
的中位线，利用三角形的中位线定理可证得结论.
（2）利用全等三角形的性质可证得AB=AF，再证明CF=AC-AB，可求出CF的长；再利用三角形的中位线定
理可求出DE的长.
26．（2021八上·汉阴期末）如图， 和 中，
， 与 交于点P（不与点B，C重合），点B，E在
异侧， 、 的平分线相交于点I.
（1）当 时，求 的长；
（2）求证： ；
（3）当 时， 的取值范围为 ，求m，n的值.
【答案】（1）解：∵ ，
∴△ABP为直角三角形，
∵∠B=30°，AB=6，
∴AP=3，
∴PD=AD-AP=3；
（2）证明：在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE；
（3）解：设∠BAP=α，则∠PAC=90°-α，
∵∠B=30°，∠BAC=90°，
∴∠BCA=180°-30°-90°=60°，
∵AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，
∴∠IAC= ∠PAC= （90°-α）=45°- α，∠ICA= ∠PCA=30°，
∴∠AIC=180°-（∠IAC+∠ICA）
=180°-（45°- α+30°）
=105°+ α，
∵0°＜α＜90°，
∴105°＜ α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，
∴m=105，n=150.
【思路引导】（1）利用垂直的定义可推出△ABP是直角三角形，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，
可求出AP的长；然后根据PD=AD-AP，可求出PD的长；
（2）利用SAS证明△ABC≌△ADE，利用全等三角形的对应角相等，可证得∠BAC=∠DAE，由此可推出结论；
（3）设∠BAP=α，则∠PAC=90°-α， 利用三角形的内角和定理求出∠BCA=60°，再利用角平分线的定
义可得到∠IAC和∠ICA的度数；再根据∠AIC=180°-（∠IAC+∠ICA），可表示出∠AIC的度数，然后根
据0°＜α＜90°，可得到m，n的值.
27．（2021八上·荣县月考）在解决线段数量关系问题中，如果条件中有角平分线，经常采用下面构造全
等三角形的解决思路，如：在图1中，若C是∠MON的平分线OP上一点，点A在OM上，此时，在ON上截
取OB=OA，连接BC，根据三角形全等判定(SAS)，容易构造出全等三角形△OBC和△OAC，参考上面的方法，
解答下列问题，如图2，在非等边 ABC中，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，且AD、CE
交于点F.（1）求∠AFC的度数；
（2）求证：AC=AE+CD.
【答案】（1）解：∵AD是∠BAC的平分线，CE是∠BCA的平分线，
∴∠1=∠2，∠3=∠4
∵∠B=60°
∴∠BAC+∠ACB=120°，
∴∠2+∠3= （∠BAC+∠ACB）=60°，
∴∠AFC=180°-60°=120°；
（2）证明： 如图，在AC上截取AG=AE，连接FG.
∵∠AFC=120°，∴∠AFE=∠CFD=60°，
在△AEF与△AGF中，
∵AE=AG,，∠1=∠2，AF=AF，∴△AEF≌△AGF，
∴∠AFE=∠AFG=60°，
∴∠CFG=180°-∠CFD-∠AFG=60°，
∴∠CFD=∠CFG，
在△CFG和△CFD中，
，
∴△CFG≌△CFD（ASA），
∴CG=CD，
∴AC=AG+CG=AE+CD.
【完整解答】（1）由三角形内角和可求出∠BAC+∠ACB=120°，由角平分线的定义可得∠2= ∠BAC，
∠3= ∠ACB，从而求出∠2+∠3= （∠BAC+∠ACB）=60°，利用三角形内角和定理求出∠AFC的度数；
（2）在AC上截取AG=AE，连接FG，先证△AEF≌△AGF，得∠AFE=∠AFG=60°，再证△CFG≌△CFD ，可得
CG=CD，从而得出AC=AG+CG=AE+CD.
28．如图，已知 ，请按步骤用尺规作图并回答下列问题：
第一步：在 和 上分别截取 ， ，使 .
第二步：分别以 为圆心，以大于 长为半径作弧，两弧在 内交于点E.
第三步：过点 作射线 .（保留作图痕迹）
（1） 与 的关系是什么？请说明理由.
（2）在 上任取一点 ，过点 分别作 于点 ， 于点 ，与 相等吗？为什么？
【答案】（1）解：∠MOC=∠NOC，理由如下：
如图：连接CA、CB，
由作图过程可知：OA=OB，AC=BC，OA=OA，
∴△AOC≌△BOC（SSS），
∴∠AOC=∠BOC，即∠MOC=∠NOC.
（2）解：相等，理由如下：
∵FQ⊥OM，FH⊥ON，
∴∠FQO=∠FHO，
∵∠FOQ=∠FOH，OF=OF，
∴△FOQ≌△FOH（AAS），
∴FQ=FH.
【思路引导】（1）按要求作图，根据作图过程，利用边边边定理可证△AOC≌△BOC，则对应边
∠AOC=∠BOC，即∠MOC=∠NOC.
（2）利用角角边定理可证△△FOQ≌△FOH，则对应边FQ=FH.
29．（2021八上·西湖期中）已知：如图， 为 的角平分线，且 ， 为延长线上的一点， ，过 作 ， 为垂足.求证：
① ；
② ；
③ .
【答案】证明：① 为 的角平分线，
，
在 与 中，
，
；
② ，
，
， ，
，
， ，
和 为等腰三角形，
，
，
，
；
③如图，过点 作 交 的延长线于点 ，平分 ， ， ，
，
在 与 中，
，
，
，
在 与 中，
，
，
，
.
【思路引导】（1）由角平分线的概念可得∠ABD=∠EBC，然后结合全等三角形的判定定理SAS进行证明；
（2） 由全等三角形的性质可得∠BCE=∠BDA，根据角的和差关系以及外角的性质可得
∠BCD+∠DCE=∠DAE+∠BEA，易知△BCD、△BEA为等腰三角形，由角平分线的概念可得∠ABD=∠EBC，推出
∠DCE=∠DAE，据此可得结论；
（3）过点E作EG⊥BC交BC的延长线于点G，由角平分线的性质可得EF=EG，证明△BFE≌△BGE，得到
BF=BG，进而证明△AFE≌△CGE，得到FA=CG，据此证明.
30．如图，△ABC中，∠CAB的平分线与BC的垂直平分线DG相交于D，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，求证：
BE＝CF．
【答案】证明：连接BD、CD，∵∠CAB的平分线与BC的垂直平分线DG相交于D，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴BD=CD，DE=DF．
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE=CF．
【思路引导】连接BD、CD，根据线段垂直平分线的性质，得BD=CD，根据角平分线的性质，得DE=DF，再
根据两个三角形是直角三角形即可证明Rt△CDF≌Rt△BDE，从而可得出结果．
