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专题03：实数（一）
考点1：平方根、立方根
题型一：平方根、立方根的概念
例1、（1）已知2a-1的平方根为±3，2a+b-1的立方根为2，求a+2b的平方根
【答案】
【分析】根据已知得出2a-1=9，2a+b-1=8，求出a=5，b=-1，求出a+2b的值，最后求出a+2b的平方根即可．
【详解】解：∵2a-1的平方根是±3，2a+b-1的立方根是2，∴2a-1=9，2a+b-1=8，∴a=5，b=-1，
∴a+2b=5-2=3，即a+2b的平方根是± ．
【点睛】本题考查了平方根，立方根的应用，关键是得出关于a、b的方程组．
（2）如果x2＝64，那么 等于（ ）
A．2 B．±2 C．4 D．±4
【答案】B
【分析】直接利用平方根、立方根的性质分别化简得出答案．
【详解】解：∵x2＝64，∴x＝±8，∴ ＝ ＝±2．故选：B．
【点睛】此题主要考查了立方根以及平方根，正确化简各数是解题关键．
【练习1】一个正数x的平方根分别是3a+2与4﹣a，则这个正数x的值为（ ）
A．3 B．7 C．9 D．49
【答案】D
【分析】根据一个正数的平方根有两个，且是互为相反数，可求出a 的值，进而求出x的值．
【详解】解：由平方根的意义可得，
3a+2+4﹣a＝0，解得，a＝﹣3，当a＝﹣3时，3a+2＝﹣7，4﹣a＝7，
于是这个正数x的平方根是±7，∴x＝49，故选：D．【点睛】本题考查平方根的意义，掌握一个正数的平方根的特征是正确解答的关键．
【练习2】 的平方根是（ ）
A．3或﹣3 B．9或﹣9 C．3 D．9
【答案】A
【分析】根据算术平方根和平方根解答即可．
【详解】解：因为 ，9的平方根是±3，所以 的平方根是±3，故选：A．
【点睛】此题考查算术平方根和平方根，关键是根据算术平方根化简解答．
题型二：算术平方根、立方根的相关计算
例2、计算：
（1）( )2+ - （2）
【答案】（1）10；（2） ；（3）-2；（4）
【分析】（1）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减法，注意负号的作用；
（2）1的任何次方都得1，-3的绝对值是3，负数的立方根是负数，-4的平方是16，16的算术平方根是4
据此解题；
（3）根据二次根式的乘法法则解题；
（4）先计算各个绝对值内两数差的正负性，再根据绝对值的性质化简即可．
【详解】
计算：
（1）( )2+ - =4+3-(-3)=10．
（2）
（3） ．
（4） ．【点睛】本题考查实数的混合运算，其中涉及立方根、算术平方根等知识，是重要考点，难度较易，掌握
相关知识是解题关键．
例3、（1）解方程： ； （2）解方程： ．
【答案】（1） ， ；（2） ．
【分析】（1）首先两边同时除以4，然后利用平方根的定义即可求解；
（2）先根据立方根的定义先求出 ，再移项，然后系数化1即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ， ；
（2）∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查了利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．
考点2：算术平方根的非负性
例4、已知a，b是有理数，若 ，求ab的平方根．
【答案】
【分析】根据二次根式及分数的意义，可得： ，可求出a＝﹣2，此时b＝﹣4，即可得出答案．【详解】解：若要使 有意义，则 ，解得a＝﹣2，此时b＝﹣4，
则 的平方根 ．
【点睛】本题考查二次根式的意义及平方根的求法，属于基础题型．
【练习3】若x、y都是实数，且 ，求x＋2y的立方根．
【答案】2．
【分析】先根据算术平方根的被开方数的非负性求出x的值，再代入可求出y的值，然后根据立方根的定
义即可得．
【详解】由算术平方根的被开方数的非负性得： ，解得 ，
将 代入 得： ，
则 的立方根为 ．
【点睛】本题考查了算术平方根、立方根等知识点，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键．
【练习4】如果 +(y+2)2＝0，那么xy的值为___________．
【答案】-6
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：∵ +(y+2)2＝0，∴x﹣3＝0，y+2＝0，解得x＝3，y＝﹣2，
所以，xy＝3×（﹣2）＝﹣6．故答案为：﹣6．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
考点3：估算
例5、已知 ， 的平方根是±2，C是 的整数部分，求 的平方根．
【答案】±3
【分析】
结合平方根的定义以及估算无理数大小的方法得出a，b，c的值，进而得出答案．
【详解】解：由题意，得： 2a−1=1，解得：a=1，3a+b−1=4，解得：b=2，因为 ＜ ＜ ，所以c=8， 所以b﹣a＋c＝2﹣1＋8＝9
∴9的平方根是±3 故答案为：±3
【点睛】本题考查了算术平方根的意义，平方根的意义，无理数的估算，熟练掌握算术平方根的意义、平
方根的意义、夹逼法估算无理数的值是解答本题的关键．
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握算术平方根和立方根的性质是解本题的关键．
【练习5】设n为正整数，且n＜ ＜n+1，则n的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】首先得出 ＜ ＜ ，进而求出 的取值范围，即可得出n的值．
【详解】解：∵ ＜ ＜ ，∴8＜ ＜9，
∵n＜ ＜n+1，∴n=8，故选；D．
【点睛】此题主要考查了估算无理数，得出 ＜ ＜ 是解题关键．
1．下列说法正确的是（ ）
A．﹣7是49的算术平方根
B．7是（﹣7）2的算术平方根
C．±7是49的平方根，即 ＝±7
D．7是49的平方根，即± ＝7
【答案】B
【分析】根据平方根和算术平方根的定义解答即可．
【详解】解：A．7是49的算术平方根，原说法错误，故此选项不符合题意；
B．7是（﹣7）2的算术平方根，原说法正确，故此选项符合题意；
C．±7是49的平方根，即± ＝±7，原说法错误，故此选项不符合题意；
D．±7是49的平方根，即± ＝±7，原说法错误，故此选项不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了平方根和算术平方根，解题的关键是牢记平方根的定义以及明白算术平方根的书写
方式．
2．估计 大小在（ ）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
【答案】B
【分析】根据算术平方根的定义解答即可．
【详解】解：∵9<13<16，∴3< <4．故选B．
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算
该无理数在哪两个相邻的整数之间．
3．估计 的大小在（ ）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
【答案】A
【分析】应先找到所求无理数的被开方数在哪两个和它接近的整数的立方之间，然后判断所求的无理数的
范围．
【详解】解：∵8<15<27，∴三边同时开立方有： ∴即2< <3．故选择：A．
【点睛】本题考查估计 的大小问题，掌握估计 的大小的方法，找到被开方数15，介于哪两个立
方数之间，利用开立来解决范围问题．
4．若a是 的平方根，b是 的立方根，则a+b的值是（ ）
A．4 B．4或0 C．6或2 D．6
【答案】B
【分析】先由a是 的平方根，b是 的立方根得出a和b的值，再分类计算a+b即可．
【详解】解：∵a是 的平方根，即a为4的平方根，∴a＝±2，
∵b是 的立方根，即b为8的立方根，∴b＝2，∴当a＝2，b＝2时，a+b＝4；
当a＝﹣2，b＝2时，a+b＝0．故选：B．
【点睛】本题考查了立方根：若一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根，记作 ．也考查了平方
根和算术平方根．熟练掌握相关概念及基础计算是解题的关键．5.结出下列6个数：-2， ，0，1.41， ，0.1010010001...（两个1之间依次多一个0）其中无理数的有
______个．
【答案】2
【分析】根据无理数的定义进行判断，即可得出结论
【详解】解：在所列的6个数中，无理数有 ，0.1010010001...（两个1之间依次多一个0）这两个数．
故答案为：2
【点睛】此题主要考查无理数的定义，在解答时要正确理解无理数的定义，属于基础题型．
6．（1） 的平方根是 ．
【答案】±
【分析】根据平方根的定义解答即可．
【解答】解： 的平方根是± ．故答案为：± ．
【点睛】本题考查了平方根的运用．解题的关键是掌握平方根的定义，注意：一个正数有两个平方根，它
们互为相反数．
（2） ＝ ．
【答案】﹣
【分析】根据立方根的定义可得．
【详解】解：∵（﹣ ）3＝﹣ ∴ ＝﹣ ，故答案为：﹣ ．
【点睛】本题主要考查立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．
7．若3x﹣5的算术平方根是4，则它的另一个平方根是 ，x＝ ．
【答案】﹣4，7
【分析】根据平方根的性质可得另一个平方根是﹣4，再根据算术平方根的定义计算即可．
【详解】解：3x﹣5的算术平方根是4，则它的另一个平方根是﹣4，
由题意得：3x﹣5＝42，
解得：x＝7，故答案为：﹣4；7．
【点评】此题主要考查了算术平方根和平方根，关键是掌握求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方
互为逆运算．
8．某正数的平方根分别是2a+1和a+5，则这个数是 ．
【答案】9
【分析】根据平方根的性质列出关于a的方程，解之求出a的值，从而得出答案．
【详解】解：根据题意，得：2a+1+a+5＝0，解得a＝﹣2，
∴2a+1＝2×（﹣2）+1＝﹣3，∴这个数是（﹣3）2＝9，故答案为：9．
【点评】本题主要考查立方根、算术平方根，解题的关键是掌握立方根、算术平方根的定义．
9．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的算术平方根是4，那么a﹣2b的平方根是 ．
【答案】±1
【分析】首先根据2a﹣1的平方根是±3，可得：2a﹣1＝9，据此求出a的值是多少；然后根据3a+b﹣1的
算术平方根是4，可得：3a+b﹣1＝16，据此求出b的值是多少，进而求出a﹣2b的平方根是多少即可．
【详解】解：∵2a﹣1的平方根是±3，∴2a﹣1＝9，解得a＝5；
∵3a+b﹣1的算术平方根是4，∴3a+b﹣1＝16，∴3×5+b﹣1＝16，解得b＝2，
∴a﹣2b＝5﹣2×2＝1，∴a﹣2b的平方根是：± ＝±1．故答案为：±1．
【点睛】此题主要考查了平方根、算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
被开方数a是非负数； 算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互①为
逆运算，在求一个非负②数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
10．已知 与 互为相反数，则a+b的值为 ．
【答案】﹣1
【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】解：∵ 与 互为相反数，∴ + ＝0，∴a﹣3＝0，4+b＝0，
解得a＝3，b＝﹣4，∴a+b＝3+（﹣4）＝﹣1，故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非
负数都为0．
11．按一定规律排成的一列数依次为： ， ， ， ， ， ，…按此规律排下去，这列数中的
第10个数是 ．
【答案】【分析】根据题目给出数列的规律即可求出答案．
【详解】解：分子可以看出： ， ， ， ， ……，故第10个数的分子为 ，
分母可以看出：第奇数个分母是其个数的平方加1，例如：12+1＝2，32+1＝10，52+1＝26，
第偶数个分母是其个数的平方减1，例如：22﹣1＝3，42﹣1＝15，62﹣1＝35，
故这列数中的第10个数是： ＝ ．故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了数字变化规律，正确得出分母的变化规律是解题关键．
12．计算：
（1） ； （2） ； （3） ．
【答案】见详解
【分析】（1）首先计算开方和开立方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
（2）首先计算开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
（3）首先计算乘方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】解：（1） ．
（2） ．
（3）
．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，
要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要
按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
13．解方程：
（1） ； （2）
【答案】（1） ， ；（2）
【分析】（1）方程变形后，开平方即可求出解；
（2）方程变形后，开立方即可求出解．
【详解】
解：（1） ，
，
，
， ．
（2） ，
，
．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程，理解开平方，开立方定义解本题的关键．
14．若|x+1|+（y﹣5）2＝0，求2y+x的算术平方根．
【答案】
【分析】直接利用非负数的性质得出x，y的值，再利用算术平方根的定义得出答案．
【详解】解：∵|x+1|+（y﹣5）2＝0，∴x+1＝0，y﹣5＝0，
解得：x＝﹣1，y＝5，∴2y+x＝10﹣1＝9，
故2y+x的算术平方根是3．
【点睛】此题主要考查了算术平方根、非负数的性质，正确掌握相关定义是解题关键．
15．解答：
（1）已知 的平方根是 ， 的立方根是2， 是 的整数部分，求 的算术平
方根．
（2）已知实数 ， ， 在数轴上的对应点如图所示，化简 ．【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据题意易得 ， ， ，进而求解a、b的值，进而代入求解，最
后利用算术平方根进行求解即可；
（2）由数轴可知： ， ， ，然后根据绝对值的意义进行化简求解即可．
【详解】解：（1）根据题意，可得 ， ，故 ， ，
又∴ ，可得 ，则 ，所以 的算术平方根为 ．
（2）由数轴可知： ， ， ，
∴原式 ．
【点睛】本题主要考查平方根、立方根、算术平方根、绝对值的意义及整式的加减，熟练掌握平方根、立
方根、算术平方根、绝对值的意义及整式的加减是解题的关键．
