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专题03 解非直角三角形小题
1．如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB= ，AC=2 ，则AB的长是（ ）
A．4 B．3+ C．5 D．2+2
【答案】C
【分析】作CD⊥AB于点D. 在Rt△ACD中，求出CD和AD的长，在Rt△BCD中，求出BD的长，
即可求出AB的长.
【详解】作CD⊥AB于点D.
在Rt△ACD中，
∵∠A=30°，AC=2 ，
∴CD= ,
∴AD= .
在Rt△BCD中，
∵tanB= ，
∴BD=2，
∴AB=AD+BD=3+2=5.
故选C.
【点睛】本题考查了解直角三角形，如果没有直角三角形则作垂线构造直角三角形，然后利用直角三角形的边角关系来解决问题，有时还会用到勾股定理等知识才能解决问题.
2．小明 和小丽 两人一前一后放风筝，结果风筝在空中 处纠缠在一起（如示意图）．若
，小丽、小明之间的距离与小丽已用的放风筝线的长度相等，则 的正切值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先过点E作EA⊥MF于点A，得出MN=EN，AE=NA，sin45º= ，进而将各边长用NE表
示得出即可.
【详解】解：过点E作EA⊥MF于点A，
∵∠ENF=45º，小丽、小明之间的距离与小丽已用的放风筝线的长度相等，
∴MN=EN，AE=NA，
∵sin45º= ，
∴AE= NE，
∴tan∠M= = = = −1，
∴∠M的正切值为 −1.
故选D.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用.
3．已知：在△ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为 （即cosC= ），则AC边上的中线长是_____________．
【答案】 或
【详解】解：分两种情况：
①△ABC为锐角三角形时，如图1．
作△ABC的高AD，BE为AC边的中线．
∵在直角△ACD中，AC=a，cosC= ，
∴CD= a，AD= a．
∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，
∴BD=AD= a，
∴BC=BD+CD= a．
在△BCE中，由余弦定理，得
BE2=BC2+EC2-2BC•EC•cosC
∴BE= ；
②△ABC为钝角三角形时，如图2．
作△ABC的高AD，BE为AC边的中线．∵在直角△ACD中，AC=a，cosC= ，
∴CD= a，AD= a．
∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，
∴BD=AD= a，
∴BC=BD+CD= a．
在△BCE中，由余弦定理，得
BE2=BC2+EC2-2BC•EC•cosC
∴BE= ．
综上可知AC边上的中线长是 或 ．
4．已知△ABC中，tanB= ，BC=6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD=2：
1，则△ABC面积的所有可能值为____________．
【答案】8或24．
【分析】根据题意可知，这个要分情况讨论，讨论高是在内部还是外部，根据正切值和面积计算
即可．
【详解】解：如图2所示：
∵BC=6，BD：CD=2：1，
∴BD=4，
∵AD⊥BC，tanB= ，
∴ = ，
∴AD= BD= ，
∴S ABC= BC•AD= ×6× =8；
△如图2所示：
∵BC=6，BD：CD=2：1，
∴BD=12，
∵AD⊥BC，tanB= ，
∴ = ，
∴AD= BD=8，
∴S ABC= BC•AD= ×6×8=24；
△
综上，△ABC面积的所有可能值为8或24，故答案为8或24．
【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是要分情况讨论．
5． ABC中，AB=12，AC= ，∠B=30°则 ABC的面积是 ．
△ △
【答案】21 或15 ．
【详解】解：①如图1，作AD⊥BC，垂足为点D，
在Rt ABD中，∵AB=12、∠B=30°，
△
∴AD= AB=6，BD=ABcosB=12× =6 ，
在Rt ACD中，CD= = ，
△∴BC=BD+CD=6 + =7 ，
则S = ×BC×AD= ×7 ×6=21 ；
ABC
△
②如图2，作AD⊥BC，交BC延长线于点D，
由①知，AD=6、BD=6 、CD= ，
则BC=BD﹣CD=5 ，
∴S = ×BC×AD= ×5 ×6=15 ，
ABC
△
故答案为21 或15 ．
考点：解直角三角形．
6．已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，将△ABC沿射线BC方向平移m个单位
长度到△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应，若以点A、D、E为顶点的三角形是等腰三角形，
则m的值是_____．
【答案】 、5或 ．
【详解】试题分析：过点A作AM⊥BC于点M，过点E作EN⊥AB于点N，如图所示．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，
∴BC=13，sin∠B= ，cos∠B= ．
△ADE为等腰三角形分三种情况：
①当AB=AE时，
BE=2BM，BM=AB•cos∠B= ，
此时m=BE= ；
②当AB=BE时，
m=BE=AB=5；
③当BE=AE时，
BN=AN= AB= ，BE= ，
此时m=BE= ．
故答案为 、5或 ．
考点：勾股定理；等腰三角形的判定；平移的性质．
7．如图，在等腰△ABC中，AB = AC，∠B=30º．以点B为旋转中心，旋转30º，点A、C分别落
在点A'、C'处，直线AC、A'C'交于点D，那么 的值为____________．
【答案】
【详解】试题解析：分成两种情况进行讨论：
顺时针旋转时.过点 作 ，分析可知 是等腰三角形,
设
则
解 可得：
逆时针旋转时：
分析可知 是等腰三角形,
设
则
故答案为 或8．已知 ABC中，AB=10，AC=2 ，∠B=30°，则 ABC的面积等于_____．
△ △
【答案】15 或10
【分析】作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，分AB、AC位于AD异侧和同侧两种情况，先在
Rt ABD中求得AD、BD的值，再在Rt ACD中利用勾股定理求得CD的长，继而就两种情况分别求
出△BC的长，根据三角形的面积公式求△解可得．
【详解】解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，
①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，
在Rt ABD中，∵∠B=30°，AB=10，
△
∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5 ，
在Rt ACD中，∵AC=2 ，
△
∴CD= ，
则BC=BD+CD=6 ，
∴S = •BC•AD= ×6 ×5=15 ；
ABC
△
②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，
由①知，BD=5 ，CD= ，
则BC=BD-CD=4 ，∴S = •BC•AD= ×4 ×5=10 ．
ABC
△
综上， ABC的面积是15 或10 ，
△
故答案为15 或10 ．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的运用、分类讨论思想的
运算及勾股定理．
9．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AB=12，DC=7，cos∠ABC= ，点E在线段AD上，
将△ABE沿BE翻折，点A恰巧落在对角线BD上点P处，那么PD=_____．
【答案】12 -12
【详解】解：过点C作CF⊥AB于点F，则四边形AFCD为矩形，如图所示．
∵AB=12，DC=7，
∴BF=5．
又∵cos∠ABC= ，
∴BC=13，CF= =12．
∵AD=CF=12，AB=12，
∴BD= =12 ．
∵△ABE沿BE翻折得到△PBE，
∴BP=BA=12，
∴PD=BD﹣BP=12 ﹣12．
故答案为12 ﹣12．【点睛】本题考查了翻折变换、直角梯形以及解直角三角形，通过解直角三角形求出AD、BD的
长度是解题的关键．
10．在△ABC中，AB=2，AC=3，cos∠ACB= ，则∠ABC的大小为________度．
【答案】30或150
【详解】如图，作AD⊥BC于点D，在Rt△ACD中，∵AC=3、cos∠ACB= ，∴CD=ACcos∠ACB=3×
= ，则AD= =1，①若点B在AD左侧，∵AB=2、AD=1，
∴∠ABC=30°；②若点B在AD右侧，则∠AB′D=30°，∴∠AB′C=150°，故答案为30或150．
11．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．则sin∠ACB_______．
【答案】
【分析】作BD⊥AC,交CA的延长线于D,由∠BAC＝120°，得到∠BAD=60°,根据含30°的直角三角形三
边的关系得到AD=5,BD=5 ,再根据勾股定理计算出BC=5 ,然后利用正弦的定义求解.
【详解】解：作BD⊥AC交CA的延长线于D,如图,∵∠BAC=120°,
∴∠BAD=60°,
在Rt△ABD中,∠ABD=30°,AB=10,
∴AD= AB=5,BD= 5 ,
∴CD=AC+AD=5+5=10,
在Rt△BCD中,BC= =5 ,
∴sin∠ACB= = = .
【点睛】本题考查了解直角三角形,中等难度,构造直角三角形,在直角三角形中利用边长表示出正弦
值是解题关键.
三、解答题
12．如图，已知AC=4，求AB和BC的长.
【答案】
【分析】作CD⊥AB于点D，由∠A＝30°，知∠ACD＝60°，再利用三角函数即可求解.
【详解】解：作CD⊥AB于点D，
在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，
∴∠ACD＝90°－∠A＝60°， ，
在Rt△CDB中，∵∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝45°，
∴ ，∴
13．已知：如图，在 中， ， ， ．求：
（1） 的面积；
（2） 的余弦值．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）首先作AH⊥BC，再利用∠B=60°，AB=6，求出BH=3，AH=3 ，即可求出答案；
（2）利用Rt△ACH中，AH= ，CH=5，求出AC进而求出∠C的余弦值．
【详解】分（1）作AH⊥BC，垂足为点H．
在Rt△ABH中，∵∠AHB=90°，∠B=60°，AB=6，
∴BH=3，AH=3 ，
∴S = ×8×3 =12 ，
ABC
△
（2）∵BC=8，BH=3，∴CH=5．
在Rt△ACH中，∵AH=3 ，CH=5，
∴AC=2 ．
∴cosC= ．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知构建直角三角形得出是解题关键．
14．已知：如图，在 ABC中，∠B = 45°，∠C = 60°，AB = 6.求BC的长（结果保留根号）.
【答案】 + .
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，分别在Rt ABD和Rt ADC中求得BD、CD的长，则
BC=BD+DC，由此其值就可以得到了． △ △
【详解】过点A作AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵∠B=45°，AB=6，
∴在Rt ADB中，BD=AD=ABsin45°=6× =3 ，
△
∵∠C=60°，∴在Rt ACD中，CD= ，
△
∴BC=BD+CD=3 ．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，求一般三角形的边常用的方法就是作高，从而把一般三角
形的问题转化到直角三角形中进行求解．
15．如图， ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求AB的长.
△
【答案】2 +2
【详解】试题分析：本题注意考查的就是利用三角函数解直角三角形，过点C作CD⊥AB于D点，
然后分别根据Rt△ADC中∠A的正弦、余弦值和Rt△CDB中∠B的正切值得出AD和BD的长度，从
而得出AB的长度.
试题解析：过点C作CD⊥AB于D点，
在Rt ADC中，∠A=30°，AC=4，
△
∴CD= AC= ×4=2，
∴AD= ，
在Rt CDB中，∠B=45°，CD=2，
∴CD=△DB=2，
∴AB=AD+DB=2 +2．
16．如图,在△ABC中，∠B=30°,sinC= ,AC=10，求AB的长.
【答案】AB=16.
【详解】试题分析：过A作BC的垂线，构造两个特殊直角三角形，Rt△ADC中，根据三角函数定义，求出AD,在 Rt△ADB,∠B=30°，最后再求AB的长.
试题解析：作AD⊥BC,垂足为点D，在Rt△ADC中，sinC= ,AC=10， AD=AC·sinC=8,
在Rt△ADB中，∠B=30°, AB= =16.
17．如图所示，△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AB= ,求：AC的长．
【答案】2
【分析】如图，过A点作AD⊥BC于D点，把一般三角形转化为两个直角三角形，然后分别在两个
直角三角形中利用三角函数，即可求出AC的长度．
【详解】过A点作AD⊥BC于D点；
在直角三角形ABD中，∠B=45°，AB= ，
∴AD=AB•sin∠B=1，
在直角三角形ADC中，∠C=30°，
∴AC=2AD=2．
故答案为：2．
18．）如图，在 ABC中，∠C=150°，AC=4，tanB= ．
△
（1）求BC的长；
（2）利用此图形求tan15°的值.【答案】（1）16-2 ；（2）2-
【详解】试题分析：（1）过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，由含30°的直角三角形性质得
AD= AC=2，由三角函数求出CD=2 ，在Rt△ABD中，由三角函数求出BD=16，即可得出结果；
（2）在BC边上取一点M，使得CM=AC，连接AM，求出∠AMC=∠MAC=15°，tan15°=tan∠AMD=
即可得出结果．
试题解析：（1）过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图1所示：
在Rt△ADC中，AC=4，
∵∠C=150°，
∴∠ACD=30°，
∴AD= AC=2，
CD=AC•cos30°=4× =2 ，
在Rt△ABD中，tanB= ，
∴BD=16，
∴BC=BD-CD=16-2 ；
（2）在BC边上取一点M，使得CM=AC，连接AM，如图2所示：
∵∠ACB=150°，
∴∠AMC=∠MAC=15°，tan15°=tan∠AMD= .
【点睛】本题考查了锐角三角函数、含30°的直角三角形性质、三角形的内角和、等腰三角形的性
质等知识；熟练掌握三角函数运算是解决问题的关键．
19．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝13 ，BC＝10，求sinA和AB．
【答案】sinA= ；AB=
【分析】过C作CD⊥AB于D，于是得到∠BDC=∠ADC=90°，根据等腰直角三角形的性质得到
BD=CD= BC= ，根据勾股定理得到AD= ，即可得
到结论．
【详解】过C作CD⊥AB于D，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
∵∠B=45°，∴BD=CD=BC× = BC= ，
∴AD= ，
∴sinA= ，
AB=AD+BD= + = ．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，熟练掌握特殊角度的锐角三角函数值以及三角函数的求
法是解题的关键．
20．如图，锐角△ABC中，AB=10cm，BC=9cm，△ABC的面积为27cm2.求tanB的值．
【答案】
【分析】根据题意画出图形，由三角形的面积公式求出AH的长，再由勾股定理求出BH的长，最
后由锐角三角函数的定义即可解答．
【详解】过点A作AH⊥BC于H，
∵
∴
∴AH=6，
∵AB=10，
∴∴
21．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=8,∠A=120°,求BC的长.
【答案】8 .
【详解】试题分析：过点A作AD⊥BC，垂足为D．根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C=30°，在
Rt△ABD中，根据三角函数可求BD的长,根据三线合一可求BC的长．
解：过点A作AD⊥BC于D，
∵ AB=AC，∠BAC=120°
∴ ∠B=∠C = 30°，
BC=2BD，
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，AB=8，
cosB= ，
∴ BD=ABcos30°= 8× =4 ，
∴ BC =8 .
22．如图，在 ABC中，tanA= ，∠B=45°，AB=14. 求BC的长.
△
【答案】∴BC=6
【详解】试题分析：
如图，过点C作CD⊥AB于点D，得到Rt△ADC和Rt△BCD，由在Rt△ADC中tanA= ，设CD=3x，AD=4x，则在Rt△BCD中，由∠B=45°，可得BD=CD=3x，结合AB=14由勾股定理列出方程
解得x的值，再在Rt△BCD中，由勾股定理即可求得BC的值.
试题解析：
如图，过点C作CD⊥AB于点D，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵tanA= ，
∴ ，
设CD=3x，则AD=4x，
∵∠B=45°，∠BDC=90°，
∴BD=CD=3x，
∵AD+BD=AB=14，
∴4x+3x=14，解得x=2，
∴BD=CD=6，
∴BC= .
点睛：本题是一道利用三角形函数解非直角三角形的问题，解题的关键是：通过过点C作CD⊥AB
于点D，把原三角形分成Rt△ACD和等腰Rt△BCD，这样就可利用已知的tanA= 、∠B=45°和
AB=14在两个直角三角形中应用锐角三角形函数的知识结合勾股定理解出BC的长了.
23．如图，在 ABC中，sin B= ，∠A=105°，AB=2，求 ABC的面积.
△ △【答案】S = +1.
ABC
△
【详解】试题分析:本题考查利用三角函数解决非直角三角形,通常我们根据已知条件,通过作高构造
构造直角三角形进行解决,根据题意,过点A作AD⊥BC,根据已知条件在Rt ABD中,利用正弦三角函
数和勾股定理可求出AD,BD, ∠BAD=45°,继而求出∠CAD=60°再在Rt ADC△中,根据已知条件,利用正
切三角函数求出CD,继而求出BC,最后根据三角形面积公式求三角形△面积.
解:过A作AD⊥BC于D.
在Rt ABD中，易得∠B=45°，又AB=2，∴∠DAB=∠B=45°，AD=BD=2× = ，∴∠CAD=105°-
△
45°=60°.
在Rt CAD中，tan∠CAD= ，
△
∴CD=AD·tan∠CAD= ×tan 60°= .
∴BC=CD+BD= + .
∴S = ·BC·AD= ( + )× = +1.
ABC
△
24．已知直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC为腰，在△ABC外作顶角为30°的等腰三角
形ACD，连接BD．请画出图形，并直接写出△BCD的面积．
【答案】①3②2 -3③
【分析】分四种情形分别求解即可解决问题；
【详解】①当CD=CA，∠DCA=30°时，作DH⊥AC于H．
在Rt△ACB中，∵∠CAB=30°，AB=4，
∴BC=2，AC=2 ，
∵∠ACD=∠CBA=30°，
∴CD∥AB，∴S△BCD=S△ADC= •AC•DH= ×2 × =3．
②当AC=AD，∠CAD=30°时，作DH⊥AC于H．
S△BCD=S△ABC+S△ADC﹣S△ABD
= ×2×2 + ×2 × ﹣ ×4×3
=2 ﹣3
③当DA=DC，∠ADC=30°时，作DH⊥AC于H，连接BH．
∵DA=DC，DH⊥AC，
∴AH=CH= ，
∵∠DHC=∠ACB=90°，
∴DH∥BC，
∴S△BCD=S△BCH= ×2× = .
【点睛】考查作图-复杂作图、等腰三角形的性质、解直角三角形、平行线的判定和性质、等高模
型等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
25．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC＝45°，求BC的长及tanC的值．【答案】tanC＝ .
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，由∠ABC＝45°，可得BD＝AD＝2，在Rt△ADC中，由勾股定理
可得CD，由BC＝BD＋DC，tanC＝ 即可求解..
【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D.
在Rt△ABD中，∠B＝45°，
∵sinB＝ ，
∴AD＝AB·sinB＝4×sin45°＝4× ＝2 ，
∴BD＝AD＝2，
在Rt△ADC中，AC＝6，
由勾股定理，得DC＝ ＝ ＝2 ，
∴BC＝BD＋DC＝2 ＋2 ，
tanC＝ ＝ ＝ .
【点睛】此题考查了解非直角三角形，关键是作垂线构造出含有特殊角的直角三角形，利用三角
函数进行求解.
26．如图，在 ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB= ， AD=4．
△（1）求BC的长；
（2）求tan∠DAE的值．
【答案】（1） （2）
【详解】试题分析：（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADC，得出
DC=4；解Rt△ADB，得出AB=6，根据勾股定理求出BD=2 ，然后根据BC=BD+DC即可求解；
（2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE=CE-CD，然后在Rt△ADE中根据正切函数的定
义即可求解．
试题解析：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=4，
∴DC=AD=4．
在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB= ，AD=4，
∴AB=
∴BD= ，
∴BC=BD+DC=
（2）∵AE是BC边上的中线，
∴CE= BC= ，
∴DE=CE-CD= ，
∴tan∠DAE= ．
考点: 解直角三角形.
27．如图，在 ABC中，∠B=75°，∠C=45°，BC=6﹣2 ．求AB的长．
△【答案】
【分析】过B作BH⊥AC于点H，则∠AHB＝∠BHC＝90°，然后分别在Rt△BHC和Rt△ABH中
解答即可．
【详解】过B作BH⊥AC于点H，则∠AHB＝∠BHC＝90°．
在Rt△BHC中，∠C＝45°，BC＝6﹣2 ．
∵sinC ，∴BH＝BC•sinC＝（6﹣2 ．
在Rt△ABH中，∠A＝60°．
∵sinA ，∴AB ．
【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
28．已知：如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2.求BC边的长.
【答案】 .
【分析】过点C作CD⊥BA，垂足为D．根据平角的定义可得∠DAC=60°，在Rt△ACD中，根据三角
函数可求AD，BD的长；在Rt△BCD中，根据勾股定理可求BC的长．
【详解】解:过点 作 ，垂足为∵
∴
在Rt 中
∴
在Rt 中
【点睛】本题考查解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．同时考查了
勾股定理．
29．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB∶BC＝2∶5，且S ＝10 ，求tanC的值．
ABC
△
【答案】
【分析】作辅助线,根据AB∶BC＝2∶5，设AB＝2k,BC＝5k,再利用30°角所对直角边等于斜边一半得BD
＝k，根据S ＝10 ，求出k=2,最后利用tanC＝ 代入边长求值即可.
ABC
△
【详解】
解：如图，过A作AD⊥BC于D，
∵∠B＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴AB∶BD＝2∶1，又∵AB∶BC＝2∶5，
∴AB∶BD∶BC＝2∶1∶5，
设AB＝2k，则BD＝k，BC＝5k(k＞0)，
∴AD＝ k，
∵S ＝10 ，
ABC
△
∴ BC·AD＝10 ，即 ·5k· k＝10 ，
∴k＝2，
∴AD＝2 ，CD＝BC－BD＝10－2＝8，
tanC＝ ＝ ＝ .
【点睛】本题考查了三角函数的应用,勾股定理,中等难度,熟悉三角函数的表示,作辅助线构造直角
三角形是解题关键.
30．已知．在△ABC中，如图，BC AC，∠BCA 135°，求tanA的值．
= =
【答案】0.5
【分析】过B点作BD⊥AC交AC的延长线于D点，则∠BCD=45°．分别解Rt△BDC和Rt△ABD即
可得到结论．
【详解】过B点作BD⊥AC交AC的延长线于D点，则∠BCD=45°．
设AC=k，则有BD=CD=k，AD=2k，tanA=BD：AD=1：2 = 0.5．
【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三
角形解决问题，属于中考常考题型．
