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专题03 赵爽弦图模型与勾股树模型
弦图分为内弦图与外弦图，内弦图是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以此命
题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图被誉为“中国数学界的图腾”，其割
补思想、数形结合特性成为中考热点。
.........................................................................................................................................1
模型来源.............................................................................................................................................................1
真题现模型.........................................................................................................................................................2
提炼模型.............................................................................................................................................................4
模型运用.............................................................................................................................................................6
模型1.弦图模型...............................................................................................................................................6
模型2.勾股树模型...........................................................................................................................................9
..................................................................................................................................................13
“弦图”就是我国三国时期的数学家赵爽，利用面积相等，形象巧妙的证明方法。所谓弦图模型就
是四个全等直角三角形的弦互相垂直围成了一个正方形图形，当弦在围成的正方形之内叫内弦图模型，当
弦恰恰是围城正方形的边长时就叫外弦图模型。
勾股树（毕达哥拉斯树）以递归方式构造：从一个正方形出发，在其斜边上构造直角三角形，再以直
角边为边长生成新正方形，无限重复后形成树状分形结构。其自相似性既严谨又充满自然美感。
赵爽弦图中隐藏勾股树雏形。若将弦图内直角三角形不断分割，可衍生出微型勾股树。希腊毕达哥拉
斯用几何法证定理，中国赵爽用代数转换，体现东西方思维差异的奇妙共鸣。这些模型将抽象数学转化为可触摸的趣味实践，成为跨越千年的“智慧游戏”。
（2024·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的
“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将
这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ）
A．24 B．36 C．40 D．44
（2025·甘肃·中考真题）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴
含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是
以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分
别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有个正方形．（1）内弦图模型：
条件：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，结
论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH；
证明：∵∠ABC＝∠BFC＝∠AEB＝90°，∴∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB=90°．∴∠ABE＝∠FCB．
又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCF，同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH．
图1 图2 图3 图4
（2）外弦图模型：
条件：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，EFGH是正方形，
结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH；
证明：∵∠B＝∠EFG＝∠C＝90°，∴∠BEF ＋∠EFB＝∠EFB＋∠GFC＝90°，∴∠BEF＝∠GFC．
又∵EF ＝FG，∴△EBF≌△FCG．同理可得△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAE．
（3）内外组合型弦图模型：
条件：如图3、4，四边形ABCD、EFGH、PQMN、均为正方形；结论：2S = S +S
正方形EFGH 正方形ABCD 正方形
PQMN.
证明：由（1）（2）中的证明易得：图3和图4中的八个直角三角形均全等，并用S 表示他们的面积。
△
∵S =S +8S ；S =S +4S ；
正方形ABCD 正方形PQMN △ 正方形EFGH 正方形PQMN △
∴S +S =S +8S +S =2S +8S =2S
正方形ABCD 正方形PQMN 正方形PQMN △ 正方形PQMN 正方形PQMN △ 正方形EFGH
上述三类弦图模型除了考查相关证明外，也常和完全平方公式（知二求二）结合考查。
（4）半弦图模型图5 图6 图7
条件：如图5，EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△AFE≌△BGF；EA+GB=AB。
证明：∵EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，∴∠A＝∠B＝∠EFG＝90°
∴∠AFE＋∠AEF＝∠AEF＋∠BFG=90°．∴∠AFE＝∠BFG．
又∵EF=FG，∴△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA+GB=BF+AF=AB。
条件：如图6，EA⊥AB于点A，GB⊥AB于点B，EF⊥FG，EF=FG，结论：△AFE≌△BGF；EA-GB=AB。
证明：同图5证明可得：△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA-GB=BF-AF=AB。
条件：如图7，在Rt △ABE和Rt△BCD中，AB＝BC，AE⊥BD，结论：△ABE≌△BCD；AB-CD=EC。
证明：∵△ABE和△BCD是Rt △，AE⊥BD，∴∠ABE＝∠C＝∠AFB＝90°。
∴∠A＋∠ABF＝∠ABF＋∠DBC=90°．∴∠A＝∠DBC。
又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCD，∴BE=CD，∴AB-CD=BC-BE=EC。
上面三类半弦图模型的共同特点是两个直角三角形，他们的弦互相垂直。所以做题中见着这样的关键字眼
就要想到用弦图的相关知识解决问题。
（5）勾股树模型
条件：如图，在直角三角形外，分别以直角三角形三边为元素向外作形状相同的图形，若分别以两直角边
为元素所作图形的面积为S，S，以斜边为元素所作的图形的面积为S。结论：S+S=S
1 2 3 1 2 3
证明：设图中两直角边为a、b，斜边为c；且a、b、c三边所对应的等边三角形面积分别为S、S、S。
1 2 3
由等边三角形和勾股定理易得：S 的高为： ；
1∴S 。同理： ； 。
1
由题意可得： ；∴S+S =S
1 2 3
由于该类模型的证明基本相同，故此只证明等边三角形。除了图中的三类图形，也常考等腰直角三角形。
条件：如图，正方形 的边长为a，其面积标记为 ，以 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角
三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 ，…按照此规律继续下去，结论：
。证明：∵正方形 的边长为a， 为等腰直角三角形，
∴ ， ，∴ ．观察，发现规律：
， ， ， ，…，
条件：如图，“勾股树”是以边长为m的正方形－边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两
直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．
假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，
结论：第n代勾股树中正方形的个数为： ；第n代勾股树中所有正方形的面积为：
。证明：由题意可知第一代勾股树中正方形有 =22-1（个），
第二代勾股树中正方形有 =23-1（个），
第三代勾股树中正方形有 =24-1（个），由此推出第n代勾股树中正方形有 （个）。
设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c，根据勾股定理可得： =m2，
∴第一代勾股树中所有正方形的面积为 ；
同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为 ；
第三代勾股树中所有正方形的面积为 ；
第n代勾股树中所有正方形的面积为 。
模型1.弦图模型
例1（24-25八年级下·湖北襄阳·期中）勾股定理被誉为“几何明珠”，如图是我国古代著名的“赵爽弦
图”，它由4个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a，b表示直角
三角形的两直角边 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
例2（2024·福建·中考真题）如图，正方形 的面积为4，点 ， ， ， 分别为边 ， ， ，
的中点，则四边形 的面积为 ．
例3（24-25八年级下·湖北武汉·期中）某数学兴趣小组学完勾股定理后，类比“赵爽弦图”将八个全等的
直角三角形拼接构造成如图所示的弦图，图中正方形 ，正方形 ，正方形 的面积分别记为 ， ， ．若 ，则 的长是（ ）
A． B．4 C．5 D．
例4（24-25浙江温州·八年级校考阶段练习）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时
给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图 ）中的两个正方形和八个直角三角形按图 方式摆放围
成正方形 ，记空隙处正方形 ，正方形 的面积分别为 ， ．若 ，
，则正方形 的面积为（ ）
A．144 B．104 C．72 D．52
例5（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在 中， ， ，AE是BC边上的中
线，过点C作 ，垂足为F，过点B作BC的垂线交CF的延长线于点D．
(1)求证： ．(2)若 ，求AE．例6（24-25八年级下·广东揭阳·期末）综合实践：我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，制作了如图1
所示的“赵爽弦图”，弦图中四边形 ，四边形 和四边形 都是正方形．某班开展综合与
实践活动时，选定对“赵爽弦图”进行观察、猜想、推理与拓展．
(1)小亮从弦图中抽象出一对全等三角形如图2所示，请你猜想线段 之间的数量关系：
__________；
(2)小红从弦图中抽象出另一对全等三角形如图3所示，请你猜想线段 之间的数量关系：
________；
(3)小明将图3中的 延长至点M，使得 ，连接 与 相交于点N，请你在图3中画出图
形．若 ，求线段 与 之间的数量关系．
模型2.勾股树模型
例1（24-25八年级下·北京·期末）直角三角形的三边长分别为a，b，c，以直角三角形的三边为边(或直径)
分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，其中面积关系满足 的图形的序号是
（ ）
A．①② B．①③④ C．②③ D．①②③④例2（24-25·安徽蚌埠·八年级校联考期中）如图，正方形 的边长为2，其面积标记为 ，以 为斜
边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 ……按照此
规律继续下去，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
例3（24-25·八年级下·山东德州·期中）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩
上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形
如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成
的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．2026 B．2025 C． D．
例4（24-25山西吕梁·八年级统考阶段练习）“勾股树”是以正方形－边为斜边向外作直角三角形，再以
该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似
－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理
作图，则第五代勾股树中正方形的个数为（ ）A． B． C． D．
1．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方
形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，用 ， 表示直角三角形的
两直角边 ，则下列选项中正确的是（ ）A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦
图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）所示）．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三
角形拼接而成的．记图中正方形 ，正方形 ，正方形 的面积分别为 ，若
，则 的值是（ ）
A．48 B．36 C．24 D．25
3．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方
形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得
到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为10，短直角边为6，图2中的阴影部分的面
积为S，那么S的值为（ ）
A．48 B．64 C．96 D．1124．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的
直角三角形围成的．若 ， ，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到
图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25八年级下·辽宁鞍山·阶段练习）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个
全等的直角三角形拼接而成的．已知 ，正方形 的面积为80．连接 ，交 于点 ，
交 于点 ，连接 ．则图中阴影部分的面积之和为（ ）．
A．8 B．12 C．16 D．20
6．（24-25八年级下·广西玉林·期末）如图，在四边形 中， ，分别以四边形的
四条边为边向外作四个正方形，若 ，则 的值是（ ）A．48 B．56 C．66 D．78
7．（24-25八年级下·重庆·期末）如图1， ， ， ，以这个直角三角形两直角边为
边作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为 的直角三角形，再分别以所得到的
直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图6中所有正方形的面积和为（ ）
A．200 B．175 C．150 D．125
8．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中
就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其
面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的， ， ，点
都在矩形 的边上，则矩形 的面积为（ ）A．100 B．110 C．121 D．144
9．（24-25湖北·九年级校联考开学考试）如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我
国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面积是
16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且 ，那么图中小正方形的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（24-25八年级下·北京西城·期末）矩形纸片两邻边的长分别为a，b（ ），连接它的一条对角
线，用四张这样的矩形纸片按如图所示的方式拼成正方形 ，其边长为 ．图中正方形 ，正
方形 和正方形 的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
11．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形
与四边形 都是正方形，若 ，则小正方形与大正方形的边长之比为（ ）A． B． C． D．
12．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学
家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为20，小正方形的面积为
4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（ ）
A．24 B．36 C．40 D．44
13．（24-25八年级下·重庆江津·期末）如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”．经观察可以发现：图
①中共有3个正方形，图②中共有7个正方形，图③中共有15个正方形，照此规律“生长”下去，图⑤中
共有正方形的个数是（ ）
A．31 B．32 C．63 D．64
14．（24-25八年级下·广西桂林·期末）如图，正方形 的边长为 ，其面积标记为 ，以 为斜边
作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 ，…，按此规律，则 的值为 ．（结果用含 的式子表示）
15．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构
成， ， ， ，S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是
64，9，则 的值为
16．（2024·浙江·二模）如图， 于点B， 于点D，P是BD上一点，且 ，
．
(1)求证： ；(2)若 ， ，求 的长．
17．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）实践活动
活 我校结合校园内丰富的树木资源，坚持立德树人育人理念，着力打造学校“树惠文化”品牌，以培
动 养学生扎根、向上的品质，逐步形成初一深扎知识土壤，培育基础和品德的“树根文化”，初二淬
背 炼生命筋骨，注重承上启下、塑造责任与担当的“树干文化”，初三舒展理想苍穹，拼搏理想和勇
景 争第一的“树冠文化”，八年级部分学生在学习勾股定理后，对“勾股树”产生了浓厚的兴趣，他们组建了兴趣小组并展开相关探究活动．
毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形
图形（图中三角形均为直角三角形，四边形均为正方形）．因为重复数次后的形状好似一棵树，所
以被称为毕达哥拉斯树（勾股树）．
素
材
1
经过学生兴趣小组讨论，对图形作出改变，制定了如下规则：
1．画出不同类型三角形形成的树形图；2．所画的基础三角形周长为8cm，其中一条边长固定为
2cm．
根据规则，三位同学分别画出了如下不同类型的树形图并进行探究．
素
材
2
解决问题
任
指导老师就图2，提出问题：你能找出“树根”面积（ ）、“树干”面积和（ ）的关系，
务
一 请直接写出答案：_______．
任
务 图4中小明画出了锐角 ，则 _______．
二
任
务 图5小金画出了直角 ，计算 的值，写出过程．
三
任
务 图6小林画出了钝角 ， ，则 _______．
四
活动小结
综合以上三位同学的图形以及结果，小组成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由______（填锐角、直角或钝角）三角形形成的图形总面积 最大．
18．（24-25八年级上·湖北·期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉
斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证
明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1) 请叙述勾股定理； 勾股定理的证明，人们已经找到了 多种方法，请从下列几种常见的证明方
法中任选一种来证明该定理；(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件)
(2) 如图 、 、 ，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三
个图形中面积关系满足 的有______个；
如图 所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别
为 ， ，直角三角形面积为 ，请判断 ， ， 的关系并证明；
(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这
一过程就可以得到如图 所示的“勾股树” 在如图 所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形 的
边长为定值 ，四个小正方形 ， ， ， 的边长分别为 ， ， ， ，已知 ，则
当 变化时，回答下列问题：(结果可用含 的式子表示)；则： ______；19．（24-25八年级上·湖北荆州·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角
形全等模型图（如图2、图3），即“一线三直角”模型和“K字”模型．
【问题发现】（1）如图2，已知， 中， ， ，一直线过顶点C，过A，B分别作
其垂线，垂足分别为E，F．求证： ；
【问题提出】（2）如图3，改变直线的位置，其余条件与（1）相同，若 ， ，求 的
面积；（3）如图4，四边形 中， ， 的面积为20，且 的长为
8，求 的面积．
