文档内容
专题 02 利用勾股定理解决折叠问题
目录
A题型建模・专项突破
题型一、长方形中折痕过对角线模型...........................................................................................................1
题型二、长方形中折痕过一顶点模型...........................................................................................................3
题型三、长方形中折痕过任意两点模型.......................................................................................................6
题型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型...............................................7
题型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型.............................................................................10
题型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型.............................................12
B综合攻坚・能力跃升
题型一、长方形中折痕过对角线模型
【模型解读】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。
已知矩形中，以对角线为折痕，折叠 ，点的对应点为’.
结论1： ≌ ；
结论2：折痕垂直平方’；
结论3： 是等腰三角形。
1．如图，在长方形纸片 中， ．将 沿 折叠，使点 落在点 处， 交
于点 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，根据折叠前后的图形全等得到相
关条件是解答本题的关键．先证明 ，可得 ，设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，即可得出结论．【详解】解：在长方形 中， ， ，
∵由折叠的性质可知： ， ，
∴ ， ，
∵在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
故答案为： ．
2．如图，将长方形 沿对角线 翻折，点 落在点 处， 交 于点 ，若 ， ，
则 的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了翻折变换、勾股定理以及三角形的面积，利用勾股定理求出 的长是解题的关键．
利用折叠和长方形得到 ，进而可得出 ，设 则 在 中，利
用勾股定理可求出的值，再利用三角形的面积公式即可求出 的面积，则可得出答案．
【详解】解：由折叠的性质，可知： ， ， ， ．
∵长方形 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
设 则
在 中，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ．
故答案为： ．
题型二、长方形中折痕过一顶点模型
【模型解读】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。
已知矩形中，以为折痕，点的对应点为’.
结论1： ≌ ；
折在矩形内
结论2：折痕垂直平方’。
结论1： ≌ ；
折在矩形边上
结论2：折痕垂直平方’。
结论1：四边形 ≌四边形 ；
折在矩形外 结论2：折痕垂直平方’；
结论3： 是等腰三角形。
3．如图将长方形 沿直线 折叠，顶点 恰好落在 边上 处，已知 ，则
．
【答案】 /
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理的运用，掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键．
根据长方形的性质可得 ， ， ，由折叠的性质可得 ，，在 中，由勾股定理可得 ，则 ，设 ，则 ，
在 中，由勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形 是长方形，
∴ ， ， ，
∵折叠，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得， ，
∴ ，
故答案为： ．
4．如图，在长方形纸片 中， ， ，点在 边上，将 沿折叠，点落在点处， ，
分别交 于点，，若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理和全等三角形的判定与性质等知识，根据 证明
， ，设 ，利用勾股定理得方程 ，求出即可解
决问题．
【详解】解：∵四边形 是长方形，
由翻折的性质可知， ，
在 和 中，∴ ，
∴
∵
∴
设 ，则
∴ ，
， ，
∴ ，
∴ ，
解得， ，
∴ ，
故答案为： ．
题型三、长方形中折痕过任意两点模型
【模型解读】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。
已知矩形中，以，为折痕，点的对应点为’，点的对应点为’.
结论1： ≌ ；
折在矩形内
结论2：折痕垂直平方’。
结论1：四边形 ≌四边形 ；
折在矩形边上
结论2：折痕垂直平方’。
结论1：四边形 ≌四边形 ；
折在矩形外
结论2：折痕垂直平方’；
结论3： ’是直角三角形。
5．如图，在长方形 中， ， ，将此长方形沿 折叠，使点 与点 重合，则 的长度为 ．
【答案】6
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题．折叠得到 ，设 ，利用勾股定理进行求解即可，掌
握折叠的性质和勾股定理，是解题的关键．
【详解】解：∵折叠，
∴ ，
设 ，
∵在长方形 中， ， ，
∴ ，
由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：6．
6．如图，有一个长方形纸片 ， ，点为 上一点，将纸片沿 折叠， 的
对应边 恰好经过点，则线段 的长为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．
根据折叠的性质可得 ，然后在 中，由
勾股定理求出 的长，则可得出 的长，再在 利用勾股定理进行计算即可求 的长．
【详解】解：∵四边形 是长方形，∴ ，
根据折叠的性质，得 ，
在 中，由勾股定理，得 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ．
故答案是：
题型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型
【模型解读】
（1）沿过点的直线翻折使得点的对应点为’落在斜边上，折痕为；
（2）沿过点的直线翻折使得点的对应点为’落在斜边上，折痕为；
（3）沿过点的直线翻折使得点的对应点为落在边上，折痕为。
7．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 ， ．现将直角边 沿直线 折叠，使
它落在斜边 上，且与 重合，则 的长等于 ．
【答案】3
【分析】本题考查了勾股定理与折叠，根据勾股定理求得 的长，再根据折叠的性质求得 ， 的长，
从而利用勾股定理可求得 的长．
【详解】解∶∵ ， ， ，
∴ ，
∵折叠，
∴ ， ， ，
∴ ， ，∴ ，即 ，
解得 ，
故答案为：3．
8．有一块直角三角形纸片：
（1）如图 ，若两直角边 ， ，现将直角边 沿直线 折叠，使 恰好在斜边 上，且
点 与点 重合，则 的长为 ；
（2）如图 ，若两直角边 ， ，点 在边 上，以 为折痕 折叠得到 ，边
与边 交于点 ．若 为直角三角形，则 的长为 ．
【答案】 ； 或
【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、一元二次方程的解法，解决本题的关键是根据勾股定理
得到方程，解方程求线段的长度．
（1）首先根据勾股定理求出 ，根据折叠的性质可知 ， ，
，设 ，则 ， ，根据勾股定理可得方程 ，
解方程求出 的长即可；
（2）过点 作 垂足 在 的延长线上，则四边形 是矩形，设 ，则
， ， ，根据勾股定理可得 ，解方程求
出 的值，即为线段 的长；当 平分 时 ，点 在 的延长线上时，设 ，则 ，
，根据勾股定理可得 ，解方程求出 的值即为 的长度．
【详解】（1）解：在 中 ， ， ，
，
由折叠的性质可知： ，
， ， ，
，
设 ，则 ， ，
在 中， ，
，解得： ，
，
故答案为： ；
（2）解：如下图所示，过点 作 垂足 在 的延长线上，
则四边形 是矩形，
， ，
设 ，则 ，
， ，
由 可知 ，
，
在 中， ，
，
解得： ， (不符合题意，舍去)，
时， 为直角三角形；
如下图所示，当 平分 时 ，点 在 的延长线上，
则 ， ，
，
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
，
解得： ，
当 时， 为直角三角形；综上所述，若 为直角三角形则 的长为 或 .
故答案为： 或 ．
题型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型
【模型解读】
（1）沿直线（为斜边中点）翻折使得点与点重合；
（2）沿中线翻折，使得点落在点处，连结，，与交于点.
（3）沿中线翻折，使得点落在点处，连结，.
9．如图，有一张直角三角形纸片 ，两直角边 ， ，现将 折叠，使点 与点
重合，得到折痕 ，则 的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握折叠的性质．由折叠可得： ，
设 ，则 ，在 中，根据勾股定理列方程求出 ，最后根据三角形的面积
公式求解即可．
【详解】解：由折叠可得： ，
，
设 ，则 ，
， ，
在 中， ，即 ，解得： ，
即 ，
，
故答案为： ．
10．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 ， ，将 折叠，使点 与点 重合，
折痕为 ，则 的长是 ．
【答案】
【分析】在 中，可求出 的长度，根据折叠的性质可得出 ，在 中，利
用 即可得出 的长度．此题考查了翻折变换、勾股定理及锐角三角函数的定义，解答本
题的关键是掌握翻折变换前后对应边相等、对应角相等．
【详解】解：∵ ， ，
， ，
由折叠的性质得， ，
则 ，
．
．
．
故答案为： ．
题型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型
【模型解读】
（1）沿直线翻折，使得点落在点处，连结.
（2）沿直线翻折使得点与边上的点重合；11．如图，在 中， ， ，已知 ．
（1） 的长为 ．
（2）点 ， 分别是 ， 上一点，沿着直线 将 折叠，得到 ，已知点 落在边
上，若 是直角三角形，则 的长为 （注： ）
【答案】 或
【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，二次根式的混合运算；
（1）根据含30度角的直角三角形的性质得出 ，进而根据勾股定理，即可求解；
（2）分两种情况同理，当 ， 时，分别画出图形，根据勾股定理，即可求解．
【详解】（1）在 中， ，则 ，
；
故答案为： ．
（2）如图1，当 时，由折叠可知 ．
设 ，由 ，得 ，
则 ，
，
，
．
如图2，当 ， ，则 ，
，
．
故答案为： 或 ．12．如图，在 中 ， ， ，点 为 的中点，点 为 边上一动点，连
接 ．将 沿 折叠，点 的对应点为点 ．若 为直角三角形，则 的长为 ．
【答案】 或7
【分析】分两种情形： 和 ，分别就这两种情形求解即可．
【详解】①如图1，当 时
根据折叠的性质得： ， ，
∵
∴ ， ， 三点共线
∵点是的中点
∴
∴
∴
∵ ，
∴
解得
②如图2，当 时，
根据折叠的性质得：
∴
∵
∴∴
∴
③ 的情形不存在
综上所述， 的长为 或7
故答案为 或7．
【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理等知识，关键是分类讨论．
一、单选题
1．如图所示，有一块直角三角形纸片， ，将斜边 翻折，使点落在直角边
的延长线上的点处，折痕为 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理和折叠问题．熟练掌握折叠的性质，是解题的关键．
勾股定理求出 的长，利用折叠得到 ，求出 ，设 ，则 ，根
据勾股定理即可求解．【详解】解：∵ ，
，
根据翻折可得 ，
，
设 ，则 ．
根据勾股定理得 ，解得： ．
故选：A．
2．如图，直角三角形纸片 的两直角边长分别为6，8，现将 如图那样折叠，使点 与点 重合，
折痕为 ．则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，先设 ，再根据图形翻折变换的性质得出
，再根据勾股定理求出 的值．
【详解】解：设 ，则 ，
是 翻折而成，
，
在 中， ，
即 ，
解得 ．
故选：C．
3．如图所示，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到直角三角形，若=1，则的长度为（ ）
A． B． C． D．2【答案】A
【分析】首先根据矩形的性质，得出 ， ， ，然后再根据
折叠的性质，得出 ，进而得出 ，利用勾股定理，得出 的长，再由第二次折叠，得
出 ，进而得出 ，最后利用线段的关系，即可得出结果．
【详解】解：由折叠补全图形如图所示，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
由第一次折叠得： ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
根据勾股定理得， ，
由第二次折叠可知， ，
∴ ，
∴ ．
故选：A
【点睛】本题考查了图形的折叠和勾股定理，搞清楚折叠中线段的数量关系是解本题的关键．
4．如图，在 中， ， ， ．点、分别是边 、 上的点，连结 ，将
沿 翻折，使得点 的对称点落在边 的中点 处，则 的长为（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理与翻折问题，熟练掌握勾股定理和翻折的性质是解题的关键．根据勾股定理
和翻折的性质即可求解．
【详解】解： 点 是边 的中点，，
由翻折的性质得， ，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
解得： ，
．
故选：A．
5．如图，长方形 中， ， ，将长方形折叠，使 点与 的中点 重合，折痕为 ，
则线段 的长为（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】B
【分析】设 ，则 ，根据长方形 ， ，得到 ，根据勾股定
理，得 ，解得 ，解答即可．
本题考查了长方形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键．
【详解】解：设 ，则 ，
∵长方形 ， ， 点与 的中点 重合，
∴ ， ，
根据折叠的性质，得
∴ ，
解得 ，
故选B．
二、填空题
6．如图，将长方形 沿着对角线 折叠，使点落在 处， 交 于点，若 ，则
的面积＝ ．【答案】78
【分析】本题考查了图形的折叠以及勾股定理，正确利用勾股定理求得 的长是解题的关键．
设 ，则 ，在 中利用勾股定理即可列方程求得的值，然后根据三角形面积
公式求解．
【详解】解：长方形 中，
∴ ，
∴ ，
由折叠的性质知 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
即 ，
解得： ，
则 ，
则 ．
故答案为：78．
7．如图， 中， ，将三角形 沿折叠，使点落在 上的点处，则 的长为
．
【答案】3
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出 的长，折叠得到 ，进而求出
的，设 ，在 中，利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵折叠，
∴ ， ，
∴ ， ，
设 ，则： ，
在 中，由勾股定理，得： ，
解得： ，
∴ ；
故答案为：3．
8．如图，在矩形 中， ，点为线段 的中点，连接 ，点在边 上，连接 ，
将 沿 翻折得到 ，点在线段 上，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理，翻折定义．根据题意可得 ， ，得出 ，因为
，所以 ，连接 ，设 ，即可得到答案．
【详解】解：连接 ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
连接 ，设 ，
可得方程： ，
代入数值可得： ，解得 ，
∴ ，
故答案为： ．
9．如图，在 中，∠＝90°，＝4，＝6，是的中点，是上一动点，将 沿折叠到 ，连接′，当
是直角三角形时，的长为 ．
【答案】 或
【分析】分两种情形，当 或 时，分别画出图形来解答．
【详解】解：当 时，
将 沿 折叠到△ ，
，
，
点 、 、 三点共线，
， ，
由勾股定理得 ，
设 ，则 ， ，
在 △ 中，由勾股定理得：
，
解得 ，
，
当 时，，
，
，
不可能为 ，
综上， 或 ．
故答案为：3或 ．
【点睛】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会运用分类讨论的思想思考问题，
属于中考常考题型．
10．如图， 中， 分别是边 上的两个动点．将 沿直线
折叠，使得点的对应点 落在 边的三等分点处，则线段 的长为 ．
【答案】3或
【分析】本题主要考查勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理及折叠的性质是解题的关键；由题意可
知 或 ，然后分两种情况进行求解即可．
【详解】解：∵点 落在 边的三等分点处， ，
∴ 或 ，
由折叠可知： ，
∴ ，
当 时，在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∴ ；
当 时，在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，∴ ；
综上所述： 的长为3或 ；
故答案为3或 ．
三、解答题
11．如图，长方形沿 对折，点 刚好落在 边 点上，如果 ， ，求 的长？
【答案】3
【分析】本题考查了长方形的性质，翻折的性质，勾股定理等．在 中建立关于 的方程是求解
本题的关键．先根据翻折的性质求出 的长度和 关于 的表达式，然后由勾股定理求出 ，进而得
到 的长度，在 再次应用勾股定理建立关于 的方程求解即可．
【详解】解：根据翻折的性质， ， ．
在 中， ．
．
在 中， ，
即 ．
则 ．
故 的长度为3．
12．在 中， ， ， ，点、分别是斜边 和直角边 上的点，把 沿
着直线 折叠，顶点的对应点是 ．如图，如果点 和点重合，求 的长．
【答案】
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，设 ，则 ，根据折叠的性质得到
，由勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设 ，则 ，由折叠性质可得 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
即 的长为 ．
13．如图，把长方形纸片 沿 折叠，使得点 与点 重合，点 落在点 的位置上．
(1)试说明 ；
(2)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】本题考查折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理：
（1）根据折叠的性质，长方形的性质，利用证明 即可；
（2）设 ，则： ，在 中，利用勾股定理求出 的值，进而求出
的值，全等三角形的性质，得到 ，利用三角形的面积公式进行求解即可．
【详解】（1）∵四边形 是长方形，
∵把长方形纸片 沿 折叠，
，
在 和△ 中
（2）设 ，
根据翻折不变性，得：在 中，由勾股定理，得：
解得 ，
∴ ，则
∴ ．
14．如图是一张直角三角形 纸片， ， ， ．
(1)在图1中，将直角边 沿 折叠，使点 落在斜边 上的点 处，求 的长；
(2)在图2中，将 沿 折叠，使点 与点 重合，求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键．
（1）由勾股定理可得 ，由折叠可知 ， ， ，设 ，
则 ， ，在 中，根据 ，列出方程即可求解；
（2）由折叠知 ，设 ，则 ，在 中，根据 ，列出
方程即可求解．
【详解】（1）解：在 中， ， ，
．
由题意知 ， ， ．
．
设 ，则 ， ．
在 中， ，
．
解得 ．
．
（2）由题意知 ，
设 ，则 ．
在 中， ，．
解得 ．
．
15．在四边形 中， ．
(1)若为边 上一点，如图①将 沿直线 翻折至 的位置，当点落在 边上点处时，求 的
长；
(2)如图②，点为射线 上的一个动点，将 沿 翻折，点恰好落在直线 上的点 处，求
的长．
【答案】(1)5
(2) 或
【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理：
（1）设 ，则 ，根据图形折叠的性质可知 ， ，根据勾股定理即可
求得答案；
（2）分两种情况计算：当点 在线段 上时；当点 在线段 的延长线上时．
【详解】（1）解：设 ，则 ．
根据图形折叠的性质可知
， ．
在 中， ．
则 ．
在 中， ，
即 ．
解得 ．
即 ；
（2）解：①如图所示，当点 在线段 上时．设 ，则 ．
根据图形折叠的性质可知
， ， ．
在 中
．
则 ．
在 中
，即
解得 ．
即 ．
②如图所示，当点 在线段 的延长线上时．
根据图形折叠的性质可知 ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
在 中
．
∴ ．
综上所述， 或 ．
