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专题 02 勾股定理（综合题）
易错点拨
知识点：勾股定理
a，b
直角三角形 等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为 ，斜边长
c a2 b2 c2
为 ，那么 ．
细节剖析：（1）勾股定理揭示了一个 的数量关系．
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求
解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．
（3）理解勾股定理的一些变式：
a2 c2 b2 b2 c2 a2 c2 ab2 2ab
， ， ．
易错题专训
一．选择题
1．（2022•和平区校级开学）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（ ）
A．10 B．28 C．100 D．不能确定
2．（2021秋•双流区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以AB为边作正方形ABDE，则
正方形ABDE的面积为（ ）A．5 B．9 C．16 D．25
3．（2021秋•开福区校级期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝25cm，AC＝7cm，动点P从点B出
发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts，当△APB为等腰三角形时，t的值为（ ）
A． 或 B． 或24或12
C． 或24或12 D． 或 或24
4．（2022春•辛集市期末）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边
向外作四个正方形，若S+S＝135，S＝49，则S＝（ ）
1 4 3 2
A．184 B．86 C．119 D．81
5．（2021秋•石狮市期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，∠B＝90°，∠D＝α．
则∠BCD的大小为（ ）
A．α B．90°﹣α C．45°+α D．135°﹣α6．（2021秋•镇海区校级期末）如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正
方形按图2的方式放置在最大正方形内，其中NG∥MF．记四边形CHKG的面积为S，四边形FGNM的面积
1
为S，四边形DCGF的面积为S，四边形ABCD的面积为S．若知道△DEF的面积，则一定能求出
2 3 4
（ ）
A．S B．S C．S D．S
1 2 3 4
二．填空题
7．（2022秋•杏花岭区校级月考）如图，三个正方形围成一个直角三角形，图中的数据是它们的面积，则
正方形A的面积为 ．
8．（2022•天心区校级三模）如图所示，在 Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，
DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为 ．
9．（2021秋•如皋市期末）如图，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝1，BC＝4，CD＝3，取AD的中点E，连结
BE，则BE＝ ．10．（2021秋•电白区期末）如图，OP＝1，过点P作PP⊥OP，且PP＝1，得OP＝ ；再过点P作
1 1 1 1
PP⊥OP且PP＝1，得OP＝ ；又过点P作PP⊥OP且PP＝1，得OP＝2…，依此法继续作下去，
1 2 1 1 2 2 2 2 3 2 2 3 3
得OP ＝ ．
2022
11．（2022春•盐湖区月考）如图，△DEF中DF＝EF＝5，DE＝8，其三条角平分线交于点J，则JG＝
．
12．（2021秋•滨湖区期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC于点D，点E、F
在AD上，则图中阴影部分的面积为 ．13．（2021秋•江阴市期末）如图，在2×5的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、P
均在格点上，则∠PAB+∠PBA＝ ．
14．（2021秋•龙湾区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC，BC和AB为边向上作正方形ACED和
正方形BCMI和正方形ABGF，点G落在MI上，若AC+BC＝7，空白部分面积为16，则图中阴影部分的面
积是 ．
三．解答题
15．（2021秋•如皋市期末）如图，在△ABC中，AC＝5，E为BC边上一点，且CE＝1，AE＝ ，BE＝4，
点F为AB边上的动点，连接EF．
（1）求AB的长；
（2）当△BEF为等腰三角形时，求AF的长．
16．（2021秋•中山市期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝BC＝20厘米，如果点M从点C出发，点N从点B出发，沿着三角形三边以4厘米/秒的速度运动，当点N第一次到达C点时，M，N两点同时停止运动．运
动时间为t（秒）．
（1）当0＜t＜5且△BMN为直角三角形时，求t的值；
（2）当t为何值，△BMN为等边三角形．
17．（2021秋•泉州期末）如图，∠AOB＝90°，点C在OA边上，OA＝36cm，OB＝12cm，点P从点A出发，
沿着AO方向匀速运动，点Q同时从点B出发，以相同的速度沿BC方向匀速运动，P、Q两点恰好在C点
相遇，求BC的长度？
18．（2022•渠县校级开学）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，且∠CBE＝
45°，BE分别交AC，AD于点B、F．
（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长；（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．
19．（2021秋•石狮市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，
以2cm/秒的速度沿BC移动至点C，设运动时间为t秒．
（1）求BC的长；
（2）在点P的运动过程中，是否存在某个时刻t，使得点P到边AB的距离与点P到点C的距离相等？
若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
20．（2021秋•青岛期末）已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，
其中点P从点A开始沿A→B方向运动且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，在BC边
上的运动速度是每秒2cm，在AC边上的运动速度是每秒1.5cm，它们同时出发，当其中一个点到达终点
时，另一个点也随之停止，设运动时间为t秒．
（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时，t为何值时，△ACQ的面积是△ABC面积的 ；
（3）当点Q在边CA上运动时，t为何值时，PQ将△ABC周长分为23：25两部分．
21．（2021秋•虎丘区校级期中）阅读：如图1，在△ABC中，3∠A+∠B＝180°，BC＝8，AC＝10，求AB
的长．
小明的思路：如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，易得∠A＝
∠D，△ABD为等腰三角形，由3∠A+∠B＝180°和∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，易得∠BCA＝2∠A，△BCD
为等腰三角形，依据已知条件可得AE和AB的长．
解决下列问题：
（1）图2中，AE＝ ，AB＝ ；
（2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c．如图3，当3∠A+2∠B＝180°时，用含a，c
式子表示b．
