文档内容
专题 02 勾股定理实际应用的五种考法
考点01 勾股定理与网格问题
考点02 勾股定理与折叠问题
考点03 勾股定理解决航海问题
考点04 判断台风影响问题
考点05 梯子滑落高度
考点01 勾股定理与网格问题
1．如图所示网格中，已知 ， 两个格点，现要在网格中另取一格点 ，使得 ，则这样的格
点共有（ ）个
A． B． C． D．
2．如图，在 的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是
直角三角形的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．如图所示，在边长为1的正方形网格图中，点A、B、C、D均在正方形网格格点上．
(1)图中与线段 的长相等的线段是________；
(2)求 的值．4．在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，请仅用无刻度的
直尺按下列要求画图．
(1)在图1中，画出一条以格点为端点，长度为 的线段 ；
(2)在图2中，以格点为顶点，画出三边长分别为3， ， 的三角形．
5．在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，这个定理称为“勾股定理”．即在直角三角形
中（如右图）， ．两条直角边分别为 ， ，斜边为 ．则 ．利用
勾股定理解答下列问题：
(1)在直角三角形 中， ， ， ，求 的长．
(2)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的 的网格中，每个小格的顶点叫做格点．
①在图中，利用勾股定理求线段 的长度．
②在图中，画一条格点线段 ，使 ．6． 综合与实践：
【问题情境】
某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动．
【操作发现】
第一小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图 是 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 ，
每个小正方形的顶点称为格点．在其中画出 ，其顶点 ， ， 都是格点，同时构造正方形 ，
使它的顶点都在格点上，且它的边 ， 分别经过点 ， ，他们借助此图求出了 的面积．
(1)在图 中，所画的 的三边长分别是 ， ， = ， 的面积为 ， 点 到 的距
离为 ；
(2)在图 所示的正方形网格中画出 （顶点都在格点上），使 ， ， ，
并求出 的面积．
7．图 、图 均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，在给
定的网格中，只用无刻度的直尺，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
(1)在图 中， 边上找点D，使
(2)在图 中， 边上找点 E，使8．问题背景：在 中， 、 、 三边的长分别为 、 、 ，求此三角形的面积．小辉
同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点
（即 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示，这样不需要求 的高，而是借用网格就
能计算出它的面积．请你将 的面积直接填写在横线上：_____．
思维拓展：
我们把上述求 面积的方法叫做构图法，如果 三边长分别为 、 、 ，请利
用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为 ）画出相应的 ，并求出它的面积．
探索创新：
若 三边长分别为 、 、 （ ， ，且 ），试运用构图
法直接写出这个三角形的面积是_______．
9．综合与实践．
如图①是“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是大正方形的面
积有两种求法，一种是等于 ，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即
，从而得到等式 ，化简便得结论 ．这里用两种求法来表示
同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【知识迁移】
（1）把两个全等的 和 如图②放置，其三边长分别为 ，显然
，用 分别表示出四边形 、梯形 、 的面积，再探究这三个图形面积之间
的关系，验证勾股定理 ；
【方法运用】
（2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点，可
得 ，则 边上的高为________；
【拓展延伸】（3）如图④，在 中， 是 边上的高， ，设 ，请直接写出x的值．
考点02 勾股定理与折叠问题
10．如图，在 中， ，D是 的中点，E是 上一动点，将 沿
折叠到 ，连接 ，当 是直角三角形时， 的长为 ．
11．小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在 中， ， ， ．
小华在 边找一点D，在 边找一点E，以 为轴折叠 得到 ，点C的对应点为点M，小
华变换D，E的位置，始终让点M落在 上，则当 为直角三角形时， 的长为
．
12．如图，Rt ，将边 沿 翻折，使点 落在 上的点 处，再将
边 沿 翻折，使点 落在 的延长线上的点 处，两条折痕与斜边 分别交于点 ，则线段
的长为 ．
13．如图，长方形 中， ，点 分别在边 上，沿着 折叠长方形 ，使点 分别落在 处．
（1）如图1，当 落在线段 的中点位置时，则 ；
（2）如图2，若点 与点 重合，连接 ，当线段 的值最小时， 的长度为 ．
14．如图，在长方形 中， 为 上一点，将 沿着 翻折至 ，
与 交于点 ，且 ，求 的长．
15．如图，把一张长方形纸片 折叠起来， 为折痕，使其对角顶点A与点 重合，点 与点 重
合．若长方形的长 为8，宽 为4．
(1)求 的长；
(2)求 的值；
(3)求阴影部分 的面积．
16．【初步感知】（1）如图1，在三角形纸片 中， ， ，点 ， 分别在边 ， 上，将 沿
折叠，使点 与点 重合． ，求 的长；
【深入探究】
（2）如图2．将长方形纸片 沿对角线 折叠，使点 落在点 处， 交 于点 ．若 ，
，求 的长．
17．已知长方形 ， ， ，Q为射线 上的一个动点，将 沿直线 翻折至
的位置（点B落在点 处）．
(1)如图1，连接 ，当点 落在 上时， ______；
(2)如图2，当点Q与点A重合时， 与 交于点E，求重叠部分（阴影）的面积；
(3)当直线 经过点D时，求 的长．考点03 航海问题
18．小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点 ，小王的赛车从点 出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，
同时小林的赛车从点 出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于
米时，遥控信号会产生相互干扰， 米， 米．
(1)出发 秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？
(2)当两赛车距 点的距离之和为35米时，遥控信号是否会产生相互干扰？
19．如图，两艘轮船同时从港口 出发，一艘轮船以 海里／时的航速沿正东方向航行，另一艘轮船以
海里／时的航速沿正北方向航行，一小时后两艘轮船分别到达点 ， ，此时两轮船沿 航线汇合．
(1)求 ， 两点之间的距离；
(2)若从港口派一艘轮船在 航线上接应，求该轮船行驶的最短距离．20．如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固
定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．
(1)若它们离开港口2小时后分别位于A、B处（图1），如果知道“远航”号沿射线 方向航行，“海
天”号沿射线 方向航行，则 ______海里， ______海里；
(2)若它们离开港口 小时后分别位于A、B处（图1），且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向
航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
21．有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达 点后熄灭发动机，在离水面高度为 的岸上，工作人员用绳子
牵引靠岸，开始时绳子 的长为 ．（假设绳子是直的，结果保留根号）
(1)若工作人员以 的速度收绳． 后船移动到点 的位置，问此时游轮距离岸边还有多少米？
(2)若游轮熄灭发动机后保持 的速度匀速靠岸， 后船移动到 点，工作人员手中的绳子被收上来
多少米？22．钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化．如图，甲、乙两艘海警船
同时从位于南北方向的海岸线上某港口 出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航行6海
里，乙船每小时航行8海里．
(1)若甲乙两船离开港口一小时后分别位于 、 处（图1），且相距10海里，如果知道甲船沿北偏东
方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由．
(2)若甲船沿北偏东 方向航行（图2），从港口 离开经过两个小时后位于点 处，此时船上有名乘客需
要以最快的速度回到 海岸线上，若他从 处出发，乘坐的快艇的速度是每小时45海里，他能在14分钟
内回到海岸线吗？请说明理由．（参考数据： ）
考点04 台风影响问题
23．如图，沿海城市 测得台风中心在东南方向 的 处，该台风中心始终以 的速度沿北偏
西 的方向移动．
(1)填空： ， ；
(2)当台风中心移动到 市正东方向的 处时，求 、 之间的距离？(结果保留根号)
(3)距台风中心 的圆形区域 包括边界 都属台风影响区，求 市受台风影响的时长？24．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破
坏力．如图，有一台风中心沿东西方向 由点 向点 移动，已知点 为一海港，且点 与 ， 两点
之间的距离 ， 分别为 ， ， ，以台风中心为圆心周围 以内（包括
）为受影响区域．
(1)海港 受台风影响吗？为什么？
(2)若海港 受台风影响，且台风中心移动的速度为 ，台风影响海港 持续的时间有多长？（若海
港 不受台风影响，则忽略此问）
25．五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传．已知一辆移动
广播车在笔直的公路 上，沿东西方向由 向 行驶．小丽的家在公路的一侧点 处，且点 与直线
上的两点 的距离分别为 ，又 ，假如移动广播车周边250米以内能
听到广播宣传．
(1)求 的度数．
(2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？
(3)若移动广播车在笔直的公路 上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点 时，小丽在家刚好
听到广播，当移动广播车行驶到点 时，小网在家刚好不再听到广播，即 米，问小丽在家
听到广播宣传的时长是多长？26．某市规划修建铁路 ，并将火车始发站定于B处．已知始发站B位于小区A的东北方向，位于商场
C 的北偏西 方向，且 距离为 米，小区A位于商场C的南偏西 方向．火车在行驶的过程中，
以火车头为圆心，半径为 米的范围内都会受到噪音干扰．火车从始发站B出发，以 米 秒的速度
沿铁路 低速行驶．
(1)请问A小区是否会受到噪音干扰？若受到干扰，干扰的时间有多长？(结果保留整数，参考数据：
(2)火车从始发站出发时，小明开车从小区沿正南方向以10米／秒的速度出发，小明出发多久后会受到噪
音影响？
27．如图，一艘船以 的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以
的速度由南向北移动，距台风中心 的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船
接到台风警报时，它与台风中心的距离 ，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离
，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过多少小时它就会进入台风影响区
域．28．2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国
影响最大的台风，风力影响半径 （即以台风中心为圆心， 为半径的圆形区域都会受台风影
响），如图，线段 是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且
．若A，C之间相距 ，A，B之间相距 ．
(1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由．
(2)若台风中心的移动速度为 ，则台风影响该农场持续时间有多长？
29．台风是一种自然灾害，如图，气象部门观测距 市正北方向 的 处有一台风中心，其中心最大
风力为12级，该台风中心正以 的速度沿直线向 处移动，且台风中心风力不变，已知每远离台
风中心 ，风力就减弱一级，若所受风力不到4级，则称不受台风影响，问：
(1) 市是否受到这次台风影响？请说明理由；
(2) 市若受台风影响，则所受的最大风力是______级；并求出 市受到台风影响的时间．考点05 梯子滑落高度问题
30．如图，梯子 靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为 ，梯子的顶端B到地面的距离为 ，
现将梯子的底端A向外移到C，使梯子的底端C到墙根O距离为 ，同时梯子顶端B下降至D，那么
m．
31．某中学的办学理念是“让孩子走向世界，让世界走进学校”并将该办学理念做成宣传牌悬挂在教学楼
上．保洁阿姨搬来一架梯子靠在垂直于地面的墙的点A处，梯子底端落在地面的点 处，固定好后开始擦
拭宣传牌，过了一会移动梯子使顶端下滑 至点 处，已知点A与地面的距离 ，梯子的长度
，梯子的底端 向外移动的距离 是多少米？
32．如图，一架25米长的云梯 斜靠一面竖直的墙 上，这时梯子底端C离墙7米．
(1)这个梯子的顶端A距离地面多远？
(2)如果梯子的顶端A下滑了4米，那么梯子底端C在水平方向滑动了多少米？33．小明和同桌小聪在课后自主复习时，对一道思考题进行了探索．如图，一架 长的梯子 斜靠在
竖直的墙 上，这时点 到墙底端 的距离为 ．如果梯子的顶端沿墙下滑 ，那么点 将向外移
动多少米．
(1)请你将小明对思考题的解答补充完整：
解：设点 将向外移动 ，即 ．
则 ， ．
在 中， ， ， 可得方程 ，
解方程，得 ，
答：点 将向外移动
(2)解完思考题后，小聪提出了下面两个问题：
①在思考题中，将“下滑 ”改为“下滑 ”，那么该题的答案会是 吗？为什么？
②在思考题中，梯子的顶端从点 处沿墙 下滑的距离与点 向外移动的距离有可能相等吗？为什么？
请你解答小聪提出的这两个问题．34．课本原题呈现：
一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米．
（1）这个梯子的顶端距底而有多高?
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米
吗?
解决问题：
(1)请直接写出原题中（1）问这个梯子的顶端距底面_______米；（2）问中，梯子的底部_______在水平方
向也滑动4米（填会或不会）；
(2)在原题中，若保持梯子底端不动，将梯子再次斜靠到原题当中的墙体的对面，且与之平行的另一面墙上，
梯子的顶端到地面的距离为15米，求这两面墙之间的距离．
(3)将原题中的条件“云梯长25米”改变为“云梯顶端距底面20米”，将“梯子底端离墙7米”改变为
“梯子的顶端下滑了5米，梯子的底部在水平方向也滑动了5米”，请求出此梯子的长度是多少米？
