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专项 11 实数的相关概念（5 大类考点）
考点1 无理数的概念
1.有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。反过来，任何有限小数或无限循环小数
也都是有理数。
2、无限不循环小数叫做无理数。
3、有理数和无理数统称实数。
考点2 平方根和算术平方根
1、平方根：如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个x就叫a的平方根，表示为±
√a
，也叫二次方根。只有非负数才有平方根。
2、算数平方根： 若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x就叫做a的算术平方
根。记为“ ”读作“根号a”。算术平方根都是非负数。
考点3 立方根
立方根：如果一个数x的立方等于 ，这个数叫做 的立方根（也叫做三次方根），即如
果 ，那么 叫做 的立方根。任何数都有立方根。
考点4 二次根式
形如
√a
的式子，叫做二次根式。（
a≥0
）
1．二次根式的主要性质：
√ 2
a =|a|=¿{a a≥0¿¿¿¿
2
(√a) =a(a≥0,)
① ； ② ；
√a √a √ab
= = (a≥0, b>0)
√ab=√a⋅√b (a≥0,b≥0) b √b b
③ ； ④ ；
1 √a−√b √a−√b 1 √a+√b
= = =
√a+√b (√a+√b)(√a−√b) a−b √a−√b a−b
⑤ ； ⑥ ．考点5 最简二次根式
被开方数中不含分母，并且被开方数中不含开的尽方的因数或因式，像这样的二次根式成
为最简二次根式。
最简二次根式的条件：①根号内不含有开的尽方的因数或因式；②根号内不含有分母，小
数；③分母不含有根号。
被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式。
【考点1 无理数的概念】
【典例 1】（2022 秋•射阳县月考）在数 ，1.010010001， ，0，﹣2 ，﹣
2.62662666…，3.1415中，无理数的个数是（ ） π
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：在数 ，1.010010001， ，0，﹣2 ，﹣2.62662666…，3.1415中，无
理数有﹣2 ，﹣2.62662666…，共2个． π
故选：B．π
【变式1-1】（2022春•蚌埠期末）在0， ，0.0101101110…（每两个0之间的1依次增
π
加），3.14， 中，无理数的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【解答】解：0是整数，属于有理数；
3.14， 是分数，属于有理数；
无理数有 ，0.0101101110…（每两个0之间的1依次增加），共2个．
故选：C．π【变式1-2】（2022•福建）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理
数是（ ）
A． B． C． D．
π
【答案】B
【解答】解：根据题意，设点P表示的数为p，
则1＜p＜2，
∵1 ，
∴这个无理数是 ．
故选：B．
【变式1-3】（2011•宜昌校级一模）在0.03，0.3， ， ， 中，无理数有（ ）个．
π
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解答】解：题目中无理数为 ， ．
π
故选：A．
【考点2 平方根、算术平方根与立方根的概念】
【典例2】（2021秋•新乐市期末）16的平方根是（ ）
A．4 B．﹣4 C．±4 D．8
【答案】C
【解答】解：16的平方根是±4．
故选：C．
【变式2-1】（2022春•红河州期末）9的平方根是（ ）
A．±3 B．3 C．± D．
【答案】A
【解答】解：∵（±3）2＝9，
∴9的平方根是±3．
故选：A．【变式2-2】（2022春•沙依巴克区校级期末） 的平方根是（ ）
A．4 B．2 C．4或﹣4 D．2或﹣2
【答案】D
【解答】解：∵ ，（±2）2＝4，故选D
【典例3】（2022春•江夏区校级月考）25的算术平方根是（ ）
A．﹣5 B．5 C．±5 D．
【答案】B
【解答】解：25的算术平方根为： ＝5．
故选：B．
【变式3-1】（2022春•绵阳期末）已知 ，则x＝（ ）
A．16 B．8 C．2 D．±2
【答案】A
【解答】解：∵ ，
∴x＝16．
故选：A．
【变式3-2】（2022春•威县期末）式子 表示（ ）
A．﹣4的算术平方根 B．8的算术平方根
C．16的平方根 D．16的算术平方根
【答案】D
【解答】解： ＝ ，即16的算术平方根．
故选：D．
【典例3】（2022•陇县二模） 的立方根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解答】解：∵（﹣ ）3＝ ，
∴ 的立方根是 ．
故选：A．
【变式3-1】（2022•武威模拟）﹣8的立方根是（ ）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．﹣512
【答案】A
【解答】解：∵（﹣2）3＝﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2．
故选：A．
【变式 3-2】（2022 春•宜城市期末）如果 x 是 64 的立方根，那么 x 的算术平方根是
（ ）
A．4 B．2 C． D．±4
【答案】B
【解答】解：∵43＝64，
∴64的立方根是4，
即x＝4，
∵22＝4，
∴x的算术平方根是2．
故选：B
【考点3 实数大小比较、无理数的估算】
【典例4】（2022春•涪陵区校级期中）估计2 ﹣1的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】B
【解答】解：原式＝ ﹣1，
∵9＜12＜16，
∴3＜ ＜4，∴2＜ ﹣1＜3，
故选：B．
【变式4-1】（2022春•大足区期末）估计 +1的值（ ）
A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间
【答案】D
【解答】解：∵9＜11＜16，
∴3＜ ＜4，
∴4＜ +1＜5，
∴估计 +1的值在4和5之间，
故选：D．
【变式4-2】（2022春•滨海新区期末）估计 大小在（ ）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
【答案】C
【解答】解：∵ ＜ ，
∴4 ＜5，
∴ 在4～5之间．
故选：C．
【变式4-3】（2005•芜湖）估算 的值（ ）
A．在4和5之间 B．在5和6之间 C．在6和7之间 D．在7和8之间
【答案】D
【解答】解：原式＝5+ ，
又∵4＜6＜9，∴2 3，
∴其值在7和8之间．
故选：D．
【典例5】（2021秋•皇姑区校级月考）观察下列一组等式，解答后面的问题：
（ +1）（ ﹣1）＝1，（ + ）（ ﹣ ）＝1，（ + ）（ ﹣
）＝1，（ + ）（ ﹣ ）＝1，…
（1）根据上面的规律，计算下列式子的值：
（ ）（ +1）．
（2）利用上面的规律，比较 与 的大小．
【解答】解：（1）原式＝（ ﹣1+ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）（
+1）
＝（ ﹣1）（ +1）
＝2016﹣1
＝2015；
（2）∵ ＝ + ，
＝ + ，
而 + ＜ + ，
∴ ﹣ ＞ ﹣ ．
【变式5-1】（2016春•苏仙区校级期中）先阅读，后解答：
＝ ＝ ＝3+像上述解题过程中， ﹣ 与 + 相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式
子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化，
（1） 的有理化因式是 ； +2的有理化因式是 ．
（2）将下列式子进行分母有理化：
＝ ； ＝ 1 ﹣ ．
（3）已知a＝ ，b＝2﹣ ，比较a与b的大小关系．
【解答】解：（1） 的有理化因式是 ， +2的有理化因式是 ﹣2；
故答案为： ； ﹣2；
（2）原式＝ ；原式＝ ＝1﹣ ；
故答案为： ；1﹣ ；
（3）a＝ ＝2﹣ ＝b．
【变式5-2】（2014秋•资中县月考）阅读下面的计算过程：
＝ ＝ ﹣1；
＝ ＝ ﹣ ；
＝ ＝ ﹣2
…
根据以上信息，解答下面的问题：
（1）化简 ＝ （直接写出结果）；
（2）化简 ＝ （n为正整数，直接写出结果）；（3）计算：（ +1）（ + +…+ +
）
（4）比较 ﹣ 与 ﹣ 的大小．
【解答】解：（1） ＝ ＝ ﹣ ；
（2） ＝ ＝ ﹣ （n为正整数）；
（3）（ +1）（ + +…+ + ）
＝（ +1）× ×（ ﹣1+ ﹣ +…+ ﹣ + ﹣ ）
＝ ×（ +1）（ ﹣1）
＝ ×（2015﹣1）
＝1007；
（4） ﹣ ＝ ，
﹣ ＝ ，
∵ ＞ ，
∴ ﹣ ＞ ﹣ ．
故答案为： ﹣ ； ﹣ ．
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【考点4 最简二次根式及同类二次根式】
【典例 6】（2022 春•绥滨县期末）二次根式 、 、 、 、 、
中，最简二次根式有（ ）个．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4个【答案】C
【解答】解： ＝ ， ＝2 ， ＝2x ，
， ， 不能再化简，是最简二次根式，
故选：C．
【变式6-1】（2022春•温州期中）下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：A选项，原式＝ ，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝2 ，故该选项不符合题意；
C选项， 是最简二次根式，故该选项符合题意；
D选项，原式＝ ＝ ，故该选项不符合题意；
故选：C．
【变式 6-2】（2022 春•武邑县校级期末）若 是最简二次根式，则 m 的值可以是
（ ）
A．﹣2 B．4 C．5 D．8
【答案】C
【解答】解：A选项，二次根式的被开方数不能是负数，故该选项不符合题意；
B选项， ＝2，故该选项不符合题意；
C选项， 是最简二次根式，故该选项符合题意；
D选项， ＝2 ，故该选项不符合题意；
故选：C．
【考点5 无理数在数轴上的表示】
【典例7】（2021春•渝水区校级月考）如图，若实数 ，则数轴上表示m的点应落在（ ）
A．线段AB上 B．线段BC上 C．线段CD上 D．线段DE上
【答案】A
【解答】解：∵9＜10＜16，
∴3＜ ＜4，
∴﹣4＜﹣ ＜﹣3，
∴﹣3＜﹣ +1＜﹣2，
∴数轴上表示m的点应落在线段AB上，
故选：A．
【变式7-1】（2021春•回民区期中）若将 ， ， 分别表示在数轴上，其中能被
如图所示的墨迹覆盖的数是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【解答】解：∵﹣ ＜0，
∴﹣ 不符合题意；
∵4＜7＜9，9＜11＜16，
∴2＜ ＜3，3＜ ＜4，
∴能被如图所示的墨迹覆盖的数是 ，
故选：B．
【变式7-2】（2022春•顺德区校级期中）如图，数轴上表示 1， 的对应点分别为A，
B，AB＝AC，则点C所表示的数是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵表示1， 的对应点分别为A，B，
∴AB＝ ﹣1，
∵AB＝AC，
∴AC＝ ﹣1，
∴点C所表示的数为1﹣（ ﹣1）＝2﹣ ．
故选：C．
【典例8】（2022春•朝天区期末）如图，面积为7的正方形OABC的顶点O在数轴的原点
处，若点 D 在数轴上（点 D 在点 O 的左侧），且 OC＝OD，则点 D 表示的数为
（ ）
A．3﹣ B．3﹣ C．﹣ D．﹣
【答案】C
【解答】解：∵正方形OABC面积为7，
∴OD＝OC＝ ，
∴点D表示的数为﹣ ，
故选：C．【变式8-1】（2022春•松滋市期末）如图，一条长度为 的线段OA绕着O点旋转一周，
当OA与数轴重合时，A点表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：根据点O在﹣2位置，故当OA与数轴重合时，A点表示的数为： ﹣
2．
故选：D．
【变式8-2】（2022春•芜湖期末）实数a、b在数轴上的位置如图，则化简 ﹣ ﹣
的结果是（ ）
A．0 B．﹣2a C．2（b﹣a） D．﹣2b
【答案】D
【解答】解：由数轴可得：a＜0＜b，a﹣b＜0，
∴原式＝|a|﹣|b|﹣|a﹣b|
＝﹣a﹣b+a﹣b
＝﹣2b．
故选：D．1．（2022春•泾阳县月考）以下正方形的边长是无理数的是（ ）
A．面积为9的正方形 B．面积为49的正方形
C．面积为8的正方形 D．面积为64的正方形
【答案】C
【解答】解：A．面积为9的正方形的边长为3，是整数，属于有理数，故本选项不合题
意；
B．面积为49的正方形的边长为7，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C．面积为8的正方形的边长为 ，是无理数，故本选项符合题意；
D．面积为64的正方形的边长为8，是整数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：C．
2．（2022春•营口期中） 的值（ ）
A．9 B．±9 C．3 D．±3
【答案】A
【解答】解：∵92＝81，
∴ 的值为9．
故答案为：A．
3．（2022春•宜州区期中）若x2＝3，则x的值是（ ）
A． B． C．±9 D．±
【答案】D
【解答】解：若x2＝3，则x的值是± ．
故选：D．
4．（2022春•合江县期末）下列写法正确的是（ ）
A．﹣ ＝±9 B． ＝±9 C． ＝±9 D． ＝9
【答案】C
【解答】解：﹣ ＝﹣9，故A错误，不符合题意；
＝9，故B错误，不符合题意；± ＝±9，故C正确，符合题意；D错误，不符合题意；
故选：C．
5．（2022春•红河州期末）已知 ，则（a+c）b等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣4 D．4
【答案】D
【解答】解：∵ ，
∴a﹣1＝0，b﹣2＝0，c+3＝0，
∴a＝1，b＝2，c＝﹣3，
∴（a+c）b＝（1﹣3）2＝4，
故选：D．
6．（2022春•朔州期末）若 ＝a，则a的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．
【答案】A
【解答】解：∵ ，
∴a＝4．
故选：A．
7．（2022春•宝清县期中）若 ，则 的值为（ ）
A．5 B．15 C．25 D．﹣5
【答案】D
【解答】解：由题意可知：x﹣5＝0，y+25＝0，
∴x＝5，y＝﹣25，
∴ ＝ ＝﹣5，
故选：D．
8．（2022春•兴庆区校级期末）下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解答】解：A、 ＝9，故此选项不合题意；
B、 ＝﹣3，故此选项符合题意；
C、 ＝±5，故此选项不合题意；
D、 ＝2，故此选项不合题意；
故选：B．
9．（2022春•凤阳县校级期末）如果一个数的平方为64，则这个数的立方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．±2
【答案】D
【解答】解：设这个数为x，故有x2＝64，
即x＝±8，
所以±8的立方根为±2；
故选：D．
10．（2022春•沙河口区期末）下列对于 的大小估算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴3＜ ＜4，
故选：D．
11．（2022春•集美区期末）小明想裁出一块面积为12dm2的正方形纸片，画上冰墩墩参加
学校的美术比赛，设该纸片的边长为xdm，下列对x的大小估计正确的是（ ）
A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6
【答案】B
【解答】解：根据题意可知，x2＝12，
解得x＝ ＝ ，
x ＝2 ，x （不合题意，舍去），
1∵3 ，
∴x是值在3和4之间．
故选：B．
12．（2022春•东莞市校级期中）下列各式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：A选项，原式＝|x| ，故该选项不符合题意；
B选项， 是最简二次根式，故该选项符合题意；
C选项，原式＝2 ，故该选项不符合题意；
D选项，原式＝ ＝ ，故该选项不符合题意；
故选：B．
13．（2022春•武邑县校级期末）如图1，将面积为2的正方形向外等距扩0.5．在如图2
所示的数轴上标示了四段范围，则大正方形的边长数值落在（ ）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
【答案】D
【解答】解：∵面积为2的正方形的边长为 ，
∴向外等距扩0.5后边长为 +1，
∵1＜2＜2.25，
∴1＜ ＜1.5，∴2＜ +1＜2.5，
∴落在段④，
故选：D．
14．（2022春•济源期末）如图，正方形ABCD的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为
1，若点 E 在数轴上（点 E 在点 A 的左侧），且 AD＝AE，则点 E 所表示的数为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵正方形的面积为7，
∴正方形的边长为 ，
∴AE＝AD＝ ，
∴点E表示的数为1﹣ ．
故选：C．
15．（2022春•双台子区期末）下列大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：A、∵（ ）2＝2，12＝1，
∴2＞1，
∴ ＞1，
∴ ﹣1＞0，故A不符合题意；
B、∵（2 ）2＝12，32＝9，
∴12＞9，
∴2 ＞3，
∴2 ﹣3＞0，
故B不符合题意；
C、∵（ ）2＝5，32＝9，
∴5＜9，
∴ ＜3，
∴ ﹣1＜3﹣1，
∴ ＜1，
故C不符合题意；
D、∵（ ）2＝50，72＝49，
∴50＞49，
∴ ＞7，
∴7＜ ，
故D符合题意；
故选：D．
16．（2010•怀化）若0＜x＜1，则x，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x＜x2＜x3 B．x＜x3＜x2 C．x3＜x2＜x D．x2＜x3＜x
【答案】C
【解答】解：∵0＜x＜1，
∴假设x＝ ，则x＝ ，x2＝ ，x3＝ ，∵ ＜ ＜ ，
∴x3＜x2＜x．
故选：C．
17．（2019•九龙坡区校级模拟）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌．
这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次
根 式 中 也 有 这 种 相 辅 相 成 的 “ 对 子 ” ， 如 ，
，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因
式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：如
， ．像这样通过分子、分母
同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化．
解决问题：
（1）比较大小： （用“＞”“＜”或“＝”填空）；
（2）计算： + ；
（3）设实数x，y满足 ，求x+y+2019的值．
【解答】解：（1）
∵
∴
故答案为：＞
（ 2 ） ∵ ＝ ＝＝ ＝
∴ 原 式 ＝ ＝ 1﹣ ＝
（3）∵ ，
∴ ，
∴ ①，
同理： ②，
∴①+②得 ，
∴x+y＝0，
∴x+y+2019＝2019．
