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专项 11 相似三角形-一线三等角模型综合应用
E
A A
F
F
E A E
B C B C B C
D 图1 D 图2 D 图3
1.
如图1，∠B=∠C=∠EDF⇒ΔBDE
∽
ΔCFD
（一线三等角）
如图2，∠B=∠C=∠ADE⇒ΔABD
∽
ΔDCE
（一线三直角）
如图 3 ，特别地，当D是 BC 中点时：ΔBDE ∽ΔDFE ∽ ΔCFD ⇒ ED 平分
∠BEF
，
FD 平分∠EFC
。
2. 一线三等角辅助线添加：一般情况下，已知一条直线上有两个等角（直角）或一个直
角时，可构造“一线三等角”型相似。
【类型1：标准“K”型图】
【典例1】如图有一块三角尺，Rt△ABC，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝6，用一张面积最小
的正方形纸片将这个三角尺完全覆盖．求出这个正方形的面积．【变式1-1】如图，正方形ABCD中，点E在BC边上，且AE⊥EF，若BE＝2，CF＝ ，
求正方形ABCD的边长．
【变式1-2】如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交CD于F，交
AD的延长线于点E．
（1）求证：△ABM∽△MCF；
（2）若AB＝4，BM＝2，求△DEF的面积．
【变式1-3】已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边
上的P点处．如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．
（1）求证： ＝ ；
（2）若OP与PA的比为1：2，求边AB的长．【类型2：做辅助线构造“K”型图】
【典例2】已知：在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点E，F分别在矩形ABCD的边
AB，AD上．
（1）如图1，填空：当点G在CD上，且DG＝1，AE＝2，则EG＝ ；
（2）如图2，若F是AD的中点，FG与CD相交于点N，连接EN，求证：∠AEF＝
∠FEN；
（3）如图3，若AE＝AD，EG，FG分别交CD于点M，N，求证：MG2＝MN•MD．
【变式2】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝﹣x+m分别交x轴，y轴于A，B
两点，已知点C（2，0）．
（1）当直线AB经过点C时，m＝ ；
（2）设点P为线段OB的中点，连接PA，PC，若∠CPA＝∠ABO，则m的值是 ．
【类型2：特殊“K”型图】【典例3】如图，AB＝9，AC＝8，P为AB上一点，∠A＝∠CPD＝∠B，连接CD．
（1）若AP＝3，求BD的长；
（2）若CP平分∠ACD，求证：PD2＝CD•BD．
【变式3-1】如图，在等边三角形ABC中，点E，D分别在BC，AB上，且∠AED＝60°，
求证：△AEC∽△EDB．
【变式3-2】如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边
BC、AC上，连接AD、DE，有∠ADE＝45°．
（1）证明：△BDA∽△CED．
（2）若BC＝6，当AE＝ED时，求BD的长．
1．如图，点P在△ABC的边AC上，若要判定△ABP∽△ACB，则下列添加的条件不正确的是（ ）
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C． ＝ D． ＝
2．如图，在平面直角坐标系xOy中．边长为4的等边△OAB的边OA在x轴上，C、D、E
分别是AB、OB、OA上的动点，且满足BD＝2AC，DE∥AB，连接CD、CE，当点E坐
标为 ． 时，△CDE与△ACE相似．
3．如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，∠APD＝
60°．
（1）求CD的长；
（2）PD可以垂直AC吗？如果不可以，请说明理由，如果可以，请求出BP的长．
4．如图，等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若BD＝2，CE＝ ，求等边△ABC的边长．
5．如图，等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，∠ADE＝60°
（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若BD＝4，CE＝ ，求△ABC的边长．
6．如图，四边形ABDC为矩形，AB＝4，AC＝3，点M为边AB上一点（点M不与点A、B
重合），连接CM，过点M作MN⊥MC，MN与边BD交于点N．
（1）当点M为边AB的中点时，求线段BN的长；
（2）直接写出：当DN最小时△MNB的面积为 ．
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，P是边BC上的任意一点（P与B、C不重
合），作PE⊥AP，交CD于点E．
（1）判断△ABP与△PCE是否相似，并说明理由．
（2）连接BD，若PE∥BD，试求出此时BP的长．
8.感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，∠BAD＝∠ACB＝∠AED＝90°，
由∠1+∠2+∠BAD＝180°，∠2+∠D+∠AED＝180°，可得∠1＝∠D；又因为∠ACB＝∠AED＝90°，可得△ABC∽△DAE，进而得到 ＝ .我们把这个模型称为“一
线三等角”模型．
应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图 2，如图，在△ABC
中，AB＝AC＝10，BC＝12，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是
AC边上的一个动点，且∠APD＝∠B．
①求证：△ABP∽△PCD；
②当点P为BC中点时，求CD的长；
拓展：（3）在（2）的条件下，如图2，当△APD为等腰三角形时，请直接写出BP的
长．
9．如图，在等边△ABC中，点D是AB边上的一个动点（不与点A，B重合），以CD为
边作等边△EDC，AC与DE交于点F，连接AE．
（1）求证：①△AEF∽△DCF；
②△ADF∽△BCD；
（2）若AB＝3BD＝6，求△ADF的面积．
10．【感知】如图①，在正方形 ABCD 中，E 为 AB 边上一点，连结 DE，过点 E 作
EF⊥DE交BC于点F．易证：△AED∽△BFE．（不需要证明）【探究】如图②，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，连结DE，过点E作EF⊥DE交
BC于点F．
（1）求证：△AED∽△BFE．
（2）若AB＝10，AD＝6，E为AB的中点，求BF的长．
【应用】如图③，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4．E为AB边上一点
（点E不与点A、B重合），连结CE，过点E作∠CEF＝45°交BC于点F．当△CEF为
等腰三角形时，BE的长为 ．
