文档内容
特训02 有理数及其运算压轴题（八大压轴题型归纳）
目录：
题型1：化简绝对值
题型2：数轴上两点之间的距离，最值问题
题型3：数轴上动点-单动点问题
题型4：数轴上动点-双动点问题
题型5：数轴上动点-三动点问题
题型6：有理数的运算压轴题
题型7：新定义有理数的运算
题型8：有理数混合运算的应用
题型1：化简绝对值
1．已知a，b，c为非零有理数，则 的值不可能为（ ）
A．0 B．-3 C．-1 D．3
2．如果 ， ， 是非零有理数，那么 的所有可能的值为（ ）．
A． ， ，0，2，4 B． ， ，2，4
C．0 D． ，0，4
3．已知： ，且 ， ，则 共有 个不同的值，若在这些不同的
值中，最小的值为 ，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．3
4．已知： ，且 ， ，则 共有 个不同的值，若在这些不同的
值中，最小的值为 ，则 ．
题型2：数轴上两点之间的距离，最值问题
5．数轴上表示数 的点与原点的距离叫做数 的绝对值，记作 ．数轴上表示数 的点与表示数 的点距
离记作 ，如 表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离， 表示数轴上表示
数3的点与表示数 的点的距离， 表示数轴上表示数 的点与表示数3的点的距离．
1根据以上材料回答一列问题：
(1)若 ，则 ______．若 ，则 _____．
(2)若 ，则 能取到的最小值是______，最大值是______．
(3)当 ，求 的最大值和最小值．
6．【问题提出】 的最小值是多少？
【阅读理解】
为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手． 的几何意义是 这个数在数轴上对应的点到原点的距
离，那么 可以看作 这个数在数轴上对应的点到1的距离； 就可以看作 这个数在数轴上
对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究 的最小值．
我们先看 表示的点可能的3种情况，如图所示：
如图①， 在1的左边，从图中很明显可以看出 到1和2的距离之和大于1．
如图②， 在1，2之间（包括在1，2上），可以看出 到1和2的距离之和等于1．
如图③， 在2的右边，从图中很明显可以看出 到1和2的距离之和大于1.因此，我们可以得出结论：当
在1，2之间（包括在1，2上）时， 有最小值1．
【问题解决】
(1) 的几何意义是 ，请你结合数轴研究： 的最小值是 ；
2(2)请你结合图④探究 的最小值是 ，由此可以得出a为 ；
(3) 的最小值是 ；
(4) 的最小值为 ；
(5)如图⑤，已知a使到-1，2的距离之和小于4，请直接写出a的取值范围是 ．
7．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多
重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离 ，若 ，
则可化简为 ．请你利用数轴解决以下问题：
(1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数－2的点的距离是3个单位长
度，则m的值为 ______；
(2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，
则 ______；
(3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若
，则 等于 ______．
(4)若 ，则式子 的最小值为
_______．
3题型3：数轴上动点-单动点问题
8．如图，在数轴上点 表示 ，现将点 沿 轴做如下移动：第一次点 向左移动 个单位长度到达点 ，
第二次将点 向右移动 个单位长度到达点 ，第三次将点 向左移动 个单位长度到达点 ，按照这种
移动规律移动下去，则线段 的长度是 ．
9．如图，在数轴上点A表示的有理数为 ，点B表示的有理数为12，点P从点A出发，以每秒3个单位
长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒3个单位长度的速度
运动至点A停止运动，设运动时间为t（单位：秒）．
(1)当 时，点P表示的有理数是______；
(2)当点P与点B重合时， ______；
(3)①在点P由点A到点B的运动过程中，点P与点A的距离是______，点P表示的有理数是______．
（用含t的代数式表示）；
②在点P由点B到点A的运动过程中，点P与点A的距离是______．（用含t的代数式表示）
(4)当t的值为多少时， ．
题型4：数轴上动点-双动点问题
10．【背景知识】
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规
律：数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离 ，若 ，则可简化为
；线段 的中点M表示的数为 ．
【问题情境】
已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为 ，8，点A以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，同
时点B以每秒2个单位向左匀速运动，设运动时间为t秒（ ）．
4【综合运用】
(1)运动开始前，A，B两点的距离为______；线段 的中点M所表示的数为______．
(2)点A运动t秒后所在位置的点表示的数为______；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为______；
（用含t的式子表示）
(3)它们按上述方式运动，A，B两点经过多少秒会相距4个单位长度？
(4)若A，B按上述方式继续运动下去，线段 的中点M能否与原点重合？若能，求出运动时间，并直接
写出中点M的运动方向和运动速度；若不能，请说明理由．（当A，B两点重合，则中点M也与A，B两
点重合）．
11．已知关于x的方程 是一元一次方程，如图，数轴上有A，B，C三个点对应的数分别
为a，b，c，且a，c满足 ．
(1)直接写出a，b，c的值；
(2)若数轴上有两个动点P，Q分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点P速度为3单位长
度/秒，点Q速度为1单位长度/秒，若运动时间为t秒，运动过程中，是否存在线段 的中点M到点
的中点N距离为3，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，另外两个动点E，F分别随着P，Q一起运动，且始终保持线段 ，线段
（点E在P的左边，点F在Q的左边），当点P运动到点C时，线段 立即以相同的速度返回，当点P
再次运动到点A时，线段 和 立即同时停止运动，在整个运动过程中，是否存在使两条线段重叠部分
为 的一半，若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由．
12．如图所示，数轴上有 ， ， ， 四个点，点 表示的数是 ，点 表示的数是 ，且满足
．已知 （单位长度）， （单位长度）．
5(1)求点 和点 分别表示的数；
(2)若线段 以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段 以2个单位长度/秒的速度向左匀速运
动，设运动时间为 秒，当 （单位长度）时，求 的值；
(3)若动点 从表示数 的点开始以每秒5个单位长度的速度向右运动，且满足 的值不随 点运
动时间 的变化而改变，求 的值．
题型5：数轴上动点-三动点问题
13．如图，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为 ．我们规定：
的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即 ．
请用上面的知识解答下面的问题：
如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，满足 ， ，
(1) ， ， ；
(2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数______表示的点重合；
(3)点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以
每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为 ，
点A与点B之间的距离表示为 ．则 ， ， ．（用含t的代数式表示）
(4)请问， 的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值；
14．已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足 ，请回答问题．
(1)请直接写出a、b、c的值． ______， ______， ______；
(2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时即（
时），请化简式子： （请写出化简过程）；
(3)在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，
6同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度也向左运动，运动时间为t，是否存在
t，使A、B、C中一点是其它两点的中点，若存在，求t的值，若不存在，说明理由．
15．如图所示，在数轴上点 表示的数分别为 ，1，6，点 与点 之间的距离表示为 ，点
与点 之间的距离表示为 ，点 与点 之间的距离表示为 ．
(1)则 ， ， ；
(2)点 开始在数轴上运动，若点 以每秒 个单位长度的速度向左运动，同时，点 、点 分别以
每秒2个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问：
运动 秒后，点 与点 之间的距离 为多少？（用含 的代数式表示）
的值是否随着运动时间 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值；
(3)由第（1）小题可以发现， ．若点 以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点 和
点 分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间 的变化，
之间是否存在类似于（1）的数量关系？请说明理由．
题型6：有理数的运算压轴题
16．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如 ，
等．类比有理数的乘方，我们把 记作 ，读作“3的圈3次方”，
记作 ，读作“ 的圈4次方”．一般地，把 记作 ，
读作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果： ______， ______．
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数
的除方运算如何转化为乘方运算呢？（此处不用作答）
（2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方幂的形式
7______； ______； ______．
（3）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成乘方幂的形式等于______．
（4）比较： ______ （填“ ”“ ”或“ ”）
【灵活应用】
（5）算一算： ．
17．我们已知道： ，
事实上： （ 为正整数）成立，
故有：当 时， 成立．
由以上结论填写下列代数式结果：
(1) __________．
(2) ___________．
(3) __ ___．
18．现有 5 张卡片写着不同的数字，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算按要求解答下列问题（每
张卡片上的数字只能用一次）．
(1)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字的和最小，则和的最小值为_________．
(2)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字的差最大，则差的最大值为________．
(3)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字相除的商最大，则商的最大值为_________．
(4)从中取出 3 张卡片，使这 3 张卡片上数字的乘积最大，乘积的最大值为__________．
(5)从中取出 4 张卡片，使这 4 张卡片上的数字运算结果为 24．写出两个不同的等式，分别为 ， ．
19．观察式子 ， ， ，…
8(1)猜想并写出： ＝ ；
(2)填空： ＝ ；
(3)尝试解决： ．
20．曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称
得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题
转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是
一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就
是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法
就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正
负数的乘法了．
下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用：
数学问题，计算 (其中 是正整数，且 ，)．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方
形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算 ．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为 ；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为 ；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；
……
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为
，最后空白部分的面积是 ．
9根据第n次分割图可得等式： ．
探究二：计算 ．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为 ；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为 ；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……，
……
第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为 ，
最后空白部分的面积是 ．
根据第n次分制图可得等式： ，
两边同除2，得 ，
探究三：计算 ．
(仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程)
10解决问题．计算 ．
(在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)．
(1)根据第n次分割图可得等式：___________．
(2)所以， ___________．
(3)拓广应用：计算 ___________．
21．【知识背景】在学习计算框图时，可以用“ ”表示数据输入、输出框；用“ ”表
示数据处理和运算框；用“ ”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）
【尝试解决】
（1）如图1，当输入数 时，输出数 ______；
如图2，第①个“ ”内，应填______；第②个“ ”内，应填______；
（2）如图3，当输入数 时，请计算出数y的值；
11【实际应用】
（3）为鼓励节约用水，某市决定对家庭用水实行“阶梯价”，当每月用水量不超过10吨时（含10吨），
以3元/吨的价格收费；当每月用水量超过10吨时，超过部分以4元/吨的价格收费．如图4是小聪设计的
一个家庭水费“计算框图”，请把计算框图中①②③方框补充完整．
第①个“ ”内，应填____________；第②个“ ”内，应填____________；第③个“
”内，应填____________．
题型7：新定义有理数的运算
22．在有理数范围内，我们定义三个数之间的新运算“ ”法则： ，例如：
．在 这6个数中，任意取三个数作为 的值，则
的最大值为 ．
23．对于正整数 ，定义 ，其中 表示 的首位数字、末位数字的平方和．例如：
， ．规定 ， （ 为正整数），例如，
， ．按此定义，则由 ，
．
24．定义：对于任意的有理数a，b ，
(1)探究性质：
①例： _________； _________； _________； ________；
②可以再举几个例子试试，你有什么发现吗？请用含a，b的式子表示出 的一般规律；
(2)性质应用：
①运用发现的规律求 的值；
②将 ， ， ， ……，7，8这20个连续的整数，任意分为10组，每组两个数，现将每组的两个
数中任一数值记作a，另一个记作b，求出 ，10组数代入后可求得10个 的值，则这10个值的和
12的最小值是 ．
25．小岳同学仿造二进制，写出了一种数的表示方法：一个n位数 ，其中 的值只能取
0或1，他把这样的数叫做本原数．比如当 时，2位本原数 可以表示00，01，10，11共4个数．
然后小岳设计了一种针对两个本原数的运算，如果 ，那么定义：
（1）计算 的值为：_________；
（2）若 ，且 ，求本原数t的值；
（3）①若 为k个互不相同的4位本原数，满足对任意 ，当 时， 为奇数；当
时， 为偶数，直接写出k的最大值：________；
②若 为k个互不相同的2019位本原数，满足对任意 ，当 时， ，直接写出k的
最大值：_______
题型8：有理数混合运算的应用
26．大数据时代出现了滴滴打车服务，二孩政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关
系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车
出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘
坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有（ ）
A．18种 B．24种 C．36种 D．48种
27．如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝
试将数字 这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．
部分数字已填入圆圈中，则 的值为（ ）
13A． B． C．3 D．4
28．现在有三个仓库 、 、 ，分别存有 吨、 吨、 吨某原材料；要将这种原材料运往三个加工厂
、 、 ，每个加工厂都需要 吨原材料．从每个仓库运送 吨材料到每个加工厂的成本如下表所示
（单位：元 吨）：
（ ）
（
）
（
）
现在要让每个仓库清仓、每个加工厂都得到足够的材料，
（1）如果从 运 吨到 、运 吨到 ，从 运 吨到 ，那么从 需要运 吨到 ；
（2）考虑各种方案，运费最低为 元．
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