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专题突破卷 01 函数值域问题
题型一 求值域
1.单调性法
1．函数 的值域为______．
【答案】
【分析】由 ，结合指数函数的性质得到值域.
【详解】因为 ，故 且 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 的值域为 .
故答案为： .
2． 的值域为__________
【答案】
【分析】通过换元法，求换元后的值域即可.
【详解】设
则 ，
，
故函数 的值域为 .
故答案为：
3．函数 在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是（ ）
A． B．2，5 C．1，2 D．
【答案】A
【分析】先简单判断函数的单调性，进而求解结论．
【详解】解：∵y＝x2+1在（0，+∞）上单调递增，且y＞1，
∴ 在区间[1，2]上单调递减，
∴函数 在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是
f（1） ，f（2） ，
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学科网（北京）股份有限公司故选：A．
4．已知函数 的定义域为 ，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将函数变形为 ，利用对勾函数的单调性求得 的值域，结合不等式的性质
即可求解.
【详解】 ，定义域为 ，且 ，
取 ，则化简得
令 ， ，
利用对勾函数的性质知，当 时，函数单调递减；当 时，函数单调递增；
，即 ， 时，
又 ，所以， 时，函数 的值域为
故选：C
2.配方法
5．已知 ，则 的最大值为__________.
【答案】 /
【分析】根据给定条件，利用均值不等式求解作答.
【详解】因为 ，则 ，当且仅当 时取等号，
所以当 时， 取得最大值 .
故答案为：
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学科网（北京）股份有限公司6．已知一元二次函数y＝x2－2x+2，x∈(0，3)，则下列有关该函数的最值说法正确的为（ ）
A．最小值为2，最大值为5 B．最小值为1，最大值为5
C．最小值为1，无最大值 D．无最值
【答案】C
【分析】结合对称轴，函数的单调性得出结论．
【详解】由已知函数图象对称轴是 ，在 上，函数是减函数，在 上是增函数，因此 时，
函数取得最小值为1，但无最大值，
故选：C．
7．求函数 的值域.
【答案】 .
【分析】根据二次函数的图象与性质，求得函数 的单调区间和最值，即可求解.
【详解】因为函数 的对称轴为 ，
所以函数 在 单调递减， 单调递增，
所以 ，
所以函数 的值域为 .
8．已知函数 的定义域为 ，且当 时， ，则 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先由 的定义域得出 的定义域，再将 代入，由 的范围求出值域即可．
【详解】由 的定义域为 ， ，
则 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
因为 ，所以函数 在 上单调递增，
当 ，当 ，
故函数 的值域为 .
故选：C．
9．求函数 的值域为_________.
【答案】
【分析】通过换元，配方，将原函数转化为二次函数顶点式的形式，要注意的是原函数是给定定义域的，
要在定义域内求值域.
【详解】令 ，则 ，
容易看出，该函数转化为一个开口向下的二次函数，对称轴为 ，
，所以该函数在 时取到最大值 ，当 时，函数取得最小值 ，
所以函数 值域为 .
故答案为：
3.分离常数法
10．求函数 的值域.
【答案】 .
【分析】化简 ，结合函数的定义域，进而求得函数的值域.
【详解】由函数 ，可得其定义域为 ，
又由 ，可得
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学科网（北京）股份有限公司所以函数 的值域为 .
11．函数 的值域是（ ）
A． ， B． C． ， D．
【答案】A
【分析】把已知函数解析式变形，由 可得 的范围，进一步求得函数值域.
【详解】因为 ，
， ，
则 ，
所以函数 的值域是
故选：A.
12．（多选）点 在函数 的图象上，当 ，则 可能等于（ ）
A． B． C． D．0
【答案】AD
【分析】由点在线上得 ，则 ， ，由复合函数性质逐步讨论值域即可
【详解】点 在函数 的图象上，∴ ，∴ ，
∵由 得 ，
.
故选：AD
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学科网（北京）股份有限公司13．求函数 的值域．
【答案】
【分析】根据常数分离得 ，由 ，逐步得 即可
解决.
【详解】由题知， ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以函数 的值域为 .
4.复合函数
14．函数 ， 的值域为______.
【答案】
【分析】利用换元法，结合指数函数、二次函数的知识求得正确答案.
【详解】令 ，由于 ，所以 .
则 ，
根据二次函数的性质可知，当 时， ；当 时， ，
所以函数 ， 的值域为 .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：
15．（1）函数 ， 的值域为______．
（2）函数 的值域为______．
【答案】
【分析】空①：根据题意结合二次函数的性质分析运算；空②：利用换元法，设 ，结合二次函数分
析运算.
【详解】空①：因为 的对称轴为 ，
所以函数 在 上单调递增，
当 时，函数 取到最小值 ；
当 时，函数 取到最小值 ；
所以函数 ， 的值域为 ．
空②：设 ，因为 ，
换元得 ， ，
当 时，函数 取到最小值 ，
所以函数 的值域为 ．
故答案为： ； .
16．已知函数 .
(1)求 的定义域；
(2)求 的最大值.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据函数解析式列出相应的不等式组，可解得答案；
（2）利用对数函数的单调性，结合二次函数的性质，求得答案.
【详解】（1）要使函数有意义，则有 ，解得 ，
所以 的定义域为 .
（2） ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 的最大值为2.
17．已知函数 ．
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)当 时， 求函数 的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设 ，将不等式转化为二次不等式，解不等式，结合对数函数的单调性及对数函数
的定义域解不等式即可；
（2）设 ，可得 ，该函数可转化为关于 的二次函数，根据二次函数的性质求值域.
【详解】（1）设 ， ， ，
所以 ，即 ，
解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得 ，
即 ；
（2）由（1）得，当 ， ，
所以函数可转化为 ， ，
当 时， 取最小值为 ，
当 或 时， 取最大值为 ，
即当 时， 取最小值为 ，
当 或 时， 取最大值为 ，
即函数 的值域为 .
18．求函数 的值域.
【答案】
【分析】根据对数运算化简函数，利用换元法，结合对数函数的性质以及二次函数的性质，可得答案.
【详解】
，
由 ，则 ，令 ，即 ，
则 ，易知 在 上的值域为 ，
故函数 在 上的值域为 .
5.导数法
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学科网（北京）股份有限公司19．函数 在区间 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】求导，根据导函数的符号确定 的单调区间，求出最大值.
【详解】 ，当 时， ， 单调递增，
当 时 单调递减，当 时， 单调递增；
， ；
故选：D.
20．求下列函数的最值：
(1) ；
(2) .
【答案】(1)最大值为 ，最小值为
(2)无最小值，
【分析】利用导数求解函数的最值步骤求解即可.
【详解】（1） ，
令 ，得 或 .
又 ， ， ， ，
∴当 时， 取最大值 .
当 时， 取最小值 .
即 的最大值为 ，最小值为 .
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学科网（北京）股份有限公司（2）函数 的定义域为 .
，
当 时， ，
当 变化时， ， 的变化情况如表所示.
单调递增 单调递减
在 上单调递增，在 上单调递减，
无最小值，且当 时， .
21．函数 在 上的最小值为__________.
【答案】
【分析】对 求导，从而得到 在 上的单调性，进而求出 在 上的最小值.
【详解】 ，由 得 ，由 得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 .
故答案为： .
22．设函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)求函数 在 上的最值．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)增区间为 ；减区间为
(2)最大值为9，最小值为－
【分析】（1）对函数求导后，利用导函数的正负确定函数的单调区间及极值；
（2）利用极值及端点函数值，比较大小可得答案.
【详解】（1） ，
令 ，则 或 ，
列表如下：
－
1
3
＋ 0 － 0 ＋
单调递增 单调递减 单调递增
∴ 的增区间为 ；减区间为 ；
（2）由上知 在 上的极小值为 ，
又 ，
所以 在 上的最大值为9，最小值为－ ．
6.分类讨论（二次函数）
23．已知二次函数 的图象过点 ，且最小值为 ．
(1)求函数的解析式；
(2)当 时，该函数的最小值为 ，求此时t的值．
【答案】(1)
(2)1或3
【分析】（1）先根据题意设出二次函数的两点式形式，再由条件得到其顶点坐标，代入即可得解；
（2）根据二次函数的图象性质，分类讨论 、 与 三种情况下 在 的单
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学科网（北京）股份有限公司调情况，从而得到关于 的方程，解之即可.
【详解】（1）由题意设函数的解析式为 ，
由已知可得二次函数的顶点坐标为 ，
代入得 ，解得 ，
所以二次函数解析式为 ，即 ．
（2）由（1）知 ，
则其图象的开口向上，对称轴为 ，
当 ，即 时， 在 上单调递减，
所以当 时， 取得最小值，
所以 ，解得 或 （舍去），所以 ；
当 ，即 时， 在对称轴 处取得最小值 ，不满足题意；
当 时， 在 上单调递增，
所以当 时， 取得最小值，
所以 ，解得 或 （舍去）．
综上所述：t的值为1或3．
24．设函数 .
(1)当 时，求函数 在区间 的最大值和最小值：
(2)设函数 在区间 的最小值为 ，求 .
【答案】(1)最大值为 ，最小值为
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学科网（北京）股份有限公司(2)
【分析】（1）通过判断二次函数的对称轴与区间的位置关系判断函数单调性，通过单调性可得最值；
（2）通过分类讨论，确定函数 的单调性与区间之间的位置关系，通过位置关系及二次函数的性质可
得最小值.
【详解】（1）当 时， ，其对称轴为 ，
故函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ，
，
故函数 在区间 的最大值为 ，最小值为 ；
（2） 对称轴为 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
综上所述： .
25．已知函数 ．
(1)若 有两个零点，求实数m的取值范围；
(2)当 时，求 的最小值．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由 有两个零点，得 ，解不等式即可求得本题答案；
（2）先求出函数对称轴，然后分别求出当 ， ， 时，函数对应的最小值即可得到本
题答案.
【详解】（1）依题意， ，
则 ，解得 或 ，
故实数m的取值范围为 ．
（2）依题意， 的对称轴方程为 ．
当 ，即 时， 在 上单调递增，此时 的最小值为 ；
当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，此时 的最小值为
；
当 ，即 时， 在 上单调递减，此时 的最小值为 ．
综上，当 时， 的最小值为6m，当 时， 的最小值为 ，当 时，
的最小值为 ．
26．已知函数 ，
(1)当 时，解不等式 ；
(2)若 时，求函数 的最小值和最大值.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2) ，
【分析】（1）按照不含参数的一元二次不等式直接求出解集即可；
（2）结合对称轴，分类讨论，根据函数单调性求出不同情况下的最值.
【详解】（1）当 时， 即为 ，解得： ，
故不等式解集为 ；
（2）因为 的图像开口向下且对称轴为 ，
①当 即 时， 在 上单调递减，
故 ， ；
②当 时，即 时，根据函数图像得：在 上
；
③当 时，即 时，根据函数图像得：在 上
；
④当 时，即 时， 在 上单调递增，
.
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学科网（北京）股份有限公司综上， ，
27．已知函数 .
(1)求 的最小值 ;
(2)求 的最大值.
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据二次函数的对称性，分类讨论函数的单调性，进而求最小值 ；
（2）根据一次函数的单调性，及二次函数的最值求出分段函数 在每段上的最大值从而得出 的最
大值．
【详解】（1）由题意可得： ，
当 时， 在区间 上单调递减，最小值 ；
当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，最小值 ；
当 时， 在区间 上单调递增，最小值 ；
综上所述： .
（2）由（1）可知：当 时， 在 单调递减，所以 的最大值为 ；
当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，所以 的最大值为
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学科网（北京）股份有限公司；
当 时， 在 单调递增，所以 的最大值为 ；
综上所述： 的最大值 .
28．设 的定义域为 ，对于任意实数t，则 的最小值 __________．
【答案】
【分析】讨论 ，结合二次函数的性质求 的最小值.
【详解】 可化为 ，
当 ，即 时，函数 在 上单调递减，
所以当 时，函数 取最小值，最小值为 ，
当 ，即 时，函数 在 上单调递增，
所以当 时，函数 取最小值，最小值为 ，
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时，函数 取最小值，最小值为 ，
所以 ，
故答案为： .
题型二 已知值域
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学科网（北京）股份有限公司1.求参数
29．若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围为__________．
【答案】
【分析】依题意可得 能够取到大于等于 的所有数，然后对 分类求解得答案．
【详解】解：因为函数 的值域为 ，
所以 能够取到大于等于 的所有数，
当 时 ，不合题意；
当 时，则 ，解得 ；
综上可得 .
故答案为： ．
30．已知函数 .
(1)若函数在区间 上y随x增大而增大，求实数a的取值范围；
(2)若函数在区间 上的最大值为1，求实数a的值.
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）根据函数的单调性可得对称轴满足的条件，故可得参数的取值范围；
（2）就 ， 及 分类讨论后可得实数 的值.
【详解】（1）由题设可得函数在 上为增函数，而二次函数的对称轴为 ，
故 即 .
（2）二次函数的对称轴为 ，
当 即 时，函数在 上为减函数，故最大值为 即 ，符合；
当 即 时，函数在 上递增，在 上递减，
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学科网（北京）股份有限公司故最大值为 ，
故 ，解得 或 ，因 ，故两解均舍；
当 即 时，此时函数在 为增函数，
故最大值为 即 ，
综上， 或 .
31．已知函数 的最小值点为 ，则 __________．
【答案】8
【分析】确定函数图象的开口和对称轴，结合二次函数的性质即可求得答案．
【详解】由题意可得函数 的图象开口向上，对称轴为 ，
又函数 的最小值点为 ，则 ，即 ，
所以 ，则 ．
故答案为：8．
32．已知函数 ，若函数 的定义域为 ，值域为 ，则实数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知求得 的符号，利用韦达定理即可求得 的值.
【详解】由于函数 的定义域为 ，则 恒成立，则 ，即 ，令
，由于 的值域为 ，则 ，而
，则由 解得 ，故 和 是方程
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学科网（北京）股份有限公司即 的两个根，则 ，得到 ，符合题意．所以
．故
故选：C
33．若函数 在区间 上的值域为 ，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令 ，通过函数的最小值为0及定义域可知函数在 处取得最小值，再通过对函数的
分段讨论及函数的最大值为 求出实数a的取值范围.
【详解】令 ，得 或 ，因为函数定义域为 ，所以 ，即函数在
处取得最小值0，且 ，即 ，
则 ，
因为函数的值域为 ，所以
当 时，有 ，即 ，得 ，即 ;
当 时，有 ，即 ，得 ，即 .
综上，实数a的取值范围为 .
故选：D.
34．已知函数 的值域为 ，则常数 ______．
【答案】7或
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ，所以 ，
，即 ，
因为函数 的值域为 ，
所以 是方程 的两个根，
所以 ， ，
解得 或 ，所以 7或 .
故答案为：7或 .
2.求定义域
35．（ 2022秋·辽宁营口·高三统考期末） 为不超过 的最大整数，若函数 ， ，
的值域为 ，则 的最大值为______．
【答案】4
【分析】根据 的定义，函数的定义域和值域分析求解
【详解】因为函数 ， ， 的值域为 ，
所以 最大取到3， 最小取到 ，
所以 的最大值为 ，
故答案为：4
36．已知函数 的值域是 ，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画出 的图像，数形结合即可判断出答案．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】 ，画出图像，如图所示，
令 ，则 ，解得 或 ，
令 ，则 ，解得 （舍去）或 ，
对于A：当 时，结合图像，得 ，故A错误；
对于B：当 时，结合图像，得 ，故B错误；
对于C：当 时，结合图像，得 ，故C错误；
对于D：当 时，结合图像，得 ，故D正确；
故选：D．
37．若函数 的定义域为 ，值域为 ，则m的取值范围为__________.
【答案】
【分析】确定函数图象的开口和对称轴，结合二次函数的性质即可求得答案.
【详解】由题意可得函数 的图像开口向上，对称轴为 ，
当 时， ，
令 ，解得 或 ，
因为函数 的定义域为 ，值域为 ，
故 ，
故答案为：
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学科网（北京）股份有限公司38．设函数 的定义域为 ，值域为 ，下列结论正确的是（ ）
A．当 时，b的值不唯一 B．当 时，a的值不唯一
C． 的最大值为3 D． 的最小值为3
【答案】D
【分析】代入 ，得出函数解析式，求出值域，结合已知即可得出b的值唯一，则A项错误；代入
，得出函数解析式，求出值域，结合已知即可得出a的值唯一，则B项错误；分 、 、
三种情况，求出函数的解析式，得到函数的值域，分别求出 的范围，即可判断C、D项.
【详解】对于A项，当 时，显然 ，则 .函数在 上的值域为 ，在
上的值域为 ，又函数在 上的值域为 ，所以 ， ，故A项错误；
对于B项，当 时，函数 ，则此时函数的值域为 ，由已知可得 ，所以
，故B错误；
对于C、D项，
①当 时，函数 ，此时函数的值域为 ，由已知可得 ，解得 ，所
以 ；
②当 时，函数 ，则此时函数的值域为 ，由已知可得 ，解得 ，
所以 ；
③当 时， .此时函数在 上的值域为 ，在 上的值域为
.由已知可得， 或 .
当 时，即 ，此时有 ；
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学科网（北京）股份有限公司当 时，即 ，则 ，此时有 .
综上所述， .
故C项错误，D项正确.
故选：D.
39．已知函数 若 的值域为 ,则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数 的取值进行分类讨论即可.
【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数 和 的图象如下图所示：
由图可知，当 或 时，两图象相交，
若 的值域是 ，以实数 为分界点，可进行如下分类讨论：
当 时，显然两图象之间不连续，即值域不为 ；
同理当 ,值域也不是 ；
当 时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是 ；
综上可知，实数 的取值范围是 .
故选：B
40．已知函数 在闭区间 上的值域为 ，则 的最大值为________.
【答案】3
【分析】画出函数图像,分析要使函数在闭区间 上的值域为 ,必有 , ,
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学科网（北京）股份有限公司或 ,再根据求 的最大值最好是正值,可得 , ,即 的最大值为 .
【详解】
画出函数 的图像可知,要使其在闭区间 上的值域为 ,
由于有且仅有 ,所以 ,
而 ,所以有 , 或 ,
又∵ , 的最大值为正值时, ,
∴ ,
所以 ,当 取最小值时,, 有最大值.
又∵ ,
∴ 的最大值为 ；
故答案为：3.
1．已知函数 ，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据对数函数的定义域以及三函数的值域得出真数的取值范围，根据对数函数的单调性求得结果
即可.
【详解】已知函数 ，则 ，
所以 ，
所以函数 的值域为 .
故选：C.
2．已知函数 ．若函数 的最大值为1，则实数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令 ，由指数函数的单调性以及二次函数的性质得出 .
【详解】 ，令 ，
则 ，当 时， ，解得 .
故选：B
3．函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将 化为 ，利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由 可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时，故 ，当且仅当 时等号成立，
而 恒成立，故 ，
故 的值域为 ，
故选：C
4．函数 的值域为______.
【答案】
【分析】根据函数解析式直接求值域.
【详解】因为 ，所以 ，
所以函数 的值域为 ，
故答案为: .
5．已知函数 的定义域和值域均是[1，a]，则实数a＝_____．
【答案】2
【分析】由二次函数的图象与性质可以判定 在 内是减函数，由值域也是 列方程中，可求出
的值．
【详解】∵二次函数 的图象是抛物线，
开口向上，对称轴是 ，
∴ 在 上是减函数，
又f（x）在 上的值域也是 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，即 ，
解得a＝2.
故答案为：2
6．已知有偶函数 ，奇函数 ，且有 ，则 的值域为____________.
【答案】
【分析】根据条件，利用 与 的奇函数性求出 的解析式，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】因为 为偶函数， 为奇函数，且有 ，
所以 ，两式相加得到 ，
又因为 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的值域为 .
故答案为： .
7．已知函数 ，则函数 的值域为___．
【答案】
【分析】设 ，则 ，此时 ，利用二次函数的性质即可求
解．
【详解】设 ，则 ，此时 ，
当 时，即 ，函数取得最小值，此时最小值为 ；
当 时，即 ，函数取得最大值，此时最大值为 ．
故答案为： .
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学科网（北京）股份有限公司8．函数 的值域是 或 ，则此函数的定义域为______.
【答案】
【分析】利用反函数,可将原函数化为 ,(其中 或 ),求出 的值域即得 的定义域.
【详解】 ，其中 或 ，
当 时, 是减函数,此时 ，
当 时, 是减函数,此时 ，
∴函数 的定义域为 .
故答案为： .
9．已知函数 ，则 的最大值是________．
【答案】
【分析】利用导函数分析单调性求最值即可.
【详解】因为 ，
所以
.
当 时， ，
所以 在 单调递增；
当 时， ，
所以 在 单调递减；
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
故答案为： .
10．已知 ，设 ，则函数 的值域为___________．
【答案】
【分析】确定函数 的定义域，化简可得 的表达式，换元令 ，可得
，结合二次函数的性质即得答案.
【详解】由题意得 ，则 ，即 的定义域为 ，
故 ，
令 ，则 ，
函数 在 上单调递增，故 ，
故函数 的值域为 ，
故答案为：
11．定义一种运算 ，设 （t为常数），且 ，则
使函数 最大值为4的t值是__________．
【答案】
【分析】根据定义，先计算 在 上的最大值，然后利用条件函数 最大值为4，确
定 的取值即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】若 在 上的最大值为4，
所以由 ，解得 或 ，
所以要使函数 最大值为4，
则根据新定义，结合 与 图像可知，
当 ， 时， ，此时解得 ，
当 ， 时， ，此时解得 ，
故 或4，
故答案为： 或4.
1 4
>
12．函数 3 17 的最大值是______；最小值是______.
【答案】 2
【分析】确定函数定义域，然后将 平方，求得其最大值和最小值，即可求得答案.
1 4
>
【详解】由 3 17 可得 ，即函数定义域为 ，
则 ，
当 时， 取最小值0，故 取到最大值4，
1 4
>
则函数 3 17 的最大值为2；
当 时， 取最大值1，故 取到最小值2，
1 4
>
则函数 3 17 的最大值为 ；
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：
13．已知函数 .
(1)若 ，求 在 上的最大值；
(2)若函数在区间 上的最大值为9，最小值为1，求实数a，b的值.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）分 、 两种情况讨论即可；
（2）可得函数在 上单调递增，然后由条件可建立方程组求解.
【详解】（1）当 时，函数化为 ，其图像的对称轴为直线 ，
而 ，所以，
①当 ，即 时，函数在 时取得最大值 ；
②当 ，即 时，函数在 时取得最大值 ，
综上，当 时，最大值为 ；当 时，最大值为 .
（2）因为函数的图像开口向上，且对称轴方程为 ，所以函数在 上单调递增，
所以当 时，y取得最小值 ；当 时，y取得最大值 .
由题意，可得 解得 .
14．求下列函数的值域：
(1) ；
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学科网（北京）股份有限公司(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8) ；
(9) .
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
【分析】（1）利用二次函数性质可求得答案；
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学科网（北京）股份有限公司（2）令 可得 ，结合二次函数性质求得答案；
（3）利用分离常数的方法即可求得答案；
（4）利用换元法再结合二次函数性质即可求得答案；
（5）利用三角换元法，结合三角函数性质可求得答案；
（6）利用分类讨论的方法可得答案；
（7）利用判别式法即可求得答案；
（8）利用分离参数的方法，结合基本不等式即可求得答案；
（9）利用三角函数辅助角公式，结合三角函数性质，即可求得答案,
【详解】（1）因为 ，
故 的值域为 ；
（2）令 ，则 ，
而 ，则 ，
故 ，
即 的值域为 ；
（3） ，
因为 ，故 ，
所以 的值域为 ;
（4）令 ，则 ，
当 时， 取到最大值5，无最小值，
故 的值域为 ；
（5）因为 ，令 ,
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学科网（北京）股份有限公司故 ，
由于 ，故 ，
即函数 的值域为 ；
（6） ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ，
故 的值域为 ；
（7）因为 恒成立，故 ,
则由 可得 ，
当 时， ，适合题意；
当 时，由于 ，故 恒有实数根，
故 ，解得 且 ，
故 的值域为 ；
（8） ，
因为 ，故 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故 ，即函数值域为 ；
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学科网（北京）股份有限公司（9）由 可得 ，
即 ，
由三角函数辅助角公式可得 ，（ 为辅助角），
则 ，解得 ，
故函数 的值域为 .
15．已知函数 的图象在 处的切线方程为 .
(1)求 的值；
(2)求 在区间 上的最值.
【答案】(1)
(2)最大值为8，最小值为
【分析】（1）求导，根据函数 的图象在 处的切线方程为 求解；.
（2）由（1）得到 ，再利用导数法求解.
【详解】（1）解： ，
又函数 的图象在 处的切线方程为 ，
所以 ，
解得 .
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学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）可知 ，
令 ，解得 ，或 .
当 或 时， ；当 时， .
故 的增区间为 和 的减区间为
因为 ，
所以 在 上的最大值为8，最小值为 .
16．（ 2023秋·江苏徐州·高一统考期末）已知函数 .
(1)解关于 的不等式 ；
(2)求函数 的最小值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据对数函数的性质和分式不等式的解法即可求解；（2）根据对数加减法计算和换元法，
结合二次函数的特点和分析参数范围以及单调性即可求解.
【详解】（1）不等式可化为： ,
所以0 ，
即 ,
解得 或 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以不等式的解集为 .
（2）
当 时，
则 .
①若 ，则 在 单调递减，则 的最小值为 .
② ，
当 ，即 时， 在 单调递增，则 的最小值为 .
当 ，即 时， 在 单调递减，在 单调递增，则 的最小值为
.
综上：当 时， ;
当 时， ;
当 时， .
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