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特训02 有理数及其运算压轴题（八大题型归纳）
1．已知a，b，c为非零有理数，则 的值不可能为（ ）
A．0 B．-3 C．-1 D．3
【答案】A
【分析】要对a,b,c所有可能出现的不同情况进行分类讨论，找出符合要求的取值，代入求值．
【解析】解：对a,b,c的取值情况分类讨论如下：
①当a,b,c都是正数时， ，所以和为3；
②当a,b,c都是负数时， =-1，所以和为-3；
③当a,b,c中有两个正数，一个负数时， 中有两个1，一个-1，所以 =1，
④当a,b,c中有一个正数、两个负数时， 中有两个-1，一个+1，所以 =-1，
总之， =±1或±3．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了绝对值，分类讨论时要全面，要做到不重复不遗漏．规律总结：一个正数的绝对
值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．如果 ， ， 是非零有理数，那么 的所有可能的值为（ ）．
A． ， ，0，2，4 B． ， ，2，4
C．0 D． ，0，4
【答案】D
【分析】分类讨论：①a、b、c均是正数，②a、b、c均是负数，③a、b、c中有一个正数，两个负数，
④a、b、c有两个正数，一个负数，化简原式即可去求解．
【解析】①a、b、c均是正数，原式= = ；
②a、b、c均是负数，原式= = ；
③a、b、c中有一个正数，两个负数，原式= = ；
1④a、b、c中有两个正数，一个负数，原式= = ；
故选D．
【点睛】本题考查了绝对值的化简，关键是分情况讨论，然后逐一求解．
3．已知： ，且 ， ，则 共有 个不同的值，若在这些不同的
值中，最小的值为 ，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】根据题意分析出a、b、c为两个负数，一个正数，分三种情况进行讨论，求出m不同的值，看有
多少个，最小的值是多少．
【解析】解：∵ ， ，
∴a、b、c为两个负数，一个正数，
∵ ， ， ，
∴ ，
分三种情况讨论，
当 ， ， 时， ，
当 ， ， 时， ，
当 ， ， 时， ，
∴ ， ，则 ．
故选：A．
【点睛】本题考查绝对值的化简和有理数的正负判断，解题的关键是根据绝对值的化简进行分类讨论．
4．已知： ，且 ， ，则 共有 个不同的值，若在这些不同的
值中，最小的值为 ，则 ．
【答案】7
【分析】根据绝对值的性质进行化简求出x、y的值，然后代入 即可解答．
【解析】解： ， ，
， ， ，
， ， 三个数中有两负一正，
当 ， 为负， 为正数时，
2；
当 ， 为负， 为正数时，
；
当 ， 为负， 为正数时，
；
共有 个不同的值，若在这些不同的 值中，最小的值为 ，
， ，
．
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了绝对值，掌握绝对值的性质以及分类讨论思想是解题的关键．
5．数轴上表示数 的点与原点的距离叫做数 的绝对值，记作 ．数轴上表示数 的点与表示数 的点距
3离记作 ，如 表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离， 表示数轴上表示
数3的点与表示数 的点的距离， 表示数轴上表示数 的点与表示数3的点的距离．
根据以上材料回答一列问题：
(1)若 ，则 ______．若 ，则 _____．
(2)若 ，则 能取到的最小值是______，最大值是______．
(3)当 ，求 的最大值和最小值．
【答案】(1)0； 或0；
(2) ； ；
(3)最大值是15；最小值是 ；
【分析】（1）根据绝对值表示的意义和中点计算方法得出答案；
（2）根据数轴的定义和绝对值的意义进行计算，即可得到答案；
（3）由绝对值意义和数轴的定义，先求出 ， ， ，然后分解求出最大值和最小
值即可
【解析】（1）解：∵ 表示数轴上表示x的点到表示1和 1的距离相等，
∴到1和 1距离相等的点表示的数为： ；
∵ ，
表示数轴上表示x的点到表示 和 1的距离的和等于5，
∴ 或 ；
故答案为：0； 或0；
（2）解：∵ ，
表示数轴上表示x的点到表示 和1的距离的和等于4，
4又∵ ，
∴ 能取到的数在 和1之间，
即 ，
∴ 能取到的最小值是 ，最大值是 ；
故答案为： ； ；
（3）解：根据题意，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴当 ， ， 时， 有最大值，
∴最大值为： ；
∴当 ， ， 时， 有最小值，
∴最小值为： ；
【点睛】本题考查了绝对值意义、最值、数轴、两点间的距离及相反数的知识，综合的知识点较多，难度
一般，注意理解绝对值的几何意义是关键．
6．【问题提出】 的最小值是多少？
【阅读理解】
为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手． 的几何意义是 这个数在数轴上对应的点到原点的距
离，那么 可以看作 这个数在数轴上对应的点到1的距离； 就可以看作 这个数在数轴上
对应的点到1和2两个点的距离之和，下面我们结合数轴研究 的最小值．
我们先看 表示的点可能的3种情况，如图所示：
5如图①， 在1的左边，从图中很明显可以看出 到1和2的距离之和大于1．
如图②， 在1，2之间（包括在1，2上），可以看出 到1和2的距离之和等于1．
如图③， 在2的右边，从图中很明显可以看出 到1和2的距离之和大于1.因此，我们可以得出结论：当
在1，2之间（包括在1，2上）时， 有最小值1．
【问题解决】
(1) 的几何意义是 ，请你结合数轴研究： 的最小值是 ；
(2)请你结合图④探究 的最小值是 ，由此可以得出a为 ；
(3) 的最小值是 ；
(4) 的最小值为 ；
(5)如图⑤，已知a使到-1，2的距离之和小于4，请直接写出a的取值范围是 ．
【答案】(1)a在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和；3
(2)2；2
(3)6
(4)1021110
(5)
6【分析】（1）由 的几何意义以及 有最小值1即可直接求得结果；
（2）当a取中间值即a＝2时，求得最小值；
（3）由题意可得出，取中间数即a=3时，绝对值最小；
（4）由题意可得出，取中间值a＝ 1011时，求得最小值；
（5）由已知得： ，解出绝对值不等式即为a的取值范围．
【解析】（1）由题可知， 的几何意义是a这个数在数轴上对应点到4和7两个点的距离之和
当a在4和7之间时（包括4，7上），a到4和7的距离之和等于3，此时 取得最小值是3
故答案为：a在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和；3
（2）当a取中间数2时，绝对值最小
的最小值是1＋0＋1＝2
故答案为：2；2
（3）当a取最中间数时，绝对值最小
的最小值是 ；
（4）当a取中间数1011时，绝对值最小，
的最小值为：
故答案为：1021110
（5） a使它到－1，2的距离之和小于4
①当 时，则有
解得：
；
②当 时，则有
7③当 时，则有
解得：
综上，a的取值范围为：
故答案为：
【点睛】此题主要考查了绝对值的性质，解这类问题的基本步骤是：求零点、分区间、定性质、去符号，
即令各绝对值代数式为0，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求
值即可．
7．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多
重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离 ，若 ，
则可化简为 ．请你利用数轴解决以下问题：
(1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数－2的点的距离是3个单位长
度，则m的值为 ______；
(2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，
则 ______；
(3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若
，则 等于 ______．
(4)若 ，则式子 的最小值为
_______．
【答案】(1)1或﹣5
(2)7
(3)4
(4)54
8【分析】（1）由题意可知， ，再接方程即可；
（2）由点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，得到 表示点P到2和﹣5的距离和，由
，即可得到答案；
（3）由题意得到 ， ，则
，即可得到答案；
（4）由题意可得 ，根据绝对
值的几何意义，相当于找一点，使得这个点到，1，﹣4，9，﹣16，25距离和最小，即可得到答案．
【解析】（1）解：∵点P与表示有理数﹣2的点的距离是3个单位长度，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 或 ，
故答案为：1或﹣5；
（2）∵点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，
∴ 表示点P到2和﹣5的距离和，
∵ ，
∴ ，
故答案为：7；
（3）∵ ， ，
∴ ，
故答案为：4
9（4）∵ ，
∴
，
根据绝对值的几何意义，相当于找一点，使得这个点到，1，﹣4，9，﹣16，25距离和最小，
只能取 ，
当 时， 有最小值，
此时原式＝
＝54，
故答案为：54．
【点睛】此题考查了数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的意义是解题的关键．
8．如图，在数轴上点 表示 ，现将点 沿 轴做如下移动：第一次点 向左移动 个单位长度到达点 ，
第二次将点 向右移动 个单位长度到达点 ，第三次将点 向左移动 个单位长度到达点 ，按照这种
移动规律移动下去，则线段 的长度是 ．
【答案】42．
【分析】根据题意分别找出序号为奇数和偶数的点所表示的数的规律，从而得出A13和A14所表示的数，
从而求出其长度．
【解析】根据观察可知，奇数点在A点的左侧，且根据A=-2=1+(-3)，A=-5=1+(-3)×2，
1 3
故A13=1+(-3)×7=-20；
偶数点在A点的右侧，且根据A2=4=1+3，A4= -5+12=7=1+3×2，
故A14=1+7×3=22；
故A13和A14的长度为|22-（-20）|=42．
10【点睛】本题考查数轴、绝对值和有理数的加减法，本题解题的关键在于①分奇数、偶数点得出各点之间
数的规律（奇数点： ，偶数点： ）；②在数轴上两点之间的距离等于它们所表示数的
差的绝对值．
9．如图，在数轴上点A表示的有理数为 ，点B表示的有理数为12，点P从点A出发，以每秒3个单位
长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒3个单位长度的速度
运动至点A停止运动，设运动时间为t（单位：秒）．
(1)当 时，点P表示的有理数是______；
(2)当点P与点B重合时， ______；
(3)①在点P由点A到点B的运动过程中，点P与点A的距离是______，点P表示的有理数是______．
（用含t的代数式表示）；
②在点P由点B到点A的运动过程中，点P与点A的距离是______．（用含t的代数式表示）
(4)当t的值为多少时， ．
【答案】(1)
(2)
(3)① ， ；
(4) 或10
【分析】（1）当 时，利用距离 速度 时间，计算出点 运动的距离，点 的坐标加上点 运动的距
离，即可得到答案；
（2）当点 与点 重合时，计算出点 运动的距离，根据时间 距离 速度，即可得到答案；
（3）①在点 由点 到点 的运动过程中，点 与点 的距离为：速度 时间，点 表示的有理数是：点
的坐标 点 运动的距离，即可得到答案，②在点 由点 到点 的运动过程中，点 与点 的距离是：
点 与点 两点之间的距离 （点 运动的距离 点 与点 两点之间的距离），即可得到答案，
（4）分两种情况讨论：①点 由点 向点 运动时；②点 由点 向点 运动时；根据 分别列出
方程，求解即可．
11【解析】（1）解：当 时，
点 移动的距离为： ，
此时点 表示的有理数为： ，
即 时点 表示的有理数为 ．
故答案为： ；
（2）当点 与点 重合时，点 运动的距离为： ，
运动的时间 （秒），
即点 与点 重合时 的值为 ．
故答案为： ；
（3）①在点 由点 到点 的运动过程中，点 与点 的距离为： ，点 表示的有理数是： ．
故答案为： ， ；
②在点 由点 到点 的运动过程中，点 与点 的距离是： ．
故答案为： ；
（4）分两种情况：
①如果点 由点 向点 运动，即 时，
，
；
②如果点 由点 向点 运动，即 时，
，
．
故当 或10时， ．
故答案为： 或10．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是：正确掌握速度，时间，距离公式，数轴
的定义，正确找出等量关系，列出一元一次方程．
10．【背景知识】
12数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规
律：数轴上A点、B点表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离 ，若 ，则可简化为
；线段 的中点M表示的数为 ．
【问题情境】
已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为 ，8，点A以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动，同
时点B以每秒2个单位向左匀速运动，设运动时间为t秒（ ）．
【综合运用】
(1)运动开始前，A，B两点的距离为______；线段 的中点M所表示的数为______．
(2)点A运动t秒后所在位置的点表示的数为______；点B运动t秒后所在位置的点表示的数为______；
（用含t的式子表示）
(3)它们按上述方式运动，A，B两点经过多少秒会相距4个单位长度？
(4)若A，B按上述方式继续运动下去，线段 的中点M能否与原点重合？若能，求出运动时间，并直接
写出中点M的运动方向和运动速度；若不能，请说明理由．（当A，B两点重合，则中点M也与A，B两
点重合）．
【答案】(1)18；
(2) ；
(3) 秒或 秒
(4)能，运动时间为2秒，运动方向向右，运动速度为每秒 个单位长度
【分析】（1）根据数轴的基本概念，由题意可得 与 两点之间的距离以及线段 的中点表示的数；
（2）由题意可得，点 运动 秒后所在位置的点表示的数等于运动开始前点 表示的数加上点 运动的路
程，即 ，点 运动 秒后所在位置的点表示的数等于运动开始前点 表示的数减去点 运动的路程，
即 ．
（3）设它们按上述方式运动， 、 两点经过 秒会相距4个单位长度，根据题意列方程求解即可．
（4）设 ， 按上述方式继续运动秒线段的中点能与原点重合，根据题意列方程，解得 值，再由运动开
始前点 的位置及 秒后所到的位置得出点 的运动方向向右及速度．
13【解析】（1）解： 、 两点的距离为： ；线段 的中点 所表示的数为 ．
故答案为：18； ；
（2）由题意可得点 运动 秒后所在位置的点表示的数为 ；点 运动 秒后所在位置的点表示的数
为 ；
故答案为： ； ；
（3）设它们按上述方式运动， 、 两点经过 秒会相距4个单位长度，
当点 在点 左侧时，
依题意列式，得 ，
解得 ；
当点 在点 右侧时，
，
解得 ，
答：它们按上述方式运动， 、 两点经过 秒或 秒会相距4个单位长度．
（4）能．设 ， 按上述方式继续运动 秒线段的中点 能与原点重合，
根据题意列方程，可得 ，
解得 ．
运动开始前 点的位置是 ，运动2秒后到达原点，
由此得 点的运动方向向右，其速度为： 个单位长度．
答：运动时间为2秒，中点 点的运动方向向右，其运动速度为每秒 个单位长度．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程在数轴上的动点问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列式是
解题的关键．
11．已知关于x的方程 是一元一次方程，如图，数轴上有A，B，C三个点对应的数分别
14为a，b，c，且a，c满足 ．
(1)直接写出a，b，c的值；
(2)若数轴上有两个动点P，Q分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点P速度为3单位长
度/秒，点Q速度为1单位长度/秒，若运动时间为t秒，运动过程中，是否存在线段 的中点M到点
的中点N距离为3，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，另外两个动点E，F分别随着P，Q一起运动，且始终保持线段 ，线段
（点E在P的左边，点F在Q的左边），当点P运动到点C时，线段 立即以相同的速度返回，当点P
再次运动到点A时，线段 和 立即同时停止运动，在整个运动过程中，是否存在使两条线段重叠部分
为 的一半，若存在，请直接写出t的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ， ，
(2)存在； 或
(3)存在； ， ， ，8
【分析】（1）根据一元一次方程的定义可得 ，即可求出b，根据绝对值、平方的非负性即可求
解a、c，问题得解；
（2）根据运动特点可得 ， ，再根据M为 的中点，N为 中点，可得 ，
，依据 ，可得方程 ，解方程即可求解；
（3）分类讨论： 与 第一次重合中，由P到C的时间为7段，即 时，表示出点 ，
15， ， ．①点P表示的数比点F表示的数大1，即 ，②点
Q表示的数比点E表示的数大1，即 ； 与 第二次重合中，P到C返回时，即
，同理表示出 ， ，③点Q表示的数比E表示的数大1时，即
，④点P表示的数比F表示的数大1时，即 ，解方程即可求解．
【解析】（1）∵ 是一元一次方程，
∴ ，解得： ，
∵ ，
又∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
即 ， ， ；
（2）∵ ， ， ，
∴根据运动特点可得 ， ，
∵M为 的中点，N为 中点，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
16∴ ，
∴ 或 ，
∴ 或 ；
（3）存在． 或者 或者 或者8．理由如下：
∵ ，
∴ ，
与 第一次重合中，由P到C的时间为7段，即 时，
点 ， ， ， ．
①点P表示的数比点F表示的数大1，
即 ，
解得： ．
②点Q表示的数比点E表示的数大1，
即 ，
解得： ．
与 第二次重合中，P到C返回时，即
，
③点Q表示的数比E表示的数大1时，
即 ，
解得： ．
④点P表示的数比F表示的数大1时，
即 ，
解得： ．
17故： ， ， ，8．
【点睛】本题考查数轴上的动点问题，两点之间的距离，一次方程的应用，利用平方根解方程等知识，解
题的关键是用含t的代数式表示点运动后所表示的数．
12．如图所示，数轴上有 ， ， ， 四个点，点 表示的数是 ，点 表示的数是 ，且满足
．已知 （单位长度）， （单位长度）．
(1)求点 和点 分别表示的数；
(2)若线段 以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段 以2个单位长度/秒的速度向左匀速运
动，设运动时间为 秒，当 （单位长度）时，求 的值；
(3)若动点 从表示数 的点开始以每秒5个单位长度的速度向右运动，且满足 的值不随 点运
动时间 的变化而改变，求 的值．
【答案】(1)点 表示的数是 ，点 表示的数是
(2) 或4
(3)
【分析】（1）根据绝对值和偶次方的非负性得出 的值，然后根据 （单位长度）， （单位
长度）
进而得出答案；
（2）根据题意可得点 表示的数是 ，点 表示的数是 ，从而得出
，求解即可；
（3）根据题意点 表示的数是 ，则 ，整理化
解，然后根据 的值不随 点运动时间 的变化而改变可求得 的值．
【解析】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴点 表示的数是 ，点 表示的数是18，
18∵ （单位长度）， （单位长度），
∴点 表示的数是 ，点 表示的数是 ；
（2）由题意得，点 表示的数是 ，点 表示的数是 ，
∴ ，
解得 或4；
（3）由题意得，点 表示的数是 ，
∴
，
∵ 的值不随 点运动时间 的变化而改变，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了绝对值的偶次方的非负性，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，运用方程的
思想解题是本题的关键．
13．如图，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为 ．我们规定：
的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即 ．
请用上面的知识解答下面的问题：
如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，满足 ， ，
(1) ， ， ；
(2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数______表示的点重合；
(3)点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以
每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为 ，
点A与点B之间的距离表示为 ．则 ， ， ．（用含t的代数式表示）
(4)请问， 的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值；
【答案】(1) ，1，8
(2)5
19(3) ， ，
(4)不变，15
【分析】（1）根据非负数的性质可得a，c的值，即可求解；
（2）先求出对称点，即可得出结果；
（3）先得出A，B，C表示的数，再根据两点间距离的表示方法计算即可；
（4）将（3）中结果代入 中，去括号合并即可判断．
【解析】（1）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
故答案为： ，1，8；
（2） ，
∴对称点为3，
∴ ，
即点B与5表示的点重合；
（3）由题意可得：
t秒后，点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，点C表示的数为 ，
∴ ， ， ，
故答案为： ， ， ；
（4）由题意可得：
即 的值不随着时间t的变化而变化，其值为15．
【点睛】此题考查了数轴，整式的加减，绝对值，掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键．
14．已知：b是最小的正整数，且a、b、c满足 ，请回答问题．
20(1)请直接写出a、b、c的值． ______， ______， ______；
(2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时即（
时），请化简式子： （请写出化简过程）；
(3)在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，
同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度也向左运动，运动时间为t，是否存在
t，使A、B、C中一点是其它两点的中点，若存在，求t的值，若不存在，说明理由．
【答案】(1) ，1，5
(2)见解析
(3)存在，t的值是 或1或
【分析】（1）根据b是最小的正整数，以及偶次方和绝对值的非负性进行求解即可；
（2）分 ， 两种情况进行讨论，化简即可；
（3）分A是 的中点，B是 中点，C是 中点三种情况，进行讨论求解．
【解析】（1）解：∵b是最小的正整数，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
故答案为： ，1，5；
（2）当 时，
；
当 时，
；
21（3）存在t，使A、B、C中一点是其它两点的中点，理由如下：
根据题意，运动后A表示的数是 ，B表示的数是 ，C表示的数是 ，
①A是 的中点时， ，解得 ，
②B是 中点时， ，解得 ，
③C是 中点时， ，解得 ，
综上所述，t的值是 或1或 ．
【点睛】本题考查整式的加减，一元一次方程的应用．熟练掌握绝对值的意义，以及数轴上两点间的距离
公式，是解题的关键．
15．如图所示，在数轴上点 表示的数分别为 ，1，6，点 与点 之间的距离表示为 ，点
与点 之间的距离表示为 ，点 与点 之间的距离表示为 ．
(1)则 ， ， ；
(2)点 开始在数轴上运动，若点 以每秒 个单位长度的速度向左运动，同时，点 、点 分别以
每秒2个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问：
运动 秒后，点 与点 之间的距离 为多少？（用含 的代数式表示）
的值是否随着运动时间 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值；
(3)由第（1）小题可以发现， ．若点 以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点 和
点 分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间 的变化，
之间是否存在类似于（1）的数量关系？请说明理由．
【答案】(1)3，5，8
(2) ； 不变，值为2
(3)存在，见解析
【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求解；
（2） 由点 以每秒 个单位长度的速度向左运动，点 以每秒2个单位长度的速度向右运动，得到运动
22秒后，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，再根据两点间的距离公式即可得到答案； 由点
以每秒5单位长度的速度向右运动，得到运动 秒后，点 表示的数为 ，从而得到 ，再
计算出 ，即可得到答案；
（3）分别表示出 的长度，然后分情况讨论得出之间的关系，即可得到答案．
【解析】（1）解： 在数轴上点 表示的数分别为 ，1，6，
， ， ，
故答案为：3，5，8；
（2）解： 点 以每秒 个单位长度的速度向左运动，点 以每秒2个单位长度的速度向右运动，
运动 秒后，点 表示的数为： ，点 表示的数为： ，
点 与点 之间的距离为： ；
点 以每秒5单位长度的速度向右运动，
运动 秒后，点 表示的数为： ，
，
，
的值不会随着时间 的变化而改变；
（3）解： 点 以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点 和点 分别以每秒1个单位长度和每秒
2个单位长度的速度向右运动，
运动 秒后，点 表示的数为： ，点 表示的数为： ，点 表示的数为： ，
， ， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
随着运动时间 的变化， 之间存在类似于（1）的数量关系．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上的两点之间的距离
的求法，采用分类讨论的思想解题，是解题此题的关键．
16．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如 ，
23等．类比有理数的乘方，我们把 记作 ，读作“3的圈3次方”，
记作 ，读作“ 的圈4次方”．一般地，把 记作 ，
读作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果： ______， ______．
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数
的除方运算如何转化为乘方运算呢？（此处不用作答）
（2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方幂的形式
______； ______； ______．
（3）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成乘方幂的形式等于______．
（4）比较： ______ （填“ ”“ ”或“ ”）
【灵活应用】
（5）算一算： ．
【答案】（1） ，4；（2） ， ， ；（3） ；（4） ；（5）
【分析】（1）根据题目给出的定义，进行计算即可；
（2）将有理数除法转化为乘法，再写成幂的形式即可；
（3）从（2）中总结归纳相关规律即可；
（4）将两数变形，求出具体值，再比较大小即可；
（5）先将除方转化为乘方，再运用有理数混合运算的方法进行计算即可．
【解析】解：（1） ，
24，
故答案为： ，4；
（2） ；
；
故答案为： ， ， ；
（3）a的圈n次方为： ；
（4） ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（5）
25．
【点睛】本题考查了有理数的除法运算，乘方运算，以及有理数混合运算，正确理解相关运算法则是解题
的关键．
17．我们已知道： ，
事实上： （ 为正整数）成立，
故有：当 时， 成立．
由以上结论填写下列代数式结果：
(1) __________．
(2) ___________．
(3) __ ___．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）添加一项1后，根据题干中的结论计算，即可得到结果．
（2）提取 后，根据题干中的结论计算，即可得到结果．
（3）多次使用题干中的结论计算，即可得到结果．
【解析】（1）根据已知有：当 时， 成立
所以
所以
所以
故答案为：
26（2）因为
故答案为：
（3）根据已知有：当 时， 成立
所以 ； ； ；
所以
又因为
所以上式
故答案为：
【点睛】本题考查了观察、类比、数字累规律探索的知识；解题关键是熟练掌握观察、类比、数字类规律
探索的方法，结合运算法则完成求解．
18．现有 5 张卡片写着不同的数字，利用所学过的加、减、乘、除、乘方运算按要求解答下列问题（每
张卡片上的数字只能用一次）．
27(1)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字的和最小，则和的最小值为_________．
(2)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字的差最大，则差的最大值为________．
(3)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字相除的商最大，则商的最大值为_________．
(4)从中取出 3 张卡片，使这 3 张卡片上数字的乘积最大，乘积的最大值为__________．
(5)从中取出 4 张卡片，使这 4 张卡片上的数字运算结果为 24．写出两个不同的等式，分别为 ， ．
【答案】(1)-9
(2)11
(3)6
(4)90
(5) ，
【解析】（1）解：这五个数中，最小的两个数是-3和-6，
所以要使这 2 张卡片上数字的和最小，则和的最小值为 ．
故答案为：-9；
（2）解：这五个数中，最小的两个数是-6，最大的数是5，
所以要使这 2 张卡片上数字的差最大，则差的最大值为 ．
故答案为：11；
（3）解：取出-6和-1，相除得 ．
所以商的最大值为6；
故答案为：6
（4）解：取出-6，-3,5，则乘积的最大值为 ．
故答案为：90；
（5）解： ， ．
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了有理数的加减乘除以及混合运算，熟知有理数的运算法则是解题关键．
2819．观察式子 ， ， ，…
(1)猜想并写出： ＝ ；
(2)填空： ＝ ；
(3)尝试解决： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据所给的等式特点，直接写出即可；
（2）通过观察所给的等式，将所求的式子变形为 ，再求和即可；
（3）通过观察所给的等式，将所求的式子变形为 ，再求和即可．
【解析】（1）解： ＝ ，
故答案为： ；
（2）解：
，
（3）解：
29．
【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式运算的一般规律是解题的关键．
20．曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称
得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题
转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是
一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就
是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法
就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正
负数的乘法了．
下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用：
数学问题，计算 (其中 是正整数，且 ，)．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方
形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算 ．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为 ；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为 ；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；
……
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为
，最后空白部分的面积是 ．
30根据第n次分割图可得等式： ．
探究二：计算 ．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为 ；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为 ；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……，
……
第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为 ，
最后空白部分的面积是 ．
根据第n次分制图可得等式： ，
两边同除2，得 ，
探究三：计算 ．
(仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程)
31解决问题．计算 ．
(在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)．
(1)根据第n次分割图可得等式：___________．
(2)所以， ___________．
(3)拓广应用：计算 ___________．
【答案】探究三： 图见见解析；
解决问题：图见解析；（1） ；（2） ；（3）
【分析】探究三：根据探究二的分割方法依次进行分割，然后表示出阴影部分的面积，再除以3即可；
解决问题：(1)根据第n次分割图得出等式
(2)按照探究二的分割方法依次分割，然后表示出阴影部分的面积及，再除以 即可得解；
(3)拓广应用：先把每一个分数分成1减去一个分数，然后应用公式进行计算即可得解．
【解析】探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分，
32其中阴影部分的面积为 ；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，
阴影部分的面积之和为 ；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，
…，
第 次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，
所有阴影部分的面积之和为： ，
最后的空白部分的面积是 ，
根据第 次分割图可得等式： ，
两边同除以3，得 ；
解决问题：
（1）
故答案为：
（2） ，
故答案为： ；
（3）拓广应用：
33．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律，读懂题目信息，理解分割的方法以及求和的方法
是解题的关键．
21．【知识背景】在学习计算框图时，可以用“ ”表示数据输入、输出框；用“ ”表
示数据处理和运算框；用“ ”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）
【尝试解决】
（1）如图1，当输入数 时，输出数 ______；
如图2，第①个“ ”内，应填______；第②个“ ”内，应填______；
（2）如图3，当输入数 时，请计算出数y的值；
【实际应用】
（3）为鼓励节约用水，某市决定对家庭用水实行“阶梯价”，当每月用水量不超过10吨时（含10吨），
34以3元/吨的价格收费；当每月用水量超过10吨时，超过部分以4元/吨的价格收费．如图4是小聪设计的
一个家庭水费“计算框图”，请把计算框图中①②③方框补充完整．
第①个“ ”内，应填____________；第②个“ ”内，应填____________；第③个“
”内，应填____________．
【答案】（1）-7；×5，-3；（2）-51；（3）×3，×4，+30．
【分析】（1）把 代入图1中的程序中计算确定出输出数y即可；
根据输出的代数式确定出程序中应填的运算即可；
（2）把 代入图3中的程序中计算确定出输出数y即可；
（3）根据题意确定出所求计算框图即可．
【解析】解：（1）把 代入图1中的程序中，得：(-1)×2-5=-7；
根据题意，得：第①个“ ”内，应填×5，第②个“ ”内，应填-3；
（2）把 代入图3中的程序中，得：(-2)×2-5=-9，
∵-9>-30，
∴把 代入图3中的程序中，得：(-9) ×2-5=-23，
∵-23>-30，
∴把 代入图3中的程序中，得：(-23) ×2-5=-51，
∵-51<-30，
∴y=-51；
（3）由题意，得第①个“ ”内，应填×3，第②个“ ”内，应填×4，第③个“
”内，应填+30．
【点睛】本题考查了程序图与有理数的混合运算．熟练掌握运算法则是解题的关键．
22．在有理数范围内，我们定义三个数之间的新运算“ ”法则： ，例如：
．在 这6个数中，任意取三个数作为 的值，则
的最大值为 ．
35【答案】
【分析】根据新定义确定出所求即可．
【解析】解：当a+b+c≥0时，
，
此时最大值为2× = ；
当a+b+c＜0时，
，
此时最大值为 ，
∴ 的最大值为 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算与有理数的大小比较，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．对于正整数 ，定义 ，其中 表示 的首位数字、末位数字的平方和．例如：
， ．规定 ， （ 为正整数），例如，
， ．按此定义，则由 ，
．
【答案】 16 58
【分析】根据题意分别求出F （4）到F （4），通过计算发现，F （4）＝F （4），只需确定
1 8 1 8
即可求解．
【解析】F （4）＝16，F （4）＝F（16）＝12+62=37，
1 2
F （4）＝F（37）＝32+72=58，F （4）＝F（58）＝52+82=89，
3 4
F （4）＝F（89）＝82+92=145，F （4）＝F（145）＝12+52=26，
5 6
F （4）＝F（26）＝22+62=40，F （4）＝F（40）＝42+0=16，…
7 8
通过计算发现，F （4）＝F （4），
1 8
36∵2019÷7＝288…3，
∴F （4）＝F （4）＝58；
2019 3
故答案为16，58．
【点睛】本题考查有理数的乘方；能准确理解定义，多计算一些数字，进而确定循环规律是解题关键．
24．定义：对于任意的有理数a，b ，
(1)探究性质：
①例： _________； _________； _________； ________；
②可以再举几个例子试试，你有什么发现吗？请用含a，b的式子表示出 的一般规律；
(2)性质应用：
①运用发现的规律求 的值；
②将 ， ， ， ……，7，8这20个连续的整数，任意分为10组，每组两个数，现将每组的两个
数中任一数值记作a，另一个记作b，求出 ，10组数代入后可求得10个 的值，则这10个值的和
的最小值是 ．
【答案】(1)① ， ， ， ；②见解析，一般规律为
(2)① ；②
【分析】（1）①根据定义 即可求解；②举例 ，通过与以
上几个比较，可以发现该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值；
（2）①直接利用规律进行求解；②不妨设 ，则代数式中绝对值符号可直接去掉，代数式等于 ，由此
即可解决问题．
【解析】（1）解：① ，
，
，
，
37，
故答案为： ， ， ， ；
②例如： ，
，
通过以上例子发现，该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值，
用a，b的式子表示出一般规律为 ；
（2）解：①
；
②不妨设 ，则代数式中绝对值符号可直接去掉，
代数式等于 ，
为偶数，
最小值 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了绝对值、有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握新定义，把所给代数式化简，找
到新定义的运算规律，利用规律进行求解．
25．小岳同学仿造二进制，写出了一种数的表示方法：一个n位数 ，其中 的值只能取
0或1，他把这样的数叫做本原数．比如当 时，2位本原数 可以表示00，01，10，11共4个数．
然后小岳设计了一种针对两个本原数的运算，如果 ，那么定义：
（1）计算 的值为：_________；
38（2）若 ，且 ，求本原数t的值；
（3）①若 为k个互不相同的4位本原数，满足对任意 ，当 时， 为奇数；当
时， 为偶数，直接写出k的最大值：________；
②若 为k个互不相同的2019位本原数，满足对任意 ，当 时， ，直接写出k的
最大值：_______
【答案】（1）1；（2）101或111；（3）①4；②2020
【分析】（1）按照M(s，t)的定义计算即可；
（2）设 ，则易得 ，从而可得 ，且 可取0或1，从而可得本原数t；
（3）①当i=j时，设 ， 为奇数，则4位本原数是由3个0和1
个1组成即s=1000，s=0100，s=0010，s=0001共四个，记为第一组，或由3个1和1个0组成，即
1 2 3 4
s=1110，s=1101，s=1011，s=0111共四个，记为第二组；当i≠j时，计算两组间的 值即可判断k
5 6 7 8
的最大值为；
②当 时，对任意 ，考虑相同数位上的数，只有两种可能：相同或不相同，由 的计算式知，
此相同数位上两数和与两数差的绝对值的差为0，从而相同数位上的数只能是0与1或全为0，从而可得k
的最大值．
【解析】（1）
故答案为：1；
（2）设 ，则由
得：
即： ，
∴ ，且 可取0或1
39∴t=101或t=111；
（3）①当i=j时，设 ， 为奇数，则4位本原数是由3个0和1
个1组成即s=1000，s=0100，s=0010，s=0001共四个，记为第一组；或由3个1和1个0组成，即
1 2 3 4
s=1110，s=1101，s=1011，s=0111共四个，记为第二组；当i≠j时，每组内的两个满足 为偶数，
5 6 7 8
即k≥4；另当i+j=9时， 也有 为偶数，对每组的4个数，加上另一组的任意一个数，只要i+j≠9，
均有 为奇数，从而不满足题意，故k的最大值为4；
②相同数位上的数只有两种可能：同为0或不相同；同为１；当同为0或不相同时，由 的计算式
知，此相同数位上两数和与两数差的绝对值的差为0；当同为１时，由 的计算式知，此相同数位
上两数和与两数差的绝对值的差为2，根据题意知，此种情况是不可能，故相同数位上的数只能是0与1
或全为0；当 时，对任意 ， ，则 中只能是1个1，其余全为0，或全为0，对于前者共
有2019个数，对于后者只有一个数，故k的最大值为2020．
故答案为：2020．
【点睛】本题考查了新定义问题，掌握题目中新定义的含义并正确计算是解题的关键．
26．大数据时代出现了滴滴打车服务，二孩政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关
系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车
出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘
坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有（ ）
A．18种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B
【分析】根据题意，分2种情况讨论：①A户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的家
庭，②A户家庭的孪生姐妹不在甲车上，每种情况下分析乘坐人员的情况，可得其乘坐方式的数目．
【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：
①A户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的家庭，
可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个小孩中任选一个，来乘坐甲车，
40有 种乘坐方式；
②A户家庭的孪生姐妹不在甲车上，
需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个小孩都在甲车上，
对于剩余的2个家庭，从每个家庭的2个小孩中任选一个，来乘坐甲车，
有 种乘坐方式；
则共有 种乘坐方式；
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数乘法的应用，关键是依据题意，分析“乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同
一个家庭”的可能情况．
27．如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝
试将数字 这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．
部分数字已填入圆圈中，则 的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】B
【分析】共有 个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这
个数共加了两遍后和为 ，所以每条边的和为 ，然后利用这个原理将剩余的数填入圆圈中，即可得到结
果．
【解析】解：因为共有 个数，每一条边上 个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这
个数共加了两遍后和为 ，所以每条边的和为 ，
所以 这一行最后一个圆圈数字应填 ，
则 所在的横着的一行最后一个圈为 ，
这一行第二个圆圈数字应填 ，
目前数字就剩下 ，
这一行剩下的两个圆圈数字和应为 ，则取 中的 ，
41这一行剩下的两个圆圈数字和应为 ，则取 中的 ，
这两行交汇处是最下面那个圆圈，应填 ，
所以 这一行第三个圆圈数字应为 ，
则 所在的横行，剩余3个圆圈里分别为 ，要使和为2，则 为
故选：
【点睛】本题主要考查了幻方的应用，找到每一行的规律并正确进行填数是解题的关键．
28．现在有三个仓库 、 、 ，分别存有 吨、 吨、 吨某原材料；要将这种原材料运往三个加工厂
、 、 ，每个加工厂都需要 吨原材料．从每个仓库运送 吨材料到每个加工厂的成本如下表所示
（单位：元 吨）：
（ ）
（
）
（
）
现在要让每个仓库清仓、每个加工厂都得到足够的材料，
（1）如果从 运 吨到 、运 吨到 ，从 运 吨到 ，那么从 需要运 吨到 ；
（2）考虑各种方案，运费最低为 元．
【答案】
【分析】（1）根据题意，结合表格，根据有理数的运算法则进行计算即可求解；
（2）根据表格数据，寻求最优解即可求解．
【解析】解：（1）如果从 运 吨到 、运 吨到 ，从 运 吨到 ，那么从 需要运
吨到 ，
故答案为： ；
（2）解：运费如下：
42（ ）
（
）
（
）
运输方案一：
（ ） 7
（
10 2
）
（
3 8
）
运费为：
运输方案二：
（ ） 7
（
2 10
）
（
3 8
）
运费为：
运输方案三：
（ ） 7
（
3 0 9
）
（
0 10 1
）
运费为：
43故答案为：40．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，找到最优解是解题的关键．
44
