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特训01 特殊平行四边形压轴题（五大题型归纳）
题型1：存在性问题
1．如图，平面直角坐标系中直线 ： 分别与 轴， 轴交于点 和点 ，过点 的直线
与 轴交于点 ， ．
(1)求直线 的解析式；
(2)若 为线段 上一点， 为线段 上一点，当 时，求 的最小值，并求出此
时点 的坐标；
(3)在（2）的结论下，将 沿射线 方向平移得 ，使 落在直线 上，若 为直线 上
一点， 为平面内一点，当以点 为顶点的四边形为菱形时，请直接写出点 的坐标．
2．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将 绕
点O顺时针旋转 得 （点A与点C对应，点B与点D对应）．
1(1)求直线 的解析式；
(2)点E为线段 上一点，过点E作 轴交直线 于点F，作 轴交直线 于点G，当
时，求点E的坐标；
(3)如图2，若点M为线段 的中点，点N为直线 上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P
为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
3．如图，直角三角形 在平面直角坐标系中，直角边 在y轴上， 的长分别是一元二次方程
的两个根， A，且 ，P为 上一点，且 ．
(1)求点A的坐标；
(2)求过点P的反比例函数解析式；
(3)点M在第二象限内，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，请
2直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图1，直线 与x轴，y轴分别交于A，B两点， 交于点C，直线 与y轴交
于点G．平移线段 ，点B，C的对应点 、 分别在直线 和y轴上，连接 ．
(1)若C点横坐标为4，求k的值；
(2)若 ，求点C的坐标；
(3)如图2，作点E关于直线 的对称点F，连接 ，是否存在四边形 是平行四边形的情况，若存
在；求出k的值；若不存在，请说明理由．
5．在平面直角坐标系中，已知矩形 ，点 ，现将矩形 绕点 逆时针旋转
得到矩形 ，点 ， ， 的对应点分别为点 ， ， ．
3(1)如图1，当点 恰好落在边 上时，则 的长为______(请直接写出答案)；
(2)如图2， 所在直线与 、 分别交于点 、 ，且 ．求线段 的长度．
(3)如图3，设点 为边 的中点，连接 ， ， ，在矩形 旋转过程中， 的面积是否存
在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
题型2：动态问题
6．点 是线段 上的动点，分别以 ， 为边在 的同侧作正方形 与正方形 ．
(1)如图1，连接 ， ，判断 与 的位置关系和数量关系，并证明；
(2)如图2，将正方形 绕点 逆时针旋转，使得点 落在线段 上， 交 于点 且点 恰好是
的中点，连接 ， ，若 ， ，求 ；
(3)如图3，将正方形 绕点 旋转至如图的位置，且 ，连接 ， 交于点 ，连接 ，请
直接写出 ， ， 之间的数量关系．
7．在矩形 中， ， ， 、 是对角线 上的两个动点，分别从 、 同时出发相向而
行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为 秒，其中 ．
4(1)若 ， 分别是 ， 中点，则四边形 一定是怎样的四边形（ 、 相遇时除外）？
答：________；（直接填空，不用说明）
(2)在（1）条件下，若四边形 为矩形，求 的值；
(3)在（1）条件下，若 向 点运动， 向 点运动，且与点 ， 以相同的速度同时出发，若四边形
为菱形，求 的值．
8．已知，四边形 是正方形， 绕点 旋转 ， ， ，连接 、
．
(1)如图1，求证： ：
(2)直线 与 相交于点G．
①如图2， 于点 ， 于点 ，求证：四边形 是正方形；
②如图3，连接 ，若 ， ，直接写出在 旋转的过程中，线段 长度的最小值．
9．综合与实践
定义：将宽与长的比值为 （ 为正整数）的矩形称为 阶奇妙矩形．
（1）概念理解：
当 时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（ ）与长
的比值是_________．
（2）操作验证：
5用正方形纸片 进行如下操作（如图（2））：
第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为 ，连接 ；
第二步：折叠纸片使 落在 上，点 的对应点为点 ，展开，折痕为 ；
第三步：过点 折叠纸片，使得点 分别落在边 上，展开，折痕为 ．
试说明：矩形 是1阶奇妙矩形．
（3）方法迁移：
用正方形纸片 折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．
（4）探究发现：
小明操作发现任一个 阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点 为正方形 边
上（不与端点重合）任意一点，连接 ，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形 的周长
与矩形 的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．
10．如图①，四边形 是正方形， ， 分别在边 、 上，且 ，我们称之为“半
角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将 绕点 顺时针旋转
，点 与点 重合，连接 、 、 ．
(1)试判断 ， ， 之间的数量关系；
(2)如图②，点 、 分别在正方形 的边 、 的延长线上， ，连接 ，请写出
、 、 之间的数量关系，并写出证明过程．
(3)如图③，在四边形 中， ， ， ，点 ， 分别在边 ，
6上， ，请直接写出 ， ， 之间数量关系．
11．在 中， ， ，点O为AB的中点，点D在直线 上（不与点A，B重
合），连接 ，线段 绕点C逆时针旋转90°，得到线段 ，过点B作直线 ，过点E作 ，
垂足为点F，直线 交直线 于点G．
(1)如图1，当点D与点O重合时，请直接写出线段 与线段 的数量关系；
(2)如图2，当点D在线段 上时，求证： ；
(3)连接 的面积记为 ， 的面积记为 ，当 时，请直接写出 的值．
题型3：情景探究题
12．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，点E、F分别在正方形 的边 上， ，连接 ，试猜想
之间的数量关系
(1)思路梳理：
把 绕点A逆时针旋转 至 ，可使 与 重合，由 ，得， ，
即点F、D、G共线，易证 _________，故 之间的数量关系为_________．
(2)类比引申：
如图2，点E、F分别在正方形 的边 的延长线上， ．连接 ，试猜想
7之间的数量关系为_________，并给出证明．
(3)联想拓展：
如图3，在 中， ，点D、E均在边 上，且 ．若
，直接写出 和 的长．
13．综合与实践
如图①，四边形 是正方形， 是边 上一点， ，且 交正方形外角平分线 于点 ，
求证 （不需要证明），对于本题，我们常用的思路是在 上截取 ，如图⑦构造全等三
角形进行证明．
小明通过深度研究，又总结出了以下三种思路：
思路一：如图②，在 的延长线上截取 ，使 连接 ， 利用全等三角形和特殊四边形，
转化得到线段之间的数量关系，获证．
思路二：如图③，连接 ，过点 作 于点 ， ，交 的延长线于点 ，利用全等三
角形，获证．
思路三：如图④，连接 ，过点 作 ，交 于点 ，利用全等三角形，获证．
【进一步探究】小明继续对这道题目进行了改编，请完成下面改编题目的解答．
四边形 是正方形， 是直线 上一点， 交正方形外角平分线 于点 ．
(1)如图⑥，若点 在边 上， ，则 的度数为______；
(2)如图⑤，若点 在边 的延长线上， ，线段 与线段 存在怎样的数量关系？并加以证
8明；
(3)如图⑧，四边形 是正方形， 是边 上一点， ，且 交正方形外角平分线 于点
，过 作 垂直 交 的延长线与 ， ， ，则 的长为_______．
14．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，点 、 分别在正方形 的边 、 上， ，连接 ，试猜想 、 、
之间的数量关系．
(1)思路梳理
把 绕点 逆时针旋转 至 ，可使 与 重合，由 ，得 ，
即点 、 、 共线，易证 ≌ ，故 、 、 之间的数量关系为_________；
(2)类比引申
如图2，点 、 分别在正方形 的边 、 的延长线上， ，连接 ，试猜想 、
、 之间的数量关系为，并给出证明．
(3)联想拓展
如图3，在 中， ， ，点 、 均在边 上，且 ，若
， ，求DE的长．
15．【问题情境】
(1)同学们我们曾经研究过这样的问题：已知正方形 ，点 在 的延长线上，以 为一边构造正方
形 ，连接 和 ，如图 所示，则 和 的数量关系为______，位置关系为______．
【继续探究】
(2)若正方形 的边长为 ，点 是 边上的一个动点，以 为一边在 的右侧作正方形 ，
连接 、 ，如图 所示，
9①请判断线段 与 有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
②连接 ，若 ，求线段 长．爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点 作 ，如图 ，你
能按照她的思路做下去吗？请写出你的求解过程．
【拓展提升】
(3)在（2）的条件下，点 在 边上运动时，利用图 ，则 的最小值为______．
题型4：解答证明题
16．如图，在正方形 中，E是 上的一点（不与端点A，B重合），连接 ，过点A作 的垂
线，分别交 、 于点F、H．在 上取点G，使得 ，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)①若 ，则 °；
②改变 的度数， 的度数是否会发生变化？若发生变化，请写出 与 之间的数量
关系，若不改变，请说明理由；
(3)若 ，求 的长．
17．如图1，E为正方形 对角线 上一点（不与B，D重合），F为 中点，作 于G，
连接 ， ．
10(1)直接写出线段 与 的数量关系和位置关系，不必证明；
(2)将 绕点B逆时针旋转 （ ）．
①如图2，若 ，（1）中的结论是否还成立，若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
②如图3，若 ，连接 且满足 ，直接用等式表示线段 ， ， 之间的数量关
系，不必证明．
18．如图，在矩形 中， 平分 交 于E，连接 ， ．
(1)如图1，若 ， ，求 的长；
(2)如图2，若点F是 边上的一点，若 ，连结 交 于G，
①猜想 的度数，并说明理由；
②若 ，求 的值．
19．已知，菱形 中， ， 、 分别是边 和 上的点，且 ．
(1)求证： ．
(2)如图2， 在 延长线上，且 ，求证： ．
11(3)如图3，在（2）的条件下 ， ，点 是 的中点，求 的长．
题型5：相似三角形在特殊平行四边形中的应用
20．如图①，已知点 在正方形 的对角线 上， ，垂足为点 ， ，垂足为点 ．
（1）【证明与推断】
①求证：四边形 是正方形：
②推断： 的值为______；
（2）【探究与证明】：将正方形 绕点 顺时针方向旋转 度（ ），如图②所示，试探
究线段 与 之间的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展与运用】：正方形 在旋转过程中，当 ， ， 三点在同一直线上时，如图③所示，延
长 交 于点 ．
①求证：
②若 ， ，求 的长．
21．如图：在如图1所示的平面直角坐标系中，直线 交x轴于点A，交y轴于点B，点C与点A关
于y轴对称．
(1)求直线 的解析式；
(2)如图2，点E在线段 上，点D在线段 上，且 ，若点E的横坐标为t，三角形 的面积
12为S，求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图3，在（2）问的条件下，点H是点B关于x轴的对称点，连接 ，过点B作 的垂线，交
于点G，交x轴于点F，交 于点K，若 ，求点E的坐标．
22．已知：在 中， ， ，且点 ， 分别在矩形 的边 ， 上．
(1)如图 ，当点 在 上时，求证： ；
(2)如图 ，若 是 的中点， 与 相交于点 ，连接 ，求证： ；
(3)如图 ，若 ， ， 分别交 于点 ， ，求证：
23．在综合与实践课上老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动．
（1）操作判断：
在 上选一点 ，沿 折叠，使点 落在正方形内部的点 处，把纸片展平，过 作 交 、
、 于点 、 、 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ，如图①，当 为 中点时，求证
是等边三角形．
（2）迁移探究：
如图②，若 ，且 ，求正方形 的边长；如图③，若 ，直接写出
的值为______ ．
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