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特训 01 期中选填压轴题（第 1-4 章）
一、单选题
1．已知a，b均为正数，且 ， ， 是一个三角形的三边的长，则这个三角形的
面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造矩形 ， E、F分别为 、 的中点，设 ， ，将所求三角形面积转
化为 即可求解．
【解析】解：如图，在矩形 中， E、F分别为 、 的中点，
设 ， ，
∴ ， ，
∴在 、 、 中，依次可得到：
，
，
，
∴
．
故选：A【点睛】本题考查二次根式的应用．能够通过构造矩形及直角三角形，利用等积变换将所求三角形的面积
转化为矩形和几个直角三角形的面积之差．利用数形结合是解答本题的关键．
2．已知 ，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】由 的值进行化简到 = ，再求得 ，把式子两边平方，整理得到
，再把 两边平方，再整理得到 ，原式
可变形为 ，
利用整体代入即可求得答案．
【解析】解∵
=
=
∴
∴
整理得∴
∵
∴
整理得
∴
∴
∴
=
=
=
=
=
故选：C
【点睛】本题考查了二次根式的化简，乘法公式，提公因式法因式分解等知识，关键在于熟练掌握相关运
算法则和整体代入的方法．
3．已知x＝ ，则x6﹣2 x5﹣x4＋x3﹣2 x2＋2x﹣ 的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】对已知进行变形，再代入所求式子，反复代入即可．
【解析】 ，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，对所求式子进行变形，反复代入x的值即可解决．
4．观察下列算式： ， ， ，…，它有
一定的规律性，把第 个算式的结果记为 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先通过观察找出第n个算式的规律为n(n+3)，写出所得代数式；再找出所求代数式的规律，按照
裂项法展开计算即可．
【解析】解：∵ =1×4+1，
=2×5+1，
=3×6+1，…，观察以上各式发现规律，由规律可知：a=4×7+1，a=5×8+1，a=6×9+1，a=7×10+1
4 5 6 7
a=n·(n+3)+1
n
验证：a=
4
故依次为：a=5×8+1，a=6×9+1，a=7×10+1
5 6 7
∴a=n·(n+3)+1
n
∴
=
=
=
=
故选：C
【点睛】本题考查了规律型的数字在二次根式中的应用，观察出数字规律或正确计算出相关项并采用裂项
法是进行快速计算的关键．
5．我们把 这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作 圆弧
， ， ， ，得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结 ， ， ， ，得到螺旋折线（如
图），已知点 ，则该折线上的点 的坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】观察图象，推出 的位置，即可解决问题．
【解析】解：观察发现：
（0，1）先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到 （−1，0）；
（−1，0）先向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到 （0，−1）；
（0，−1）先向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到 （2，1）；
（2，1）先向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到 （−1，4）；
（−1，4）先向左平移5个单位，再向下平移5个单位得到 （−6，−1）；
（−6，−1）先向右平移8个单位，再向下平移8个单位得到 （2，−9）；
（2，−9）先向右平移13个单位，再向上平移13个单位得到 （15，4）；
（15，4）先向左平移21个单位，再向上平移21个单位得到 （－6，25）
故选：B．
【点睛】本题考查规律型：点的坐标等知识，解题的关键是理解题意，确定 的位置．
6．已知A、B两地相距600千米，甲乙两车分别从A、B两地出发相向而行，甲出发1小时后乙才出发，
两车相遇后，乙车沿原路原速返回，甲车以原速继续前行，两车到达B地后都停止运动，如图两车之间的距离y（千米）与甲车行驶时间x（小时）如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．甲车的速度为60千米/小时 B．乙车的速度为75千米/小时
C．甲车比乙车晚1小时到达B地 D．两车相遇时距离A地240千米
【答案】D
【分析】结合函数的图象，利用数形结合的思想，列出方程进行求解即可．
【解析】解：由图象可知，甲车出发1小时走的路程为： （千米），所以甲车的速度为
（千米/小时），故选项A正确；
由图象可知，当甲车出发5小时时，两车之间的距离为0千米，即两车相遇，设乙车的速度为 千米/小时，
则 ，解得 （千米/小时），故选项B正确；
当两车相遇时，距离A地为： 千米，距离 地为： 千米，此时乙车原路返回所
用的时间仍为 小时，甲车继续行驶到达 地所用的时间为； 小时，故甲车比乙车晚1小时到达
B地，选项D说法错误，选项C说法正确，
故选D
【点睛】本题考查了函数的图象及一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思
想解答．
7．我们把 、 、 三个数的中位数记作 ，直线 与函数 的图象有
且只有2个交点，则 的值为（ ）
A． 或 或1 B． 或 C． 或 或1 D．2或
【答案】A
【分析】画出函数y=Z|2x-2，x+1，-x+1|的图象，要使直线y=kx+ 与函数y=Z|2x-2，x+1，-x+1|的图象有且只有2个交点，只需直线经过（3，4）或经过（1，0）或平行于y=x+1．
【解析】解：由题意，函数y=Z|2x-2，x+1，-x+1|的图象如图所示：
直线y=2x-2与直线y= x+1交于点（3，4），
直线y=2x-2、y=-x+1与x轴交于点（1，0），
直线y= x+1与y轴交于点（0，1），
∵y=kx+ 与函数y=Z|2x-2，x+1，-x+1|的图象有且只有2个交点，
当直线y=kx+ 经过点（3，4）时，则4=3k+ ，
解得k= ，
当直线y=kx+ 经过点（1，0）时，k=- ，
当k=1时，平行于y=x+1，与函数y=Z|2x-2，x+1，-x+1|的图象也有且仅有两个交点；
∴直线直线y=kx+ 与函数y=Z|2x-2，x+1，-x+1|的图象有且只有2个交点，则k的取值为 或- 或1．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的性质以及中位数的概念，数形结合思想的应用是解题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝﹣x的图象分别为直线l，l，过点（1，0）作x轴的垂
1 2
线交l 于点A，过A 点作y轴的垂线交l 于点A，过点A 作x轴的垂线交l 于点A，过点A 作y轴的垂线
1 1 1 2 2 2 1 3 3
交l 于点A，…依次进行下去，则点A 的坐标为（ ）
2 4 2022A．（1011，﹣1011） B．（﹣10112，10112）
C．（﹣21011，21011） D．（21011，﹣21011）
【答案】C
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点A、A、A、A、A、A、A、A、A 等的坐标，根据
1 2 3 4 5 6 7 8 9
坐标的变化找出变化规律“An (22n，22n+1)，An (-22n+1，22n+1)，An (-22n+1，﹣22n+2)，An （22n+2，﹣
4 +1 4 +2 4 +3 4 +4
22n+2）（n为自然数）”，依此规律结合2022＝505×4+2即可找出点A 的坐标．
2022
【解析】解：当x＝1时，y＝2，
∴点A 的坐标为(1，2)；
1
当y＝-x＝2时，x＝﹣2，
∴点A 的坐标为(-2，2)；
2
同理可得：A(-2，-4)，A(4，-4)，A(4，8)，A(-8，8)，A(-8，-16)，A(16，16)，A(16，32)，A (-32，
3 4 5 6 7 8 9 10
32)，…，
∴An (22n，22n+1)，An (-22n+1，22n+1)，
4 +1 4 +2
An (-22n+1，﹣22n+2)，An （22n+2，-22n+2)(n为自然数)．
4 +3 4 +4
∵2022＝505×4+2，
∴点A 的坐标为(-2505×2+1，2505×2+1)，即(-21011，21011)．
2022
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的图象以及规律型中点的坐标，根据坐标
的变化找出变化规律是解题的关键．
9．一次函数 的图象过点 ，且分别与 轴和 轴的正半轴交于A，B两点，点 为坐标原点．
当 面积最小时，则 的值为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B【分析】令y=k(x-2)+8，进而求出OA= ，OB=8-2k，表示出S AOB= ( )(8-2k)=16+2(-k- )，进
△
而求出面积最小，得出k和b的值．
【解析】解∶令y=k(x-2)+8，
∵一次函数分别与 轴和 轴的正半轴交于A，B两点，
∴OA== ，OB=8-2k，（k<0）
∴S AOB= ( )(8-2k)=16+2(-k- )，
△
令a= ，b= （k<0），
∵（a-b）2≥0，
∴a2+b2≥2ab，当a=b时，等号成立，
∴-k+（- ）≥2 =8，
∴16+2(-k- )≥16+2×8=32，
且当-k=- 时，面积有最小值，
∴k=-4，
∵一次函数 的图象过点 ，
∴2k+b=8，
将k=-4代入，得b=16，
∴k+b=-4+16=12．
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的性质，与坐标轴的交点，以及最值问题，设过点P的解析式，表示交点坐标
并求最值是解决问题的关键．
10．如图，直线l：y＝﹣ x+ +3 与x轴交于点A，与经过点B（﹣2，0）的直线m交于第一象限内
一点C，点E为直线l上一点，点D为点B关于y轴的对称点，连接DC、DE、BE，若∠DEC＝2∠DCE，
∠DBE＝∠DEB，则CD2的值为（ ）A．20+4 B．44+4
C．20+4 或44﹣4 D．20﹣4 或44+4
【答案】C
【分析】过点D作DF⊥l于点F，延长FD交y轴于点G，求出DF的解析式，联立方程组 ，求
出点F的坐标，分点E在点F的上方和下方两种情况结合勾股定理求出结论即可．
【解析】解：过点D作DF⊥l于点F，延长FD交y轴于点G，
∵点B（﹣2，0），且点D为点B关于y轴的对称点，
∴D（2，0）
∴BD=4
又∠DBE＝∠DEB，
∴DE=BD=4对于直线l：y＝﹣ x+ +3 ，当x=0时，y= +3 ；当y=0时，x= +3
∴OH= +3 ，AO= +3
∴
∴
∴
∴
又
∴ ，
∴
∴
设直线DF所在直线解析式为
把 ，D（2，0）代入得，
解得，
∴直线DF所在直线解析式为
联立 ，
解得，
∴F( ， )∴
在Rt△DFE中，
∴
①当E在F下方时，如图1，在E点下方直线l上取一点M，使EM=DE=4，连接DM，
∵EM=DE
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴DC=DM
在Rt△DFM中，
∴
②当点E在F的上方时，如图2，在E点下方直线l上取一点M，使EM=DE=4，连接DM，
∵EM=DE
∴
又∵ ，
∴
∴DC=DM
∴在Rt△DFM中，
∴
综上所述， 或
故选：C
【点睛】本题是一次函数的综合题；灵活应用勾股定理，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
11．如图，直线 与直线 相交于点 ，直线 与 轴交于点 ，一动点 从点 出发，
先沿平行于 轴的方向运动，到达直线 上的点 处后，改为垂直于 轴的方向运动，到达直线 上的点
处后，再沿平行于 轴的方向运动，到达直线 上的点 处后，又改为垂直于 轴的方向运动，到达直
线 上的点 处后，仍沿平行于 轴的方向运动……照此规律运动，动点 依次经过点 ， ， ， ，
， ， 则 的长度为（ ）
A． B． C．2020 D．4040
【答案】B
【分析】先求出P点坐标，再由直线l:y=x+1可知,A（0,1）,则B 纵坐标为1,代入直线l:y= x+ 中,得B
1 1 2 1
（1,1）,又A、B 横坐标相等,可得A（1,2）,则AB=1,AB=2-1=1,可判断 AAB 为等腰直角三角形,利用平
1 1 1 1 1 1 1 1行线的性质,得 AAB、 AAB、…、都是等腰直角三角形,根据平行于x轴的直线上两点纵坐标相等,平
1 2 2 2 3 3
行于y轴的直线上两点横坐标相等以及直线l、l 的解析式,分别求AB,AB 的长得出一般规律，再利用规
1 2 1 1 2 2
律解答即可．
【解析】解：由直线直线l：y=x+1可知，P（-1,0）A（0，1），
1
根据平行于x轴的直线上两点纵坐标相等，平行于y轴的直线上两点横坐标相等以及直线l、l 的解析式可
1 2
知，B（1，1），A（1，2），B（3，2），A（3，4），B（7，4），A（7，8），
1 1 2 2 3 3
AB=2-1，AB=4-2=2，AB=8-4=4，…AnBn=2n-2（n-1）
1 1 2 2 3 3
当n=2020时， =22020-22019=2×22019-22019=22019（2-1）=22019．
故选B．
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合运用以及等腰三角形的知识．掌握平行于x轴的直线上点的纵坐
标相等,平行于y轴的直线上点的横坐标相等成为解答本题的关键．
12．货车和轿车分别沿同一路线从A地出发去B地，已知货车先出发10分钟后，轿车才出发，当轿车追上
货车5分钟后，轿车发生了故障，花了20分钟修好车后，轿车按原来速度的 继续前进，在整个行驶过
程中，货车和轿车均保持各自的速度匀速前进，两车相距的路程y（米）与货车出发的时间x（分钟）之间
的关系的部分图象如图所示，对于以下说法：①货车的速度为1500米/分；② ；③点D的坐标为
；④图中a的值是 ，其中正确的结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】先设出货车的速度和轿车故障前的速度，再根据货车先出发10分钟后轿车出发，桥车发生故障的
时间和两车相遇的时间，根据路程=速度×时间列出方程组求解可判断①；利用待定系数法求OA与CD解
析式可判断②，先求出点C货车的时间，用轿车修车20分钟-BC段货车追上轿车时间乘以货车速度，求出点D的坐标可判断③；求出轿车速度2000× =1800（米/分），到x=a时轿车追上货车两车相遇，列方程
（a-65）×（1800-1500）=27500，解得a= 可判断④．
【解析】解：由图象可知，当x=10时，轿车开始出发；当x=45时，轿车开始发生故障，则x=45-5=40（分
钟），即货车出发40分钟时，轿车追上了货车，
设货车速度为x米/分，轿车故障前的速度为y米/分，根据题意，
得： ，
解得： ，
∴货车的速度为1500米/分，轿车故障前的速度是2000米/分，
故①货车的速度为1500米/分正确；
∵A(10,15000)
设OA解析式： 过点O（0，0）与点A，代入坐标得
解得
∴OA解析式：
点C表示货车追上轿车，从B到C表示货车追及的距离是2500，货车所用速度为1500，
追及时间为 分
点C（ ，0）
CD段表示货车用20- 分钟行走的路程，
D点的横坐标为45+20=65分，纵坐标 米，
∴D（65,27500）
故③点D的坐标为 正确；设CD解析式为 ，代入坐标得
解得
∴CD解析式为
∵OA与CD解析式中的k相同，
∴OA∥CD，
∴② 正确；
D点表示轿车修好开始继续行驶时，轿车的速度变为原来的 ，即此时轿车的速度为：2000× =1800
（米/分），
到x=a时轿车追上货车两车相遇，
∴（a-65）×（1800-1500）=27500，
解得a=65+ ，
即图中a的值是 ；
故④图中a的值是 正确，
正确的结论有4个．
故选择D．
【点睛】本题考查一次函数图像与行程问题的应用，解答本题的关键是明确题意，从图像中获取信息，利
用一次函数的性质和数形结合的思想，方程思想解答．
13．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到
△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为 ，则
的值为（ ）A．13 B．12 C．11 D．10
【答案】A
【分析】首先根据SAS证明△BAF≌△EAF可得AF⊥BE，根据三角形的面积公式求出AD，根据勾股定理求
出BD即可．
【解析】解：由折叠得， ，∠BAF=∠EAF，
在△BAF和△EAF中，
，
∴△BAF≌△EAF(SAS)，
∴BF=EF，
∴AF⊥BE，
又∵AF＝4，AB＝5，
∴ ，
在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，设DE边上的高线长为h，
∴ ，
即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，在Rt△BDF中， ， ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查翻折变换、三角形的面积、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，运用三角形的
面积求出AD的长度是解答本题的关键．
14．如图，已知长方形纸板的边长 ， ，在纸板内部画 ，并分别以三边为边长向
外作正方形，当边 、 和点K、J都恰好在长方形纸板的边上时，则 的面积为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】A
【分析】延长CA与GF交于点N，延长CB与EF交于点P，设AC=b，BC=a，则AB= ，证明
△ABC≌△BJK≌△JKF≌△KAN，再利用长方形DEFG的面积=十个小图形的面积和进而求得ab=12，即可求解．
【解析】解：延长CA与GF交于点N，延长CB与EF交于点P，
设AC=b，BC=a，则AB= ，
∵四边形ABJK是正方形，四边形ACML是正方形，四边形BCHI是正方形，
∴AB=BJ，∠ABJ=90°，∴∠ABC+∠PBJ=90°=∠ABC+∠BAC，
∴∠BAC=∠JBP，
∵∠ACB=∠BPJ=90°，
∴△ABC≌△BJK（AAS），
同理△ABC≌△BJK≌△JKF≌△KAN，
∴AC=BP=JF=KN=NG=b，BC=PJ=FK=AN=PE=a，
∵DE=10，EF=11，
∴2b+a=10，2a+b=11，
∴a+b=7，
∴a2+b2=49-2ab，
∵长方形DEFG的面积=十个小图形的面积和，
∴10×11=3ab+ ab×4+a2+b2+( )2，
整理得：5ab+2(a2+b2)=110，
把a2+b2=49-2ab，代入得：5ab+2(49-2ab)=110，
∴ab=12，
∴△ABC的面积为 ab=6，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，关键是构造全等三角形和直角三角形．
15．如图，直角三角形纸片 中， ， ，D为斜边 中点，第1次将纸片折叠，使点A与
点D重合，折痕与 交于点 ；设 的中点为 ，第2次将纸片折叠，使点A与点 重合，折痕与
交于点 ；设 的中点为 ，第3次将纸片折叠，使点A与点 重合，折痕与 交于点 ，则
的长为（）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出AD的长，再由折叠的性质可得AP = AD ，AP = AD ，AP = AD ，计算出AD 的长度，
1 1 2 2 3 3 3
可得AP 的长．
3
【解析】解：∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，
∴BC= =10，
∵D为斜边BC中点，
∴AD= BC=5，
由折叠可知：AD = AD，AP = AD，
1 1
∴AP = AD ，
1 1
AD = AD = AD，AP = AD = AD，
2 1 2 1
∴AP = AD ，
2 2
可知：AP = AD ，
3 3
AD = AD= ，
1
AD = AD = AD= ，
2 1
∴AD = AD = = ，
3 2
∴AP = AD = ，
3 3
故选D．
【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；灵活运用翻折变换的性质，正确找出命题中隐含的数量关系是关键；对运算求解能力提出了较高的要求．
16．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用
下图验证了勾股定理．以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形
BCGF，连接BI，CD，过点C作CJ⊥DE于点J，交AB于点K．设正方形ACHI的面积为S，正方形BCGF
1
的面积为S，矩形AKJD的面积为S，矩形KJEB的面积为S，下列结论中：①BI⊥CD；②S∶S ACD＝
2 3 4 1
△
2∶1；③S－S＝S－S； ④SS＝SS，正确的结论有（ ）
1 4 3 2 1 4 3 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】利用正方形的性质证明△ABI≌△ADC，得出∠AIB=∠ACD，即可得出∠CNI=∠NAI，即可判断①，
利用△ABI≌△ADC，即可求出△ABI的面积，即可判断②，由勾股定理和S+S=S▱ABED，即可判断③，由
3 4
③S-S=S-S，两边平方，根据勾股定理可得 ，然后计算 ，
1 4 3 2
即可判断④．
【解析】解：∵四边形ACHI和四边形ABED为正方形，
∴AI=AC，AD=AB，∠CAI=∠BAD=90°，
∵∠BAI=∠BAC+∠CAI，∠DAC=∠BAC+∠BAD，
∴∠BAI=∠DAC，
∴△ABI≌△ADC（SAS），
∴∠AIB=∠ACD，
∵∠CNI=∠CAI=90°，
∴BI⊥CD，故①正确；
∵S ACD=S AIB= ×AI×AC，S ACHI=S=AI×AC，
正方形 1
△ △
∴S：S ACD=2：1，
1
△
故②正确；
∵S=AC2，S=BC2，S+S=S ADEB=AB2，AC2+BC2=AB2，
1 2 3 4 正方形
∴S+S=S+S，
1 2 3 4
∴S-S=S-S，
1 4 3 2
故③正确；
S -S=S-S
1 4 3 2，
，
∵S=AC2，S=BC2，S=AK•KJ= AK•AB，S=BK•KJ=BK•AB，
1 2 3 4
， ，
∵AB2=AC2+ BC2， ，
，
即 ，
，
∴S•S=S•S，
1 4 2 3
故④正确，
故选D．
【点睛】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的条件，勾股定理的运用，完
全平方公式的变形．二、填空题
17．若记 表示任意实数的整数部分，例如： ， ，…，则
（其中“＋”“－”依次相间）的值为______________．
【答案】-22
【分析】按照整数是1，整数是2，…整数是44，确定算术平方根的个数，运用估算思想，列式，寻找规
律计算．
【解析】解：∵ 即 时， ，此时n=1，2，3，
∴ ；
∵ 即 时， ，此时n=4，5，6，7，8，
∴ ；
∵ 即 时， ，此时n=9，10，11，12，13，14，15，
∴ = ；
由此发现如下规律，整数部分是1的算术平方根的整数和是1，且奇数为正整数，偶数位为负整数；整数
部分是2的算术平方根的整数和是-2，整数部分是3的算术平方根的整数和是3，
∵ ， ，
∴ 即 时， ，
∴ =-44，
∴
=1-2+3-4+5-6+…+43-44
=(1-2)+(3-4)+…+(43-44)
=
=-22，故答案为：-22．
【点睛】本题考查了实数的新定义运算，解题的关键是正确运用估算思想，确定整数部分中的运算规律．
18．设 ，其中n为正整数，则
____．
【答案】
【分析】计算通项公式 ，将n=1，2，3，…，2022代入可得结论．
【解析】∵n为正整数，
∴ ，
∴故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是用裂项法将分式裂项，再寻找抵消规律求和．
19．若记 表示任意实数的整数部分例如： ， ，则
（其中“ ”“ ”依次相间）的值为___________
【答案】
【分析】按照整数是1，整数是2，…整数是44，确定算术平方根的个数，运用估算思想，列式，寻找规
律计算．
【解析】解：∵ 即 时， ，此时n=1，2，3，
∴ ；
∵ 即 时， ，此时n=4，5，6，7，8，
∴ ；
∵ 即 时， ，此时n=9，10，11，12，13，14，15，
∴ = ；
由此发现如下规律，整数部分是1的算术平方根的整数和是1，且奇数为正整数，偶数位为负整数；整数
部分是2的算术平方根的整数和是-2，整数部分是3的算术平方根的整数和是3，
∵ ， ，
∴ 即 时， ，
∴ =-44，
∴
=1-2+3-4+5-6+…+43-44
=(1-2)+(3-4)+…+(43-44)
=
=-22，故答案为：-22．
【点睛】本题考查了实数的新定义运算，解题的关键是正确运用估算思想，确定整数部分中的运算规律．
20．设 ，求不超过 的最大整数 ______．
【答案】
【分析】首先将 化简，可得 ，然后再代入原式求出 ，即可
得出答案．
【解析】解：
，
，
不超过 的最大整数 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查完全平方公式、二次根式的化简，能正确化简 是解题
的关键．
21．按照一定次序排列的一列数叫数列，一般用 、 、 表示一个数列，可简记为 ，现有数列
满足一个关系式 ，则 _______．【答案】143
【分析】根据数列 的关系式，计算 、 、 、 ，总结规律，证明规律成立，继续计算各项，即可
求和．
【解析】解：
，
，
，
，
，
，
归纳可得： ，
假设当 时成立，有
， ，
则
故答案为：143．【点睛】本题考查了数列规律的归纳与二次根式的应用，发现 的结果出现的规律是解题关键．
22．如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为： ， ， ．已知 ，
作点 关于点 的对称点 ，点 关于点 的对称点 ，点 关于点 的对称点 ，点 关于点
的对称点 ，点 关于点 的对称点 ，…，依此类推，则点 的坐标为______．
【答案】(-1,8)
【分析】先求出N 至N 点的坐标，找出其循环的规律为每6个点循环一次即可求解．
1 6
【解析】解：由题意得，作出如下图形：
N点坐标为(-1,0)，N 点关于A点对称的N 点的坐标为(-3,0)，
1 1
N 点关于B点对称的N 点的坐标为(5,4)，
2 2
N 点关于C点对称的N 点的坐标为(-3,8)，
3 3
N 点关于A点对称的N 点的坐标为(-1,8)，
4 4
N 点关于B点对称的N 点的坐标为(3,-4)，
5 5
N 点关于C点对称的N 点的坐标为(-1,0)，此时刚好回到最开始的点N处，
6 6
∴其每6个点循环一次，
∴ ，
即循环了336次后余下4，
故 的坐标与N 点的坐标相同，其坐标为(-1,8) ．
4
故答案为：(-1,8) ．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的对称规律问题，本题需要先去验算前面一部分点的坐标，进而
找到其循环的规律后即可求解．
23．如图，已知直线 ，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，过点 作直线 的垂线交 轴
于点 ；过点 作 轴的垂线交直线 于 ，过点 作直线 的垂线交 轴于点 ， ；按此作法继续
下去，则点 的坐标为 __．
【答案】
【分析】先求解 ，设 再利用勾股定理求解求出 ，同理可得，然后表示出 与OM的关系，再根据点 在x轴上写出坐标即可．
【解析】解： 点 的坐标是 ， 轴，点 在直线 上，
， ，
．
又 ，即
设 则
解得： 即
同理， ，
，
．
点 的坐标是 ， ．
故答案是： ．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，坐标规律的探究，熟记性质并总结
变化规律是解题的关键．
24．已知函数y=（k﹣2）x﹣2k+7与 ，当满足﹣6≤x≤1时，两个函数的图像存在2个公共点，则
k满足的条件是 _____．
【答案】2≤k＜
【分析】观察函数y=（k﹣2）x﹣2k+7解析式，其过定点A（2，3）则其图像绕点A旋转，且画出y=|x+2|
的图像，将y=（k﹣2）x﹣2k+7的图像旋转找到临界点．
【解析】解：由已知，当x=2时，y=（k﹣2）x﹣2k+7=3，
∴函数y=（k﹣2）x﹣2k+7的图像过定点A（2，3），如图所示：y=|x+2|的图像为折线BCD，其中点B（1，3），C（﹣2，0），D（﹣6，4），当函数y=（k﹣2）x﹣2k+7
的图像过点C（﹣2，0）时，与折线BCD恰一个交点，此时k= ；
当直线过点A、B时，AB x轴，直线AB与折线BCD有两个交点，此时k﹣2=0，即k=2；
即k满足的条件是2≤k＜ ，
故答案为：2≤k＜ ．
【点睛】本题考查了一次函数图像与系数的关系，本题解题关键在于发现带有参数的函数解析式过定点．
25．如图，一次函数y=-x+4的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C为AO中点，OD=3，点P为AB
上的动点，当∠APC=∠BPD时，点P的坐标为____．
【答案】（ ， ）
【分析】过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N， 过点 作 ，交 轴于点 ，过点 作
轴，交 的延长线与点 ，如图， ， 是等腰直角三角形，证明 ，设，则 ，求得 ，进而根据 三点共线，求
得直线 的解析式，将点 的坐标代入求得 的值，即可求解．
【解析】解：过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，
∵一次函数y＝﹣x+4的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A（4，0），B（0，4），
∴OA＝OB＝4，AB＝4 ，
∵点C为AO中点，OD＝3，
∴OC＝AC＝2，BD＝1，
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝∠OAB＝45°，
过点 作 ，交 轴于点 ，过点 作 轴，交 的延长线与点 ，如图，
则 ， 是等腰直角三角形，
，
轴，
，
，设 ，则 ，
， ，
∠APC=∠BPD, ，
，
又 ， ，
，
，
，
三点共线，设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
将点 代入得，
，
解得 ，
∴P（ ， ）．
故答案为：（ ， ）．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，设参数
法求得点 的坐标是解题的关键．
26．如图，已知直线 与直线 y＝kx＋6相交于点M，M的横坐标为4， 分别交y轴于点
A、B，当点P为直线 上的一个动点时，将AP绕点A顺时针旋转90°得到AQ，连接 ．则 的最小值为 _________ ．
【答案】
【分析】由交点M求出直线l 的解析式，得到点B，A的坐标，设P（xP，- xP+6），过P作PC⊥y轴于
2
C，过Q作QD⊥y轴于D，证明△PCA≌△ADQ(AAS)，得到OD，DQ的长度，利用勾股定理求出OQ求出最
小值．
【解析】解：∵M的横坐标为4，且M为 的交点，
∴当x=4时，y=y，则1+3=4k+6，
1 2
解得k=- ，
∴l 的解析式为y=- x+6，
2
当x=0时，yB=6，∴B（0，6），
当x=0时，yA=3，∴A（0，3），
设P（xP，- xP+6），
过P作PC⊥y轴于C，过Q作QD⊥y轴于D，
则AC= ， ，
∵∠CAP+∠DAQ= ，∠CAP+∠APC= ，
∴∠DAQ=∠APC，
∵∠PCA=∠ADQ，AP=AQ，
∴△PCA≌△ADQ(AAS)，∴DA= ，DQ= AC= ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，OQ有最小值为 ，即为 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了一次函数交点问题，全等三角形的判定及性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并熟练
应用是解题的关键．
27．如图，在平面直角坐标系中，A（0，6），B（﹣4，0），C（2，0），点D，E分别在射线CA上，并
且DE＝AC，P为线段AB上一点，当△DPE为以ED为斜边的等腰直角三角形时，Р点坐标为____．【答案】
【分析】如图所示，过点P作直线l∥y轴，分别过点D作DG⊥直线l于G，EH⊥直线l于H，过点D作
DN⊥y轴于N，过点E作EM⊥x轴于M,设直线AB，直线CD的解析式分别为 ， ，则
可求得直线AB，直线CD的解析式分别为 ， ，然后证明△NDA≌△MCE得到
DN=CM，NA=EM，△PDG≌△EPH得到DG=PH，GP=EH，设 ， ，则 ，
， ， ， ， ，
， 由此即可得到 ，
解方程即可．
【解析】解：如图所示，过点P作直线l∥y轴，分别过点D作DG⊥直线l于G，EH⊥直线l于H，过点D作DN⊥y轴于N，过点E作EM⊥x轴于M，设直线AB，直线CD的解析式分别为 ， ，
∴ ，
解得 ， ，
∴直线AB，直线CD的解析式分别为 ， ，
∵DE=AC，
∴DA=CE，
∵DN⊥y轴，EM⊥x轴
∴DN∥CM，∠DNA=∠CME=90°
∴∠NDA=∠MCE，
∴△NDA≌△MCE（AAS），
∴DN=CM，NA=EM，
∵△DPE是以DE为斜边的等腰直角三角形，
∴PD=PE，∠DPE=90°，
∴∠DPG+∠EPH=90°，
∵DG⊥GH，EH⊥GH，
∴∠DGP=∠PHE=90°，
∴∠PDG+∠DPG=90°，
∴∠PDG=∠EPH，
∴△PDG≌△EPH（AAS），
∴DG=PH，GP=EH，
∵A（0，6），B（-4，0），C（2，0），
∴OA=6，OB=4，OC=2，
设 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，解题的关键在于
能够构造全等三角形进行求解．
28．在数学综合实践课中，小明和同学对类似八下教科书25页例2的问题进行拓展探索：
如图1，一根长为5米的木棍 斜靠在一竖直的墙上， 为4米，如果木棍的顶端 沿墙下滑 米，底端向外移动 米，下滑后的木棍记为 ，则 与 满足的等式 ，即 关于 的函数
解析式为 ，小明利用画图软件画出了该函数图象如图2，
（1）请写出图象上点 的坐标（1，______）
（2）根据图象，当 的取值范围为______时， 的周长大于 的周长．
【答案】
【分析】（1）把 的横坐标代入 ，求解点的纵坐标即可；
（2）先分别求解 的周长， 的周长，可得：当 的周长 的周长 时，即
，再画出直线 的图象，直线 过点 、 ，观察函数图象可得答案.
【解析】解：（1）当 时， ，
故点 的坐标为 ，
故答案为1；
（2）由 ， 得： ，
由题意得： ， ，
则 的周长 ，
而 的周长 ，
则当 的周长 的周长 时，
即 ，
由（1）知，当 时， ，当 时， ，
则在原图象的基础上，画出直线 的图象如下，直线 过点 、 ，从图象看，当 时， ，即 的周长大于 的周长，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是动态问题的函数图象，二次根式的化简，理解图象上点的横坐标与纵坐标的含义，
利用两个函数图象的交点坐标解决有关不等关系问题是解题的关键.
29．在平面直角坐标系中，Q是直线 上的一个动点，将Q绕点 顺时针旋转 ，得到
点 连接 ，则 的最小值为__________．
【答案】
【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后 的坐标，进而可得点 所在直线的函数关
系式，然后根据勾股定理求解即可解决问题．
【解析】解：作 轴于点 ， 轴于 ，
，
，
，在 和△ 中，
，
△ ，
， ，
设 ，
， ，
，
， ，
设点 ， ，
则 ，
整理，得： ，
则点 ， 在直线 上，
设直线 与x轴，y轴的交点分别为E、F，
如图，当 时， 取得最小值，
令 ，则 ，
解得 ，∴ ，
令 ，则 ，
∴ ，
在 中， ，
当 时，则 ，
∴ ，
的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等，坐标与图形的变换
－旋转，勾股定理，表示出点 的坐标以及点 所在直线的函数关系式是解题的关键．
30．如图，在平面直角坐标系中，点E在原点，点D(0，2)，点F(1，0)，线段DE和EF构成一个“L”形，
另有点A(﹣1，5)，点B(﹣1，﹣1)，点C(6，﹣1)，连AD，BE，CF．
若将这个“L”形沿y轴上下平移，当AD+DE+BE的值最小时，E点坐标为_____；
若将这个“L”形沿x轴左右平移，当AD+DE+EF+CF的值最小时，E点坐标为_____．
【答案】 (0，1) (3.5，0)
【分析】（1）如图，作AA′∥DE，且AA′＝2，作点A′关于y轴的对称点A″，连接BA″交y轴于E′，此时
AD′+D′E′+BE′的值最小，
（2）设E（m，0），则D（m，2），F（m+1，0）．因为AD+DE+EF+CF＝AD+3+CF，同侧AD+CF的值最小时，AD+DE+EF+CF的值最小，由AD+CF＝ ，同侧欲求AD+CF的最小
值，可以把问题转化为，在x轴上找一点P（m，0），使得点P到M（﹣1，3），N（5，﹣1）的距离和
最小．
【解析】解：（1）如图，作AA′∥DE，且AA′＝2，作点A′关于y轴的对称点A″，连接BA″交y轴于E′，此
时AD′+D′E′+BE′的值最小，
观察图像可知E′（0，1）．
故答案为：（0，1）．
（2）设E（m，0），则D（m，2），F（m+1，0）．
∵AD+DE+EF+CF＝AD+3+CF，
∴AD+CF的值最小时，AD+DE+EF+CF的值最小，
∵ ，
∴欲求AD+CF的最小值，可以把问题转化为，在x轴上找一点P（m，0），使得点P到M（﹣1，3），N
（5，﹣1）的距离和最小（如图），
连接MN交x轴于P，此时PM+PN的值最小，
设直线MN的解析式为 ，，
解得： ，
∴直线MN的解析式为 ，
∴点P的坐标为（3.5，0），
∴点E的坐标为（3.5，0）．
故答案为：（3.5，0）．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题，坐标与图形变化-平移等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化
的思想思考问题，属于中考常考题型．
31．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，将边AC A沿CE翻折，使点A落在AB上的点D
处；再将边 BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B'处，两条折痕与斜边AB分别交于点 E、
F，则△B'FC 的面积为______________．
【答案】
【分析】由题意可得AB=10，根据面积可得CE=4.8，根据勾股定理可求BE=6.4，由折叠可求
∠ECF=45°，可得EC=EF=4.8，即可求BF的长，可求面积．
【解析】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴BA= =10，
∵将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，
∴∠AEC=∠CED，∠ACE=∠DCE，
∵∠AED=180°，
∴∠CED=90°，即CE⊥AB，∵S = AB×EC= AC×BC，
ABC
△
∴EC=4.8，
在Rt△BCE中，BE= =6.4，
∵将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，
∴BF=B'F，∠BCF=∠B'CF，
∵∠BCF+∠B'CF+∠ACE+∠DCE=∠ACB=90°，
∴ECF=45°，
又CE⊥AB，
∴∠EFC=∠ECF=45°，
∴CE=EF=4.8，
∵BF=BE-EF=6.4-4.8=1.6，
∴△BFC的面积为: FB×EC= ，
由翻折可知，△B'FC 的面积=△BFC的面积=
故答案为 ．
【点睛】本题考查了折叠问题，勾股定理，根据折叠的性质求∠ECF=45°是本题的关键．
32．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是BC边上的一个动点，点B与B′是关
于直线AP的对称点，当△CPB'是直角三角形时，BP的长＝_______．
【答案】1或
【分析】根据题意分三种情形：①∠PCB′＝90°，②∠CPB′＝90°，进而利用勾股定理构建方程求解即可，
③反证法证明 的情形不成立．
【解析】解：①如图1中，当∠PCB′＝90°时，设PB＝PB′＝x．∵AC＝3，CB＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝ ＝ ＝5，
由翻折的性质可知，AB＝AB′＝5，
在Rt△PCB′中，PC2+CB′2＝PB′2，
∴（4﹣x）2+22＝x2，
∴x＝ ，
∴PB＝ ．
②如图2中，当∠CPB′＝90°，设PB＝y．
过点A作AT⊥B′P交B′P的延长线于点T，则四边形ACPT是矩形，
∴PT＝AC＝3，AT＝CP＝4﹣y，
在Rt△ATB′中，AB′2＝AT2+B′T2，
∴52＝（4﹣y）2+（y+3）2，
解得y＝1或0（0舍弃），
∴PB＝1，
③若 ，如图点C与C′是关于直线AP的对称点，连接由题意可得
若 ，
根据对称性可得
,
根据平行线之间的距离相等，
若 ，则 到 的距离等于4
而
不平行
假设不成立
综上所述，PB的值为：1或 ．
【点睛】本题考查翻折变换以及勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．
33．如图，在矩形 中， ， ， 是 边上的中点， 是 边上的一动点．连接 ，
将 沿 折叠，点 的对应点为点 ，连接 ．当 为直角三角形时， 的长为________．【答案】2或
【分析】分情况讨论：当 时，当 时，当 时三种情况下，分别利用勾
股定理和翻折的性质可得到答案．
【解析】解：当 为直角三角形时，可有：
①当 时，如图1，
此时 ，
由折叠性质可知， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②当 时，如图2，由折叠性质可知， ， ， ，
∴ ，即M、E、C三点共线，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
在 中，有 ，
即 ，解得 ，
即 ，
③当 时，点E在直线CD上，此时 ，故此种情况不符合题意．
综上所述，满足条件的BN的长为2或 ．
故答案为：2或 ．
【点睛】本题主要考查了翻折的性质和勾股定理的运用，根据题意画出图形并分情况讨论是解题关键．
34．如图，在 中， ， ，D、E为 上两点， ，F为 外一
点，且 ， ，则下列结论：① ；② ；③ ；④
，其中正确的是（写代号）________．
【答案】①②③
【分析】根据等腰直角三角形的性质，判断出△AFB≌△AEC，即可得出CE=BF，根据勾股定理与等量代换
可得②正确，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出③，再根据勾股定理以及等量代换即可得出④．
【解析】解：①∵∠BAC=90°，FA⊥AE，∠DAE=45°，
∴∠CAE=90°-∠DAE-∠BAD=45°-∠BAD，
∠FAB=90°-∠DAE-∠BAD=45°-∠BAD，
∴∠FAB=∠EAC，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵FB⊥BC，
∴∠FBA=45°，
∴△AFB≌△AEC，
∴CE=BF，故①正确，
②：由①中证明△AFB≌△AEC，
∴AF=AE，
∵∠DAE=45°，FA⊥AE，
∴∠FAD=∠DAE=45°，
∴△AFD≌△AED，
连接FD，
∵FB=CE，
∴CE2+BD2=FB2+BD2=FD2=DE2，故②正确，
③：如图，设AD与EF的交点为G，
∵∠FAD=∠EAD=45°，AF=AE，
∴AD⊥EF，EF=2EG，
∴S ADE= •AD•EG= •AD• EF= • AD•EF，
△
故③正确，
④∵FB2+BE2=EF2，CE=BF，
∴CE2+BE2=EF2，
在Rt△AEF中，AF=AE，AF2+AE2=EF2，
∴EF2=2AE2，
∴CE2+BE2=2AE2，故④错误．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定定理以及等腰直角直角三角形的性质，此题涉及的知识
面比较广，解题时要注意仔细分析，难度较大．
