文档内容
特训 01 二次函数压轴题（十大母题型归纳）
目录：
题型1：存在性问题
题型2：最值问题
题型3：取值范围问题
题型4：定点问题
题型5：定值问题
题型7：二次函数与圆
题型8：对称、旋转问题
题型9：新定义问题
题型10：二次函数与解直角三角形
1．抛物线 与x轴交于 ，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线 ，点
D在抛物线上．
备用图
(1)求拋物线的解析式；
(2)如图，点D在 上方的抛物线上，当 的面积最大时，求点D的坐标；
(3)是否存在点D，使得 ？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在， 或
【分析】（1）利用待定系数法列方程组求解抛物线的解析式即可；
1（2）连接 ，过点D作 于点E，设 ，即可求得点C的坐标，即可求得 、
，再根据 确定关于面积的函数关系式，然后化为顶点式即可；
（3）分两种情况进行分析：当D在 上方时，当D在 下方时，分别画出相应图象，然后利用平行线
的性质及二次函数的性质求解即可
【解析】（1）解：∵ ，抛物线的对称轴为直线 ，
，
解得： ，
所以，抛物线的解析式为： ；
（2）解：如图：连接 ，过点D作 于点E，
，令 ，
解得 ，
∴ ，
设 ，
，
∵点D是 上方抛物线上的一个动点，
，
2，
令 ，则 ，
，
．
，
．
，
设
，
∴ ，
∴当 时，面积取得最大值，
此时 ，
的坐标为 ；
（3）解：存在点 ，使得 ，理由如下：
当D在 上方时，如图：
∵ ，
∴ ，
令 中， ，
即 ，
3解得： 或 ，
∴ ；
当D在 下方时，设 交x轴于K，如图：
∵ ，
∴ ，
设 ，
∵ ， ，
∴ ，
解得 ，
∴
设直线 的解析式为 ，将点 ， 代入得：
，解得 ，
∴ ，
联立 ，
4解得： 或 ，
∴
∴点D的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，两个函数的交点问题，坐标与图形，
不规则图形面积的求法，采用数形结合的思想及正确作出辅助线是解决此题的关键．
2．如图①，在平面直角坐标系 中．抛物线 与 轴交于 ， 两点 点 在点 右
侧 ， ，与 轴交于点 ．直线 经过点 ， ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图②，点 为 上方抛物线上一点，过点 作 轴交直线 于点 ，作 轴交直线
于点 ，求 周长的最大值；
(3)在(2)的条件下，若点 是 轴上的动点，点 为平面内一点，是否存在点 ， ，使得以 ， ， ，
为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当 时， 周长的最大值为
5(3)存在，点 的坐标为 ， 或 ， 或 ， 或 ， 或
，
【分析】（1）求出点 ， 的坐标，由 可得点 的坐标，利用待定系数法即可求解；
（2）设点 ， ，可得 、 的坐标，利用勾股定理求出 ， ， ，根据二次函
数的最值即可求解；
（3）分三种情况画出图形，根据菱形的性质即可求解．
【解析】（1）解：直线 ，令 得 ，
令 得 ，解得 ．
， ， ， ，
，
， ，
将 ， ， ， ， ， 代入 得，
，解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）设点 ，
轴，
，
，
6，
轴，
， ，
，
，
，
点 为 上方抛物线上一点，
，
，
的周长
，
当 时， 周长的最大值为 ；
（3）存在，
由（2）知 时， ，
，
设 ， ，
①线段 为菱形的边，四边形 为菱形时，如图，
7，
，
，
， 或 ， ，
四边形 为菱形，点 的坐标可由点 向右平移 个单位长度，向下平移 个单位长度得到，
点 可由点 向右平移 个单位长度，向下平移 个单位长度得到，
， 或 ， ；
②线段 为菱形的边，四边形 为菱形时，如图，
，
8，
，
， 或 ， ，
四边形 为菱形，点 的坐标可由点 向左平移 个单位长度，向上平移 个单位长度得到，
点 可由点 向左平移 个单位长度，向上平移 个单位长度得到，
， 或 ， ；
③线段 为菱形的对角线，四边形 为菱形时，如图，
，
，
，
设 ， ，
，解得 ，
，解得 ，
， ．
9综上所述，存在，点 的坐标为 ， 或 ， 或 ， 或 ，
或 ， ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求抛物线、坐标与图形性质、勾股定理、菱形的性质、
两点间的距离、二次函数的性质、一次函数的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握待定系数法和菱形的
性质，分类讨论是解题的关键．
3．如图，抛物线 交 轴于点 、 (点 在点 的左侧)，与 轴交于点 ，点 、 的坐标
分别为 ， ，对称轴 交 轴于 ，点 为抛物线顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 是直线 下方的抛物线上一点，且 ．求 的坐标；
(3) 为抛物线对称轴上一点，是否存在以 、 、 为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出点
的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) ，
(3) 或 或 或
【分析】（1）由点 、点 的坐标和对称轴的值列出方程组，即可求出抛物线解析式．
（2）由抛物线解析式可求出顶点 的坐标，进而求出 和 的面积，由面积可推出 的
边上的高 ，求出到 距离等于 的直线解析式，联立直线解析式和抛物线解析式，即可求出点 的
10坐标．
（3）若 是等腰三角形，通过作图画 两圆一线 来确定点 的位置，再根据半径的长度及勾股定
理求出点 的坐标．
【解析】（1）解：将点 ，点 代入抛物线解析式，由对称轴 ，
得
解得，
抛物线解析式为： ．
（2）将 代入抛物线解析式得： ，
顶点
，
，
设直线 解析式为： ，
将点 ，点 代入，
得
解得，
直线 的解析式为：
如图，设直线 与对称轴的交点为 ，将 代入
点 ，
11，
，
设 中 边上的高为 ，则 ，
如图，设在直线 下方的 轴上有一点 到 的距离为 ，且 ，
， ，
是等腰直角三角形
，
点 在过点 与直线 平行的直线上，
即将直线 向下平移 个单位长度即可得到直线 ，
直线 的解析式为：
联立 ，
解得： 或
点 的坐标为 ， ．
（3） 点 与点 关于对称轴 对称，点 ，
12点 ，
①如图，连接 ，以点 为圆心， 的长为半径画圆，与对称轴的交点即为所求点 ，此时 ，
为等腰三角形．
由图知：点 位于点 上方时， 、 、 三点共线，所以此点舍去；
点 位于点 下方时，点 与点 重合，此时点 的坐标为 ．
②如图，以点 为圆心， 的长为半径画圆，与对称轴的交点即为所求点 ，此时 ，
为等腰三角形．
在 中， ， ，
此时点 的坐标为 或 ．
13③如图，作线段 的垂直平分线，与 交于点 ，与 轴交于点 ，与对称轴的交点即为所求点 ，
此时 ， 为等腰三角形．
连接 ， 为线段 的垂直平分线，
，点 为 中点，
， ， 由中点坐标公式得点
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
解得： ，
点
设直线 的解析式为： ，
将 ， 代入解析式，
得 ，
解得 ，
直线 解析式为：
将 代入直线 解析式得： ，
14此时点 ．
综上所述：点Ｍ的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查求二次函数解析式、二次函数因动点产生的三角形面积问题、因动点产生的等腰三
角形问题，求出到底边的距离等于高的直线解析式，利用画“两圆一线”构造等腰三角形是解题的关键．
题型2：最值问题
4．如图1，直线 交x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线 与x轴
的另一交点为 ．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)点D是第二象限抛物线上一点，设D点横坐标为m．
①如图2，连接 ，求 面积的最大值；
②加图3，连接 ，将线段 绕O点顺时针旋转 ，得到线段 ，过点E作 轴交直线 于
F．求线段 的最大值及此时点D的坐标．
【答案】(1)
(2)① 的面积最大为4；② 最大为3，D点的坐标
15【分析】（1）先求出 的坐标，待定系数法求函数解析式即可；
（2）①连接 ，根据 ，转化为二次函数求最值即可；
②过点D作 于点H， 交y轴于点G，证明 ，设点D横坐标为m，则
，求出点E坐标，可得F点坐标为 ，表示出 ，然后根据二次函数的
性质求解即可．
【解析】（1）解：由题意可得，当 时， 当 时， ，解得 ，
∴ ， ，
代入 得，
，解得： ，
∴ ；
（2）①连接 ， ，
令 ，则 ，
解得 ， ，
∴ ，
16∵D在第二象限，
∴ ，
∴
．
当 时， 的面积最大为4，
②如图，过点D作 于点H， 交y轴于点G，
∴ ，
由旋转得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
设点D横坐标为m，则 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
又∵点D在第二象限， 绕点O顺时针旋转 得 ，
∴点E在第一象限．
17∴点E坐标为 ，
∵ 轴交直线 于点F，
∴点F的纵坐标与点E纵坐标相等，
将F点纵坐标 代入 ，得 ，
解得： ，
∴F点坐标为 ，
∴ ，
∴当 时， 最大，最大值为3，
当 时， ，
∴点D的坐标为 ，
∴线段 的最大值为3，此时点D的坐标为 ．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，待定系数法的应用，全等三角形的
判定和性质，旋转的性质，二次函数的应用等知识，作出合适的辅助线，熟练掌握数形结合思想的应用是
解题的关键．
5．如图，二次函数 的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接 ．
18(1)直接写出点B、C的坐标，B________；C________．
(2)点P是y轴右侧抛物线上的一点，连接 、 ．若 的面积 ，求点P的坐标．
(3)设E为线段 上任意一点（不含端点），连接 ，一动点M从点A出发，沿线段 以每秒1个单位
速度运动到E点，再沿线段 以每秒2个单位的速度运动到C后停止，求点M运动时间的最小值．
(4)若点Q在y轴上，当 取得最大值时，直接写出点Q的坐标________．
【答案】(1) ，
(2) 或 或
(3)点M的运动时间的最小值为7秒
(4) 或
【分析】（1）根据抛物线计算即可；
（2）利用同底等高的三角形面积相等构造与 平行直线，找到与抛物线的交点P；
（3）如图，在x轴上取一点G，连接 ，使得 ，作 于N．作 于 交
于 ．由点M的运动时间 ， ，推出点M的运动时间 ，根据垂线段最
短可知，当A，E，N关系，点N与 重合，点E与 重合时，点M的运动时间最少．由此即可解决问题；
19（4）构造以A、B为弦的圆，由圆周角性质，当圆与y轴相切时， 取得最大值．
【解析】（1）解：当 时， ，
当 时，
，
解得： ， ，
故答案为： ， ；
（2）解：设x轴上点D，使得 的面积 ，
，
解得： ，
， ，
则可求直线 解析式为： ，
故点D坐标为 或 ，
当D坐标为 时，过点D平行于 的直线l与抛物线交点为满足条件的P，
则可求得直线l的解析式为： ，
求直线l与抛物线交点得： ，
解得： ， ，
则P点坐标为 或 ，
同理当点D坐标为 时，直线l的解析式为 ，
求直线l与抛物线交点得： ，
20解得： （舍弃）， ，
则点P坐标为 ，
综上满足条件P点坐标为： 或 或 ；
（3）解：如图，在x轴上取一点G，连接CG，使得 ，作 于N．作 于 交
BC于 ．
，
，
，
，
直线 的解析式为 ，
点M的运动时间 ， ，
点M的运动时间 ，
根据垂线段最短可知，当A，E，N关系，点N与 重合，点E与 重合时，点M的运动时间最少．
由题意 ，
，
21，
点M的运动时间的最小值为7秒，此时 ．
（4）解：以 边为弦作圆，圆心F在x轴上方，当圆F与y轴切于点Q时， 取得最大值．
如图2：连接 、 、 ，作 于点H，
则可知 ，
，
，
∴点Q坐标为 ，
根据对称性可知，当点Q在x轴下方时，点Q的坐标为 ，
故答案为： 或 ；
【点睛】本题为代数几何综合题，考查了二次函数图象性质、一次函数图象性质及圆的有关性质，作辅助
线构造圆是解答本题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点
C，连接BC， ， ，点D是此抛物线的顶点．
22(1)求抛物线的解析式及点D坐标；
(2)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接 和 ，求 面积的最大值及此时点E的坐标；
(3)在（2）的条件下，当 的面积最大时，P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为
M，连接 ， ，探究 是否存在最小值，若存在，请直接写出此时点M的坐标；若不存
在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)当 时， 有最大值
(3)当 时 存在最小值
【分析】（1）求出 ， ，再将这两点代入 ，即可求函数解析式；
（2）过点 作 轴交 于点 ，求出直线 的解析式为 ，设 ，则
，则 ，即可求解；
（3）过 点作 轴的平行线，且 ，则四边形 是平行四边形，可得 ，作 点关于
轴的对称点 ，所以当 、 、 三点共线时， 的值最小，分别求出 ， ， ，
， ，在求出直线 的解析式为 ，直线与 轴的交点为 ，则 ．
【解析】（1） ， ，
， ，
23将 、 两点代入 ，
，
，
；
，
，
（2）如图1，过点 作 轴交 于点 ，
设直线 的解析式为 ，
，
，
，
设 ，则 ，
，
24，
当 时， 有最大值 ，此时 ；
（3） ，
，
令 ，则 ，
，
，
故答案为： ；
（3）①② 存在最小值，理由如下：
当 时， ， ，
，
抛物线的对称轴为直线 ，
垂直对称轴，
∴ 轴， ，
如图2，过 点作 轴的平行线，且 ，
四边形 是平行四边形，
，
作 点关于 轴的对称点 ，
25，
，
当 、 、 三点共线时， 的值最小，
， ， ，
， ，
，
，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
，
，
，
当 时 存在最小值．
【点睛】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质，会用待定系数法求函数解析式，通
过构造平行四边形，利用两点间线段最短求线段和的最短距离是解题的关键．
题型3：取值范围问题
7．在平面直角坐标系 中，抛物线 过点 ．
26(1)求 用含 的式子表示 ；
(2)抛物线过点 ， ， ，
①证明： ；
②若 ， ， 恰有两个点在 轴上方，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)①见解析；② 的取值范围是 或
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，
（1）把 代入 ，计算即可；
（2）①把 代入 ，得 ，把 代入 ，得 ，当
时， ， ，得 ；当 时， ， ，得
；即可得出结论；
②把 ， ， 代入 ，得 ， ， ．当 时，
抛物线开口向上，对称轴为 ，则抛物线在 时，取得最小值 ．所以 ， 在 轴上方， 在 轴
27上或 轴下方，则 ，解得 ．当 时，抛物线开口向下，对称轴为 ，所以抛物线在
时，取得最大值 ，且 ．所以 ， 在 轴上方， 在 轴上或 轴下方．则 ，解得
．
【解析】（1）解：把 代入 ，得
，
∴ ；
（2）解：①把 代入 ，得
，
由（1）知： ，
∴ ，
把 代入 ，得
，
，
当 时， ， ，
∴ ，
当 时， ， ，
∴ ，
绽上， ；
②由（1）知 ，
∴
28∴抛物线对称轴为 ．
∵抛物线过点 ， ， ，
∴ ， ， ．
当 时，抛物线开口向上，对称轴为 ，
∴抛物线在 时，取得最小值 ．
∵ ， ， 恰有两点在 轴上方，
∴ ， 在 轴上方， 在 轴上或 轴下方．
∴ ，解得 ．
当 时，抛物线开口向下，对称轴为 ，
∴抛物线在 时，取得最大值 ，且 ．
∵ ， ， 恰有两点在 轴上方，
∴ ， 在 轴上方， 在 轴上或 轴下方．
∴ ，解得 ．
综上， 的取值范围是 或 ．
8．在平面直角坐标系中，二次函数 的图象交 轴于点 和点 ，与 轴交于点 ，
顶点为 ．
29(1)求此二次函数的关系式．
(2)若点 是直线 上方的抛物线上一点，且 ，求点 的坐标．
(3)点 为二次函数 图象上任意一点，其横坐标为 ，过点 作 轴，点
的横坐标为 ．已知点 与点 不重合，且线 段的长度随 的增大而减小．求出线段 与二次
函数 的图象只有 个公共点时， 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) 或 ；
(3) 或 ．
【分析】( )根据待定系数法求出函数解析式即可；
( )利用平行线的 值相等，解出 的解析式，联立方程组解得 坐标即可；
( ) ，由 的长度随 的增大而减小，得 ，分两种情况进行讨论求出
的取值范围．
【解析】（1）将 和 代入 得：
30，
解得 ，
∴二次函数的关系式为 ；
（2）∵ ，
∴抛物线顶点 ，
当 时， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得： ，
∴直线AC的解析式为 ，
过点 作 ，交抛物线于点 ，连接 ，
31则 ，
设直线 的解析式为 ，
将 代入，得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
联立方程组得， ，
解得： 或 ，
∴ 或 ；
（3）∵点 在抛物线 上，
∴点 ，
∴ ，
当 时， ， 的长度随 的增大而减小，
当 时， ， 的长度随 增大而增大，
∴ 满足题意，解得 ，
抛物线 的对称轴为直线 ，
①当 时， 到对称轴直线 的距离为 ，
当 时，线段 与二次函数 的图象只有 个公共点，如图所示，
32∴ ，
解得 ，
∴ ；
②当 时，如图所示，
线段 与二次函数 的图象只有 个公共点；
综上所述，线段 与二次函数 的图象只有 个公共点时， 的范围是：
或 ．
【点睛】本题考查了二次函数综合应用，涉及待定系数法、线段与抛物线的交点等知识，解题的关键是根
据题意，列出不等式，利用数形结合解决问题．
题型4：定点问题
9．已知抛物线 与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
33图1 图2
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)如图1，点P为直线 下方抛物线上一点， 于点D，求 的最大值；
(3)如图2，M、N是抛物线上异于B、C的两个动点，若直线 与直线 的交点始终在直线 上．
求证：直线 必经过一个定点，并求该定点坐标．
【答案】(1) ，点 ，点 ；
(2) 的最大值为 ；
(3)直线 恒过定点 ．
【分析】（1）令 和 ，解方程可求解；
（2）过点P作 轴于E，交 于点F，利用待定系数法可得直线 的解析式为 ，设
，则 ，则 ，再证得 ，可得
，得出 ，再运用二次函数的性质即可求得答案；
（3）设点 ，直线 ，直线 ，直线 ，
将点C、B的坐标代入可得： ，联立直线 与抛物线的解析式可得出 ，
，同理： ， ，进而可得： ，
34，根据直线 与直线 的交点始终在直线 上，可得 ，
，即直线 ，故直线 恒过定点 ．
【解析】（1）对于 ，令 ，则 ，
∴ ，
∴点 ，点 ，
令 ，则 ，
∴点 ；
（2）过点P作 轴于E，交 于点F，如图1：
设直线 的解析式为 ，
将点 代入 得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ 轴，
35∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 最大为 ；
（3）证明：如图2，设点 ，
直线 ，直线 ，直线 ，
将点 代入直线 的解析式得： ，
将点 代入直线 的解析式得： ，
联立直线 与抛物线的解析式得： ，
36整理得： ，
则 ， ，
同理： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
联立直线 与直线 的解析式得： ，
解得： ，
∵直线 与直线 的交点始终在直线 上，
∴ ，
化简得： ，
∴ ，
∴直线 ，
∴不论 为何值，均有 时， ，
即：直线 恒过定点 ．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函
数图象的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，函数的最值，相似三角形的判定与性质等知识，利
用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
3710．如图1，抛物线 与 轴交于A， 两点（点A在点 左边），与 轴交于点 ，
点 在抛物线上，且 的面积为 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 在第三象限内的抛物线上，当 的面积为21时，求点 的坐标；
(3)如图2，直线 交抛物线于 ， 两点，直线 ， 分别与 轴的正、负半轴交
于 ， 两点，且 ．求证：直线 必过定点，并求出这个定点的坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析，顶点坐标为
【分析】（1）根据解析式求出A、B两点坐标得到 的长，再根据 的面积为 求出 的长度即点
C纵坐标，代入解析式得到a的值，即可求解；
（2）过 作 轴交 的延长线于点 ，将 代入抛物线解析式得到P点坐标，进而得到直线
解析式，设 ，点 ，根据 的面积为21，根据
建立关于m的方程，即可求解；
（3）根据P点坐标，分别设出 解析式，将M、N两点坐标表示出来，再根据 求出
38m、n的关系，从而得到直线 解析式，当m为0时即为定点．
【解析】（1）解：令 ， ，
， ，
令 ，则 ，
，
，
抛物线的解析式为： ；
（2）解：过 作 轴交 的延长线于点 ，
令 ， ，
，
设直线 的解析式为： ，
将 ，代入 ，得： ，
解得： ，
39直线 的解析式为： ，
设 ， ，
，
，
，
， （舍去），
；
（3）解：设 的解析式为： ， 的解析式为： ，
， ，
，
，
，
联立直线 与抛物线得： ，
，
同理： ，
联立直线 与抛物线得： ，
， ，
即： ， ，
， ，
40，
，即：顶点坐标为 ．
【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式等知识，令常
数前的值为0是解答定点题目的关键．
题型5：定值问题
11．已知抛物线 （ ， ， 为常数，且 ）与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左
侧）．
(1)当 ， ，求证抛物线与 轴有交点；
(2)若抛物线与 轴交于点 ，当 是直角三角形时，求 的值；
(3)若抛物线与 轴只有一个公共点 ，与 轴交于 ，直线 ： 与抛物线交于 、
两点（ 在 的左侧），过点 且与 轴平行的直线与直线 相交于点 ，判断点N的纵坐标是否为
一个定值？如果是，请求出这个定值：如果不是，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)点 的纵坐标是一个定值，定值为 ，理由见解析．
【分析】（1）由已知条件，将 ， 代入 ，得到关于 的一元二次方程
，此方程 ，所以此方程有实数根，进而证明抛物线与 轴有
交点；
（2）根据已知条件设 ， ，由 是直角三角形知 ，即
，化简得到 ，因为 ，故 ；
（3）根据已知条件先求出抛物线的表达式 ，然后设 、 ，利用根与系数
41的关系得到 ， ，设直线 的解析式为 ，将 ， 代入，
得到直线 的解析式为 ，当 时， ，得到
，所以点 的纵坐标是一个定值，定值为 ．
【解析】（1）解：根据题意得：
当 ， ，
令 ，
关于 的一元二次方程 ，
一元二次方程 至少有一个实数根，
抛物线与 轴有交点．
（2）
如图，设 ， ，
在 中，
令 得 ，
42，
， 是 的两个实数根，
，
是直角三角形，
即
或
当 时，不能构成 ，舍去，
．
（3）点 的纵坐标是一个定值，理由如下：
抛物线与 轴只有一个公共点 ，与 轴交于 ，
，
，
设直线 ： 与抛物线交于 、
，
整理得
43，
设直线 的解析式为 ，将 ， 代入，
得 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
当 时，
， ，
故点 的纵坐标是一个定值，定值为 ．
【点睛】本题考查了抛物线与 轴的交点问题，根与系数的关系，直线与抛物线的交点问题，根据点的坐
标求直线解析式，熟练运用根与系数的关系是解答本题的关键．
12．如图1，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 点．
44(1)直接写出A，B，C点的坐标；
(2)点D是抛物线上一点，点E位于第四象限．若由B，C，D，E四点组成的平行四边形面积为30，求E
点坐标；
(3)如图2所示，过 作两条直线分别交抛物线于第一象限点 ， ，交 轴于 ， ， ．当
为定值时，直线 是否必定经过某一定点？若经过，请你求出该定点坐标（用含 的式子表示）；若不经
过，请说明理由．
【答案】(1)点 、 、 的坐标分别为： 、 、
(2)点 的坐标为：
(3)直线PQ过点
【分析】（1）对于 ，当 时， ，当 时， 或3，即可求解；
（2）①当 是边时，用数形结合的方法求出点 ，即可求解；当 在 上方时，同理可解；②
当 是对角线时，由 ，即可求解．
（3）求出 ，同理可得： ，进而求解．
【解析】（1）对于 ，当 时， ，
当 时， 或3，
即点 、 、 的坐标分别为： 、 、 ；
45（2）由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： ， ，
①当 是边时，如下图，
当 在 下方时，
设 交 轴于点 ，过点 作 于点 ，
则由 ， ， ， 四点组成的平行四边形面积 ，
则 ，
由 知， ，
则 ，
则点 ，
则直线 的表达式为： ，
联立 和 并解得： （舍去）或 ，
即点 ；
点 向右平移3个单位向下平移3个单位得到点 ，
则点 向右平移3个单位向下平移3个单位得到点 ，
故点 ；
当 在 上方时，
46同理可得：直线 的表达式为： ，
经验证，该方程和抛物线无交点，
即无解；
②当 是对角线时，如下图：
则 ，
设点 ，则点 ，
则 ，
则 ，
该方程无解；
综上，点 的坐标为： ；
（3）经过定点，理由：
设点 、 的坐标分别为： 、 ，
由点 、 坐标得，直线 的表达式为： ，
当 时， ，
同理可得： ，
则 ，
即 ，
设直线 的表达式为： ，
47联立 和二次函数表达式并整理得： ，
则 ， ，
则 ，
即 ，
则 的表达式为： ，
则直线 过点 ．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形面积的计算、平行四边形的性质，分类讨论是本
题解题的关键．
13．如图1，抛物线 与x轴于交 ， 两点，交y轴于点C，连接 ，点D为
上方抛物线上的一个动点，过点D作 于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求线段 的最大值，并求出此时点D的坐标；
(3)如图2，将抛物线 沿y轴翻折得到抛物线 ，抛物线 的顶点为F，对称轴与x轴交于点G，过点
的直线（直线 除外）与抛物线交于J，I两点，直线 分别交x轴于点M，N. 试探究
是否为定值，若是，求出该定值：若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)线段 的最大值 ，此时D点坐标为
48(3)8
【分析】（1）利用待定系数法求解析式；
（2）过点D作 轴于点F，交 于点G，则 轴，得 为等腰直角三角形，求出直线
解析式为 ，设点D坐标为 ，列得 ，当 时， 最
大，此时 ， ，线段 的最大值 ；
（3）由翻折得抛物线 的解析式为 ，可设直线JI的解析式为 ，
直线FJ的解析式为 ，当 时， ，得 ， ，
同理可求： ，故 的定值为8
【解析】（1）解： 抛物线经过点 ，
抛物线的解析式为
（2）如图1，过点D作 轴于点F，交 于点G，则 轴，
49图1
抛物线解析式为
∵ 轴
为等腰直角三角形
，
设直线 解析式为
解得， ， ，
直线 解析式为
设点D坐标为
点G坐标为
50当 时， 最大，此时 ，
线段 的最大值 ，此时D点坐标为 ；
（3）是定值，理由如下：
将抛物线 沿y轴翻折得到抛物线
的解析式为
直线JI经过 ，
可设直线JI的解析式为
、I在抛物线上，
可设 ， ，
，
整理得： ，
， ，
，
51设直线FJ的解析式为 ，则有
解得 ，
直线FJ的解析式为 ，
当 时， ，
解得： ，
，
，
同理可求： ，
52；
故 的定值为8
【点睛】此题考查二次函数综合知识，待定系数法求函数解析式，线段最值，二次函数与抛物线的交点问
题，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键
题型6：动点问题
14．如图1所示，抛物线 与x轴交于点A，与直线 交于点 ，点 在y轴上．
点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止．
(1)求抛物线 的表达式；
(2)当 时，请在图1中过点P作 交抛物线于点D，连接 ， ，判断四边形 的
形状，并说明理由．
(3)如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，
点P停止运动时点Q也停止运动．连接 ，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)四边形 是平行四边形，理由见解析
(3) 的最小值为
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）由点 在 上，可得 ， ；连接 ，由B、C的坐标可得 ，从而
得点P是中点，因此得点P的横坐标，即可求得点D的坐标，分别求得 的长，即可作出判断；
53（3）连接 ．在 上方作 ，使得 ， ，证明 ，则
；在 中利用勾股定理即可求得最小值 的长．
【解析】（1）解：∵抛物线 过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：四边形 是平行四边形．
理由：如图1，作 交抛物线于点 ，垂足为 ，连接 ， ．
∵点 在 上，
∴ ， ，
连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
54∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 轴， 轴，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
（3）解：如图2，由题意得， ，连接 ．
在 上方作 ，使得 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ （当 ， ， 三点共线时最短），
∴ 的最小值为 ，
∵ ，
∴ ，
即 的最小值为 ．
【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的判定，勾股定理，
55等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，求不共端点的两条线段和的最小值通过转化
为共端点的两线段和的最小值是常用的解法．
15．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像与x轴交于点 和点 ，
与y轴交于点C，顶点为点D．
(1)求二次函数表达式和点D的坐标；
(2)连接 、 ，求 外接圆的半径；
(3)点P为x轴上的一个动点，连接 ，求 的最小值；
(4)如图2，点E为对称轴右侧的抛物线上一点，且点E的纵坐标为 ，动点M从点C出发，沿平行于x轴
的直线a向右运动，连接 ，过点M作 的垂线b，记直线b与抛物线对称轴的交点为N，当直线b与
直线a重合时运动停止，请直接写出点N的运动总路程．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）把 和点 代入 求出b和c的值，即可得出函数表达式，将其
56化为顶点式，即可求出点D的坐标；
（2）先求出点C的坐标，再根据两点之间的距离公式，求出 ，根据勾股定理
逆定理，得出 ，最后根据直角三角形的外心与斜边中点重合，即可求解；
（3）过点P作 于点M，作 关于x轴的对称线段 ，
则 ，点M关于x轴的对称点 在 ， ，通过证明 ，得出
，则
当点 三点共线时， 取最小值，即为 的长度，用等面积法求出 的长度即可；
（4）连接 ，先求出点 ，根据 ， ，可设 ， ，再根据
两点之间的距离公式得出 ， ， ， ，然后根据勾股定理可得：
，即可得出n关于m的表达式 ，将其化为顶点式后可
得当 时，n随m的增大而减小，当 时，n随m的增大而增大，再求出当 时，点N经
过的路程为，以及当 时，点N经过的路程为，即可求解．
【解析】（1）解：把 和点 代入 得：
，解得： ，
∴该二次函数的表达式为： ，
∵ ，
∴点D的坐标为 ；
57（2）解：把 代入 得 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 外接圆半径 ；
（3）解：过点P作 于点M，作 关于x轴的对称线段 ，
则 ，点M关于x轴的对称点 在 上， ，
，
，
，
，
当点 三点共线且 时， 取最小值，即为 的长度，
，
，即 的最小值为 ．
58（4）解：连接 ，
把 代入 得 ，
解得： ，
∴ ，
∵ ， ，
∴设 ， ，
∴ ， ， ， ，
根据勾股定理可得： ，
∴ ，
整理得： ，
∴ ，
∴当 时，n随m的增大而减小，当 时，n随m的增大而增大，
∵动点M从点C出发，直线b与直线a重合时运动停止， ，
∴ ，
59∵当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴当 时，点N经过的路程为： ，
当 时，点N经过的路程为： ，
∴点N经过的总路程为： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式，直角三角形外
接圆圆心为斜边中点，胡不归问题的解决方法，以及勾股定理和二次函数图象上点的坐标特征和勾股定理．
题型7：二次函数与圆
16．如图1，已知抛物线 经过原点 ，它的对称轴是直线 ，动点 从抛物线的顶点 出
发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点 运动的时间为 秒，连接 并延长交抛物线于
点 ，连接 ， ．
60(1)求抛物线的函数解析式；
(2)当 为直角三角形时，求 的值；
(3)如图2， 为 的外接圆，在点 的运动过程中，点 也随之运动变化，请你探究：在 时，
求点 经过的路径长度．
【答案】(1) ；
(2)当 为直角三角形时， 的值为1或2或5；
(3) 经过的路径长度为
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）分 分别为直角，三种情况讨论，利用勾股定理进行求解即可；
（3）根据 为 的外接圆，可知，点 在线段 的中垂线上，当 时，点 的运动路径是
在线段 中垂线上的一条线段，分别求出当 、 和 时，点 的坐标，然后利用两点间的距离
公式，进行求解即可．
【解析】（1）解： 抛物线 经过原点 ，且对称轴是直线 ，
， ，
则 、 ，
61抛物线解析式为 ；
（2）解：设点 ，
，
点 ，
则 、 、 ，
①若 ，则 ，
解得 （舍 或 ，
，
则直线 解析式为 ，
当 时， ，即 ，
；
②若 ，则 ，
解得 （舍 或 ，
，
则直线 解析式为 ，
当 时， ，即 ，
；
③若 ，则 ，
整理，得： ，
，
，
62，
，
则 或 （舍 ，
，
直线 解析式为 ，
当 时， ，即 ，
；
综上，当 为直角三角形时， 的值为1或2或5．
（3） 为 的外接圆，
点 在线段 的中垂线上，
当 时，点 的运动路径是在线段 中垂线上的一条线段，
当 时，如图1，
由（2）知 ，
此时 的外接圆圆心 是 的中点，
，
；
当 时，如图2，
63由（2）知， ，
此时 的外接圆圆心 是 的中点，
、 ，
；
当 时，如图3，
由（2）知， ，
此时 的外接圆圆心 是 的中点，
，
；
64则点 经过的路径长度为 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用二次函数的性质，以及数形结合，
分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性强，属于中考压轴题．
17．如图，已知二次函数 的图象与x轴相交于 两点．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）若M是第一象限内线段 上任意一点（不与B，C重合）， 轴于点H，与二次函数的图象
交于点P，连接 ．设点M的横坐标为t，当 是直角三角形时，求点M的坐标．
（3）如图，若M是直线 上任意一点，N是x轴上任意一点，且 ．以N为旋转中心，将 逆
时针旋转 ，使M落在Q点连接 ，则线段 的最值为_______．（直接写出答案）
【答案】（1） ；（2） 或 ；（3）最小值为 ，最大值为
【分析】（1）根据A、B坐标，利用待定系数法求解；
（2）求出BC表达式，分∠CPM=90°和∠PCM=90°两种情况分别求解；
（3）作 的外接圆⊙ ，连接 ， ， ， ，过点 作 于点 ，过点 作
交 的延长线于 ，分析出当Q，O′，B，三点共线时，BQ可取得最值，再求解．
【解析】解：（1）设抛物线的表达式为： ，
∴ ，得 ，
∴ ．
65（2）令 ， ，
∴ 点坐标为 ，
设直线BC解析式为： ，
，解得 ，
∴ ，
∵ 点的横坐标为 ，
∴ 点坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ，
当 时，则 轴， 是等腰直角三角形，
∴ ．
设 点坐标为 ，
∴ ， ，
∴ ，
整理得： ，
解得： ， （舍），
∴ 点坐标为 ，
当 时，则 ，
过 作 于 ，则 轴，
66∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
整理得： ，
解得： ， （舍），
∴ 点坐标为 ，
综上所述， 点坐标为 或 ．
（3）作 的外接圆⊙ ，连接 ， ， ， ，过点 作 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
67∴ ，
∵ ，
∴ ，
过点 作 交 的延长线于 ，
∵ ，
∴ ，
∵MN绕点 逆时针旋转 得到NQ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形QKGN是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴当且仅当 ， ， 三点共线时，BQ取得最值，
即 ，
∴ ，
∴线段BQ的最小值为 ，线段BQ的最大值为 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，还涉及外接圆的性质，待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，
难度较大，解题时要结合图形，画出辅助线，解题的关键是根据三点共线得到取最值时的情况．
题型8：对称、旋转问题
18．如图1，抛物线 与 轴交于点 ，点 ，与 轴交于点 ，点 是第一象
限内抛物线上的一个动点，过点 作 轴于 ，交 于点 ．
68(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，过 作 于 ，若 ，求点 的坐标；
(3)如图3，连结 ，当四边形 是矩形时，点 在抛物线的对称轴上，若点 关于直线 的对称点
恰好落在直线 上，求点 的坐标．
【答案】(1) ；
(2)点 的坐标为 ；
(3)点 的坐标为 或 ．
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先用待定系数法求出直线 的解析式，再设 ，则 ，得出
；然后通过相似三角形的判定定理证明 ，得出 ，再根据 ，
，求出 ，从而求出 ，然后得到关于 的方程，解方程求出 的值，从而求出 的坐
标；
（3）分点 在线段 和线段 的延长线上两种情况讨论，然后由线段垂直平分线的性质，中点的性质，
矩形的性质求点 的坐标即可．
【解析】（1） 抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
69，
解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）设直线 的解析式为 ，
代入 ， 得： ，
解得 ，
直线 的解析式为 ；
轴交 于点 ，
设 ，则 ，
，
于 ，
，
又 ，
，
，
，
，
， ，
在 中， ，
70，
，
，
整理得 ，
解得
当 时， ，
点 的坐标为 ；
（3） ，
抛物线的对称轴为直线 ，
四边形 为矩形，
， ，
点 与点 关于直线 对称，
， ，
如图1，当点 关于直线 的对称点 落在线段 上时，
设抛物线对称轴交 于点 ，交 于点 ，
点 为 中点， ，
，
71，
中，
，
点 关于直线 的对称点 落在 上，
为线段 的垂直平分线，
，
又 ，
，
，
，
，
，
点 的坐标为 ；
如图2，当点 关于直线 的对称点 在线段 的延长线上时，
过 作 轴于 ，连结 交直线 于点 ，则 为线段 的垂直平分线，
， ，
又 ， ，
，
，
，
72，
， ，
的坐标为 ，
点 为 的中点，
，
设直线 的解析式为 ，
把点 代入解析式得， ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
点 的坐标为 ，
综上所述，点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合题，关键是掌握二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，矩形的性
质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质等知识．
19．如图1，抛物线 与 轴交于 、 两点且 ，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的对称轴和解析式；
(2)抛物线的对称轴上有一点 ，连接 ，以 为旋转中心顺时针旋转 后，点 的对应点 恰好落
73在抛物线上，求点 坐标；
(3)如图2，点 是抛物线顶点，点 是抛物线上一点，连接 ， 交于 ，当 时，求点
的坐标．
【答案】(1)抛物线的对称轴为 ，解析式为
(2) 或
(3)
【分析】（1）根据抛物线 、 、 ，计算求出抛物线的对称轴和解析式即可；
（2）设 ，过 作 轴于 ，过 作 于 ，利用 证明 ，得
出 ， ，表示出 ，代入 中，得到方程
求解，即可得出点 的坐标；
（3）延长 交 轴于点 ，连接 、 ，根据点 、 、 的坐标，得出 、 、 的长，根
据勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，推出 ，证明 ，则根据 ，
计算得出点 的坐标，设直线 的解析式为 ，把 、 代入求出完整解析式，
和抛物线解析式联立得 ，计算得出点 的坐标即可．
【解析】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵抛物线的对称轴为 ， ，
∴ ， ，
74∴ ， ，
∴把 代入 得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：设 ，
如图，过 作 轴于 ，过 作 于 ，
又∵连接 ，以 为旋转中心顺时针旋转 后，点 的对应点 恰好落在抛物线上，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴点 的横坐标为 ，纵坐标为 ，
∴ ，
75∴把 代入 中，
得： ，
解得： ， ，
∴点 坐标为 或 ；
（3）解：如图，延长 交 轴于点 ，连接 、 ，
∵抛物线的对称轴为 ，解析式为 ，
∴顶点 纵坐标 ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
，
，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
76∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴设直线 的解析式为 ，
把 、 代入得： ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
当 时， ，
∴点 的坐标为 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质，结合全等三角形的判定与性质、解一元
二次方程、勾股定理及其逆定理、相似三角形的判定与性质、求一次函数解析式等知识点，综合性较强，
熟练掌握知识点、作辅助线、数形结合是解题的关键．
20．已知抛物线 与轴交于点 和点 两点，与 轴交于点 ．
77(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 是抛物线上不与点 ， ， 重合的一个动点，过点 作 轴，垂足为 ，连接 ．
①如图，若点 在第一象限，且 ，求点 的坐标；
②直线 交直线 于点 ，当点 关于直线 的对称点 落在 轴上时，求线段 的长．
【答案】(1)
(2)① ，② 或
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）①过 点作 轴交 于点 ，由题意可得 ，从而得到方程 ，
求出 即可求点 ， ；
②设 ， ，求出直线 的解析式可知 ，然后可求出点 ，然后可
分类求解即可
【解析】（1）解：将点 和点 代入 ，
∴ ，
解得 ，
78∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：①当 时， ，
∴
设 ，
∵ 点在第一象限，
∴ ，
过 点作 轴交 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴
解得 （舍）或 ，
∴ ；
②设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
79当 在 轴正半轴上时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 、 的中点为 在直线 上，
∴ ，
解得 ，
∴
∴
当 在 轴负半轴上时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 、 的中点为 在直线 上，
∴ ，
解得 ，
∴
∴
∴综上所述： 的长为 或
80【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，轴
对称的性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
题型9：新定义问题
21．定义：在平面直角坐标系中，有一条直线 ，对于任意一个函数，作该函数自变量大于 的部分
关于直线 的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于 的部分共同构成一个新的函数图象，则这个
新函数叫做原函数关于直线 的“镜面函数”．
例如：图①是函数 的图象，则它关于直线 的“镜面函数”的图像如图②所示，且它的“镜面
函数”的解析式为 ，也可以写成 ．
(1)在图③中画出函数 关于直线 的“镜面函数”的图象．
(2)函数 关于直线 的“镜面函数”与直线 有三个公共点，求 的值．
(3)已知抛物线 ，关于直线 的“镜面函数”图像上的两点 ， ，
81当 ， 时，均满足 ，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2) 或
(3)
【分析】（1）根据“镜面函数”的定义画出函数 的“镜面函数”的图象即可；
（2）分直线 过“镜面函数”图象与直线 的交点和与原抛物线相切两种情况求解即可；
（3）根据题意可作出对应的函数图象，再根据二次函数的性质可得出关于 的不等式组，解之即可得出结
论.
【解析】（1）解： 如图，即为函数函数 关于直线 的“镜面函数”的图象，
（2）如图,
82对于 当 时, ，
∴函数 与y轴的交点坐标为 ,
当直线 经过点 时, ；
此时 关于直线 的“镜面函数”与直线有三个公共点，
当直线 与原抛物线只有一个交点时，则有： ，
整理得
此时 ，
解得 ，
综上， 的值为 或 ；
（3）根据题意可知，该抛物线的“镜面函数”为：
函数图象如图所示：
当 时，如图，点 关于直线 的对称点为 ，关于 的对称点为
若当 时，均满足
则需满足 ，
解得
83故答案为：
【点睛】本题考查二次函数的综合应用； 理解并运用新定义“镜面函数”，能够将图象的对称转化为点
的对称，借助图象解题是关键.
22．定义：若一个函数图象上存在纵坐标与横坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“互逆
点”
(1)若点 是一次函数 的图象上的“互逆点”，则k= ；若点 是函数 的
图象上的“互逆点”，则n=
(2)若点 是二次函数 的图象上唯一的“互逆点”，求这个二次函数的表达式；
(3)若二次函数 （ 是常数， ）的图象过点 ，且图象上存在两个不同的“互逆
点” ，且满足 ，如果 ，请求出z的取值范围．
【答案】(1)2； 或
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意直接代入求解即可得出结果；
（2）根据题意得出抛物线 与直线 的唯一交点为 ，然后利用根的判别式及点在
函数上组成方程组求解即可；
（3）根据题意得出 ，确定 、 是方程 的两个不相等实数根，利用根于系数的
关系及完全平方公式变形得出 ，再由不等式的性质确定取值范围
即可．
【解析】（1）解：根据题意得 ，
∴ ，
∴ ，
84解得： ；
∵点 是函数 的图象上的“互逆点”，
∴ ，解得： 或 ；
故答案为：2； 或
（2）点 是二次函数 的图象上唯一的“互逆点”，
即抛物线 与直线 的唯一交点为 ，
∴方程 有两个相等的实数根为： ，
∴
∴ ，
∴二次函数的表达式为 ；
（3）∵二次函数 （A，b是常数， ）的图象过点 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 图象上存在两个不同的“互逆点” ，
∴ ， ，
∴ ， ，,
∴ 、 是方程 的两个不相等实数根，
∴ ， ，
∵ ，
85∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ 或 ，
∵ ，
∴ 或 ，,
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】题目主要考查一元二次方程及二次函数的基本性质，不等式的性质，理解新定义的运算方法，运
用一元二次方程及二次函数的基本性质是解题关键．
题型10：二次函数与解直角三角形
23．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴， 轴的交点分别为 ，且经过 两点的
抛物线 与 轴的另外一个交点为点 ．
86(1)求抛物线的解析式；
(2)已知 是直线 下方的抛物线上的一动点（不包括 两点）．
①过点E作与x轴垂直的直线 交直线 于点 ，若点 为 轴上的一动点，当线段 的长度最大时，
求 的最小值；
②当 时，求点 的坐标．
【答案】(1) ；
(2)① ；②
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）①过点 作 于点 ，则 ， 、 、 共线时，
最小，进而求解；
②求出 ，得到 ，进而求解．
【解析】（1）对于 ，当 时， ，
87令 ，则 ，
故点 、 的坐标分别为 、 ，
将点 、 的坐标代入抛物线解析式得： ，
解得： ，
故抛物线的解析式为： ；
（2）①设点 ，则点 ，
则 ，
，故 有最大值，
此时 ，即点 ，
过点 作 ，使 和 轴负半轴的夹角为 ，过点 作 于点 ，
则 ，
则 ，则 、 、 共线时， 最小，
则直线 和 轴的夹角为 ，故 的解析式为： ，
直线 的解析式为： ，
88联立 和 并解得： ，
则点 ，
由点 、 的坐标得， ；
②过点 作 于点 ，
由 的表达式知， ，
由点 、 的坐标得， ，
则 ，
则 ，
则 ，
，
则 ，
即直线 和 轴正半轴的夹角为 ，
故直线 的解析式为： ，
89联立 和 并解得： ，
即点 ．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合运用，考查了待定系数法求函数的解析式，解直角三角形，一次函
数的基本性质等，其中，确定线段和的最值是本题解题的关键．
24．已知：抛物线 交 轴于 、 （ 左 右），交 轴正半轴于点 ，且 ．
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，点 为第一象限抛物线上一点，连接 ， 交 轴于点 ，设 的横坐标为 ， 的长为 ，
求 与 的函数解析式（不要求写出自变量 的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点 作 轴于点 ，延长 至点 ，使得 ，连接 交
于点 ，且 ，连接 交抛物线于 ，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由图像可得 点坐标，代入函数解析数即可求解；
（2）如图，过 点作 于 ， 轴于点 ，表示出点 坐标，由正切公式可表示出 与 的
关系，即可求出；
（3）如图，过点 作 于点 ，使 ，过点 作 于点 ，连接 ， ，证明四
边形 是平行四边形，利用正切公式求出 与 的值，得到 点坐标，然后表示出 的正切值，
90从而求出 点坐标．
【解析】（1）解：∵抛物线 交 轴于 、 ，交 轴正半轴于点 ，
当 时，可得： ，
解得： 或 ，
当 时，可得： ，
∴ ， ， ，
∵
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）如图，过 点作 于 ， 轴于点 ，
∵抛物线 ，点 的横坐标为 ， 的长为 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 与 的函数解析式为 ；
91（3）如图，过点 作 于点 ，使 ，过点 作 于点 ，连接 ， ，
设 ，则 ，
由（2）知： ， 轴，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ 轴， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（2）得： ，
92∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
即 ，
∴ ， ，
∴ ，
设 点坐标 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
【点睛】本题属于二次函数的综合题，考查了待定系数法确定二次函数的解析式，函数图像上点的坐标特
征，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，锐角三角函数的应用等知识点．解题的关键是
通过作辅助线构造平行四边形．
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