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特训01 特殊平行四边形压轴题（五大题型归纳）
题型1：存在性问题
1．如图，平面直角坐标系中直线 ： 分别与 轴， 轴交于点 和点 ，过点 的直线
与 轴交于点 ， ．
(1)求直线 的解析式；
(2)若 为线段 上一点， 为线段 上一点，当 时，求 的最小值，并求出此
时点 的坐标；
(3)在（2）的结论下，将 沿射线 方向平移得 ，使 落在直线 上，若 为直线 上
一点， 为平面内一点，当以点 为顶点的四边形为菱形时，请直接写出点 的坐标．
【答案】(1)
(2) ，
(3) ， ， ，
【分析】（1）根据直线 的解析式可以求得点 的坐标，再结合点 的坐标，用待定系数法可以求出
直线 的解析式；
（2）根据 可以求出 的面积，设点 是 轴上一点，且满足 ，过
1点 作直线 的平行线，与直线 的交点就是点 ，进而求出点 的坐标，求 的最小值，关
键是对 进行转化，利用垂线段最短可求出此时点 的坐标；
（3）先根据题意，找到点 的坐标，根据菱形的性质，可求出点 的坐标．
【解析】（1）解：在 中，令 ，得 ，
，
令 ，得 ，
，
，
，
设直线 的解析式为 ，将 ， 代入得，
，解得 ，
直线 的解析式为 ；
（2）解：由 可得 ，
，
，
设点 是 轴上一点，且满足 ，
，
2，
过点 作直线 的平行线，与直线 的交点就是点 ，
记直线 的解析式为 ，将 代入可得 ，
直线 的解析式为 ，
联立 ，解得 ，
则 ，显然点 为 的中点，
如图，作点 关于 轴的对称点 ，则 ，作直线 ，则直线 的解析式为： ，
过点 作 于点 ，交 轴于点 ，点 即为所求，
易得直线 的解析式为： ，则 ；
（3）Ⅰ.如图，当 为菱形的一条边时，
时，如图所示，过点 作 轴于点 ，
3根据题意可得， ，则 ，
则 ，
易得 ，则 ，
由 ，可得 ，
在Rt 中， ， ，
，
，
同理可得， ；
时，如图所示，
根据题意可得， ， 轴，
；
4Ⅱ.如图，当 为菱形的一条对角线时，
根据题意可得， ， 轴，
又 ，
可得 ；
综上，当以点 为顶点的四边形为菱形时， 的坐标分别为： ，
， ， ．
【点睛】本题属于一次函数综合题，考查平移变换，菱形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的
关键是熟练掌握待定系数法，学会构建一次函数解决直线的交点问题．
2．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将 绕
点O顺时针旋转 得 （点A与点C对应，点B与点D对应）．
5(1)求直线 的解析式；
(2)点E为线段 上一点，过点E作 轴交直线 于点F，作 轴交直线 于点G，当
时，求点E的坐标；
(3)如图2，若点M为线段 的中点，点N为直线 上一点，点P为坐标系内一点，且以O，M，N，P
为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点N的坐标为 或 或
【分析】（1）先求出点A和点B的坐标，得出 和 的长度，再根据旋转的性质，得出点C和点D的
坐标，最后用待定系数法即可求出直线 的解析式；
（2）设 ，则可将点F和点G的坐标表示出来，进而得出 的表达式，最后根据
列出方程求出a的值，即可进行解答；
（3）根据题意进行分类讨论：① 为矩形的边时；② 为矩形的对角线时．
【解析】（1）解：把 代入 得： ，
6把 代入 得： ，解得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ 绕点O顺时针旋转 得 ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的函数解析式为 ，
把 代入得：
，解得： ，
∴直线 的函数解析式为 ．
（2）∵ ，
∴ ，
∵点E在线段 上，
∴设 ，
∵ 轴， 轴，
∴点F的横坐标为a，点G的纵坐标为 ，
把 代入 得： ；
把 代入 得： ，解得： ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
7解得： ．
∴ ．
（3）①当 为矩形的边时，
过点M作 ，交直线 于点 ，过点O作 ，交直线 于点N，过点N作 交
于点P，过点 作 交 于点 ，
根据作图可得：四边形 和四边形 都是矩形，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 绕点O顺时针旋转 得 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵点M为线段 的中点， ，
∴ ， ，即点N为 中点，
∵ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
把点 代入得： ，
∴直线 的解析式为 ，
8∵ ，
∴设直线 的解析式为 ，
把 代入得： ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
联立直线 和直线 的解析式为：
，解得： ，
∴ ，
②当 为矩形的对角线时，
过点M作 轴于点P，过点M作 轴于点N，
∵ ， ，
∴ 轴，
过一点有且只有一条直线与已知直线平行，
∴点C和点N重合，
∴ ，
9综上：点N的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合运用，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法，
中点坐标公式，旋转的性质，矩形的性质．
3．如图，直角三角形 在平面直角坐标系中，直角边 在y轴上， 的长分别是一元二次方程
的两个根， A，且 ，P为 上一点，且 ．
(1)求点A的坐标；
(2)求过点P的反比例函数解析式；
(3)点M在第二象限内，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，请
直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
10(2)
(3)存在． ， ，
【分析】（1）用因式分解法求出方程的两个根即可求解；
（2）根据 求出点P的坐标，然后用待定系数法求解即可；
（3）分3种情况，画出图形，结合图形特点求解即可．
【解析】（1） ，
，
， ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
（2）∵ ，
∴ ．
∴点P的坐标为 ．
设过点P的反比例函数解析式为 ．将点 代入，得 ．
∴过点P的反比例函数解析式为 ．
（3）存在．
如图1，当 为正方形 的对角线时，
11过点M作 交 的延长线于点E，过点C作 交直线 于点F．
∵四边形 是正方形，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
，
∴ ．
设 ，则 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， （舍去），
∴ ，
∴ ．
12∵把 先向右平移7个单位，再向上平移1个单位得 ，
∴把 先向右平移7个单位，再向上平移1个单位得 ；
如图2，当 为正方形 的边时，
过点N作 于点H，
∵四边形 是正方形，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
如图3，当 为正方形 的边时，
13由图2可知， ，
∵把 先向右平移6个单位，再向上平移8个单位得 ，
∴把 先向右平移6个单位，再向上平移8个单位得 ；
综上可知，点N的坐标为： ， ， ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，解一元二次方程，待定系数法求反比例函数解析式，全等三角形的判
定与性质，以及平移的性质，作出辅助线构造全等三角形是解（3）的关键．
4．如图1，直线 与x轴，y轴分别交于A，B两点， 交于点C，直线 与y轴交
于点G．平移线段 ，点B，C的对应点 、 分别在直线 和y轴上，连接 ．
14(1)若C点横坐标为4，求k的值；
(2)若 ，求点C的坐标；
(3)如图2，作点E关于直线 的对称点F，连接 ，是否存在四边形 是平行四边形的情况，若存
在；求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在四边形 是平行四边形的情况， 或
【分析】（1）求得C点坐标，代入求解即可；
（2）根据平移的性质可得 ， ，再结合 得到四边形 是矩形，得到点
为 的中点，也是 的中点，设 ， ，利用勾股定理建立方程求解即可；
（3）设 ，代入 ，可得 ，即 ，利用平行四边形的性
质可得 ， ，得到点 ，运用待定系数法求得直线 的解析式为
，根据轴对称的性质可得 ，求解即可．
【解析】（1）解：在 中，令 ，
∴ ，
把 代入 ，得： ，
∴ ；
（2）如图1，连接 ，
15∵平移线段 ，点B，C的对应点 、 ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ 与 互相平分，即点G是 、 的中点， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
解得： （舍去）或 ，
∴ ；
（3）存在四边形 是平行四边形的情况， 或 ．
在 中，令 ，
∴ ，
16设 ，代入 ，
得： ，
∴ ，
∴ ，
如图，设 、 交点为 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
∵点E、点F关于直线 对称，
∴ ，
∴ ，
解得： ， ；
故存在四边形 是平行四边形的情况， 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数综合题，考查了一次函数的综合应用，掌握一次函数的图象与性质，平移变
换的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质是解题的关键．
5．在平面直角坐标系中，已知矩形 ，点 ，现将矩形 绕点 逆时针旋转
17得到矩形 ，点 ， ， 的对应点分别为点 ， ， ．
(1)如图1，当点 恰好落在边 上时，则 的长为______(请直接写出答案)；
(2)如图2， 所在直线与 、 分别交于点 、 ，且 ．求线段 的长度．
(3)如图3，设点 为边 的中点，连接 ， ， ，在矩形 旋转过程中， 的面积是否存
在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在， 的面积的最大值为
【分析】（1）在 中，利用勾股定理即可解决问题；
（2）由 可证 ( )可得 ，由 可证 ，可得
， ，可得点 与点 重合，点 ，点 ，点 三点共线，在 中，勾股
定理，可求 的长，由三角形中位线定理可求解；
18（3）根据三角形的底边 的长度固定，当 边上的高最大时即可求解，连接 ，当 轴于点
时，则 ，此时 面积最大，利用 ，求得 ，再根据三角形面积公
式即可求解．
【解析】（1）解：∵四边形 ．点 ， )，
， ， ，
矩形 是由矩形 旋转得到，
，
在 中， ，
;
故答案为： ．
（2）如图 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ，连接 ，
， ，
四边形 是矩形，
，
， ， ，
( )，
，
又 ，
19( )，
， ，
又 ，
点 与点 重合，
， ，
，
点 ，点 ，点 三点共线，
，
，
，
设
在 中， ，
，
，
，
，
， ，
；
（3）解：依题意， ，
， ，
，
当 边上的高最大时， 面积最大，
如图，当 轴于点 时，则 ，此时 面积最大，
连接 ，
20，
的面积的最大值为 ．
【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形
的面积，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程
解决问题．
题型2：动态问题
6．点 是线段 上的动点，分别以 ， 为边在 的同侧作正方形 与正方形 ．
(1)如图1，连接 ， ，判断 与 的位置关系和数量关系，并证明；
(2)如图2，将正方形 绕点 逆时针旋转，使得点 落在线段 上， 交 于点 且点 恰好是
的中点，连接 ， ，若 ， ，求 ；
21(3)如图3，将正方形 绕点 旋转至如图的位置，且 ，连接 ， 交于点 ，连接 ，请
直接写出 ， ， 之间的数量关系．
【答案】(1) ， ，证明见详解
(2)
(3)
【分析】（1）延长 交 于点 ，证明 ，由全等三角形的性质得出 ，
，由直角三角形的性质可得出结论；
（2）过点 作 于点 ，证明 ，得出 ，证明
，由全等三角形的性质得出 ， ，求出 的长，由三角形面
积公式可得出答案；
（3）在 上截取 ，连接 ，证明 ，由全等三角形的性质得出 ，
，证明 ，由全等三角形的性质得出 ，由等腰直角三
角形的性质可得出结论．
【解析】（1） ， ．
证明：如图1，延长 交 于点 ，
在正方形 和正方形 中， ， ， ，
在 和 中，
22，
，
， ，
，
，
；
（2）过点 作 于点 ，
，
，
， ，
，
又 ， ，
，
，
， ， ，
，
， ，
，
，
，
，
23；
（3） ．
证明：在 上截取 ，连接 ，
正方形 和正方形 中， ，
， ，
，
，
， ，
平分 ，
，
又 ， ，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定
与性质等知识，证明三角形全等是解决问题的关键．
7．在矩形 中， ， ， 、 是对角线 上的两个动点，分别从 、 同时出发相向而
24行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为 秒，其中 ．
(1)若 ， 分别是 ， 中点，则四边形 一定是怎样的四边形（ 、 相遇时除外）？
答：________；（直接填空，不用说明）
(2)在（1）条件下，若四边形 为矩形，求 的值；
(3)在（1）条件下，若 向 点运动， 向 点运动，且与点 ， 以相同的速度同时出发，若四边形
为菱形，求 的值．
【答案】(1)四边形 是平行四边形
(2) 或
(3)
【分析】（1）利用三角形全等可得 ， ，则 ，即可证明；
（2）分为两种情况，一种是四边形 为矩形，另一种是 为矩形，利用 即可求解；
（3）根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形 为菱形，再利用勾股定理即可求解．
【解析】（1）解：四边形 是平行四边形，
理由如下：
由题意得： ，
四边形 是矩形，
， ，
，
， 分别是 ， 中点，
， ，
，
，
， ，
25，
，
四边形 是平行四边形；
故答案为：四边形 是平行四边形；
（2）解：如图，连接 ，
，
由（1）得 ， ， ，
四边形 是矩形，
，
①如图，当四边形 是矩形时，
，
，
，
，
；
②如图，当四边形 是矩形时，
，
， ，
，
26；
综上，四边形 为矩形时 或 ；
（3）解：如图，连接 ， ， ， 与 交于 ，
，
四边形 为菱形，
， ， ，
， ，
四边形 为菱形，
，
设 ，则 ，
由勾股定理可得： ，
即： ，
解得： ，
，即 ，
当 时，四边形 为菱形．
【点睛】本题考查矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识点，
解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用．
8．已知，四边形 是正方形， 绕点 旋转 ， ， ，连接 、
．
27(1)如图1，求证： ：
(2)直线 与 相交于点G．
①如图2， 于点 ， 于点 ，求证：四边形 是正方形；
②如图3，连接 ，若 ， ，直接写出在 旋转的过程中，线段 长度的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据 证明三角形全等即可；
（2）①根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；②作 交 于点 ，作 于点 ，证
明 是等腰直角三角形，求出 的最小值，可得结论．
【解析】（1）解：证明： 四边形 是正方形，
， ，
， ，
，
，
；
（2）①证明：如图，设 与 相交于点 ．
28，
，
，
．
，
．
，
， ，
四边形 是矩形，
四边形 是正方形，
， ，
．
又 ，
，
，
矩形 是正方形；
②作 交 于点 ，作 于点 ，
29此时 ．
，
， ，
最大时， 最小， ，
，
由（2）①可知， 是等腰直角三角形，
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判
定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
9．综合与实践
定义：将宽与长的比值为 （ 为正整数）的矩形称为 阶奇妙矩形．
（1）概念理解：
当 时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（ ）与长
的比值是_________．
（2）操作验证：
用正方形纸片 进行如下操作（如图（2））：
第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为 ，连接 ；
第二步：折叠纸片使 落在 上，点 的对应点为点 ，展开，折痕为 ；
30第三步：过点 折叠纸片，使得点 分别落在边 上，展开，折痕为 ．
试说明：矩形 是1阶奇妙矩形．
（3）方法迁移：
用正方形纸片 折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．
（4）探究发现：
小明操作发现任一个 阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点 为正方形 边
上（不与端点重合）任意一点，连接 ，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形 的周长
与矩形 的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3） ，理由见解析
【分析】（1）将 代入 ，即可求解．
（2）设正方形的边长为 ，根据折叠的性质，可得 ，设 ，则 ，在
中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解；
（3）仿照（2）的方法得出2阶奇妙矩形．
（4）根据（2）的方法，分别求得四边形 的周长与矩形 的周长，即可求解．
【解析】解：（1）当 时， ，
故答案为： ．
（2）如图（2），连接 ，
31设正方形的边长为 ，根据折叠的性质，可得
设 ，则
根据折叠，可得 ， ，
在 中， ，
∴ ，
在 中，
∴
解得：
∴
∴矩形 是1阶奇妙矩形．
（3）用正方形纸片 进行如下操作（如图）：
第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为 ，再对折，折痕为 ，连接 ；
第二步：折叠纸片使 落在 上，点 的对应点为点 ，展开，折痕为 ；
第三步：过点 折叠纸片，使得点 分别落在边 上，展开，折痕为 ．
矩形 是2阶奇妙矩形，
32理由如下，连接 ，设正方形的边长为 ，根据折叠可得 ，则 ，
设 ，则
根据折叠，可得 ， ，
在 中， ，
∴ ，
在 中，
∴
解得：
∴
当 时，
∴矩形 是2阶奇妙矩形．
（4）如图（4），连接诶 ，设正方形的边长为1，设 ，则 ，
33设 ，则
根据折叠，可得 ， ，
在 中， ，
∴ ，
在 中，
∴
整理得，
∴四边形 的边长为
矩形 的周长为 ，
∴四边形 的周长与矩形 的周长比值总是定值
【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
10．如图①，四边形 是正方形， ， 分别在边 、 上，且 ，我们称之为“半
角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将 绕点 顺时针旋转
，点 与点 重合，连接 、 、 ．
34(1)试判断 ， ， 之间的数量关系；
(2)如图②，点 、 分别在正方形 的边 、 的延长线上， ，连接 ，请写出
、 、 之间的数量关系，并写出证明过程．
(3)如图③，在四边形 中， ， ， ，点 ， 分别在边 ，
上， ，请直接写出 ， ， 之间数量关系．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
(3)
【分析】（1）首先利用 证明 ，得 ，从而得出答案；
（2）在 上取 ,连接 ，首先由 ，得 ， ，再
利用 证明 ，得 ，即可证明结论；
（3）将 绕点 逆时针旋转 得 ，由旋转的性质得点 、 、 共线，由（1）同理可得
，得 ，从而解决问题．
【解析】（1）解： ，
证明如下：
如图：
四边形 是正方形，
，
，
35由旋转的性质可得： ， ， ， ，
，
点 、 、 共线，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
；
（2）解： ，
证明如下：
如图，在 上取 ，连接 ，
，
四边形 是正方形，
， ，
，
，
在 和 中，
36，
，
， ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，将 绕点 逆时针旋转 得 ，
， ， ，
，
，
点 、 、 共线，
，
37，
，
，
在 和 中，
，
，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用
旋转构造全等三角形是解题的关键．
11．在 中， ， ，点O为AB的中点，点D在直线 上（不与点A，B重
合），连接 ，线段 绕点C逆时针旋转90°，得到线段 ，过点B作直线 ，过点E作 ，
垂足为点F，直线 交直线 于点G．
(1)如图1，当点D与点O重合时，请直接写出线段 与线段 的数量关系；
(2)如图2，当点D在线段 上时，求证： ；
(3)连接 的面积记为 ， 的面积记为 ，当 时，请直接写出 的值．
【答案】(1)
(2)见解析
38(3)
【分析】（1）连接 ，由 ，得 ，根据线段 绕点C逆时针旋转 ，得
到线段 ，有 ，可得 ，从而 ，知
是等腰直角三角形， ，故 ；
（2）由 ，O为 的中点，得 ， ，证明
，得 ，根据 ，即得 ；
（3）由 ，设 ，则 ，分两种情况：当D在线段 上时，延长 交
于K，由 ，得 ，而四边形 是矩形，有 ， ，
根据勾股定理可得 ，故 ，
，即得 ；当D在射线 上时，延长 交 于T，同理可得 ．
【解析】（1）解： ，理由如下：
连接 ，如图：
∵ ，
∴ ，
∵线段 绕点C逆时针旋转90°，得到线段 ，
∴ ，
39∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵直线 ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：如图，
∵ ，O为 的中点，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
40（3）解：由 ，设 ，则 ，
当D在线段 上时，延长 交 于K，如图：
由（2）知 ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ , ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
当D在射线 上时，延长 交 于T，如图：
41同理可得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，O为AB的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上所述， 的值为 或 ．
【点睛】本题考查等腰直角三角形中的旋转问题，涉及三角形全等的判定于性质，矩形的判定与性质，三
角形面积等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．
题型3：情景探究题
12．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，点E、F分别在正方形 的边 上， ，连接 ，试猜想
之间的数量关系
(1)思路梳理：
把 绕点A逆时针旋转 至 ，可使 与 重合，由 ，得， ，
即点F、D、G共线，易证 _________，故 之间的数量关系为_________．
(2)类比引申：
42如图2，点E、F分别在正方形 的边 的延长线上， ．连接 ，试猜想
之间的数量关系为_________，并给出证明．
(3)联想拓展：
如图3，在 中， ，点D、E均在边 上，且 ．若
，直接写出 和 的长．
【答案】(1) ，
(2) ，证明见解析
(3) ，
【分析】（1）先根据旋转得： ，计算 ，即点 、 、 共线，再根据
证明 ，得 ，可得结论 ；
（2）作辅助线：把 绕点 逆时针旋转 至 ，证明 ，得 ，所以
；
（3）同理作辅助线：把 绕点 逆时针旋转 至 ，证明 ，得 ，先
由勾股定理求 的长，证明 ，求出 ， ，继而得到 ，过A作 ，垂
足为 ，根据等腰直角三角形的性质求出 ，可得 ，利用勾股定理可得 ．
【解析】（1）解：如图1，把 绕点 逆时针旋转 至 ，可使 与 重合，即 ，
由旋转得： ， ， ， ，
，
即点 、 、 共线，
四边形 为矩形，
，
，
，
，
，
43在 和 中，
，
，
，
；
故答案为： ， ；
（2）如图2， ，理由是：
把 绕点 逆时针旋转 至 ，可使 与 重合，则 在 上，
由旋转得： ， ， ，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
；
（3）如图3，把 绕点 逆时针旋转 至 ，可使 与 重合，连接 ， ，
44由旋转得： ， ， ，
， ，
，
，
，
， ，
由勾股定理得： ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
过A作 ，垂足为 ，
∵ ， ，
45∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质，通过类比联想，引申拓展，可
达到解一题知一类的目的，本题通过旋转一三角形的辅助线作法，构建另一三角形全等，得出结论，从而
解决问题．
13．综合与实践
如图①，四边形 是正方形， 是边 上一点， ，且 交正方形外角平分线 于点 ，
求证 （不需要证明），对于本题，我们常用的思路是在 上截取 ，如图⑦构造全等三
角形进行证明．
小明通过深度研究，又总结出了以下三种思路：
思路一：如图②，在 的延长线上截取 ，使 连接 ， 利用全等三角形和特殊四边形，
转化得到线段之间的数量关系，获证．
思路二：如图③，连接 ，过点 作 于点 ， ，交 的延长线于点 ，利用全等三
角形，获证．
思路三：如图④，连接 ，过点 作 ，交 于点 ，利用全等三角形，获证．
【进一步探究】小明继续对这道题目进行了改编，请完成下面改编题目的解答．
四边形 是正方形， 是直线 上一点， 交正方形外角平分线 于点 ．
(1)如图⑥，若点 在边 上， ，则 的度数为______；
46(2)如图⑤，若点 在边 的延长线上， ，线段 与线段 存在怎样的数量关系？并加以证
明；
(3)如图⑧，四边形 是正方形， 是边 上一点， ，且 交正方形外角平分线 于点
，过 作 垂直 交 的延长线与 ， ， ，则 的长为_______．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析．
(3)
【分析】（1）连接 ，过点 作 于点 ， ，交 的延长线于点 ，在线段 的延
长线上任取一点 ，先证得四边形 为正方形，进而可证明 ，即可求得答案．
（2）延长 至点 ，使 ，连接 ，可证得 ， ，进而可证得
．
（3）在线段 上取一点 ，使 ，过点 作 ，交 于点 ，过点 作 ，交
的延长线于点 ，可证得 ，进而证得 ，根据
，即可求得答案．
【解析】（1）如图所示，连接 ，过点 作 于点 ， ，交 的延长线于点 ，在
线段 的延长线上任取一点 ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∴ ．
又 ，
47∴ ．
又 ，
∴四边形 为矩形．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴四边形 为正方形．
∴ ．
在 和 中
∴ ．
∴ ．
又 ， ，
∴ ．
故答案为： ．
（2） ，理由如下：
如图所示，延长 至点 ，使 ，连接 ．
根据题意可知 ，
∴ ．
又 ， ， ，
∴ ．
∵ ， ， ， ，
∴ ．
∴ ．
48∵ 平分 ，
∴ ．
∴ ．
在 和 中
∴ ．
∴ ．
（3）如图所示，在线段 上取一点 ，使 ，过点 作 ，交 于点 ，过点 作
，交 的延长线于点 ．
根据题意可知 ， ．
∵ ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
在 和 中
49∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
在 和 中
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查正方形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理，能根据题意构建辅助
线是解题的关键．
14．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，点 、 分别在正方形 的边 、 上， ，连接 ，试猜想 、 、
之间的数量关系．
50(1)思路梳理
把 绕点 逆时针旋转 至 ，可使 与 重合，由 ，得 ，
即点 、 、 共线，易证 ≌ ，故 、 、 之间的数量关系为_________；
(2)类比引申
如图2，点 、 分别在正方形 的边 、 的延长线上， ，连接 ，试猜想 、
、 之间的数量关系为，并给出证明．
(3)联想拓展
如图3，在 中， ， ，点 、 均在边 上，且 ，若
， ，求DE的长．
【答案】(1) ， ；
(2) ，理由见解答过程；
(3) ．
【分析】（1）先根据旋转得： ，计算 ，即点 、 、 共线，再根据
证明 ≌ ，得 ，可得结论 ；
（2）如图2，同理作辅助线：把 绕点 逆时针旋转 至 ，证明 ≌ ，得
，所以 ；
（3）如图3，同理作辅助线：把 绕点 逆时针旋转 至 ，证明 ≌ ，得
，先由勾股定理求 的长，从而得结论．
【解析】（1）解：思路梳理：
如图1，把 绕点 逆时针旋转 至 ，可使 与 重合，即 ，
51由旋转得： ， ， ， ，
，
即点 、 、 共线，
四边形 为矩形，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
≌ ，
，
；
故答案为： ， ；
（2）解：类比引申：
如图2， ，理由是：
52把 绕点 逆时针旋转 至 ，可使 与 重合，则 在 上，
由旋转得： ， ， ，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
≌ ，
，
；
（3）解：联想拓展：
如图3，把 绕点 逆时针旋转 至 ，可使 与 重合，连接 ，
由旋转得： ， ， ，
， ，
，
，
，
， ，
由勾股定理得： ，
， ，
，
53，
，
，
，
，
，
≌ ，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质，通过类比联想，引申拓展，可
达到解一题知一类的目的，解题的关键是通过旋转一三角形的辅助线作法，构建另一三角形全等，得出结
论，从而解决问题．
15．【问题情境】
(1)同学们我们曾经研究过这样的问题：已知正方形 ，点 在 的延长线上，以 为一边构造正方
形 ，连接 和 ，如图 所示，则 和 的数量关系为______，位置关系为______．
【继续探究】
(2)若正方形 的边长为 ，点 是 边上的一个动点，以 为一边在 的右侧作正方形 ，
连接 、 ，如图 所示，
①请判断线段 与 有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
②连接 ，若 ，求线段 长．爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点 作 ，如图 ，你
能按照她的思路做下去吗？请写出你的求解过程．
【拓展提升】
(3)在（2）的条件下，点 在 边上运动时，利用图 ，则 的最小值为______．
【答案】(1) ，
54(2)①结论： ， ，理由见解析，②
(3)
【分析】（1）由“ ”可证 ，可得结论．
（2）①延长 ， 交于点 ，由“ ”可证 ，可得 ，由四边形内角和定
理可求 ，可得结论．
②过点 作 ，交 延长线于点 ，由“ ”可证 ，可得 ，
，由勾股定理可求解．
（3）说明点 的运动轨迹是直线 ，直线 与直线 之间的距离为4，作点 关于直线 的对称
点 ，连接 ， ．在 中，可得 ．根据 求解即可．
【解析】（1）解：如图1中，延长 交 于 ．
四边形 是正方形，四边形 是正方形，
， ， ，
，
， ，
，
，即 ，
，
故答案为： ， ．
（2）解：①结论： ， ．
理由：如图，延长 ， 交于点 ，
55四边形 是正方形，四边形 是正方形，
， ， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
．
②如图3，过点 作 ，交 延长线于点 ，
， ，
，
，
，
又 ， ，
56，
， ，
，
．
（3）解：如图4中，
由（2）可知， ，
点 的运动轨迹是直线 ，直线 与直线 之间的距离为4，
作点 关于直线 的对称点 ，连接 ， ．
在 中， ， ， ，
， ，
，
，
，
的最小值为 ，
故答案为 ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称最短问题等知
识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最值问题，属于中考压轴题．
题型4：解答证明题
16．如图，在正方形 中，E是 上的一点（不与端点A，B重合），连接 ，过点A作 的垂
线，分别交 、 于点F、H．在 上取点G，使得 ，连接 ， ．
57(1)求证： ；
(2)①若 ，则 °；
②改变 的度数， 的度数是否会发生变化？若发生变化，请写出 与 之间的数量
关系，若不改变，请说明理由；
(3)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)① ；②改变 的度数， 的度数不会发生变化，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据正方形的性质和 证明 即可；
（2）①先根据 是 的垂直平分线可得 ，由等腰三角形的性质和正方形的性质可得
， ，最后由角的和与差可得结论；
②将 换成 ，同理可得 ；
（3）如图2，过点C作 于M，先证明 是等腰直角三角形，根据三角形全等和勾股定理可
得： ，由面积法可得 ，证明 （ ），可得 ，最后由勾
股定理可得 的长．
【解析】（1）证明： 四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
在 和 中，
58，
（ ）；
（2）解：① ， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ；
②改变 的度数， 的度数不会发生变化，理由如下：
设 ，则 ，
由①知： ，
，
，
，
，
，
的度数不会发生变化；
59（3）解：如图2，过点C作 于M，
， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
由（1）知： ，
， ，
,
，
，
，
，
，
在 和 中
（ ），
，
，
60．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，勾股
定理等知识，掌握相关的性质及判定方法是解题的关键．
17．如图1，E为正方形 对角线 上一点（不与B，D重合），F为 中点，作 于G，
连接 ， ．
(1)直接写出线段 与 的数量关系和位置关系，不必证明；
(2)将 绕点B逆时针旋转 （ ）．
①如图2，若 ，（1）中的结论是否还成立，若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
②如图3，若 ，连接 且满足 ，直接用等式表示线段 ， ， 之间的数量关
系，不必证明．
【答案】(1) ，
(2)①（1）中的结论成立，证明见解析；②
【分析】（1）如图1，延长 到M，使 ，连接 ， ， ，分别证明
和 ，得到 ， ，则 是等腰直角三
角形，根据等腰直角三角形的性质可得结论；
（2）①如图2，延长 到M，使 ，连接 ， ， ，同（1）中方法，分别证明
和 ，得到 ， ，则 是等腰直角三
角形，根据等腰直角三角形的性质可得结论；
②如图3，延长 到M，使 ，连接 ， ， ， 同①中方法，可证得 ，
，利用勾股定理可得关系式．
【解析】（1）解： ， ．理由：
61如图1，延长 到M，使 ，连接 ， ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
∵F为 中点，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，C、D、M共线，则 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
则 是等腰直角三角形，又 ，
∴ ， ；
（2）解：①（1）中的结论，即 ， ．
证明：如图2，延长 到M，使 ，连接 ， ， ，
62同（1），∵ ，又 ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 绕点B逆时针旋转 ，结合（1）中的 ，
∴ 绕点D逆时针旋转 ，则 ，
∴在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
则 是等腰直角三角形，又 ，
∴ ， ；
②如图3，延长 到M，使 ，连接 ， ， ，
同①中方法，可证得 ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
63∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、旋转性质、
勾股定理等知识，添加辅助线构造全等三角形，结合等腰直角三角形的性质探究线段之间的关系是解答的
关键．
18．如图，在矩形 中， 平分 交 于E，连接 ， ．
(1)如图1，若 ， ，求 的长；
(2)如图2，若点F是 边上的一点，若 ，连结 交 于G，
①猜想 的度数，并说明理由；
②若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)① ，理由见解析；②
【分析】（1）由矩形的性质得 ， ， ，由角平分线的性质
得出 ，则 是等腰直角三角形，得出 ，推出 ，由勾
股定理得出 ；
（2）①连接 ，由（1）得 ， ，由 证得 ，得出 ，
，证明 是等腰直角三角形，即可得出结论；
②根据矩形的性质得到 ，求得 ，过D作 于M，根据余角的性
质得到 ，得到 ，过A作 于N，根据等腰三角形的性质得到
，根据全等三角形的性质得到 ，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）解：∵四边形 是矩形，
64∴ ， ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）① ，
理由：连接EF，如图所示：
由（1）得： ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ；
②∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
过D作 于M，
∴ ，
65∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由①知， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过A作 于N，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由①知， ，
∴ ， ，
66∴ ．
【点睛】本题考查了四边形的综合题，矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与
性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．
19．已知，菱形 中， ， 、 分别是边 和 上的点，且 ．
(1)求证： ．
(2)如图2， 在 延长线上，且 ，求证： ．
(3)如图3，在（2）的条件下 ， ，点 是 的中点，求 的长．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)
【分析】（1）连接 ，如图1，根据菱形的性质得 ，即可判定 为等边三角形，得到
， ，然后利用 可证明 ，即可解答；
（2）过点F作 ，交 的延长线于点H，利用平行线的性质求得 是等边三角形，得到
，然后利用 定理求得 ，从而问题得解；
（3）过点B作 ，交 于点K，根据两组对边分别平行求得四边形 是平行四边形，从而求
得 ， ，A作 ，然后利用含 的直角三角形的性质以及勾股定理求得
， ，即有 ，在 中，利用勾股
定理可得 ，问题随之得解．
67【解析】（1）连接 ，如图1，
∵四边形 为菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）过点F作 ，交 的延长线于点H，如图2，
在（1）中已证 为等边三角形，
∵ ，
68∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
又∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）过点B作 ，交 于点K，如图3，
∵ ， ， ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
过点A作 ，
由（2）可知， ，
∴在 中， ，
69∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，及平行四边形的判定和性质，含
角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，题目有一定的综合性，正确添加辅助线解题是关键的突
破点．
题型5：相似三角形在特殊平行四边形中的应用
20．如图①，已知点 在正方形 的对角线 上， ，垂足为点 ， ，垂足为点 ．
（1）【证明与推断】
①求证：四边形 是正方形：
②推断： 的值为______；
（2）【探究与证明】：将正方形 绕点 顺时针方向旋转 度（ ），如图②所示，试探
究线段 与 之间的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展与运用】：正方形 在旋转过程中，当 ， ， 三点在同一直线上时，如图③所示，延
长 交 于点 ．
①求证：
②若 ， ，求 的长．
【答案】（1）①证明见解析；② ；（2） ；（3）①证明见解析，②
【分析】（1）①由 、 结合 可得四边形 是矩形，再由 即
70可得证； ②由正方形性质知 、 ，据此可得 、 ，利用平行线
分线段成比例定理可得；
（2）连接 ，只需证 即可得；
（3）①证明 ，结合 ，可得结论； ②证 ，则
，设 ，则 ， 求解 ， ，
， 由 建立方程可得答案．
【解析】解：（1）①∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ 、 ，
∴ ，
∴四边形 是矩形， ，
∴ ，
∴四边形 是正方形；
②由①知四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）连接 ， 由旋转性质知 ，
在 和 中，
，
∴ ，
71∴ ，
∴线段 与 之间的数量关系为 ；
（3）①∵正方形 ，正方形 ，A， ， 三点在同一直线上，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
②由①知， ，则 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ， 则 ，
∴ ，
∴由 ，得 ，
解得： ，
即 ．
【点睛】本题主要考查相似形的综合题，旋转的性质，解题的关键是掌握正方形的判定与性质、相似三角
形的判定与性质等知识点．
21．如图：在如图1所示的平面直角坐标系中，直线 交x轴于点A，交y轴于点B，点C与点A关
于y轴对称．
72(1)求直线 的解析式；
(2)如图2，点E在线段 上，点D在线段 上，且 ，若点E的横坐标为t，三角形 的面积
为S，求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图3，在（2）问的条件下，点H是点B关于x轴的对称点，连接 ，过点B作 的垂线，交
于点G，交x轴于点F，交 于点K，若 ，求点E的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先根据直线 求出 ，再根据条件求出 ，之后用待定系数法求解
即可；
（2）过E作 轴于M，根据条件可得 是等腰直角三角形，进而表示出
，再求出 ，即可求解；
（3）作 于M，作 于N，设 ，由题意可得，四边形 是正方形，进而
可证 ，根据相似三角形的性质可求 ，同理可证得： ， ，求
出 ， ，根据 ，设 ，即可求解．
73【解析】（1）解：在 中，令 得 ，令 得 ，
，
∵点C与点A关于y轴对称，
，
设直线 的解析式为 ，将 代入得：
，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ；
（2）解：如图：
过E作 轴于M，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵点E的横坐标为t，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴三角形 的面积 ；
（3）解：如图2，
74作 于M，作 于N，
设 ，
∵ ，
∴ ，
由题意可得，四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
同理可证得： ，
∴ ，
∴ ，
75∴ ，
由 得，
，
∴ ，
同理可证得： ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
同理证得： ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
76【点睛】本题考查了求一次函数解析式，等腰直角三角形及正方形性质，相似三角形的判定和性质等知识，
解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
22．已知：在 中， ， ，且点 ， 分别在矩形 的边 ， 上．
(1)如图 ，当点 在 上时，求证： ；
(2)如图 ，若 是 的中点， 与 相交于点 ，连接 ，求证： ；
(3)如图 ，若 ， ， 分别交 于点 ， ，求证：
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
(3)详见解析
【分析】（1）先用同角的余角相等，判断出 ，即可得出结论；
（2）先判断出 ，得出 ， ，进而判断出 ，即可得出结论；
（3）先判断出 ， ，进而判断出 ，得出 ，进而得出
，判断出 ，即可得出结论．
【解析】（1）证明： 四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
77；
（2）证明：如图 ，延长 ， 相交于 ，
，
由（1）知， ，
，
点 是 的中点，
，
在 和 中，
，
， ，
，
，
，
；
（3）证明：如图 ，过点 作 交 的延长线于 ，
78，
同（1）的方法得， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，以及等腰三角形的判定和
性质，作出辅助线是解决本题的关键．
23．在综合与实践课上老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动．
79（1）操作判断：
在 上选一点 ，沿 折叠，使点 落在正方形内部的点 处，把纸片展平，过 作 交 、
、 于点 、 、 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ，如图①，当 为 中点时，求证
是等边三角形．
（2）迁移探究：
如图②，若 ，且 ，求正方形 的边长；如图③，若 ，直接写出
的值为______ ．
【答案】（1）见解析；（2） ， ．
【分析】（1）由折叠的性质可得 ， ，利用平行线的性质得
，进而得 ， ，再利用直角三角形中线的性质可得
，即可证明 为等边三角形；
（2）证明 ，可得 ，证明 ，可得 ，从而求得 ，
，再利用勾股定理求得 的长，再算出 的长，即可求出正方形 的边长；
设 ，根据题意可得 ， ， ，设 ，则 ，根
据 ，可得 ，再代入计算解出 即
可求解．
【解析】解：（1） 四边形 是正方形，
， ，
根据折叠的性质可得： ， ，
，
80，
，
，
，
点 为 的中点， ，
点 为 的中点， ，
，
，
为等边三角形；
（2）由折叠的性质可知， ，
在 和 中，
，
，
，
，
四边形 为矩形，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
81，即 ，
，
，
在 中， ，
，
，
，即正方形 的边长为 ；
设 ，
若 ，
，
， ，
设 ，则 ，
，
，
，
整理得： ，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题是四边形综合题，考查正方形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定
82与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、面积转化法，灵活运用所学知识是解题的关键．
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