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特训02 期末选填压轴题（九年级上册+下册）
一、单选题
1．在正方形 中， ， 是 的中点，在 延长线上取点 使 ，过点 作
交 于点 ，交 于点 ，交 于点 ，以下结论中：① ；② ；
③ ；④ ．正确的个数是
（ ）
A．4个 B．3个 C．2 个 D．1个
【答案】B
【分析】利用三角函数求得①正确；证明 得 ，再证 ，得②正
确；由三角形全等，勾股定理得③错误； ， ，由三角函数，得④正确．
【解析】解：① 四边形 是正方形，
，
，点 是 边的中点，
，
，
，
，
， ，
，①正确；
② ， ，
1， ，
，
，
， ， ，
，
，故②正确；
③ ， ，
，
在 和 中， ， ，
，
，
， ，
，
，
，
∴
，
，
，
，故③错误；
④由上述可知： ， ，
2，
，
，
．故④正确，
故选： ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、解直角三角形，掌握全等三角形的判定方
法是解题的关键．
2．如图，正方形 的边长为4，点E是正方形 内的动点，点P是 边上的动点，且
．连结 ， ， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先证明 ，即可得点E在以 为直径的半圆上移动，设 的中点为O，作正方形
关于直线 对称的正方形 ，则点D的对应点是F，连接 交 于P，交半圆O于E，根
据对称性有： ，则有： ，则线段 的长即为 的长度最小值，问题随
之得解．
【解析】解：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
3∴ ，
∴点E在以 为直径的半圆上移动，
如图，设 的中点为O，
作正方形 关于直线 对称的正方形 ，
则点D的对应点是F，
连接 交 于P，交半圆O于E，
根据对称性有： ，
则有： ，
则线段 的长即为 的长度最小值，E
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故 的长度最小值为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线，得出点E的
运动路线是解题的关键．
3．某同学利用数学绘图软件探究函数 的图象，在输入一组a，b，c的值后得到如图所示
的函数图象（与y轴无交点），根据你学习函数的经验，这组a，b，c的值应满足（ ）
4A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】从函数整体图象来看，发现部分图象有类似反比例函数，再从y轴左侧图象，判断图象虚线代表
的意义，即可求解．
【解析】解：设虚线为 （显然， ），
由图中可知，当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，可得 在m的左右两侧时，符号是不同的，即 ；
当 时， ，而 ，所以 显然另外一条分割线为 ，
故选：B．
【点睛】本题考查函数的图象，要求学生根据学过的反比例函数、分式等知识，通过函数图象，大致发现
图象的一些特征，此类题目难度较大．
4．已知二次函数 为非零常数， ，当 时， 随 的增大而增大，则下列
结论正确的是（ ）
①当 时， 随 的增大而减小；
②若图象经过点 ，则 ；
③若 ， 是函数图象上的两点，则 ；
④若图象上两点 ， 对一切正数 ，总有 ，则 ．
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
5【答案】D
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解
答本题．
【解析】解：①：∵二次函数 为非零常数， ，
，
又∵当 时， 随 的增大而增大，
∴ ，开口向下，
∴当 时， 随 的增大而减小，
故①正确；
②：∵二次函数 为非零常数， ，当 时， 随 的增大而增大，
，
若图象经过点 ，则 ，
得 ，
，
∴ ，
故②错误；
③：又∵对称轴为直线 ， ，
∴ ，
∴若 ， 是函数图象上的两点，2021离对称轴近些，则 ，
故③正确；
④若图象上两点 ， 对一切正数n，总有 ， ，
∴该函数与x轴的两个交点为 ，
∴ ，
6解得 ，
故④正确；
∴①③④正确；②错误．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二
次函数的性质解答．
5．如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点O，E，F分别是边 ， 上的点（不与A，D，
C重合），其中 ，过点E，F分别作 的平行线交 ， 于G，H两点，顺次连接E，F，
H，G四点．甲，乙，丙三位同学给出了三个结论：
甲：随着 长度的变化，可能存在 ；
乙：随着 长度的变化，四边形 的面积存在最大值，不存在最小值；
丙：当四边形 的面积是菱形 的面积的一半时，四边形 一定是正方形．下列说法正确的
是（ ）
A．甲，乙，丙都对 B．甲，丙对，乙不对
C．甲，乙对，丙不对 D．甲不对，乙，丙对
【答案】C
【分析】证明四边形 为矩形，得出 ，当 时， ，根据 ，得出
，得出当 为 中点时， 为 中点，此时 ，根据四边形 为矩形，
，得出 ，判断甲正确；
设 ， ，则 ， ， ， ，则 ， ，得出
7， ， ， ，证明 ，得出 ，即
，得出 ，求出 ，根据 ，得
出 有最大值，根据E、F不与A，D，C重合，得出四边形 无最小值，判断乙
正确；
根据当 、 分别为 、 中点时， 、H分别为 、 中点，得出 ， ，求
出 ，但 ， ，此时矩形 不是
正方形，判断丙错误．
【解析】解：∵四边形 为菱形，如图，
∴ 平分 ， ， ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
同理可得： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， 平分 ，
8∴ ， ，
∴ ，
∵ ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∵ ，
∴当 时， ，
∵ ，
∴ ，
∴当 为 中点时， 为 中点，
∴此时 ，
∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，故甲正确；
∵ ， ，
∴设 ， ，则 ， ，
设 ， ，则 ， ，
∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
则 ， ，
∵ ，
9∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 有最大值，
∵E、F不与A，D，C重合，
∴四边形 无最小值，故乙正确；
当 、 分别为 、 中点时， 、H分别为 、 中点，
∴ ， ，
∴ ，
但 ，
∴ ，
∴此时矩形 不是正方形，故丙错误；
综上分析可知，甲，乙对，丙不对，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形性质和判断，菱形性质，中位线性质，三角形相似的性质，二次函数应用，
三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握矩形
的判定和性质，证明四边形 为矩形．
6．如图，在矩形 中， ， ，点 从 点出发，沿折线 运动，过点 作对角线
的垂线，交折线 于 ．设点 运动的路程为 ， 的面积为 ，则 关于 的函数图象大致为
10（ ）
A． B． C．
D．
【答案】D
【分析】分 、 、 三段范围，根据证明 分别表示出 的面积，
得到函数解析式，再判断其图象即可．
【解析】解：如图，当 时，点 在 边上，点 在 边上，
，
，
，
，
，
，即 ，
，
11,
图象是开口向上的抛物线，
如图，当 时，点 在 边上，点 在 边上，
，
则 中， 边上的的高为2，
，
图象是一次函数，且随着 的增大而增大，
时，图象是线段，
如图，当 时，点 在 边上，点 在 边上，
，
在矩形 中， ，
，
，
，
，
，
，即 ，
，
，
12当 时，图象是开口向下的抛物线，
故选：D．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的判定和性质，二次函数的图象，解题的关键是根
据动点 运动的情况表示出 的面积．
7．如图，抛物线 与抛物线 交于点 ，且分别与 轴交于点 ，
．过点 作 轴的平行线，分别交两条抛物线于点 ， ，则以下结论：①无论 取何值， 恒小于
0：②将 向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到 ；③当 时，随着 的增大，
的值先增大后减小；④四边形 的面积为18．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】①将 化成顶点式，再判断即可；
②将 、 的解析式都转化成顶点式，由顶点坐标即可判断 、 的平移关系；
③将 的表达式求出来，根据一次函数的增减性判断 的增减性；
④先求出 、 、 、 四点的坐标，再由 计算即可．
【解析】解：① ，
13，
无论 取何值时， 恒小于0，
故①正确；
②把 代入 中，
得 ，
解得： ，
抛物线 的表达式为： ，
抛物线 顶点为 ，
的顶点为 ，
先向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到 ．
故②正确；
③
，
时， 的值随 值的增大而减小，
故③错误；
④如图，
14令 ，即 ，
解得： ，
，
由 可知对称轴为直线 ，
当 时， ，
，
，即 ，
解得： ，
，
由 ，可得对称轴为直线 ，
当 时， ，
，
，即
解得： ，
，
， ，
轴， 轴 轴，
轴，即 ，
，
故④正确；
15综上，正确的有①②④三个，
故选：C．
【点睛】本题考查了求二次函数解析式，求二次函数顶点坐标，二次函数的对称性，以及二次函数中求四
边形面积．综合性较强，属于压轴题．熟练掌握二次函数的一般式与顶点式的转换，求二次函数的对称轴，
求二次函数的顶点坐标是解题的关键．
8．如图，矩形 中， ，E为 的中点，将 沿 翻折得到 ，延长 交
于G， ，垂足为H，连接 、 ．以下结论：① ； ② ； ③
；④ ，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理依次对各个选项进行判断、
计算，即可得出答案．
【解析】解：①∵ ，E为 的中点，
∴ ，
∵将 沿 翻折得到 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故①正确；
②∵ ，
16∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故②正确；
③过点E作 于点M，如图，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
17∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得， ，
∴ ，
∴ ，
故③正确；
④ ，
故④正确；
综上共有4个正确．
故选：D．
18【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理、
三角函数等知识，本题综合性较强，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
9．如图，正方形 中，O为 中点，以 为边向正方形内作等边 ，连接并延长 交 于
F，连接 分别交 、于G、H，下列结论： ； ；③ ；
； ，其中正确的结论有（ ）
A．①②④ B．②③④ C．②④⑤ D．①③⑤
【答案】D
【分析】 根据正方形的性质及等边三角形的性质就可以得出 ； 设
，推出 ， ，由 可得 ，即
； 由条件就可以得出 ， ，就可以得出 ，
就可以得出 ，就可以得出 ，得出 ，由 ，就可以得出 ；
由O为 中点可以得出， ， ，得出
． 由 ：，由
19设 ，就有 ，
，由此即可解决问题．
【解析】解： 四边形 是正方形，
， ， ．
是等边三角形，
， ，
， ，
，
，
，
，故 正确；
， ，
，
．
， ，
，
．
在 和 中，
，
，
．
，
，
，
，
，
故 正确；
20O为 中点，
．
，
故 错误；
作 于M， 于N，
，
， ．
设 ，
，
．
，即 故 错误；
，设 ，
， ．
，
，
．
GC，
故 正确．
综上所述，正确的有 ，
故选D．
【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，等边三角形的性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，
三角形的面积公式的运用，平行线的判定的运用，解答时灵活运用正方形的性质求解是关键．
2110．如图，正方形 的边长为2，以 为直径作半圆，点P是 中点， 与半圆交于点Q，连结
，给出如下结论：① ；② ；③ ；④ ，下列结论正确的个数是
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】①连接 ， ，如图1．易证四边形 是平行四边形，从而可得 ．结合 ，
证到 ，从而证到 ，则有 ；
②连接 ，如图2，根据勾股定理可求出 ．易证 ，运用相似三角形的性质可求出
，从而求出 的值，就可得到 的值；
③过点 作 于 ，如图3．易证 ，运用相似三角形的性质可求出 ，从而可求出
的值；
④过点 作 于 ，如图4．易得 ，根据平行线分线段成比例可得 ，
把 代入，即可求出 ，然后在 中运用三角函数的定义，就可求出 的值．
【解析】①连接 ， ，如图1．
22易证四边形 是平行四边形，从而可得 ．
结合 ，可证到 ，从而证到 ≌ ，
则有 ．
故①正确；
②连接 ，如图2．
则有 ， ．
易证 ，
运用相似三角形的性质可求得 ，
则 ，
,
故②正确；
③过点Q作 于H，如图3．
23易证 ∽ ，
，
，
．
故③正确；
④过点Q作 于N，如图4．
易得 ，
根据平行线分线段成比例可得 ，
则有 ，
解得： ．
由 ，得 ．
故④正确．
综上所述：正确结论是①②③④．
故答案为：D．
24【点睛】本题考查圆周角定理、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定
与性质、平行线分线段成比例、等腰三角形的性质、平行线的性质、锐角三角函数的定义、勾股定理，解
题关键在于利用相似三角形的性质、勾股定理、三角函数的定义来建立等量关系．
11．如图，等腰 内接于圆 ，直径 ， 是圆上一动点，连接 ，且 交
于点 ．下列结论： 平分 ； ； 当 时，四边形 的周
长最大； 当 ，四边形 的面积为 ，正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】证明 ，由圆周角定理和三角形外角的性质可证明 正确；当 时，四边形
的周长最大，可判断 正确；如图1，连接 并延长交 于 ，根据垂径定理可得 ，
则 ，利用面积和可得四边形 的面积，可知 不正确．
【解析】解： 等腰 内接于圆 ， 是 的直径，
，
，
，
平分 ，
故 正确；
是等腰直角三角形，
，
，
25，
，
，
故 正确；
，
当 最大时，四边形 的周长最大，
当 时，四边形 的周长最大，
故 正确；
如图1，连接 并延长交 于 ，
在Rt 中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形 的面积 ，
故 不正确；
26故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，以及面积的变换与求法，此题综合性比
较强，难度比较大，在解题时充分利用以上相关知识解决问题是关键．
12．如图，已知正方形 的边长为4， 是对角线 上一点， 于点 ， 于点 ，
连接 、 ．给出下列结论：① ；②四边形 的周长为8；③ 的最小值为2；④
；⑤ ．其中正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】利用正方形的性质，得到 ，进而证明 是等腰直角三角，四边形 为矩形，
最后用勾股定理得到 ，故①正确；利用等量代换，把四边形 的周长转化为
，代入即可得到四边形 的周长为8，故②正确；当 时 的值最小，求出
．再由矩形的对角线相等可知 ，则 的最小值为 ，故③错误；证明
，得到 ，故④正确；先证明 ，再利用角的等量代换证明两锐角的和
为 ，最后得到两条线的夹角为直角，故⑤正确．
【解析】解：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，四边形 为矩形，
∵ ， ，
∴ ，故①正确；
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
27同理 ，
四边形 的周长 ，故②正确；
连接 ，则： ，
∵当 时 的值最小， ，
∴ 的最小值为 ；故③错误；
∵ ，
∴ ，
∴ ；故④正确；
如图：过点P作 ，点G为垂足，则 ，延长 交 于点H，
∵
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；故⑤正确，
故选：B．
【点睛】本题考查矩形、正方形的性质和勾股定理以及全等三角形的判定和性质，熟练正方形和矩形的性
质，添加合适的辅助线是关键．
13．如图，已知正方形 的边长为4， 是对角线 上一点， 于点 于点 ，连
28接 ．给出下列结论：① ；②四边形 的周长为10；③ ；④ 的最小值
是 ．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由题意易得 ， ，则有四边形 是矩形，进而
可得 ， ，然后可判定①②，连接 ，则有 ，结合全等三角形的性质可判断③，
要使 为最小，则 为最小，根据点到直线垂线段最短可判断④，从而可得答案．
【解析】解：∵四边形 是正方形，且边长为4，
∴ ， ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形， 都为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，故①符合题意；
∴ ，故②不符合题意；
连接 ，如图所示：
∵四边形 是矩形，
29∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，故③符合题意；
要使 最小，则 最小，则需满足 ，
∴此时 为等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，故④不符合题意；
综上分析可知，正确的有2个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质与判定及矩形的判定与性质，全等三角形的
判定与性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，熟练掌握正方形的性质、等腰直角三角形的性质与判
定及矩形的判定与性质是解题的关键．
14．如图，将一张边长为6分米的正方形纸片 对折，使 与 重合，折痕为 ，展开铺平后在
上找一点G，将该纸片沿着 折叠，使点C恰好落在 上，记为点 ，则 的长为（ ）
A．5.5分米 B． 分米
C． 分米 D． 分米
【答案】C
【分析】此考查了轴对称的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助
30线是解题的关键．连接 ，由折叠得 垂直平分 ， 垂直平分 ，则 ，
分米， 分米分米，然后利用勾股定理即可求解．
【解析】解：连接 ，
∵四边形 是边长为6分米的正方形，
∴ 分米，
由折叠得点B与点C关于直线 对称，点 与点C关于直线 对称，
∴ 垂直平分 ， 垂直平分 ，
∴ ， 分米， 分米，
∴ 分米，
故选：C．
15．抛物线 与 轴相交于 、 两点，其顶点为 ，将此抛物线在 轴下方的部分沿 轴翻
折，其余部分保持不变，如图得到一个新的图象．现有直线 与该新图象有四个交点，则 的取值
范围为( )
A． B． C． D．
【答案】B
31【分析】首先根据解析式求与 轴交点 、 的坐标，确定翻折后二次函数的解析式，求直线 过
边界点时对应的 的值，并求直线与新抛物线相切时的 值，继而得出 的取值范围．
【解析】解：当 时， ，
，
或 ，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴沿 轴翻折后所得抛物线的解析式为 ，
如图，作直线 ，分别过 作直线 的平行线 交 轴于点 ，作直线 平行于 ，且与抛
物线 有唯一的公共点 ，设直线 ： ，直线 ∶ ，
∵ 过 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 ： ，
∵ 与抛物线 有唯一的公共点 ，
∴ 即 ，
∴ ，
32解得 ，
∴直线 ∶ ，
结合图形可得直线 与该新图象有四个交点，则 的取值范围为 ，
故选：B
【点睛】本题考查了一元二次方程与抛物线的关系，待定系数法求一次函数的解析式，抛物线与x轴的交
点和几何变换问题以及直线的平移，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式以及二次函数的性质是解题
的关键．
16．如图，正方形 的边长为2，点 是 的中点， 与 交于点 ， 是 上的一点，连接
分别交 ， 于点 、 ，且 ，连接 ，则以下结论：① 为 的中点；②
；③ ；④ ；⑤ ．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】证明 可得出①正确．证明 ，利用相似三角形的性质得出②正确．
求出 即可判断③正确．作 于H，求出 即可得出④正确．证明
即可得出⑤错误．
【解析】解：①∵正方形 的边长为2，点E是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
33在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．故①正确；
②∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
即 ．故②正确；
③由勾股定理可知： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，故③正确，
④作 于H．
34∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，故④正确，
⑤∵ ，
∴ ，
∴ 与 不相似，故⑤错误．
所以正确的结论有4个
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，
勾股定理等知识，灵活掌握运用相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解
直角三角形，勾股定理．
二、填空题
17．已知在 中， ， 于点D， 的平分线交 于点E，交 于点F，
于点G，则 ， 的最大值为 ．
35【答案】 /
【分析】利用两角对应相等证明 和 ，推出 是等腰三角形，利用三线合
一的性质可求得 ；设 ， ，证明 ，求得 ，代入 得到
，再利用二次函数的性质求解即可．
【解析】解：∵ ， ， 平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
又 ，
∴ ，
∴ ；
设 ， ，
同理 ，
∴ ，
∴ ，
36∴ ， ，
∴ ，
令 ，
则原式 ，
∵ ，
∴ 的最大值为 ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决
问题，学会利用参数解决问题，属于中考填空压轴题．
18．正方形 的边长为6，点 在边 上，且 ， 是边 上一动点，连接 ，过点 作
交 边于点 ，设 的长为 ，则线段 长度的最大值为 .
【答案】
【分析】根据题意，作出图形，根据两个三角形相似的判定得到 ，进而根据相似比得到
，利用二次函数求最值方法求解即可得到答案．
【解析】解：由题意作出图形，如图所示：
在正方形 中， ，边长为6，设 的长为 ，则 ，
37，
，即 ，
，
，
，
，
， ，
∴ ，
，
∴ ，
，
在 时有最大值，最大值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查几何综合，涉及正方形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数求最值等知识，读
懂题意，作出图形，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．
19．如图，在 中， ， ，点 是线段 上一点（不与点 、 重合），连接
，过点 、 分别作 、 的垂线，两线相交于点 ，则 面积的最大值为 ．
【答案】
【分析】先添加辅助线，证明三角形全等，根据性质求出线段，最后转换为求二次函数的最大值即可．
【解析】如图在 上截取 ，设 ，
38∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ，
，
∴当 时， 最大，最大值为 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了二次函数的最值问题，解题的关键是分析题意，弄清数量关系，转换为二次函数的应
用．
20．已知 ， 是抛物线 上的两点，其对称轴是直线 ，若
39时，总有 ，同一坐标系中有 ， 且抛物线 与线段
有两个不相同的交点，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由 确定抛线开口向上，如图所示，利用待定系数法求得线段 的解析式为
，再由抛物线与线段 有两个不相同的交点，联立 ，将其转化为一元
二次方程为 ，从而抛物线与线段 有两个不相同的交点，即一元二次方程为
有两个不同的实数根，得到 ，要使抛物线与线段 有两个不相同的交点，则必须
满足：当 和 时，抛物线上对应的点都应该在线段上方或与M，N重合，但 时，抛物线上
对应的点必在线段 上方，得到只需满足 即可，解不等式得 即可得到答案．
【解析】解：∵ ，
∴点 与对称轴的距离比点 与对称轴的距离更远，如果抛线开口向下，那么 ，这与题意不符，
∴抛线开口向上，如图所示：
设直线 的解析式为 ，则依题意可得 ，解得 ，
线段 的解析式为 ，
40∵抛物线与线段 有两个不相同的交点，
∴依题意可得 ，可化为一元二次方程为 ，
∵抛物线与线段 有两个不相同的交点，即一元二次方程为 有两个不同的实数根，
，即 ，解不等式组得 ，
又 要使抛物线与线段 有两个不相同的交点，则必须满足：当 和 时，抛物线上对应的点都
应该在线段上方或与M，N重合，但 时，抛物线上对应的点必在线段 上方，
只需满足 即可，解 得 ，
综上所述：当 时，抛物线 与线段 有两个不相同的交点，
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数图像与性质、线段与抛物线交点问题，读懂题意，数形结合，将线段与抛物线
交点问题转化为方程组及一元二次方程根的情况是解决问题的关键．
21．在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 为 ，若 为线段 上一动点，则
的最小值是 ．
【答案】
【分析】过点 作直线 交 轴于点 ，使 ，过点 作 ，交 于点 ，利用三角
函数以及垂线段最短将 转化为垂线段 的长，再利用三角函数、勾股定理求解即可．
【解析】解：过点 作直线 交 轴于点 ，使 ，过点 作 ，交 于点 ，
41在 中， ，
，
设 ，则 ，
，
即 ，
解得 ，
，
，
，
在 中，
，
，
，
当 ， ， 在同一直线上，即 时， 的值最小，最小值等于垂线段 的长，
此时， 是直角三角形，
，
42，
，
，
，
在 中，
，
，
的值最小值是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查三角函数、垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三
角函数正弦值巧妙用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
22．矩形 中， 是 的中点（如图），将 沿 翻折，点 落在点 处，连接 ，如果
，那么：
（1） ；
（2） 的比值为 ．
【答案】
【分析】（1）由 是 的中点及折叠的性质可得 ，由等边对等角可得 ，
，再由三角形内角和定理可得 ，从而得到答案；
43（2）由矩形的性质可得 ，从而得到 ，设 ，则 ， ，
，由折叠的性质可得 ， ，从而得到 ，求得 ，由
勾股定理可得 ，由此即可得到答案．
【解析】解：（1） 是 的中点，
，
由折叠的性质可得： ，
，
， ，
，
，
，即 ，
故答案为： ；
（2） 四边形 是矩形，
， ，
，
，
，
设 ，则 ，
，
是 的中点，
，
，
由折叠的性质可得 ， ，
，即 ，
44，
由（1）得 ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、正切的定义、等腰三角形的性质、三角形内角
和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
23．如图，在 中， ， ， 是 边上的高，将 绕点C旋转到 （点
E、F分别与点A、B对应），点F落在线段 上，连接 ，则 ．
【答案】
【分析】过点E作 于点G，结合旋转的性质可求 ，进而可证 是等边三
角形，可求出 ，即可求解．
【解析】解：如图，过点E作 于点G，
45将 绕点C旋转，点B落在线段 上的点F处，
， ， ， ，
，
；
， 是 边上的高，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
在 中
，
，
， ，
，
．
46故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形“三线合一”，等边三角形的判定及性质，特殊
角的三角函数等，掌握相关性质及定理，构建直角三角形是解题的关键．
24．如图，在平面直角坐标系中， 与 轴相切于点 ，与 轴交于点 、 ，连接 并延长交 于
点 ，交 轴于点 ，连接 并延长交 轴于点 ，已知点 的坐标为 ，则点 的坐标为
．
【答案】
【分析】作 于 ，连接 ， ，证明 ，进而证明 ，根据相似三角
形的判定和性质，即可求解．
【解析】解：作 于 ，连接 ， ，
与 轴相切于点 ，
，
，
，
，
47，
， ，
，
， ，
点 的坐标为 ，
， ，
， ，
是 直径，
，
，
，
，
，
： ： ，
： ： ，
，
点 坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查圆的切线的性质定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定
理的推论，关键是作辅助线构造全等三角形，相似三角形．
25．如图，在 中， ， ， ， 是 内部的一个动点，连接 ，且满足
，过点 作 于点 ，则 ；当线段 最短时， 的面积为
【答案】
48【分析】（1）由 ，得到 ，即可得到 ；
（2）首先证明点 在以 为直径的 上，连接 与 交于点 ，此时 最小，利用勾股定理求出
即可得到 ，进而即可求解．
【解析】解：（1） 在 中， ，则 ，
，
，
，
；
故答案为： ；
（2）设 的中点为 ，连接 ，
则 ，
点 在以 为直径的 上，连接 交 于点 ，此时 最小，
在 中， ， ， ，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，求圆外
49一点到圆的最小、最大距离．
26．如图，已知 为半圆O的直径，弦 相交于点E ，点F在 上，且 ，若 ，
，则线段 的长为 ．
【答案】
【分析】连接 ，根据圆周角定理，可得： ，进而推出 ，
根据对顶角相等，得到 ，证明 ，列出比例式进行求解即可．
【解析】解：连接 ，
则： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即： ，
50∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数以及相似三角形的判定和性质．
熟练掌握圆周角定理，通过添加辅助线构造特殊三角形和相似三角形，是解题的关键．
27．如图，在菱形 中，对角线 交于点 ，点 为 的中点，点 在 上， ，
连接 交 于点 ，若 ，连接 ，则线段 的长为 ．
【答案】 /
【分析】取 的中点为 ，连接 ， ，，由菱形的性质可得
，由三角形的中位线定理可得 ，同理可得 ，
，由 ，推出 ，证明 ，求出 ，则 ，
，根据三角形中线的性质得到 ，则可求出 ，最后由勾股定理可得 的长．
【解析】解：取 的中点为 ，连接 ，
四边形 为菱形，
，
为 的中点， 为 的中点，
为 的中位线，
51，
同理可得 ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵点E是 的中点， ，
，
，
，
，
52故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、三角形面积的计算，相似三角形的
性质与判定，熟练掌握菱形的性质、三角形中位线定理，添加适当的辅助线是解题的关键．
28．如图，已知 ，若点 、 在射线 上，且满足 ， ， 是射线
上的动点，同时在 右侧作 ，且满足 ，则 的面积为 ．若点 运
动轨迹与射线 交于点 ，当 的最小值时，此时 的值为 ．
【答案】
【分析】过点H作 ，利用勾股定理与逆定理可判断 是等腰三角形，过E作 于 ，
在 右侧作 ，则可证明 ，得出 ，进而得出
，然后利用三角形的面积公式即可解答第一空；过H作 于K，利用含 的直角三角
形的性质得出 ，则 ，故当A、H、K三点共线，且
时， 取最小值，过H作 于P，得出 ， ，然后利用勾股定
理即可求解．
【解析】解：过点H作 ，
53∵ ， ，，
∴ ， ，
设 ，
则 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过E作 于 ，在 右侧作 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
54∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
如图，过H作 于K，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴当A、H、K三点共线，且 时， 取最小值，
如图，过H作 于P，
∴ ， ， ，
∴ ，
55又 ，
∴ ，
∴ ，
即当 取最小值时， 的值为 ．
故答案为： ，
【点睛】本题考查了含 的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，明确题意，
添加合适辅助线，构造相似三角形求解，判定点H在平行与 的直线上运动，当A、H、k三点共线，且
时， 取最小值，是解题的关键．
29．如图，在平面直角坐标系 中， 的顶点 在 轴负半轴上， 轴，点 在反比例函数
的图象上， ，若 ， ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】过点 作 轴于点 ，设 ， ，证明 为等边三角形，利用含30度角的
直角三角形的性质和三线合一，得到 ，根据 ，以及反比例函数图象上
的点的坐标特点，进行求解即可．
【解析】解：如图，过点 作 轴于点 ，设 ， ，
56∵ 轴， ，
∴ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∵ 轴， 轴， ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵点 在反比例函数 的图象上，
∴ ；
故答案为： ．
57【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合应用，主要考查了等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性
质，含30度角的直角三角形的性质，以及反比例函数图象上的点的特征，熟练掌握相关知识点，利用数形
结合的思想解题是关键．
30．如图，双曲线 与 在第一象限内的图象依次是 和 ，设点 在图 上． 垂直 轴于点
，交图象 于点 ， 垂直 轴于点 ，交图象 于点 ，连接 、 ，下列结论：
①四边形 的面积为4；② 的面积为3；③ ；④ ．其中一定正确的有
个．
【答案】2
【分析】由题意可得 ，从而得到四边形 是矩形，根据反比例函数 的几
何意义可得 ， ， ， ，根据
进行计算即可判断①；根据 进行计算即可判断②；由
， ，得出 即可判断③；根据面积之间的关系结合矩形的性
质可得 ， ，从而可得 ，即可判断④，得到答案．
【解析】解： 垂直 轴于点 ， 垂直 轴于点 ，
，
四边形 是矩形，
点 在图 上，
， ，
58点 在图象 上，
， ，
，故①正确，符合题意；
，故②错误，不符合题意；
， ，
，故③错误，不符合题意；
， ，
，
， ，
，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
，故④正确，符合题意；
综上所述，正确的有：①④，共2个，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了反比例函数 的几何意义、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握
以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键．
59
