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特训02 特殊平行四边形压轴题（2023新题速递）
一、解答题
1．（2023春·海南·九年级校联考期中）如图1，已知四边形 为正方形，连接 ．
(1)求证： ；
(2)如图2，若正方形 的边长为4， 是 边上的一个动点．
①请判断线段 与 有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
②连接 ，若 ，求线段 长；
③求 的最小值．
2．（2023秋·福建厦门·九年级厦门市湖里中学校考阶段练习）（1）问题背景：如图1，E是正方形
的边 上的一点，过点 作 交 的延长线于 ，求证： ；
（2）尝试探究：如图2，在（1）的条件下，连接 、 交于 ，请探究 、 与 之间的数量
关系，并证明你的结论．
（3）拓展应用：如图3，在（2）的条件下， 和 交于点 ，连接 并延长交 于点P，已知
， ，直接写出 的长 ．
13．（2023秋·广东深圳·九年级校考阶段练习）【问题情境】
（1）我们曾经研究过这样的问题：已知正方形 ，点 在 的延长线上，以 为一边构造正方形
，连接 和 ，如图1所示，则 和 的数量关系为______，位置关系为______
【继续探究】
（2）如图2所示，若正方形 的边长为4，点 是 边上的一个动点，以 为一边在 的右侧作
正方形 ，连接 、 ，连接 ，若 ，求线段 的长度．
【拓展提升】
（3）在（2）的条件下，如图3，当点 在射线 上运动时，求 的最小值为______
4．（2023春·福建泉州·九年级福建省泉州市培元中学校考期中）如图 ，在 中， ，
，点 在 边上， ，过点 作 于点 ，分别以 ， 为邻边作平行四边
形 ，连接 ， ．
(1)求 的大小；
(2)求证： ；
(3)如图 ，将图 中的 绕点 旋转，其余条件保持不变，连接 求在旋转过程中，线段 长的最
大值．
5．（2023秋·天津南开·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，四边形 是矩形，点 ，
2点 ，点 ．以点 为旋转中心，顺时针旋转 ，得到 ，点 ， 的对应点分别为
， ．
(1)如图1，当点 落在 边上时，求点 的坐标；
(2)如图2，当点 落在线段 上时， 与 交于点 ．
①求证： ；
②求点 的坐标；
(3)记 为线段 的中点， 为 的面积，请直接写出 的取值范围．
6．（2023·河南驻马店·驻马店市第二初级中学校考二模）综合与实践
数学活动课上，数学老师以“矩形纸片的折叠”为课题开展数学活动：将矩形纸片 对折，使得点
A，D重合，点B，C重合，折痕为 ，展开后沿过点B的直线再次折叠纸片，点A的对应点为点N，折
痕为 ．
(1)如图（1）若 ，则当点 落在 上时， 和 的数量关系是________， 的度数为
________．
思考探究：
(2)在 的条件下进一步进行探究，将 沿 所在的直线折叠，点M的对应点为点 ．当点
落在 上时，如图（2），设 ， 分别交 于点J，K．若 ，请求出三角形 的面
积．
开放拓展：
(3)如图（3），在矩形纸片 中， ， ，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为 ，点A
的对应点为点N，展开后再将四边形 沿 所在的直线折叠，点A的对应点为点P，点M的对应点
为点 ，连接 ， ，若 ，请直接写出 的长．(温馨提示： ，
)
7．（2023秋·福建三明·九年级校考阶段练习）如①，在矩形 中， ， ，点 是 上一
点．
3(1)将 沿 折叠后，点 A正好落在 边上的点 处，求线段 的长；
(2)如②，延长①中线段 至 ，使 ，以 、 为两邻边作 ，连接 交 于 ．
求证：点 为 的中点；
(3)如③，在（2）的条件下，连接 交 于点 ，连接 、 ，试判断 与 之间的数量关系并证
明．
8．（2023秋·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）在菱形 中． ，点P是对角线 上一动
点，将线段 绕点C顺时针旋转α到 ，连接 与 交于点N， 的延长线与 交于点
M．
(1)如图（1），若P是 的中点，
①求证： ；
②求证： ；
(2)如图（2），若P不是 的中点，第一问中①，②是否仍成立？若成立，请证明你的结论：若不成立，
请举个反例．
9．（2023秋·广东广州·九年级广东广雅中学校考开学考试）点 是线段 上的动点，分别以 ， 为
边在 的同侧作正方形 与正方形 ．
(1)如图1，连接 ， ，判断 与 的位置关系和数量关系，并证明；
(2)如图2，将正方形 绕点 逆时针旋转，使得点 落在线段 上， 交 于点 且点 恰好是
4的中点，连接 ， ，若 ， ，求 ；
(3)如图3，将正方形 绕点 旋转至如图的位置，且 ，连接 ， 交于点 ，连接 ，请
直接写出 ， ， 之间的数量关系．
10．（2023·浙江衢州·校考一模）已知，在 中， ， ， 于点H，交
于点G，E为 上一点，连接 交 于点F．
(1)如图1，若 于点E， ， ，求 的长；
(2)如图2，若 ， ，求证： ；
(3)如图3，若E为 的中点，作A关于 的对称点 ，连接 ， ， ，请直接写出 ，
， 之间的等量关系．
11．（2023秋·重庆·九年级重庆市第十一中学校校考开学考试）如图，在 中， ，
，点D为 边上一点，连接 ，过点B作 交 的延长线于点E．
(1)如图1，若 ， ，求 的面积；
(2)如图2，延长 到点F使 ，分别连接 交 于点G．求证： ．
(3)如图3，若 ，点M是直线 上的一个动点，连接 ，将线段 绕点D顺时针方向旋转
得到线段 ，点P是 边上一点， ，Q是线段 上的一个动点，连结 ， ．当
的值最小时，请直接写出 的度数．
12．（2023春·四川达州·九年级校考期中）如图1，点 是矩形 边 上一点（不与点 ， 重
合），直线 与 的延长线交于点 ．将 沿直线 折叠得到 ，点 在矩形 的内
部，延长 交直线 于点 ．
5(1)证明： ；
(2)如图2，连接 ，若 ， ，求 周长的最小值；
(3)如图3，连接 交 于点 ，点 是 的中点，当 时，请判断 与 的数量关
系，并说明理由．
13．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校考开学考试）如图，已知四边形 为正方形， ，点E为平
面内一动点（不与点D重合），连接 ，以 为边作正方形 ，连接 ．
(1)如图1，当点E在对角线 上移动时：
①求证： ；
②探究： 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
③求证：点F在直线 上．
(2)如图2，连接 ，则 的最小值等于_______．
14．（2023春·甘肃张掖·九年级校考期中）如图1，在正方形 的外侧作两个等边三角形 和
，连接 ．
(1)请判断： 与 的数量关系是 ，位置关系是 ；
(2)如图2，若将条件“两个等边三角形 和 ”变为“两个等腰三角形 和 ，且
”，第（1）问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予说明；
(3)若 和 为一般三角形，且 ，第（1）问中的结论都能成立吗？请在备用图
中画出一个符合要求的示意图，同时写出你的判断，并加以证明．
15．（2023秋·广东深圳·九年级深圳市宝安区文汇学校校考阶段练习）综合与实践课上，老师让同学们以
“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
6(1)操作判断
操作：如图1，点E是边长为12的正方形纸片 的边 上一动点，将正方形沿着 折叠，点 落
在点 处，把纸片展平，射线 交射线 于点 ．
判断：根据以上操作，图1中 与 的数量关系：____________．
(2)迁移探究
在（1）条件下，若点 是 的中点，如图2，延长 交 于点 ，点 的位置是否确定？如果确定，
求出线段 的长度，如果不确定，说明理由；
(3)拓展应用
在（1）条件下，如图3， ， 交于点 ，取 的中点 ，连接 ，则 的最小值是______．
16．（2023·江苏淮安·校考二模）如图：已知菱形 中， ，点 为边 上一动点，连接
交 外角角平分线于点 ，连接 ， ， 交 于 点．
(1)如图 ，①设 的度数为 ，直接写出 的取值范围______；
②当点 为 中点时，连接 ，求证： ；
(2)如图 ，过点 作 的平行线 ，且使 ，连接 ，
①证明： ；
②当 ， 时，求 的长．
17．（2023·全国·九年级专题练习）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有 角的三角
尺放在正方形 中，使 角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时， 角的两
边 ， 始终与正方形的边 ， 所在直线分别相交于点M，N，连接 ，可得 ．
探究一：如图②，把 绕点C逆时针旋转 得到 ，同时得到点H在直线 上．求证：
；
探究二：在图②中，连接 ，分别交 ， 于点E，F．求证： ；
探究三：把三角尺旋转到如图③所示位置，直线 与三角尺 角两边 ， 分别交于点E，F，连
接 交 于点O，求 的值．
718．（2023春·安徽·九年级专题练习）在正方形 中，点 为边 上一点，连接 ，将 沿
折叠得到 ， ， 分别交 于点 ， ，连接 ．
(1)如图1，点 是 的中点；
（ⅰ）若 ，则 ＝ （用含 的式子表示）；
（ⅱ）求证： ；
(2)如图2，若 ， ，求 的长．
19．（2023秋·陕西西安·九年级校考开学考试）已知四边形 是菱形， ， ．
(1)如图1，P是 上一点，连接 并延长，交 的延长线于点E，交 于点F，若 ，①求
的长；②求 的长；
(2)如图2，M是 的中点，连接 ，过点M作 交 的延长线于点N，点Q在 上，连接
，分别过点B，N作直线 的垂线，垂足分别为G，H，若 ，求 的长；
(3)如图3，J为 上一点，L为 上一点， ，分别过点J，L作 ， 的平行线，两条直线交
于点K，将四边形 绕点B顺时针旋转，如图4，直线 交直线 于点R，求 的值及 的
度数．
20．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）在矩形 中，点E是射线 上一动点，连接 ，过点B作
BF⊥AC于点G，交直线 于点F．
8(1)当矩形 是正方形时，以点F为直角顶点在正方形 的外部作等腰直角三角形 ，连接
．如图1，则线段 与 之间的数量关系是 ，位置关系是 ；
(2)如图2，若点E在线段 上，以点F为直角顶点在矩形 的外部作直角三角形 ，且
，连接 ．判断线段 与 之间的数量关系与位置关系，并证明；
(3)如图3，若点E在线段 的延长线上，F在线段 的延长线上，且 ， ，M是
中点，连接 ， ，求 的值．
21．（2023春·河南·九年级专题练习）（1）问题发现
如图1，四边形 为矩形， ， ，点 在矩形 的对角线 上， 的两条直
角边 、 分别交 、 于点 、 ，当 ， 时， __________（用含 、
的代数式表示）；
（2）拓展探究
在（1）中，固定点 ，使 绕点 旋转，如图2， 的大小有无变化？请仅就图2的图形给出证
明；
（3）问题解决
如图3，四边形 为正方形， ，点 在对角线 上， 、 分别在 、 上，
，当 时（ 是正实数），直接写出四边形 的面积是__________（用含 ， 的代
数式表示）．
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