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特训03 有理数及其运算压轴题（2023新题速递 ）
一、解答题
1．（2023秋·全国·七年级专题练习）观察下面算式的演算过程：
……
（1）根据上面的规律，直接写出下面结果：
______________． ____________．
_________________．（ 为正整数）
（2）根据规律计算：
．
2．（2023秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）有一台单功能计算器，对任意两个整数
只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数 ，只显示不运
算，接着再输入整数 后，显示 的结果．比如依次输入 ， ，则输出的
结果是 ；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对
值．
(1)若小明依次输入 ， ， ，则最后输出的结果是多少？
(2)若将 ， ， ， 这 个整数任意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的
结果的最大值是多少？最小值是多少？
(3)若任意地一个一个地输入三个互不相等的正整数 ， ， ，全部输入完毕后显示
的最后结果为 ，已知 的最大值为 ，求 的最小值．
3．（2023秋·全国·七年级专题练习）阅读下列材料并解决有关问题：我们知道
，所以当 时， ；当 时， ，现在我们可
以用这个结论来解决下面问题：
（1）已知 ， 是有理数,当 时，求 的值；
（2）已知 ， ， 是有理数，当 ，求 的值；
1（3）已知 ， ， 是有理数， ， ，求 的值.
4．（2023秋·江苏扬州·七年级校考期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴
可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如；数轴上
点 、点 表示的数分别为 、 ，则 、 两点之间的距离 ，线段
的中点表示的数为 ．如图，数轴上点 表示的数为 ，点 表示的数为
3．
(1)直接写出：线段 的长度是 ，线段 的中点表示的数为______；
(2) 表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题，
直接回答： ，则 ： 有最小值是______；
(3)点S在数轴上对应的数为 ，且 是方程 的解，动点 在数轴上运
动，若存在某个位置，使得 ，则称点 是关于点 、 、S的“幸运
点”，请问在数轴上是否存在“幸运点”？若存在，则求出所有“幸运点”对应的
数；若不存在，则说明理由。
5．（2023秋·全国·七年级专题练习）【阅读】若点 ， 在数轴上分别表示有理数
， ， ， 两点之间的距离表示为 ，则 ，即 表示为5与3两数
在数轴上所对应的两点之间的距离．
(1)点 ， 表示的数分别为 ，2，则 _______， 在数轴上可以理解为
______；
(2)若 ，则 _________，若 ，则 ________；
【应用】
(3)如图，数轴上表示点 的点位于 和2之间，求 的值；
(4)由以上的探索猜想，对于任意有理数 ， 是否有最小值？如果
有，求出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由．
6．（2023春·北京东城·七年级北京市第一六六中学校考阶段练习）在数轴上，点 表
示的数为1，点 表示的数为3，对于数轴上的图形 ，给出如下定义： 为图形
上任意一点， 为线段 上任意一点，如果线段 的长度有最小值，那么称这个最
小值为图形 关于线段 的极小距离，记作 ，线段 ；如果线段 的长度
有最大值，那么称这个最大值为图形 关于线段 的极大距离，记作 ，线段
．
例如：点 表示的数为4，则 点 ，线段 点 ，线段 ．
2已知点 为数轴原点，点 为数轴上的动点．
(1) （点 ，线段 )=_________， （点 ，线段 ）_________；
(2)若点 表示的数 ，点 表示数 (线段 ，线段 ，求 的值；
(3)点C从原点出发，以每秒2个单位长度沿 轴正方向匀速运动，点 从表示数 的
点出发，第1秒以每秒2个单位长度沿 轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长
度沿 轴负方向匀速运动，第3秒以每秒6个单位长度沿 轴正方向匀速运动，第4秒
以每秒8个单位长度沿 轴负方向匀速运动，……，按此规律运动， 两点同时出
发，设运动的时间为 秒，若 (线段 ，线段 )小于或等于6，直接写出 的取值
范围（ 可以等于0）．
7．（2023秋·全国·七年级专题练习）如图，记数轴上A、B两点之间线段长为 ，
（单位长度）， （单位长度），在数轴上，点A在数轴上表示的数是
，点D在数轴上表示的数是15．
(1)点B在数轴上表示的数是_____，点C在数轴上表示的数是_____，线段BC的长＝
_____．
(2)若线段 以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段 以2个单位长
度/秒的速度向左匀速运动，当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是多
少？
(3)若线段 以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段 以2个单位长
度/秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为t秒，当 时，M为 中点，N
为 中点．
①若数轴上两个数为a、b，则它们的中点可表示为 ．则点M表示的数为_____，
点N表示的数为______．（用代数式表示）
②线段MN的长是否为定值，如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由．
8．（2023秋·江苏镇江·七年级统考期末）人们通过长期观察发现如果早晨天空中棉絮
的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语．
在数学的学习过程中，通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象
的规律、提出猜想的思想方法称为归纳．
【数学问题】数轴上分别表示数a和数b的两个点A、B之间的距离该如何表示？
【问题探究】
（1）观察分析（特殊）：
①当 ， 时，A，B之间的距离 ；
②当 ， 时，A，B之间的距离 ；
③当 ， 时，A，B之间的距离 ；
（2）一般结论：
数轴上分别表示有理数 ， 的两点A，B之间的距离表示为 ；
【问题解决】
（3）应用：
3数轴上，表示 和3的两点A和B之间的距离是5，试求 的值；
【问题拓展】
（4）拓展：
①若 ，则 ．
②若 ，则 ．
③若 ， 满足 ，则代数式 的最大值是 ，最小值
是 ．
9．（2023秋·浙江·七年级专题练习）观察、理解与应用．
题目：如图数轴上有三点A、B和C，其中A点在 处，B点在2处，C点在原点处．
(1) ，表示的意义是 ；
(2) ， ，即用字母表示线段长 ， ，猜
想： ，设P、Q在数轴上分别表示的数为 和220，则线段 ；
(3)归纳：如果M、N在数轴上表示的数分别为 ， ，则线 ；
(4)应用：若动点P，Q分别从点 和2处同时出发，沿数轴负方向运动；已知点P的
速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，问：
①t为2秒时P，Q两点的距离是多少？（列算式解答）
②t为 秒时P，Q两点之间的距离为2？
10．（2023春·上海·六年级专题练习）现有 5 张卡片写着不同的数字，利用所学过的
加、减、乘、除、乘方运算按要求解答下列问题（每张卡片上的数字只能用一次）．
(1)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字的和最小，则和的最小值为_________．
(2)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字的差最大，则差的最大值为________．
(3)从中取出 2 张卡片，使这 2 张卡片上数字相除的商最大，则商的最大值为
_________．
(4)从中取出 3 张卡片，使这 3 张卡片上数字的乘积最大，乘积的最大值为
__________．
(5)从中取出 4 张卡片，使这 4 张卡片上的数字运算结果为 24．写出两个不同的等
式，分别为 ， ．
11．（2023秋·江苏·七年级专题练习）对于有理数 ， ， ， ，若
，则称 和 关于 的“美好关联数”为 ，例如，则 ，则2和3关于1
的“美好关联数”为3．
(1) 和5关于2的“美好关联数”为______；
(2)若 和2关于3的“美好关联数”为4，求 的值；
(3)若 和 关于1的“美好关联数”为1， 和 关于2的“美好关联数”为1，
和 关于3的“美好关联数”为1，…， 和 的“美好关联数”为1，…．
4① 的最小值为______；
② 的值为______．
12．（2023秋·全国·七年级专题练习）如图，请回答问题：
(1)点B表示的数是 ，点C表示的数是 ．
(2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点A与数字 重合．
(3)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|，如5与﹣2两数在数
轴上所对的两点之间的距离可以表示为|5﹣（﹣2）|，从而很容易就得出在数轴上表示
5与﹣2两点之间的距离是7．
①若x表示一个有理数，则|x﹣3|+|x﹣6|的最小值＝ ．
②若x表示一个有理数，且|x﹣4|+|x+3|＝7，则满足条件的所有整数x的和是 ．
③当x＝ 时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|取最小值．
④当x取何值时，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣ |+|2x﹣7|+|3x﹣9|取最小值？最小值为多少？
13．（2023秋·江苏·七年级专题练习）一般地，n个相同的因数．相乘a×a×a……a×a
记作an，如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”记为L(8)，则
2
L(8)=3，一般地，若an=b(a＞0且a≠1)，则n叫做以a为底的b的“劳格数”，记为
2
L(b)=n，如34=81，则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为L(81)=4．
a 3
（1）下列各“劳格数”的值：L（4）=______，L(16)=______，L(64)=______．
2 2 2
（2）观察（1）中的数据易4×16=64此时L（4），L(16)，L(64)满足关系式
2 2 2
________．
（3）由（2）的结果，你能归纳出一般性的结果吗？L(M)+L(N)=______．(a＞0且
a a
a≠1，M＞0，N＞0)．
（4）据上述结论解决下列问：已知，L（3）=0.5，求L(9)的值和L(81)的值．（a＞0
a a a
且a≠1）
14．（2023春·安徽滁州·七年级校考开学考试）概念学习
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如 ，
等，类比有理数的乘方，我们把 记作 ，读作“2的3
次商”， 记作 ，读作“ 的4次商”．一般地，我们把n
个 相除记作 ，读作“a的n次商”．
初步探究
（1）直接写出结果： ________；
（2）关于除方，下列说法错误的是_________．
①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n， ；
③ ；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．
深入思考
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，
5那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
例：
（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式
_______； _______．
（4）想一想：将一个非零有理数a的n次商写成幂的形式等于___________；
（5）算一算： ________．
15．（2023秋·全国·七年级专题练习）若x是不等于1的实数，我们把 称为x的
差倒数，如2的差倒数是 ，-1的差倒数为 ，现已知 ， 是
的差倒数， 是 的差倒数， 是 的差倒数，…，依此类推．
（1）分别求出 ， ， 的值；
（2）计算 的值；
（3）计算 的值．
16．（2023·全国·七年级专题练习）如图1，在数轴上有 ， 两点，点 表示的数为
4，点 在 点的左边，且 ，若有一动点 从数轴上点 出发，以每秒1个单
位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点 从点 出发，以每秒2个单位长度的速度
沿着数轴向右匀速运动．若点 ， 分别从 ， 两点同时出发，设运动时间为 秒．
(1)写出数轴上点 表示的数为______，P所表示的数为_______（用含 的代数式表
示）．
(2)问点 运动多少秒与 相距3个单位长度．
(3)如图2，分别以 和 为边，在数轴上方作正方形 和正方形 ，如图
所示，求当 为何值时，两个正方形的重叠部分面积是正方形 面积的一半，请直
接写出结论． ______秒．
17．（2023·全国·七年级专题练习）【知识准备】若数轴上 点对应数 ， 点对应数
， 为 中点，则我们有中点公式： 对应的数为 ．
(1)在一条数轴上， 为原点，点 对应数 ，点 对应数 ， ，且有
．则 的中点 所对应的数为___________．
6(2)【问题探究】在（1）的条件下，若 点从 点出发，以每秒1个单位的速度向左运
动，同时 点从 点出发，以每秒2个单位的速度向右运动， 为 的中点 ．设运
动时间为 秒， 为何值时 所对应的数为10．
(3)【拓展延伸】若数轴上 点对应数 ， 点对应数 ， 为 靠近 的三等分
点，则我们有三等分点公式： 对应的数为 ．若数轴上 点对应数 ， 点对
应数 ， 为 靠近 的四等分点，则我们有四等分点公式：M对应的数为
．
填空：若数轴上 点对应数 ， 点对应数 ， 为 靠近 的5等分点，则我
们有5等分点公式： 对应的数为___________．
在（2）的条件下，若 是 最靠近 的五等分点， 为 中点，则是否存在
，使得 为定值？若存在，请求出的范围．
18．（2023·全国·七年级专题练习）在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，
借助数形结合的方法使复杂问题简单化．
材料一：我们知道|a|的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；|a﹣b|的几何
意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；|a+b|的几何意义是：数轴上表示数
a，﹣b的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解．
（1）|x﹣3|＝4
解：由绝对值的几何意义知：
在数轴上x表示的点到3的距离等于4
∴x＝3+4＝7，x＝3﹣4＝﹣1
1 2
（2）|x+2|＝5
解：∵|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到﹣2的
距离等于5．∴x＝﹣2+5＝3，x＝﹣2﹣5＝﹣7
1 2
材料二：如何求|x﹣1|+|x+2|的最小值．
由|x﹣1|+|x+2|的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和﹣2两点的距离的和，要
使和最小，则表示数x的这点必在﹣2和1之间（包括这两个端点）取值．
∴|x﹣1|+|x+2|的最小值是3；由此可求解方程|x﹣1|+|x+2|＝4，把数轴上表示x的点记为
点P，由绝对值的几何意义知：当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|恒有最小值3，所以要使|x
﹣1|+|x+2|＝4成立，则点P必在﹣2的左边或1的右边，且到表示数﹣2或1的点的距
离均为0.5个单位．
故方程|x﹣1|+|x+2|＝4的解为：x＝﹣2﹣0.5＝﹣2.5，x＝1+0.5＝1.5．
1 2
阅读以上材料，解决以下问题：
（1）填空：|x﹣3|+|x+2|的最小值为 ；
（2）已知有理数x满足：|x+3|+|x﹣10|＝15，有理数y使得|y﹣3|+|y+2|+|y﹣5|的值最
小，求x﹣y的值．
（3）试找到符合条件的x，使|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|的值最小，并求出此时的最小值
及x的取值范围．
19．（2023·全国·七年级专题练习）有一台功能单一的计算器，只能完成对任意两个整
数求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数 ，只显示不运算，再
输入整数 ，显示 的结果．比如依次输入1，2，则显示结果1，若此后再输入
7一个整数，则显示与前面运算结果进行求差后再取绝对值的运算结果．
(1)若小明依次输入−1，0，1，则显示_______________；
(2)若小明将2，3，4，5，打乱顺序后一个一个地输入（不重复），则所有显示结果的
最小值为________；所有显示结果的最大值为____________；
(3)若小明依次输入四个连续整数n， ， ， （其中n为整数），则显示结
果为____________；
(4)若小明将四个连续整数n， ， ， （其中n为整数），打乱顺序后一个
一个地输入（不重复），则所有显示结果的最小值为_______________；
(5)若小明将1到 这 个整数打乱顺序后一个一个地输入（不重复），则所有
显示结果的最大值为_____________．
20．（2023·浙江·七年级假期作业）我们已知道：
，
事实上： （ 为正整数）成立，
故有：当 时， 成立．
由以上结论填写下列代数式结果：
(1) __________．
(2) ___________．
(3) __ ___．
21．（2023秋·全国·七年级专题练习）分类讨论是重要的数学方法，如化简 ，当
时， ；当 时， ；当 时， ．求解下列问题：
(1)当 时， 值为______，当 时， 的值为______，当x为不等于0的有
理数时， 的值为______；
(2)已知 ， ，求 的值；
(3)已知： ，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数
中有n个正数， ，则m的值为______（请用含n
的式子表示）
22．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）在数轴上，把原点记作点O，表示数1的点
记作点A．对于数轴上任意一点P（不与点O，点A重合），将线段 与线段 的
长度之比定义为点P的特征值，记作 ．即 ．例如：当点P是线段 的中点
时，因为 ，所以 ．
8（1）如图，点 ， ， 为数轴上三个点，点 表示的数是 ，点 与 关于原点
对称．
① ______；
②比较 ， ， 的大小______（用“<”连接）；
（2）数轴上的点M满足 ，求 ；
（3）数轴上的点P表示有理数p，已知 且 为整数，则所有满足条件的p的倒
数之和为______．
9
