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特训03 一元二次方程（选填压轴题）
一、单选题
1．已知点A，B，C是直线l上互不重合的三个点，设 ， ， ，其中n，a
是常数，（ ）
A．若 ，则点A在点B，C之间 B．若 ，则点A在点B，C之间
C．若 ，则点C在点A，B之间 D．若 ，则点C在点A，B之间
【答案】D
【分析】根据点A，B，C是直线l上互不重合的三个点，设当点A在点B，C之间时， 恒成
立；设点C在点A，B之间时， 恒成立；分别代入求解即可．
【解析】解：当点A在点B，C之间时， 恒成立，即方程至少有一解
化简得
若 ，则 ，不符合条件，故A选项错误；
若 ，则 ，不符合条件，故B选项错误；
当点C在点A，B之间时， 恒成立，即方程至少有一解
化简得
若 ，则 ，不符合条件，故C选项错误；
若 ，则 ，符合条件，故D选项正确；
故选：D．
1【点睛】本题考查了线段的和与差，一元二次方程根的判定，根据题意，列方程，结合选项进行验证是解
题的关键．
2．对于一元二次方程 ，下列说法：
①若a＋b＋c＝0，则方程必有一根为x＝1；②若方程 有两个不相等的实根，则方程
无实根；③若方程 两根为 ， 且满足 ，则方程
，必有实根 ， ；④若 是一元二次方程 的根，则
其中正确的（ ）
A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根的判别式及根的定义以及求根公式逐个判断排除．
【解析】解：①若 ，则 是方程 的解，故①正确；
②方程 有两个不相等的实根，
，
则方程 的判别式 ，
方程 必有两个不相等的实根，
故②错误；
③∵方程 两根为 ， 且满足 ，
∴ ，
令 ， ，
∴方程 有两个实数根，令两根分别为 ，
2∴ ，
，
∴方程 ，必有实根 ， ，
故③正确；
④若 是一元二次方程 的根，
则由求根公式可得： ，
，
，
故④正确．
故正确的有①③④，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判断，根据方程形式，判断根的情况是求解本题的关键．
3．关于x的方程 ，给出下列四个题：
①存在实数 ，使得方程恰有2个不同的实根 ②存在实数 ，使得方程恰有4个不同的实根
③存在实数 ，使得方程恰有5个不同的实根 ④存在实数 ，使得方程恰有8个不同的实根
其中假命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】首先将 分类讨论得到两个方程，然后根据根的判别式得出根的个数即可．
【解析】解: 时， 或
3方程化为： ①
时，
方程化为： ②
当 ，即 时，
方程①的根为：
方程②的根为：
分析可得 时，即： 时，有5个不相等的实根
时，
则
中， 不符合题意，故有2个实数根
中， ， 均不符合题意
故 时，有2个实数根
共有8个不相等的实数根
当 ，即 时，
方程①的根为： ，
4方程②的根为： ，
故共有4个不相等的实数根
当 ，即 时，
方程没有实数根
综上，方程可能有 个、 个、 个、 个实数根
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程跟的情况，相关知识点有：根的判别式、绝对值、分类思想等，分类讨
论是本题的解题关键．
4．根据绝对值定义：可将 表示为 ，故化简 可得 ， ， 或 四种
不同结果，给出下列说法：
①化简 一共有8种不同的结果；
②化简 一共有8种不同的结果；
③若 ， （ 为正整数），则当 时， ．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】①由于 的结果分别有2种，则 的结果共有 种；②根据 的取
值范围化简绝对值可得当 时， ；当 时， ；
当 时 ；当 时， ；则
的结果共有4种；③根据题意可得 ，再由 求出 的值
即可
【解析】解：① 的结果有两种， 的结果有两种， 的结果有两种，
的结果共有 种，故①说法正确；
当 时，
5；
当 时，
；
当 时，
当 时， ；
的结果共有4种情况，故②说法错误；
③
解得， 或 （舍去）
故③说法正确，
∴正确的说法有2个，
故选：C
【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，熟练掌握绝对值的性质、一元二次方程的解法是解题的关键
5．空地上有一段长为a米的旧墙 ，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总
长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（ ）
6A．若 ，则有一种围法
B．若 ，则有一种围法
C．若 ，则有两种围法
D．若 ，则有一种围法
【答案】A
【分析】分两种情况讨论：，图2围法，设矩形菜园垂直于墙的边为x米，分别表示矩形的长，再利用矩
形面积列方程，解方程，注意检验x的范围，从而可得答案．
【解析】解：设矩形菜园的宽为x米，则长为 米，
∴
当 时，采用图1围法，则此时
当 时，
解得：
此时都不符合题意，
采用图2围法，如图，
此时矩形菜园的宽为x米，即
则 则 所以长为 米，
结合 可得
∴
7解得： 经检验不符合题意，
综上：若 ，，则没有围法，故A符合题意；
设矩形菜园的宽为x米，则长为 米，
∴
当 时，采用图1围法，则此时
当 时，
解得： 经检验 符合题意；
采用图2围法，如图，
此时矩形菜园的宽为x米，即
则 则 所以长为 米，
结合 可得
∴
解得： 经检验 符合题意，
综上：若 ，则有两种围法，故B不符合题意；
设矩形菜园的宽为x米，则长为 米，
∴
8当 时，采用图1围法，则此时
当 时，
解得： 经检验都符合题意；
采用图2围法，如图，
此时矩形菜园的宽为x米，即
则 则 所以长为 米，
结合 可得
∴
解得： 经检验都不符合题意，
若 ，则有两种围法，C不符合题意，
设矩形菜园的宽为x米，则长为 米，
∴
当 时，采用图1围法，则此时
当 时，
解得： 经检验符合题意；
9采用图2围法，如图，
此时矩形菜园的宽为x米，即
则 则 所以长为 米，
结合 可得
∴
解得： 经检验都不符合题意，
综上所述，若 ，则有一种围法，D不符合题意；
故选A
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，表示图2中矩形的长是解本题的关键．
6．定义：如果代数式 （ ， 、 、 是常数）与 （ ， 、
、 是常数），满足 ， ， ，则称这两个代数式A与B互为“同心式”，下列
四个结论：
（1）代数式： 的“同心式”为 ；
（2）若 与 互为“同心式”，则 的值为1；
（3）当 时，无论x取何值，“同心式”A与B的值始终互为相反数；
（4）若A、B互为“同心式”， 有两个相等的实数根，则 ．
其中，正确的结论有（ ）个．
10A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据同心式的定义结合代数式和方程求解即可
【解析】根据同心式的定义：
（1）∵ ，
∴代数式： 的“同心式”不是 ；
故（1）是错误的；
（2）∵ 与 互为“同心式”，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故（2）是正确的；
（3）当 时，且 ， ，
∴ ， ，即A与B的值始终互为相反数，
故（3）是正确的；
（4）∵A、B互为“同心式”，
∴ ， ，
∵ 有两个相等的实数根，
∴ 有两个相等的实数根，
∴ ，即 ，
故（4）是正确的；
故选：C
【点睛】本题根据新定义和题目的要求构建方程，考查了数学建模和数学运算的核心素养，解题的关键是
11理解题目中的新定义．
7．已知两个多项式 ， ，x为实数，将A、B进行加减乘除运算：
①若A+B=10，则 ；
② ，则x需要满足的条件是 ；
③ ，则关于x的方程无实数根；
④若x为正整数( )，且 为整数，则 1，2，4，5．
上面说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】利用 可求出 ，故①错误；对 分情况讨论可知②正确；若
，则 或 ，利用根的判别式可知 ， 时，方程无解，故③正确；由 为整
数，可得 是整数，可求出 ，2，4，5，故④正确．
【解析】解：∵ ， ，
∴①当 时，则 ，解得： ，故①错误；
②当 ，则 ，
当 时， ，解得： ；
当 ， ，解得： ；
当 ， ，解得： （舍去）；
综上所述： ，故②正确；
③若 ，则 或 ，
当 时， ， ，无解；
当 时， ， ，无解；
∴ ，关于x的方程无实数根；故③正确；
12④∵ ，
若 为整数，则 是整数，
∵x为正整数( )，解得： ，2，4，5，故④正确；
∴正确的有②③④
故选：C
【点睛】本题考查分式的化简，含绝对值的一元一次方程的求解，根的判别式，能够正确解方程是解题的
关键．
8．下列给出的四个命题，真命题的有（ ）个
①若方程 两根为-1和2，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则方程 一定无解；
④若方程 的两个实根中有且只有一个根为0，那么 ， ．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】①根据一元二次方程根与系数的关系可得 ，即可判断；②利用求根公式求出方程的根，求
得1﹣a＜0，即可判断；③由△＝b2﹣4ac＜0，即可判断；④利用根与系数的关系进行判断．
【解析】①若方程 两根为-1和2，
则 ，则 ，即 ；故此选项符合题意；
②∵a2﹣5a+5＝0，
∴a＝ ＞1或a＝ ＞1，
∴1﹣a＜0，
∴ ；此选项符合题意；
③∵ ，
13∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一定无解，故此选项符合题意；
④若方程x2+px+q＝0的两个实根中有且只有一个根为0，
∴两根之积为0，
那么p≠0，q＝0，故此选项符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了一元二次方程的根，涉及到了一元二次方程的求根公式，根的判别式，根与系数的关
系等，熟记各计算方法是解题的关键．
9．对于二次三项式 （m为常数），下列结论正确的个数有（ ）
①当 时，若 ，则
②无论x取任何实数，等式 都恒成立，则
③若 ， ，则
④满足 的整数解 共有8个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】①代入求值后因式分解计算即可；②提取公因式x后根据恒成立找关系即可；
③两个方程相加后因式分解即可解题；④去括号后因式分解判断即可．
【解析】①当 时，若 ，则
∴ 或者 ，故①错误；
②等式 化简后为
∵无论x取任何实数，等式 都恒成立，
∴ ，即
∴ ，故②正确；
③若 ， ，则两个方程相加得： ，
14∴
∴ ，故③错误；
④整理 得：
∴
∵整数解
∴ ， ， ，
∴ ， ， ， ， ， ， ， ， ，
∴ 整数解 共9对，故④错误；
综上所述，结论正确的有②；
故选：A．
【点睛】本题综合考查因式分解的应用，熟练的配方是解题的关键，题目还考查了因式分解法解一元二次
方程．
10．已知 为正整数，且满足 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将已知方程整理为一元二次方程，结合方程根的情况，得出 的取值范围，再代入方程即可求解．
【解析】解： 变形得， ，
∵ 为正整数，
∴存在正整数 ，使得 ①，
∴ ，即 ，
15∴ ②，
设 关于 的方程为 ③，方程有两个正整数解，
∴ ，
∴ ，
∵ 为正整数，
∴ 的值为 ，可证 为 时方程③无正整数根，
∴当 时，方程 得， ，解得， ， ，
∴ ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查将分式转化为一元二次方程方程，根据根的情况解一元二次方程的参数，再代入计
算，掌握以上相关知识的运用是解题的关键．
11．已知下面三个关于 的一元二次方程 ， ， 恰好有一个相同
的实数根 ，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．不确定
【答案】A
【分析】把x=a代入3个方程得出a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，3个方程相加即可得出
（a+b+c）（a2+a+1）=0，即可求出答案．
【解析】把x=a代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0得：a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，相
加得：（a+b+c）a2+（b+c+a）a+（a+b+c）=0，
∴（a+b+c）（a2+a+1）=0．
∵a2+a+1=（a+ ）2+ ＞0，
∴a+b+c=0．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．
12．设 为互不相等的实数，且 ， ，则 的值为
16（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．0.5
【答案】A
【分析】把 看作以上方程的两个不同的根，可得 ，根据一元二次方程根与
系数的关系求解即可
【解析】解： ， ，
看作以上方程的两个不同的根，
即 是方程 的两根，
故 ，即
故选A
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，整体代入是解题的关键．
13．设a、b是整数，方程x2+ax+b=0的一根是 ，则 的值为（ ）
A．2 B．0 C．-2 D．-1
【答案】C
【分析】先化简 ，再代入方程x2+ax+b=0并整理，根据题意列出二元一次方程组并求解求得a和b
的值，再代入计算即可．
【解析】解： = = 1．
∵方程x2+ax+b=0的一根是 ，
∴ + +b=0．
∴ ．
∴ ．
∵ 、 是整数，
17∴
解得
∴ = = ．
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的化简，一元二次方程的解，二元一次方程组的应用，正确构造二元一次方程
组是解题关键．
14．已知一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2＝0的一个根与方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的一个根互为
相反数，那么（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的根是（ ）
A．0，﹣ B．0， C．﹣1，2 D．1，﹣2
【答案】A
【分析】将x、﹣x 分别代入已知的两个方程，求出a的值，再将a的值代入要求解的方程，解方程即可.
0 0
【解析】设x 为方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2=0的一个根，则﹣x 为方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2=0的一个根，
0 0
∴（a+1）x2﹣a x+a2﹣a﹣2=0①，
0 0
（a+1）x2﹣a x﹣a2+a+2=0②，
0 0
∴①﹣②得：2a2﹣2a﹣4=0，即a2﹣a﹣2=0，
解得a=2或﹣1，
当a=2时，3x2+2x=0，解得x=0或﹣ ；
②当a=﹣1时，﹣x﹣1﹣1+2=0，解得x=0.
∴方程的解是0或﹣ .
故选A.
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义.
15．新定义，若关于x的一元二次方程： 与 ，称为“同族二次方程”．如
与 是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程： 与
18是“同族二次方程”．那么代数式 能取的最小值是（ ）
A．2011 B．2013 C．2018 D．2023
【答案】B
【分析】根据同族二次方程的定义，可得出a和b的值，从而解得代数式的最小值．
【解析】解： 与 为同族二次方程．
，
，
∴ ，
解得： ．
，
当 时， 取最小值为2013.
故选：B.
【点睛】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组的方法，理解同族二次方程的定义是解答本题
的关键．
16．若 ， ， ， ， 为互不相等的正奇数，满足
，则 的末位数字是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】A
【分析】因为 ， ， ， ， 为互不相等的正奇数，所以 ， ， ，
， 为互不相等的非零偶数（有偶数个负数），又因为 ，所以这5个偶数
只能是2，-2，4，6，-6（否则就会有相同的偶数），所以 ， ， ， ， 分别等于2007，2003，
192001，1999，2011，所以 的末位数字是1
【解析】解：∵ ， ， ， ， 为互不相等的正奇数
∴ ， ， ， ， 为互不相等的偶数，且负数个数为偶数
个
而将 分解为5个互不相等的偶数之积，只有唯一的形式：
∴ ， ， ， ， 分别等于2、 、4、6、
∴ ， ， ， ， 分别等于2007，2003，2001，1999，2011
又∵20072尾数是9，20032尾数是9，20012尾数是1，19992尾数是1，20112尾数是1
∴ 的末位数字是1．
故选A．
【点睛】本题主要考查了数字变化类的一些简单的问题，能够掌握七内在规律并熟练求解是解题关键．
二、填空题
17．已知实数 满足： ．求 的最小值
【答案】6
【分析】用分类讨论的思想，解决问题即可．
【解析】解：不妨设a是a，b，c中的最大者，即 ， ，由题设知 ，
且 ， ，
于是b，c是一元二次方程 的两实根，
∴ ，即 ，
所以 ．
又当 ， 时，满足题意．
故a，b，c中最大者的最小值为4．
20因为 ，所以a，b，c为全大于0或一正二负．
①若a，b，c均大于0，a，b，c中的最大者不小于4，这与 矛盾．
②若a，b，c为或一正二负，
不妨设 ， ， ，则 ，
∵ ，
故 ，
当 ， 时，满足题设条件且使得不等式等号成立．
故 的最小值为6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查绝对值，一元二次方程等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，题目比较难，
属于竞赛题目．
18．若 ( 为实数)，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】运用配方法将 变形为 ，然后根据非负
数的性质求出 的最小值即可．
【解析】解：
=
=
=
∵ 为实数，
∴ ；
∴ 的最小值为 ，当且仅当 即 时取最小值．
故答案为： ．
21【点睛】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，解题时注意配方的步骤，注意在变形的过程 中
不要改变式子的值．
19．已知关于 的一元二次方程 ，下列结论：
①方程总有两个不等的实数根；②若两个根为 ， ，且 ，则 ， ；③若两个根为 ，
，则 ；④若 ，则代数式 的值为一个完全平方
数，其中正确的结论是 （填序号）．
【答案】①③
【分析】利用判别式判断①，求出 时的两个根，判断②，利用根与系数的关系，判断③，求出
的值以及完全平方数的定义，判断④．
【解析】解： ，
∴ ，
∴方程有两个不相等的实数根；故①正确；
当 时， ，
∴ ，
∴当 时， 的两个根 ， ，且 ，则： ，故②错误；
若两个根为 ， ，则： ，
∴ ；
，
∴ ；故③正确；
∵
22，
当 时，
，
当 为奇数时， 不是整数，
∴ 的值不一定是完全平方数，故④错误；
故答案为①③.
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况及根与系数的关系，涉及完全平方数等知识，解题的关键是掌握
一元二次方程根的判别式、根与系数的关系及完全平方数概念．
20．将关于x的一元二次方程 变形为 ，就可以将 表示为关于x的一次多项式，
从而达到“降次”的目的，又如 …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方
法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： ，且 ．则 的值为
．
【答案】
【分析】先将 变形为 ，再利用“降次法”将 转化为 ，然
后解一元二次方程，求出 ，再代入求值即可．
【解析】解： ，
23∴ ．
∴
，
，
，
，
，
，
．
∵ ， ，
∴
∴ ，
∵ ，
；
∴原式
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查代数式求值和解一元二次方程．理解并掌握“降次法”，是解题的关键．
21．已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1，bx2+cx+a＝﹣3，cx2+ax+b＝2恰好有一个相同的实
数根，则a+b+c的值为 ．
【答案】0
【分析】设这个相同的实数根为t，把x＝t代入3个方程得出a•t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a•t+b＝0，3
个方程相加即可得出（a+b+c）（t2+t+1）＝0，即可求出答案．
24【解析】解：设这个相同的实数根为t，
把x＝t代入ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0得：
a•t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a•t+b＝0
相加得：（a+b+c）t2+（b+c+a）t+（a+b+c）＝0，
（a+b+c）（t2+t+1）＝0，
∵t2+t+1＝（t ）2 0，
∴a+b+c＝0，
故答案是：0．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．
22．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程 的两个根为 ，
则 ．
【答案】
【分析】由根与系数的关系得 ， ，所以
，则
，然后代入即可求解．
【解析】由根与系数的关系得 ， ，
所以 ，
则 ，
则
25．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据根与系数的关系求出一般形式再进行代入求
值．
23．韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程
的两实数根分别为 ，则方程可写成 ，即
，容易发现根与系数的关系： ．设一元三次方程
三个非零实数根分别 ，现给出以下结论：
① ，② ；③ ；④ ，其中正确的是
（写出所有正确结论的序号）．
【答案】①③
【分析】仿照题意所给的方法，得到原方程为 ，
由此求解即可．
【解析】解；∵一元三次方程 三个非零实数根分别 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
26∴①③正确，②不正确；
∵
，
∴④不正确，
故答案为：①③．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简，多项式乘法的应用，正确理解题意
是解题的关键．
24．将两个关于x的一元二次方程整理成 （ ，a、h、k均为常数）的形式，如果只有
系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程
（ ）与方程 是“同源二次方程”，且方程 （ ）有两
个根为 、 ，则b－2c＝ ， 的最大值是 ．
【答案】 4； -3
【分析】利用 （ ）与方程 是“同源二次方程”得出 ， ，即
可求出 ；利用一元二次方程根与系数的关系可得 ， ，进而得出
，设 （ ），得 ，根据方程 有正数解
可知 ，求出t的取值范围即可求出 的最大值．
【解析】解：根据新的定义可知，方程 （ ）可变形为 ，
∴ ，
展开， ，
27可得 ， ，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ，
∵方程 （ ）有两个根为 、 ，
∴ ，且 ，
∴ ，
设 （ ），得 ，
∵方程 有正数解，
∴ ，
解得 ，即 ，
∴ ．
故答案为：4，-3．
【点睛】本题考查新定义、一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，由根与系数的关系得到
是解题的关键．
25．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0，下列结论：①方程总有两个不等的实数根；②
若两个根为x，x，且x＞x，则x＞3，x＜3；③若两个根为x，x，则（x﹣2）（x﹣2）＝（x﹣3）
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
（x﹣3）；④若x＝ （p为常数），则代数式（x﹣3）（x﹣2）的值为一个完全平方数，其中正
2
确的结论是 ．
【答案】①③
【分析】由Δ＝1+4p2＞0，可判定①正确；设p＝0，可得x＝3，x＝2，可判断②不正确；根据（x﹣2）
1 2 1
28（x﹣2）＝﹣p2，（x﹣3）（x﹣3）＝﹣p2，可判定③正确；由（x﹣3）（x﹣2）＝（ ）2，可判定④
2 1 2
不正确．
【解析】解：由（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0得x2﹣5x+6﹣p2＝0，
①Δ＝25﹣4×（6﹣p2）＝1+4p2＞0，
∴（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0总有两个不等的实数根，故①正确；
②设p＝0，关于x的一元二次方程为（x﹣3）（x﹣2）＝0，若两个根为x，x，且x＞x，
1 2 1 2
则x＝3，x＝2，这与x＞3不符合，故②不正确；
1 2 1
③若x2﹣5x+6﹣p2＝0两个根为x，x，则x+x＝5，x•x＝6﹣p2，
1 2 1 2 1 2
（x﹣2）（x﹣2）＝x•x﹣2（x+x）+4＝6﹣p2﹣2×5+4＝﹣p2，
1 2 1 2 1 2
（x﹣3）（x﹣3）＝x•x﹣3（x+x）+9＝6﹣p2﹣3×5+9＝﹣p2，
1 2 1 2 1 2
∴（x﹣2）（x﹣2）＝（x﹣3）（x﹣3），故③正确；
1 2 1 2
④∵x＝ （p为常数），
∴（x﹣3）（x﹣2）
＝x2﹣5x+6
＝
＝
＝
＝ ，
当p为奇数时， 不是整数，此时（x﹣3）（x﹣2）不是完全平方数，故④不正确；
故答案为：①③．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况及根与系数的关系，涉及完全平方数等知识，解题的关键是掌握
一元二次方程根的判别式、根与系数的关系及完全平方数概念．
26．已知对于两个不相等的实数 、 ，定义一种新的运算： ，如
29，已知 ， 是一元二次程 的两个不相等的实数根，则
．
【答案】
【分析】首先根据韦达定理求解两根之和与两根之积，然后代入原式根据定义进行求解．
【解析】由 ， 是 的两个不相等的实数根可得： ，
故
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系（也叫韦达定理），实数的定义新运算，此类题型一定
要严格按照题目中的定义来求解，注意过程的正确性．
27．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这
样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有 （填序号）．
①方程 是“倍根方程”；
②若 是“倍根方程”，则 ；
30③若 满足 ，则关于x的方程 是“倍根方程”；
④若方程 是“倍根方程”，则必有 ．
【答案】②③④
【分析】①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”；
②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系；
③当 满足 时，有 ，求出两个根，再根据 代入可得两个根
之间的关系，讲而判断是否为“倍根方程”；
④用求根公式求出两个根，当 或 时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
【解析】①解方程 ，得 ，
，
方程 不是“倍根方程”．故①不正确；
② 是“倍根方程”，且 ，
因此 或 ．
当 时， ，
当 时， ，
，故②正确；
③ ，
，
，
，
因此 是“倍根方程”，故③正确；
31④方程 的根为 ，
若 ，则 ，
即 ，
，
，
，
，
，
若 ，则 ，
，
，
，
，
．故④正确，
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根
方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．
28．王老师设计了一个如图所示的数值转换程序．
（1）当输入 时，输出 的值为 ；
32（2）当输出 时，输入 的值为 ．
【答案】 3 -8
【分析】（1）根据题意把x=-4，代入 求值即可；
（2）把M=5分别代入 和 ，再进行检验即可．
【解析】解：（1）∵-4＜3，
∴当 ，时， ，
故答案为：3；
（2）把M=5代入 得
解得
∵8＞3
所以 不合题意，舍去；
把M=5代入 得
33解得 ，
∵-1＜3,2＜3，
∴ 均不合题意，舍去；
综上所述，x=-8．
故答案为：-8
【点睛】本题考查了实数与运算，解绝对值方程、一元二次方程等知识，理解好运算程序，并根据运算程
序结合方程知识求解是解题关键．
29．已知正实数 满足 ，则 ．
【答案】
【分析】先观察方程的特点，把原方程化为 ，再用含 的代数式表示 ，再代入原
方程组中的第一个方程求解 再求解 从而可得答案.
【解析】解： 整理得：
由①②得： 即 则
由②③得： 即 则
由①③得： 即
解得：
经检验 不符合题意；
34故答案为：
【点睛】本题考查的是方程组的特殊解法，一元二次方程的解法，掌握“降次，消元的方法解方程组”是
解本题的关键.
30．已知两个关于 的一元二次方程 ， 有一个公共解2，且 ， ， ，
．下列结论：① 有唯一对应的值 ；② ；③ 是一元二次方程
的一个解．其中正确结论的序号是 ．
【答案】①③
【分析】将x=2代入方程，然后两式相减进行计算，从而判断①；设一元二次方程x2+ax+b=0的另一个根为
m，x2+cx+d=0的另一个根为n，利用一元二次方程根与系数的关系求得m+2=-a，2m=b，n+2=-c，2n=d，然
后代入计算并利用完全平方式的非负性判断②；将方程变形为（2m+2n）x2+（-m-2-n-2）x+2=0，然后x=
代入方程进行验证，从而判断③．
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b=0，x2+cx+d=0有一个公共解2，
∴22+2a+b=0①，22+2c+d=0②，
②-①，得：2（c-a）+d-b=0，
2（c-a）=b-d，
∴ ，故①正确；
设一元二次方程x2+ax+b=0的另一个根为m，x2+cx+d=0的另一个根为n，
∴m+2=-a，2m=b，n+2=-c，2n=d，
∴a2-4b=[-（m+2）]2-4×2m=（m-2）2≥0，
c2-4d=[-（n+2）]2-4×2n=（n-2）2≥0，
∴a2-4b+c2-4d≥0，
∴a2+c2≥4b+4d，
∴ ≥b+d，故②错误；
∵m+2=-a，2m=b，n+2=-c，2n=d，
35∴一元二次方程（b+d）x2+（a+c）x+2=0可变形为：（2m+2n）x2+（-m-2-n-2）x+2=0，
当x= 时，左边=（2m+2n）×（ ）2+（-m-2-n-2）× +2=0=右边，
∴x= 是一元二次方程（b+d）x2+（a+c）x+2=0的一个解，故③正确，
故答案为：①③．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，理解方程的解的概念，掌握一元二
次方程根与系数的关系是解题关键．
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