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特训03 一元二次方程（选填压轴题）
一、单选题
1．已知点A，B，C是直线l上互不重合的三个点，设 ， ， ，其中n，a
是常数，（ ）
A．若 ，则点A在点B，C之间 B．若 ，则点A在点B，C之间
C．若 ，则点C在点A，B之间 D．若 ，则点C在点A，B之间
2．对于一元二次方程 ，下列说法：
①若a＋b＋c＝0，则方程必有一根为x＝1；②若方程 有两个不相等的实根，则方程
无实根；③若方程 两根为 ， 且满足 ，则方程
，必有实根 ， ；④若 是一元二次方程 的根，则
其中正确的（ ）
A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④
3．关于x的方程 ，给出下列四个题：
①存在实数 ，使得方程恰有2个不同的实根 ②存在实数 ，使得方程恰有4个不同的实根
③存在实数 ，使得方程恰有5个不同的实根 ④存在实数 ，使得方程恰有8个不同的实根
其中假命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．根据绝对值定义：可将 表示为 ，故化简 可得 ， ， 或 四种
不同结果，给出下列说法：
①化简 一共有8种不同的结果；
1②化简 一共有8种不同的结果；
③若 ， （ 为正整数），则当 时， ．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．空地上有一段长为a米的旧墙 ，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总
长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则有一种围法
B．若 ，则有一种围法
C．若 ，则有两种围法
D．若 ，则有一种围法
6．定义：如果代数式 （ ， 、 、 是常数）与 （ ， 、
、 是常数），满足 ， ， ，则称这两个代数式A与B互为“同心式”，下列
四个结论：
（1）代数式： 的“同心式”为 ；
（2）若 与 互为“同心式”，则 的值为1；
（3）当 时，无论x取何值，“同心式”A与B的值始终互为相反数；
（4）若A、B互为“同心式”， 有两个相等的实数根，则 ．
其中，正确的结论有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．已知两个多项式 ， ，x为实数，将A、B进行加减乘除运算：
2①若A+B=10，则 ；
② ，则x需要满足的条件是 ；
③ ，则关于x的方程无实数根；
④若x为正整数( )，且 为整数，则 1，2，4，5．
上面说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．下列给出的四个命题，真命题的有（ ）个
①若方程 两根为-1和2，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则方程 一定无解；
④若方程 的两个实根中有且只有一个根为0，那么 ， ．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．对于二次三项式 （m为常数），下列结论正确的个数有（ ）
①当 时，若 ，则
②无论x取任何实数，等式 都恒成立，则
③若 ， ，则
④满足 的整数解 共有8个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．已知 为正整数，且满足 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知下面三个关于 的一元二次方程 ， ， 恰好有一个相同
的实数根 ，则 的值为（ ）
3A．0 B．1 C．3 D．不确定
12．设 为互不相等的实数，且 ， ，则 的值为
（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．0.5
13．设a、b是整数，方程x2+ax+b=0的一根是 ，则 的值为（ ）
A．2 B．0 C．-2 D．-1
14．已知一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2＝0的一个根与方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的一个根互为
相反数，那么（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的根是（ ）
A．0，﹣ B．0， C．﹣1，2 D．1，﹣2
15．新定义，若关于x的一元二次方程： 与 ，称为“同族二次方程”．如
与 是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程： 与
是“同族二次方程”．那么代数式 能取的最小值是（ ）
A．2011 B．2013 C．2018 D．2023
16．若 ， ， ， ， 为互不相等的正奇数，满足
，则 的末位数字是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
二、填空题
17．已知实数 满足： ．求 的最小值
18．若 ( 为实数)，则 的最小值为 ．
19．已知关于 的一元二次方程 ，下列结论：
4①方程总有两个不等的实数根；②若两个根为 ， ，且 ，则 ， ；③若两个根为 ，
，则 ；④若 ，则代数式 的值为一个完全平方
数，其中正确的结论是 （填序号）．
20．将关于x的一元二次方程 变形为 ，就可以将 表示为关于x的一次多项式，
从而达到“降次”的目的，又如 …，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方
法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知： ，且 ．则 的值为
．
21．已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1，bx2+cx+a＝﹣3，cx2+ax+b＝2恰好有一个相同的实
数根，则a+b+c的值为 ．
22．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程 的两个根为 ，
则 ．
23．韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程
的两实数根分别为 ，则方程可写成 ，即
，容易发现根与系数的关系： ．设一元三次方程
三个非零实数根分别 ，现给出以下结论：
① ，② ；③ ；④ ，其中正确的是
（写出所有正确结论的序号）．
24．将两个关于x的一元二次方程整理成 （ ，a、h、k均为常数）的形式，如果只有
系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程
5（ ）与方程 是“同源二次方程”，且方程 （ ）有两
个根为 、 ，则b－2c＝ ， 的最大值是 ．
25．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0，下列结论：①方程总有两个不等的实数根；②
若两个根为x，x，且x＞x，则x＞3，x＜3；③若两个根为x，x，则（x﹣2）（x﹣2）＝（x﹣3）
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
（x﹣3）；④若x＝ （p为常数），则代数式（x﹣3）（x﹣2）的值为一个完全平方数，其中正
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确的结论是 ．
26．已知对于两个不相等的实数 、 ，定义一种新的运算： ，如
，已知 ， 是一元二次程 的两个不相等的实数根，则
．
27．如果关于x的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这
样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有 （填序号）．
①方程 是“倍根方程”；
②若 是“倍根方程”，则 ；
③若 满足 ，则关于x的方程 是“倍根方程”；
④若方程 是“倍根方程”，则必有 ．
28．王老师设计了一个如图所示的数值转换程序．
（1）当输入 时，输出 的值为 ；
（2）当输出 时，输入 的值为 ．
629．已知正实数 满足 ，则 ．
30．已知两个关于 的一元二次方程 ， 有一个公共解2，且 ， ， ，
．下列结论：① 有唯一对应的值 ；② ；③ 是一元二次方程
的一个解．其中正确结论的序号是 ．
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