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特训02 特殊平行四边形压轴题（2023新题速递）
一、解答题
1．（2023春·海南·九年级校联考期中）如图1，已知四边形 为正方形，连接 ．
(1)求证： ；
(2)如图2，若正方形 的边长为4， 是 边上的一个动点．
①请判断线段 与 有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
②连接 ，若 ，求线段 长；
③求 的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)①结论： ，理由见解析；② ；③
【分析】（1）由“ ”可证 ，可得结论．
（2）①延长 ， 交于点H，由“ ”可证 ，可得 ，由四边形内角和
定理可求 ，可得结论．
②过点G作 ，交 延长线于点H，由“ ”可证 ，可得 ，
，由勾股定理可求解．
③说明点G的运动轨迹是直线 ，直线 与直线 之间的距离为4，作点D关于直线 的对称点
T，连接 ， ．在 中，可得 ．根据 求解即可．
【解析】（1）证明：∵四边形 为正方形，
， ．
在 和 中，
1；
（2）解：①结论： ．
理由：如图，延长 交于点 ，
∵四边形 为正方形，
， ，
．
即 ．
在 和 中，
，
， ；
，
．
，
，
；
②如图，过点 作 ，交 延长线于点 ，
2，
．
，
．
又 ， ，
，
，
，
；
③如图，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ．
由②可知， ，
∴点 的运动轨迹是直线 ，直线 与直线 之间的距离为4，
∵在 中， ， ， ，
．
，
．
3，
，
的最小值为 ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称最短问题等知
识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最值问题，属于中考压轴题．
2．（2023秋·福建厦门·九年级厦门市湖里中学校考阶段练习）（1）问题背景：如图1，E是正方形
的边 上的一点，过点 作 交 的延长线于 ，求证： ；
（2）尝试探究：如图2，在（1）的条件下，连接 、 交于 ，请探究 、 与 之间的数量
关系，并证明你的结论．
（3）拓展应用：如图3，在（2）的条件下， 和 交于点 ，连接 并延长交 于点P，已知
， ，直接写出 的长 ．
4【答案】（1）见详解；（2） ，理由见解析过程；（3）
【分析】（1）由“ ”可证 ，可得 ；
（2）由“ ”可证 ，可得 ，可得结论；
（3）由直角三角形的性质可得 ，可求 的长，由勾股定理可求 的长，即可求解．
【解析】（1）证明：在正方形 中， ， ，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解： ，理由如下：
如图，过点 作 ，交 的延长线于 ，
，
，
四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
，
5， ， ，
，
， ，
；
（3）连接 ，
， ，
，
，
，
∵ ，
，
， ，
，
， ， ，
是 的垂直平分线，
，
，
，
，
，
6故答案为： ．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质
等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
3．（2023秋·广东深圳·九年级校考阶段练习）【问题情境】
（1）我们曾经研究过这样的问题：已知正方形 ，点 在 的延长线上，以 为一边构造正方形
，连接 和 ，如图1所示，则 和 的数量关系为______，位置关系为______
【继续探究】
（2）如图2所示，若正方形 的边长为4，点 是 边上的一个动点，以 为一边在 的右侧作
正方形 ，连接 、 ，连接 ，若 ，求线段 的长度．
【拓展提升】
（3）在（2）的条件下，如图3，当点 在射线 上运动时，求 的最小值为______
【答案】（1） ， ；（2） ；（3）
【分析】（1）由“ ”可证 ，可得结论．
（2）过点 作 ，交 延长线于点 ， ，得出 ， ，
求出 ，根据勾股定理求出 ；
（3）说明点 的运动轨迹是直线 ，直线 与直线 之间的距离为4，作点 关于直线 的对称
点 ，连接 ， ．在 中，可得 ．根据 求解即可．
【解析】解：（1）如图1中，延长 交 于 ，
7四边形 是正方形，四边形 是正方形，
， ， ，
，
， ，
，
，即 ，
，
故答案为： ， ．
（2）如图，过点 作 ，交 延长线于点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
8（3）解：如图4中，
由（2）可知， ，
点 的运动轨迹是直线 ，直线 与直线 之间的距离为4，作点 关于直线 的对称点 ，连
接 ， ．
在 中， ， ， ，
，
， ，
，
，
，
的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称最短问题等知
识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最值问题，属于中考压轴题．
4．（2023春·福建泉州·九年级福建省泉州市培元中学校考期中）如图 ，在 中， ，
，点 在 边上， ，过点 作 于点 ，分别以 ， 为邻边作平行四边
形 ，连接 ， ．
9(1)求 的大小；
(2)求证： ；
(3)如图 ，将图 中的 绕点 旋转，其余条件保持不变，连接 求在旋转过程中，线段 长的最
大值．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）证明 ， 即可解决问题．
（2）证明 即可解决问题．
（3）如图2中，延长 交 于T．证明 是等腰直角三角形，推出 ，推出当 的值
最大时， 的值最大，求出 的最大值即可解决问题．
【解析】（1）解：如图 中，
，平行四边形 ，
10平行四边形 是矩形，
，
，
， ，
，
，
，
，
．
（2）如图 中，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
在 和 中，
≌ ，
．
（3）如图 中，延长 交 于 ．
∵由平行四边形的性质可得： ，
11，
∵ ，
∴ ，
，
，
，
，
在 和 中，
≌ ，
， ，
，
是等腰直角三角形，
，
当 的值最大时， 的值最大，
，
，
，
，
的最大值为 ，
的最大值为 ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，旋转变换，全等三角形的判定和
性质，勾股定理的应用，平行四边形的性质，矩形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决
问题，属于中考压轴题．
5．（2023秋·天津南开·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，四边形 是矩形，点 ，
12点 ，点 ．以点 为旋转中心，顺时针旋转 ，得到 ，点 ， 的对应点分别为
， ．
(1)如图1，当点 落在 边上时，求点 的坐标；
(2)如图2，当点 落在线段 上时， 与 交于点 ．
①求证： ；
②求点 的坐标；
(3)记 为线段 的中点， 为 的面积，请直接写出 的取值范围．
【答案】(1)
(2)①见解析；②
(3)
【分析】（1）根据点的坐标及旋转的性质得 ，在直角三角形中运用勾股定理可求出 的长，
从而可确定答案；
（2）①根据直角三角形全等的判定方法进行判定即可，
②根据①知 ，故 ，在 中，运用勾股定理可求得 的长，得出坐标；
（3）在矩形旋转的过程中，根据点K与直线 的距离范围即可确定S的取值范围．
【解析】（1）∵点 ，点 ，
∴ ， ．
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， .
13∵矩形 是由矩形 旋转得到的，
∴ ．
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴点D的坐标是 ；
（2）①证明：由四边形 是矩形，知 ．
∵点 在线段 上，得 .
由（1）知， ，
又 ， ，
∴ ；
②由 ，得 ．
在矩形 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
设 ，则 ， ．
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴点F的坐标是 ；
（3） ．
如图，当矩形顶点 在线段 上时，点 到直线 的距离最小，最小值为线段 的长，则
14，
∴ ．
如图，当矩形顶点D在 的延长线上时，点K到直线 距离最大，最大值为线段 的长，则
，
∴ ，
所以 ．
【点睛】本题主要考查了矩形的旋转问题，全等三角形的性质和判定，勾股定理等，弄清线段的运动路径
是解题的关键．
6．（2023·河南驻马店·驻马店市第二初级中学校考二模）综合与实践
数学活动课上，数学老师以“矩形纸片的折叠”为课题开展数学活动：将矩形纸片 对折，使得点
A，D重合，点B，C重合，折痕为 ，展开后沿过点B的直线再次折叠纸片，点A的对应点为点N，折
痕为 ．
15(1)如图（1）若 ，则当点 落在 上时， 和 的数量关系是________， 的度数为
________．
思考探究：
(2)在 的条件下进一步进行探究，将 沿 所在的直线折叠，点M的对应点为点 ．当点
落在 上时，如图（2），设 ， 分别交 于点J，K．若 ，请求出三角形 的面积．
开放拓展：
(3)如图（3），在矩形纸片 中， ， ，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为 ，点A
的对应点为点N，展开后再将四边形 沿 所在的直线折叠，点A的对应点为点P，点M的对应点
为点 ，连接 ， ，若 ，请直接写出 的长．(温馨提示： ，
)
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】（1）根据折叠的性质得： ， ，根据直角三角形的性质可得 ，
由直角三角形的两锐角互余可得结论；
（2）由折叠得： ，证明 ，可知 ， ，得
是等腰直角三角形，再证明四边形 是正方形，分别计算 ， ，由三角形
16面积公式可得结论；
（3）如图（3），过点 作 于 ， 于 ，根据等腰三角形的三线合一可得
，由折叠的性质和矩形的性质可得 ， ， ，
设 ，则 ， ，根据 ，列方程可解答．
【解析】（1）解：由折叠得： ， ， ，
，
，
，
，
故答案为： ， ；
（2）由折叠得： ，
四边形 是矩形，
，
，
，
， ，
，
，
是等腰直角三角形，
四边形 是矩形， ，
矩形 是正方形，
， ，
，
，
，
，
，
，
17，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
；
（3）如图，过点 作 于 ， 于 ，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
由折叠得： ， ，
中， ，
，
延长 ， 交于 ，
中， ， ，
，
中， ，
，
设 ，则 ， ，
18，
，
，
．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质，含 角的直角三角形的性质，矩形的性质和判定，
正方形的判定和性质，三角函数等知识，掌握折叠的性质和正确作辅助线是解题的关键，题目具有一定的
综合性，比较新颖．
7．（2023秋·福建三明·九年级校考阶段练习）如①，在矩形 中， ， ，点 是 上一
点．
(1)将 沿 折叠后，点 A正好落在 边上的点 处，求线段 的长；
(2)如②，延长①中线段 至 ，使 ，以 、 为两邻边作 ，连接 交 于 ．
求证：点 为 的中点；
(3)如③，在（2）的条件下，连接 交 于点 ，连接 、 ，试判断 与 之间的数量关系并证
明．
【答案】(1)
(2)见解析
(3) ，见解析
19【分析】（1）根据勾股定理， 中， ，得 .设 ，
中，运用勾股定理构建方程， ，解得 ．
（2）如图，连接 ，延长 至点I，使 ，连接 ，可求 ．求证四边形 是矩形，
可得 ，求证 ，得 ．求证
，于是 ，得 ；
（3） ，如图，连接 ,则 ，由对称，知 ，由中位线性质，得
．
【解析】（1）如图，∵四边形 是矩形，
∴ ．
中， ,
∴ ．
∴ ．
设 ，
中，
∴
解得， ．
∴ ．
（2）如图，连接 ，延长 至点I，使 ，连接 ，
∵
∴ ．
∵四边形 是平行四边形， ，
∴四边形 是矩形．
∴ ．
20又
∴
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
又 ，
∴ ．
∴ ．
（3）结论： ，理由如下，
如图，连接 ,
∵四边形 是矩形，
∴ ．
∵点 关于 对称，
∴ ．
∵
∴ ．
21【点睛】本题考查矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，平行线的性质，勾股定
理，中位线的性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
8．（2023秋·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）在菱形 中． ，点P是对角线 上一动
点，将线段 绕点C顺时针旋转α到 ，连接 与 交于点N， 的延长线与 交于点
M．
(1)如图（1），若P是 的中点，
①求证： ；
②求证： ；
(2)如图（2），若P不是 的中点，第一问中①，②是否仍成立？若成立，请证明你的结论：若不成立，
请举个反例．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）①根据条件证明 即可得到结论；②根据条件证明
结合旋转的性质即可得到结论；
（2）连接 ，过点Q作 ，根据条件证明 ， 可得
， ，进而证明 即可解得．
22【解析】（1）①证明：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∵P是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②证明：∵四边形 是菱形，P是 的中点，
∴ ，
∵线段 绕点C顺时针旋转α到 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由①得： ，
∴ ；
（2）成立
证明：连接 ，过点Q作 ，如图，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵ ，
23∴ ，
∴ ， ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
由（1）得： ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ；
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
，
由（1）得： ，
∴ ．
【点睛】本题考查菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．本题
的综合性强，有一定的难度，解题的关键是掌握菱形和旋转的性质．
9．（2023秋·广东广州·九年级广东广雅中学校考开学考试）点 是线段 上的动点，分别以 ， 为
边在 的同侧作正方形 与正方形 ．
24(1)如图1，连接 ， ，判断 与 的位置关系和数量关系，并证明；
(2)如图2，将正方形 绕点 逆时针旋转，使得点 落在线段 上， 交 于点 且点 恰好是
的中点，连接 ， ，若 ， ，求 ；
(3)如图3，将正方形 绕点 旋转至如图的位置，且 ，连接 ， 交于点 ，连接 ，请
直接写出 ， ， 之间的数量关系．
【答案】(1) ， ，证明见详解
(2)
(3)
【分析】（1）延长 交 于点 ，证明 ，由全等三角形的性质得出 ，
，由直角三角形的性质可得出结论；
（2）过点 作 于点 ，证明 ，得出 ，证明
，由全等三角形的性质得出 ， ，求出 的长，由三角形面
积公式可得出答案；
（3）在 上截取 ，连接 ，证明 ，由全等三角形的性质得出 ，
，证明 ，由全等三角形的性质得出 ，由等腰直角三
角形的性质可得出结论．
【解析】（1） ， ．
25证明：如图1，延长 交 于点 ，
在正方形 和正方形 中， ， ， ，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
；
（2）过点 作 于点 ，
，
，
， ，
，
又 ， ，
，
，
26， ， ，
，
， ，
，
，
，
，
；
（3） ．
证明：在 上截取 ，连接 ，
正方形 和正方形 中， ，
， ，
，
，
， ，
平分 ，
，
又 ， ，
，
，
，
，
27，
，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定
与性质等知识，证明三角形全等是解决问题的关键．
10．（2023·浙江衢州·校考一模）已知，在 中， ， ， 于点H，交
于点G，E为 上一点，连接 交 于点F．
(1)如图1，若 于点E， ， ，求 的长；
(2)如图2，若 ， ，求证： ；
(3)如图3，若E为 的中点，作A关于 的对称点 ，连接 ， ， ，请直接写出 ，
， 之间的等量关系．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）关键已知条件推出 是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得到 通
过全等三角形得到 ，由勾股定理得到结论；
（2）如图2，过H作 ，交 于M，连接AM，由已知条件得到 为等腰直角三角形，
，于是得到 ， ，根据全等三角形的性质得到 证得
是等腰三角形于是得到结论；
（3）根据三角形的中位线的性质得到 ，根据轴对称的性质得到 ，
28，根据三角形的内角和得到 ，即可得到结论．
【解析】（1）解：∵ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 与 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）如图2，过H作 ，交 于M，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，而 ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形， ，
∴ ， ，
∴ ，
29在 与 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰三角形，
∴ ，
∴ ；
（3）∵H为 的中点，E为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，E为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵A关于 的对称点 ，如图3，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
30∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，轴对称的性质，勾股定理，等腰
直角三角形的判定和性质，三角形的内角和，正确的作出辅助线构造全等三角形是解决（2）的关键．
11．（2023秋·重庆·九年级重庆市第十一中学校校考开学考试）如图，在 中， ，
，点D为 边上一点，连接 ，过点B作 交 的延长线于点E．
(1)如图1，若 ， ，求 的面积；
(2)如图2，延长 到点F使 ，分别连接 交 于点G．求证： ．
(3)如图3，若 ，点M是直线 上的一个动点，连接 ，将线段 绕点D顺时针方向旋转
得到线段 ，点P是 边上一点， ，Q是线段 上的一个动点，连结 ， ．当
的值最小时，请直接写出 的度数．
【答案】(1) ；
(2)见解析；
(3) ，理由见解析．
【分析】（1）设 ，则 ，利用三角形内角和的性质求得 ，再利用直角三角形的性质
求得 ，即可求解；
（2）延长 到 ，使得 ，连接 ，利用线段垂直平分线的性质和全等三角形的性质得
到 ，再利用三角形中位线的性质求解即可；
（3）作 ，交 的延长线于点 ，作点 关于 的对称点 ，连接 ， ， ， ，
31利用旋转的性质和全等三角形的判定与性质得到 ，得到点 在过点 且垂直于 的直线上运
动，由三角形三边关系定理得到 ，从而得到 ， ， 共线时， ，此
时 最小，画出图形后通过说明四边形 为菱形，求解即可．
【解析】（1）解：∵ ，
∴
设 ，则
∴ ，
∵
∴ ，
∵
∴ ，解得
∴
∴ ，
∴ ，
（2）证明：延长 到 ，使得 ，连接 ，如下图：
∵ ，
∴
∵ ，
∴ 垂直平分
∴
∴
∴
32∵
∴
又∵
∴
∴ ，
∴ ，
∴
∴
∵
∴ 为 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ；
（3） ，理由如下：
作 ，交 的延长线于点 ，作点 关于 的对称点 ，连接 ， ， ， ，
∵ ，
∴
∴
∵将线段 绕点D顺时针方向旋转 得到线段
∴ ，
∵
∴ ，
∴
∴
33∴ ，
∴点 在过点 且垂直于 的直线上运动，
由题意可得： ，
∴
∴当 ， ， 共线时， ，此时 最小，
如图，当 ， ， 共线时，
∵
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 与 关于 对称，
∴
∴ ，
∴
∴
∴
∴
∴四边形 是菱形
∴ ，
∴
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角
形中位线定理，三角形内角和定理，菱形判定与性子，充分利用旋转的性质是解题的关键．
12．（2023春·四川达州·九年级校考期中）如图1，点 是矩形 边 上一点（不与点 ， 重合），
直线 与 的延长线交于点 ．将 沿直线 折叠得到 ，点 在矩形 的内部，延长
34交直线 于点 ．
(1)证明： ；
(2)如图2，连接 ，若 ， ，求 周长的最小值；
(3)如图3，连接 交 于点 ，点 是 的中点，当 时，请判断 与 的数量关
系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3) ，理由见解析
【分析】（1）由四边形 是矩形，可得 ，则 ，由折叠得 ，则
，进而可得 ；
（2）由折叠得 ， ，则 的周长为 ，如图1，
连接 ， ，由 ，可知当点 恰好位于对角线 上时， 最小，在
中，由勾股定理得 ，则 的最小值为 ，进而可求 周长的最
小值；
（3）如图2，由折叠可知 ， ， ，过点 作 ，交 于点 ，则
， ， ，点 是 的中点，由 ，
即 ，可得 ，由 ，可得 ，则 ， ．
由点 为 中点，点 是 中点，可得 ， ，根据
，即 ，可得 ．
【解析】（1）证明：∵四边形 是矩形，
35∴ ，
∴ ，
由折叠得 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由折叠得 ， ，
∴ 的周长为 ，
如图1，连接 ， ，
∵ ，
∴当点 恰好位于对角线 上时， 最小，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ 的最小值为 ，
∴ 周长的最小值为 ；
（3）解： 与 的数量关系是 ，理由如下：
如图2，由折叠可知 ， ， ，过点 作 ，交 于点 ．
∵ ，
∴ ，
36∴ ，
∴ ，
∴点 是 的中点，
∵ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵点 为 中点，点 是 中点，
∴ ， ．
∴ ．
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定
理，外角的性质等．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
13．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校考开学考试）如图，已知四边形 为正方形， ，点E为平
面内一动点（不与点D重合），连接 ，以 为边作正方形 ，连接 ．
(1)如图1，当点E在对角线 上移动时：
①求证： ；
②探究： 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
③求证：点F在直线 上．
(2)如图2，连接 ，则 的最小值等于_______．
37【答案】(1)①证明见解析；② 的值为定值， ；③证明见解析
(2)
【分析】（1）①根据正方形的性质，利用 证明 ；②根据 可得 ，
进而可得 ；③过点E分别做 ， ，垂足分别为点P、点Q，通过
证明 ，推出 ，结合 ，可证点F在直线 ．
（2）连接 ， ，同（1）①可证 ，推出 ，进而可得
．
【解析】（1）①证明：∵四边形 、四边形 均为正方形，
∴ ， ， ．
∴ ，
即 ，
∴ ；
② 的值为定值．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵正方形 中， ，
∴ ，
∴ ；
③如图，过点E分别做 ， ，垂足分别为点P、点Q．
38， ， 平分 ，
∴ ， ，
又 ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
即 ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
又∵ ，
∴点F在直线 ．
（2）解：如图，连接 ， ，
∵四边形 、四边形 均为正方形，
39∴ ， ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴当E，F在线段 时， 取最小值，最小值为 的长，即最小值为 ．
【点睛】本题考查正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段的最值问题等，解题
的关键是正确作出辅助线，熟练运用等量代换思想．
14．（2023春·甘肃张掖·九年级校考期中）如图1，在正方形 的外侧作两个等边三角形 和 ，
连接 ．
(1)请判断： 与 的数量关系是 ，位置关系是 ；
(2)如图2，若将条件“两个等边三角形 和 ”变为“两个等腰三角形 和 ，且
”，第（1）问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予说明；
(3)若 和 为一般三角形，且 ，第（1）问中的结论都能成立吗？请在备用图
中画出一个符合要求的示意图，同时写出你的判断，并加以证明．
【答案】(1) ；
(2)仍然成立，说明见解析
(3)结论成立，示意图和证明见解析
【分析】（1）根据正方形的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定定理证明 ，根
据全等三角形的性质进行证明；
40（2）根据边边边定理、边角边定理证明三角形全等，根据全等三角形的性质解答；
（3）与（2）的证明方法相似，证明即可．
【解析】（1）解： ； ．
证明：在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
．
，
，
，
，
故答案为： ；
（2）第（1）问中的结论仍然成立，其理由是，
在正方形 中， ， ．
，
在 和 中，
，
，
．
41．即 ．
在 和 中，
，
，
，
．
，
，
，
．
（3）所画图形如图3，
第（1）问的结论成立，其证明过程是：
在 和 中，
，
，
．
42．即 ．
在 和 中，
，
，
，
．
，
，
，
．
【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关
键．
15．（2023秋·广东深圳·九年级深圳市宝安区文汇学校校考阶段练习）综合与实践课上，老师让同学们以
“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
操作：如图1，点E是边长为12的正方形纸片 的边 上一动点，将正方形沿着 折叠，点 落
在点 处，把纸片展平，射线 交射线 于点 ．
判断：根据以上操作，图1中 与 的数量关系：____________．
(2)迁移探究
在（1）条件下，若点 是 的中点，如图2，延长 交 于点 ，点 的位置是否确定？如果确定，
求出线段 的长度，如果不确定，说明理由；
(3)拓展应用
43在（1）条件下，如图3， ， 交于点 ，取 的中点 ，连接 ，则 的最小值是______．
【答案】(1)
(2)确定．
(3)
【分析】（1）可证明 ，从而得出 ，进而得出 ；
（2）连接 ，可证明 ，从而 ，设 ，则 ，在
中，根据勾股定理可得 ，进一步得出结果；
（3）取 的中点 ，再取 的中点 ，连接 ， ， ，依次求得 ， ，
，可得 ，当 、 、 共线时， 的最小值为： ．
【解析】（1）解：如图1，
设 ， 交于点 ，
由轴对称性质可得： ， ，
，
，
四边形 是正方形，
， ，
，
44，
，
，
，
故答案为： ；
（2）如图2，
点 的位置确定， ，理由如下：
连接 ，
由折叠可知： ， ， ，
点 是 的中点，
，
，
， ，
，
，
设 ，则 ，
在 中， ， ， ，
，
，
；
（3）如图3，
45取 的中点 ，再取 的中点 ，连接 ， ， ，
，
，
点 是 的中点，
，
， ， ，
，
，
当 、 、 共线时， 的最小值为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，
三角形三边的关系等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形的中位线．
16．（2023·江苏淮安·校考二模）如图：已知菱形 中， ，点 为边 上一动点，连接
交 外角角平分线于点 ，连接 ， ， 交 于 点．
(1)如图 ，①设 的度数为 ，直接写出 的取值范围______；
46②当点 为 中点时，连接 ，求证： ；
(2)如图 ，过点 作 的平行线 ，且使 ，连接 ，
①证明： ；
②当 ， 时，求 的长．
【答案】(1)（1） / ； 见解析
① ②
(2)（2）①见解析；②
【分析】（1）①当点 与点 重合时， 的度数最大，当点 与点 重合时， 的度数最小，
根据菱形的性质求出这两种情形时 的度数，即可得到 的取值范围；
②如图，过点 作 ，根据平行线的性质及全等三角形的判定得到 ，证得
，再由菱形的性质及全等三角形的判定，得到 ，证得 ，最后根
据 即可得出结论；
（2）①根据平行四边形的判定证得四边形 是平行四边形，根据平行四边形的性质证得 ，
可求出 ，再由菱形性质得 ， ，由全等三角形判定，证得
，然后由全等三角形性质即可得出结论；
②如图，连接 交 于点 ，根据等腰直角三角形的性质得到 ，根据菱形的对角
线性质得到 ， ， ， ，由三角函数求出 ，
，再由平行线的性质证得 ，得到 ，
，再由平行线性质求出 ，进而求出 ，证得 ，
然后由平行线的判定及相似三角形的判定，证得 ， ，根据相似三角形的
性质，得到 ， ， ，代入已知值即可求出 的值．
【解析】（1）解： 当点 与点 重合时， ， 的度数最大，
当点 与点 重合时， 的度数最小，如图：
47，四边形 是菱形，
， ，
， ，
是 的角平分线，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
的取值范围是 ，
故答案为： ；
证明：过点 作 ，如图：
，四边形 是菱形，
，
，
是 的角平分线，
，
是 中点，
48，
，
，
，
，
， ，
四边形 是菱形，
， ，
，
，
，
，
．
（2）解：①连接 ，如图：
， ，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
，
， ，
，
；
连接 交 于点 ，交 于点N，如图：
49， ， ，
，
， 是菱形 的对角线，
， ， ，
， ，
，
， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
50为 中点，
，
，
，即 ，
解得 ．
【点睛】本题综合考查了菱形的性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判
定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质及特殊三角函数值，熟练掌握相关的判定和性质
是解题关键．
17．（2023·全国·九年级专题练习）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有 角的三角
尺放在正方形 中，使 角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时， 角的两
边 ， 始终与正方形的边 ， 所在直线分别相交于点M，N，连接 ，可得 ．
探究一：如图②，把 绕点C逆时针旋转 得到 ，同时得到点H在直线 上．求证：
；
探究二：在图②中，连接 ，分别交 ， 于点E，F．求证： ；
探究三：把三角尺旋转到如图③所示位置，直线 与三角尺 角两边 ， 分别交于点E，F，连
接 交 于点O，求 的值．
【答案】探究一：见解析；探究二：见解析；探究三：
【分析】探究一：求出 ，证明 即可；
51探究二：根据正方形的性质证明 ，根据三角形内角和定理得出 ，等量
代换求出 ，加上公共角 ，进而可证明 ；
探究三：先证明 ，得到 ， ，然后将 绕点C逆时针旋
转 得到 ，则点G在直线 上，得出 ，根据全等三角形的性质得出
，进而得到 ，可证明 ，根据相似三角形的性质得出
．
【解析】探究一：
证明：∵把 绕点C逆时针旋转 得到 ，点H在直线 上，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ；
探究二：
证明：如图，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
52∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
探究三：
解：∵ ， 是正方形的对角线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ， ，
如图，将 绕点C逆时针旋转90°得到 ，则点G在直线 上，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
53∴ ．
【点睛】本题是相似三角形的综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质，正方形的性质，
相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
18．（2023春·安徽·九年级专题练习）在正方形 中，点 为边 上一点，连接 ，将 沿
折叠得到 ， ， 分别交 于点 ， ，连接 ．
(1)如图1，点 是 的中点；
（ⅰ）若 ，则 ＝ （用含 的式子表示）；
（ⅱ）求证： ；
(2)如图2，若 ， ，求 的长．
【答案】(1)（ⅰ） ；（ⅱ）见解析
(2)
【分析】（1）（i）根据翻折和等腰三角形的性质可得答案；
（ii）利用 ，可得 ，即可证明结论；
（2）过点 作 于点 ，连接 ，利用 可得 ≌ ，得 ；再利用
∽ ，得 ，进而解决问题．
【解析】（1）（ⅰ）解：∵将 沿 折叠得到 ，
∴ ≌ ，
∴ ， ，
∵点 是 中点，
∴ ，
54∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（ⅱ）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）如图，过点 作 于点 ，连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ≌ ，
∴ ；
∵ ≌ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ∽ ，
∴ ，
55∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∵在 中， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
即 ．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，翻折的性质，平行线的判定，全等三角形的判
定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，利用 ∽ 是解决问题（2）的关键．
19．（2023秋·陕西西安·九年级校考开学考试）已知四边形 是菱形， ， ．
(1)如图1，P是 上一点，连接 并延长，交 的延长线于点E，交 于点F，若 ，①求
的长；②求 的长；
56(2)如图2，M是 的中点，连接 ，过点M作 交 的延长线于点N，点Q在 上，连接
，分别过点B，N作直线 的垂线，垂足分别为G，H，若 ，求 的长；
(3)如图3，J为 上一点，L为 上一点， ，分别过点J，L作 ， 的平行线，两条直线交
于点K，将四边形 绕点B顺时针旋转，如图4，直线 交直线 于点R，求 的值及 的
度数．
【答案】(1)① ；② ；
(2) ；
(3) ，
【分析】（1）①利用菱形和相似三角形的性质求解即可；②作 ，利用勾股定理求得 ， ，
再利用相似三角形的性质求解即可；
（2）作 ， ，利用勾股定理以及相似三角形的性质求解即可；
（3）连接 、 交于点 ，连接 ， 交于点 ，利用勾股定理以及相似三角形的性质求解即可．
【解析】（1）解：①四边形 是菱形
∴ ，
∴
∴
∵
∴ ，解得 ；
②作 ，如下图：
57∵
∴ ，
∴ ，
∴
由题意可得：
∴ ，
∴ ，
∴ ，
；
（2）作 ， ，如下图：
则四边形 为矩形，
则
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴
58∴ ，
∵
∴
∴
∴
∴
∴ ，即
，
∵ ，
∴
∴ ，
∴
∴
∴ ，即
解得
∴
（3）连接 、 交于点 ，连接 ， 交于点 ，设 交 于 ，
∵四边形 是菱形，
59∴四边形 是菱形， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴
∴
∴ ，
在 和 中， ， ，
∴
【点睛】此题考查了菱形的判定与性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，
旋转的性质等，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，作出辅助线，构造出“手拉手”模型．
20．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）在矩形 中，点E是射线 上一动点，连接 ，过点B作
BF⊥AC于点G，交直线 于点F．
(1)当矩形 是正方形时，以点F为直角顶点在正方形 的外部作等腰直角三角形 ，连接 ．
如图1，则线段 与 之间的数量关系是 ，位置关系是 ；
(2)如图2，若点E在线段 上，以点F为直角顶点在矩形 的外部作直角三角形 ，且
60，连接 ．判断线段 与 之间的数量关系与位置关系，并证明；
(3)如图3，若点E在线段 的延长线上，F在线段 的延长线上，且 ， ，M是
中点，连接 ， ，求 的值．
【答案】(1) ，
(2) ， ，理由见解析
(3)
【分析】（1）证明 ，从而得出 ，进而证得四边形 是平行四边形，进
一步得出结论；
（2）证明 ，从而 ，进而证明 ，四边形 是平行四边形，进
一步得出结论；
（3）取 的中点N，作 于T，证明 ，从而 ，从而得到
，根据三角形中位线定理可得
，进而证得 ，从而 ，可解得
，进一步求得结果．
【解析】（1）解： 四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
，
61，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
故答案为： ， ；
（2）解： 四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形， ，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
；
（3） ，
，
62，
取 的中点N，作 于T，
四边形 是矩形，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
M是 的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
63．
【点睛】本题考查了正方形，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形中位线定理
等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形的中位线．
21．（2023春·河南·九年级专题练习）（1）问题发现
如图1，四边形 为矩形， ， ，点 在矩形 的对角线 上， 的两条直
角边 、 分别交 、 于点 、 ，当 ， 时， __________（用含 、
的代数式表示）；
（2）拓展探究
在（1）中，固定点 ，使 绕点 旋转，如图2， 的大小有无变化？请仅就图2的图形给出证明；
（3）问题解决
如图3，四边形 为正方形， ，点 在对角线 上， 、 分别在 、 上，
，当 时（ 是正实数），直接写出四边形 的面积是__________（用含 ， 的代
数式表示）．
64【答案】（1） ；（2） 的大小没有变化，证明见解析；（3）
【分析】（1）先判断出 ，得出 ，再判断出四边形 是矩形，即可得出
结论；
（2）先过 作 于点 ， 于点 ，判定 ，再根据相似三角形的性质以
及平行线分线段成比例定理进行推导计算即可；
（3）过 作 于点 ， 于点 ，证明 ，得出四边形 是正方形，
，再计算其面积．
【解析】解：（1）∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；．
（2） 的大小没有变化．
证明如下：过 作 于点 ， 于点 ，
则 ， ，
，
又 ，
65，
，
，
，
， ，
，
又 ， ，
，即 ，
．
（3）解：过 作 于点 ， 于点 ，
则 ， ，
，
又 ，
，
，
，
66，
， ，
，
又 ，
，即 ，
四边形 是正方形， ，
当 时（n是正实数）， ，
∴ ，
∴四边形 的面积 ，
故答案为： ．
【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的应用以及平行线分线段成比例定理，解决问题的
关键是作辅助线构造相似三角形，并根据两角对应相等判定两个三角形相似．解题时注意，平行于三角形
的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
67
