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专题突破卷 02 函数零点分布问题
题型一 根据函数零点的个数求参数范围问题
1．若当 时，函数 与 的图象有且仅有4个交点，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画出两个函数的图象，然后找出有4,5个交点临界状态的解即可.
【详解】如图所示，画出 在 的图象，
也画出 的草图，
函数 与 的图象有且仅有4个交点，则将 的第4个，第5个与x轴交点向 处移动即可.
满足 ，解得 ．
故选：C．
2．已知函数 ；若方程 恰有三个根，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合导数分析函数 的性质，在同一坐标系内作出直线 与函数 的
图象，数形结合求出范围.
【详解】当 时， ，函数 在 上单调递减，在 上单调
递增，
当 时， ，求导得 ，
由 ，得 ，由 ，得 ，即函数 在 上递增，在 上
递减，
当 时， 取得极大值 ，且当 时， 恒成立，
2
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！在同一坐标系内作出直线 与函数 的图象，如图，
观察图象知，当 时，直线 与函数 的图象有3个公共点，即方程
恰有三个根，
所以实数 的取值范围是 .
故选：C
3．已知函数 ，图象与x轴至少有一个公共点，则实数a的取
值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】对 分类讨论，分离参数求出 的范围，最后去并集即可求解.
【详解】当 时，若 ，显然 ，否则若 ，就有 ，矛盾，
所以 ，而函数的 值域为 ，
所以若方程 有解，则 的范围为 ，
当 时，若 ，则 ，
设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，所以当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
当 时， ，当 时， ，
而 ，
从而 的值域为 ，
而 至少有一个零点，所以所求范围即为 .
故选：C.
4． ， ，若 在其定义域上有且仅有两个零点，
则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用导数求出 的单调区间，画出 的大致图象，令 ，则问题转化
为方程 有两个不相等的实根 ，且 ，然后结合根与系数的关系
可求得答案.
【详解】由 ，得 ，
由 ，得 ，解得 或 ，
由 ，得 ，解得 或 ，
所以 在 和 上递增，在 和 上递减，
4
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以 的大致图象如图所示，
令 ，由 ，
则 ，则 ，
所以方程 有两个不相等的实根 ，则 ，
因为 在其定义域上有且仅有两个零点，
所以由 的图象可知 ，
不妨设 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，得 ，所以 ，
由 ，得 ，
所以 在 上递增，所以 ，
即 的取值范围是 .
故选：B.
5．已知函数 若关于 的方程 有两个不同的实根，则
实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先进行变形，关于 的方程 有两个不同的实根，即关于 的方程
有两个不同的实根.即 与 有两个不同的交点.
研究 图像，数形结合可解.
【详解】 ，则关于 的方程 有两个不同的实根，即
关于 的方程 有两个不同的实根.
即 与 有两个不同的交点.
令 ， ，解得 .
递增， 递减，
则 有极大值 . ，
则可画出 的草图. 与 有两个不同的交点.
则实数 的取值范围是 .
故选：D．
6
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6．已知函数 且 ，若方程 与方程
共有6个不同的实数根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画出函数 的图像，将方程6个不同的实数根转化为 有4个不同的
实根， 有2个不同的实根，即可得出结果.
【详解】当 时，可知 ，当 时，可知 ，所以根据正弦函数
的单调性可得 大致图象如图所示，
由方程 与方程 共有6个实数根,可知 有4个不同的实根，
有2个不同的实根，所以 ，
解得 .
故选:C.
7．定义在R上的偶函数 满足 ，且当 时， ，若
关于x的方程 恰有5个实数解，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，推得函数 图象关于直线 对称，且函数的周期为2，再由题设
函数解析式作出函数的图象，再将方程的解的个数转化为两函数的图象交点问题即可解得.
【详解】
由 可知函数 的图象关于直线 对称，
且 ，因 是偶函数，则 ，故有 ，
即函数 的周期为2.又当 时， ，故可作出函数 的图象如图.
由关于x的方程 恰有5个实数解，可理解为 与
恰有5个交点.
8
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！而这些直线恒过定点 ,考虑直线与 相交的两个临界位置 ,
由图知，需使 ，即 .
故选：D.
8．已知函数 ，若方程 有三个实数解，则实数a的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用导数刻画 的图像，再根据直线 与 的图像有3个不同的
交点可得实数a的取值范围.
【详解】 ，
当 或 时， ；当 时， ，
故 在 ， 上为增函数，在 上为减函数，
故 的极大值为 ， 的极小值为 ，
当 时， ，当 时， ，
故 的图像如图所示：
故 ，故选：A.
9．已知函数 有两个零点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求定义域，求导，当 时， 在 上单调递减，不合要求，
当 时，得到函数单调性和极值，最值情况，得到不等式，求出答案.
【详解】 定义域为 ，
，
当 时， ，故 在 上单调递减，
故 不会有2个零点，舍去，
当 时，令 得， ，令 得， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 在 处取得极大值，也是最大值， ，
又 趋向于0时， 趋向于负无穷， 趋向于正无穷时， 趋向于负无穷，
要想函数 有两个零点，则 ，解得 .
故选：D
10．若不等式 有且仅有三个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
10
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【分析】设 ，作出 的图象为，则结合图象，要不
等式 有且仅有三个整数解，取 讨论它们的大小，即可得
到 的范围.
【详解】设 ，
，由 ，得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，且 ，
作出 的图象为，
由 ， ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
因为 ，
，所以 ，
而 ，即 ，
则结合图象，要不等式 有且仅有三个整数解，
只需
即 ，
所以实数a的取值范围是 .
故选：A.
11．设 .函数 在 处取得极大值3，则以下说法中正确的
数量为（ ）个.
① ；
②对任意的 ，曲线 在点 处的切线一定与曲线 有两个公共
点；
③若关于 的方程 有三个不同的根 ，且这三个根构成等差数列，则 .
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】运用极值的概念和性质，求出 ，代入判断①；函数解析式知道后，根据导数
研究处函数单调性，极值，对称性，进而画出图像，观察图像，数形结合判断②；根据图
像和函数对称性，判断③即可．
【详解】求导，即 ，由于函数 在 处取得极大值3，则
，解得 ，则 ，则①正确；
由上面知道， ，
且 ，解得 .
12
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！当 ， ， 单调递减；
当 或者 ， ， 单调递增．
则当 时， 由极大值 ； 时， 由极小值 ；
且对称中心为 .画出函数图像．
由图像，可知对任意的 ，曲线 在点 处的切线一定与曲线
有两个公共点，故②正确；
若关于 的方程 有三个不同的根 ，且这三个根构成等差数列，则
，根据函数对称性，知道 ， ,则 ， .故③正
确．
故选：D.
12．设函数 有2个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得 ，令 ， 在 上单
调递增，进而可得 ，分离变量可得 有2个实数根，再次构造函数可
求实数 的取值范围.【详解】由函数 有2个零点，
所以 有2个实数根，
所以 ，
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
由函数 有2个零点，所以 有2个实数根，
令 ，则 ，令 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
又 时， ，当 时， ，又 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：D.
13．若函数 （ 是常数）有且只有一个零点，则 的值为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】由已知条件可判断 为偶函数，函数图象关于 轴对称，由函数有且只有一个
零点， 过坐标原点即可求解.
【详解】函数的定义域为 ，
因为 ，
14
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以函数 为偶函数，函数图象关于 轴对称，
因为函数有且只有一个零点，
所以函数 过坐标原点， ，解得 .
故选： .
14．若函数 有4个零点，则正数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】当 时，分析函数单调性及最值，得当 时 有且仅有一个零点，则当
时， 有3个零点，结合图象分析得 ，解不等式
即可.
【详解】当 时， 是减函数，且 ，
故当 时 有且仅有一个零点，
由题意得，当 时， 有3个零点，
，
，
令 ，即 ，
结合图象分析得 ，即 ，解得 .
故选： .15．若函数 在区间 内恰有一个零点，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对 进行讨论，即可结合二次函数的性质以及零点存在性定理求解.
【详解】若 时， ，则 ，满足题意，
若 ，当 ，解得 且 ，此时满足题意，
若 时， ，此时 ，
此时方程在 只有一根 ，满足题意，
若 时， ，此时 ，
此时方程在 只有一根 ，满足题意，
当 ，得 时，此时 ，
此时方差的根为 ，满足题意，
综上可得 或
故选：C
题型二 根据一次函数零点的分布求参数范围问题
16．若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（
16
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A． B． C．（－∞，－1） D．（－∞，－1）∪
【答案】D
【分析】当a＝0，不合题意，舍去，根据函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内是
单调函数，利用零点存在性定理列不等式求解.
【详解】当a＝0时，f（x）＝1与x轴无交点，不合题意，所以a≠0；
函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内是单调函数，
所以f（－1）·f（1）＜0，即（5a－1）（a＋1）＞0，
解得a＜－1或a＞ .
故选：D.
17．若方程 在区间 内有两个不等实根，则实数a的取值范
围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】分 和 两种情况去绝对值，利用已知条件得到 时，
， 时， .再分 和 两种情况分析，
当 时，两个零点有两种情况，设 ，①一次函数提供 ，二次函数提供 ，设，即 ， ，得到
，即可求解 的范围；②一次函数部分无零点，二次函数提供 ， ，列出
满足题意的不等式组，求解即可得出结果.
【详解】令 ，
当 时，即 时， ，
当 时，即 时， ，
由方程 在区间 内有两个不等实根，
即 时， ，
时， ，
如果 ， ，显然 无零点；
所以 肯定不为 ，
所以 为一次函数，最多有一个零点，
所以两个零点有两种情况，设 ，
①一次函数提供 ，二次函数提供 ，
设 ，
即 ， ，
18
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以 ，
代入得 ，
解得： ，
经检验： 时，零点 不成立，
所以 ；
②一次函数部分无零点，二次函数提供 ， ，
即 在 内有两个不同的零点，
所以 ，
代入解得： ，
由①得： ，
综上所得：实数a的取值范围为 .
故选：D.
18．当 时，函数 的值有正也有负，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，结合函数零点存在定理进行求解即可.
【详解】 .
当 时， ，函数值恒为正，不符合题意；
当 时，要想函数 的值有正也有负，
只需 ，即 .
综上所述： .
故选：C
19．已知函数 在区间 上存在零点，则（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】C
【解析】首先判断函数在 上单调，利用零点存在性定理即可求解.
【详解】∵ 在区间 上单调且存在零点，
∴ ，
∴ 或 ．
故选：C
20．已知函数f（x）=3ax-1-2a在区间（-1，1）上存在零点，则（ ）
A． 或 B． C． 或 D．
【答案】C
【分析】由函数f（x）=3ax-1-2a在区间（-1，1）上存在零点，根据函数的单调性，由
20
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！求解.
【详解】因为函数f（x）=3ax-1-2a在区间（-1，1）上存在零点，
又因为f（x）=3ax-1-2a在区间（-1，1）单调，
所以 ，
即 ，
解得 或 ，
故选：C
21．若函数 在 内恰有一解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接解方程得到答案.
【详解】当 时不成立
取
则 解得
故答案选B
22．已知函数 在区间 上存在零点，则实数 的取值范围是
A．
B．
C．
D．【答案】C
【分析】函数 为一次函数，只要保证其两端点分别在 轴的两侧，就可
以保证其在区间 上存在零点，即 ，从而得到关于 的不等式，求出
的范围.
【详解】因为函数 为一次函数，
要使其在区间 上存在零点，
要保证其两端点分别在 轴的两侧，
所以
即 ，
解得 或 ，
故选 项.
23．已知直线 与函数 的图像交于三点，其横坐标分别是 ， ，
.若 恒成立，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件得到分段函数的图像，找到三个交点的横坐标，原题等价于 ,
即
【详解】当 时，对函数求导得到
原函数在 ，又因为 ，
22
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！可大概画出分段函数的图像：
根据有3个交点这一条件得到 .
根据图像得到函数的三个交点，横坐标一个等于0，一个小于0，一个大于0，
令 （舍去正值）
故 ， 是两直线的交点， , 即
解得 .
故答案为D.
24．已知函数 若函数 有四个零点,零点从小到大依次
为 则 的值为( )
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】函数 有四个零点，即 与 的图象有4个不同交点，
可设四个交点横坐标 满足 ，由图象，结合对数函数的性质，进一步求得
，利用对称性得到 ，从而可得结果.【详解】
作出函数 的图象如图,
函数 有四个零点，即 与 的图象有4个不同交点，
不妨设四个交点横坐标 满足 ，
则， ， ,
可得 ,a+b=−4
由 ，得 ，
则 ，可得 ，
即 ， ，故选C.
25．已知函数 在区间 恰有一个零点，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用函数零点的存在定理解决本题，要对该函数的性质进行讨论，是否为二次函
数，是否有等根等．注意分类讨论思想的运用．
【详解】解：若 ，则 ，它的零点为 ，故 符合题意．
24
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！若 ，函数 在区间 恰有一个零点，则需满足：
① 或② 或③
解①得， 或 ；解②得， 解集为 ；解③得 ；
综上， 的取值范围是 ．
故选：D．
26．已知 且在 内存在零点，则实数 的取值范围是(
)
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据零点在区间 内可得关于 的不等式组，从而可求 的取值范围.
【详解】因为 ，故 即 .
而 且在 内存在零点，
故 即 ，解得 ，
故选：C.
27．已知函数 有3个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依题意可知函数 必有一个零点且函数 必有
个零点，根据二次函数的性质得到不等式组，即可求出参数的取值范围.【详解】解：函数 是分段函数，它有 个零点，
则函数 必有一个零点，所以 ，
函数 必有 个零点，即方程 有两个不等的负根（ 显然
不是它的根），
因此 ，解得 ．
综上可得 的范围是 ．
故选：B．
28．“ ”是“函数 在区间 上存在零点”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】试题分析：根据函数零点的条件，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
解：若函数f（x）=ax+3在[﹣1，1]上存在零点，
则f（﹣1）f（1）≤0，
即（a+3）（﹣a+3）≤0，
故（a+3）（a﹣3）≥0，
解得a≥3或a≤﹣3，
即a＜﹣4是a≥3或a≤﹣3的充分不必要条件，
故“a＜﹣4”是函数f（x）=ax+3在[﹣1，1]上存在零点的充分不必要条件，
故选A
29．设函数 ， ，若 ，使得 和 同
时成立，则 的取值范围为
26
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】就 分类讨论后可得正确的选项.
【详解】当 时， ，不合题意；
当 时， 时， 恒成立， 时， 恒成立， 时， ，
故当 在 上有解，即 在 上有解，
所以 或 ，故 .
当 时， 时， 恒成立， 时 恒成立， 时， ，
故当 在 上有解，即 在 上有解，
所以 ，无解.
故选：A．
30．“函数 在区间 上存在零点”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】试题分析：函数 在区间 上存在零点，则：
.
即 或 .所以“函数 在区间 上存在零点”是“ ”的必
要不充分条件.
题型三 根据二次函数零点的分布求参数范围问题31．若函数 有且仅有极大值，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】由函数 有且仅有极大值可知 在 上仅有一个变号正零点，且
在此变号正零点两侧的符号为左正右负，结合二次函数的图象分析即可.
【详解】函数 的定义域为 ， ，
因为函数 有且仅有极大值，
所以 在 上仅有一个变号正零点，且 在此变号正零点两侧
的符号为左正右负，
设函数 （ ），即 在 上仅有一个变号正零点，且
在此变号正零点两侧的符号为左正右负，
①当 时，二次函数 无零点，故不符合题意；
②当 时，二次函数 有一个不变号零点，故不符合题意；
③当 时，如图所示，
28
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！结合二次函数的图象可得 ，解得 .
故选：CD.
32．二次函数 是常数，且 的自变量 与函数值 的部分对应值如
下表：
… -1 0 1 2 …
… 2 2 …
且当 时，对应的函数值 ．下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．关于 的方程 一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在 和0
之间
D． 和 在该二次函数的图象上，则当实数 时，
【答案】BCD
【分析】先根据二次函数图象上的点求得 ，再由当 时，对应的函数值 求
得 ，从而求得 ，判断A，求出 后求解范围判断B，根据抛物线
的对称性及函数过点 得函数零点范围即可判断C，由 列不等式求解 判断
D.
【详解】A：将 代入 得 ，解得 ，
所以二次函数 ，当 时，对应的函数值 ，所以 ，解得 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故A错误；
B：当 时， ，当 时， ，
所以 ，因为 ，所以 ，故B正确；
C：因为二次函数 过 ，所以其对称轴为 ，开口向下，
又当 时，对应的函数值 ，
根据二次函数的对称性知，当 时，对应的函数值 ，
而当 时， ，所以二次函数与x轴负半轴的交点横坐标在 和0之间，
所以关于x的方程 一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在 和0之
间，故C正确；
D：因为 和 在该二次函数的图象上，
所以 ， ，
若 ，则 ，
因为 ，所以 ，解得 ，故D正确.
故选：BCD
33．已知函数 ， ，则下列说法正确的是
（ ）
A．当 时， 在定义域上恒成立
B．若经过原点的直线与函数 的图像相切于点 ，则
30
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！C．若函数 在区间 单调递减时，则 的取值范围为
D．若函数 有两个极值点为 ，则 的取值范围为
【答案】AC
【分析】对于A，求出导数后判断其符号可得函数的单调性，从而可判断其的正误；对于
B，求出函数的导数后求出切线方程，代入所过的点后可求参数的值，从而可判断其正误；
对于C，求出函数的导数后利用参变分离可求参数的取值范围，从而可判断其正误；对于
D，结合C中的导数，根据极值点的个数结合二次函数的图象和性质可求参数的取值范围，
从而可判断其正误.
【详解】对于A，当 ， ， ，
当 时， ，故 在 上单调递增，
当 时， ，故 在 上单调递减，
则 ，故A 正确；
对于B，因为 ，其中 ，则 ，
所以 ， ，
故 的图象在点 处的切线方程为 ，
将 代入切线方程可得 ，解得 ，故B 错误；
对于C， ，则 ，
因为 在区间 上单调递减，故 ， 恒成立，
可得 ，令 ，其中 ，则 ，
当 时， ，故 在 单调递减，
当 时， ，故函数 在 单调递增，
因为 ， ， ，则
，
故 ，故实数 的取值范围是 ，故 C 正确
对于D，因为 ，
由题意可知，方程 在 上有两个不等的实根，
即方程 在 上有两个不等的实根，
则 ，可得 ，故D 错误，
故选：AC．
34．已知 ， 是关于x的方程 的两个不相等的实数根，则下列说
法正确的有（ ）
A．若 ，则
32
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！B．若 ，则
C．若 ，且 ， ，则 为锐角
D．若 ， 均小于2，则
【答案】ABD
【分析】结合一元二次方程的根的分布，根与系数的关系，两角和的正切公式．零点存在
定理逐项计算即可得.
【详解】 、 是关于x的方程 的两个不相等的实数根，
， 或 ．
由根与系数的关系得 ， ，
，则 ， ， ．故A正确；
令 ，若 ，则 ，得 ，故B正确；
若 ，且 ， ，则 ，
由 ， ，
， ，
为钝角，故C不正确；
若 ， 均小于2，则 即 ，
，故D正确.故选：ABD．
35．已知函数 ，若关于 的方程 有4个
不同的实根，则实数 可能的取值有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】由题意得方程 最多有两个解，一元二次方程 最多有
两个根，所以若要满足题意，则一元二次方程 在 时，有两
个不同的根，由此即可列出不等式组求解.
【详解】如图所示，在同一平面直角坐标系中画出函数 的图象和直线 ，如图：
当 时，方程 无解，
当 或 时，方程 有唯一解，
当 时，方程 有两个解，
而一元二次方程 最多有两个根，
由题意若关于 的方程 有4个不同的实根，
则当且仅当，一元二次方程 在 时，有两个不同的根，
令 ，
34
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以 ，解不等式组得 或 ，
对比选项可知实数 可能的取值有 .
故选：ACD.
36．已知函数 ，且 有 个零点，则 的可
能取值有（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】由题意首先利用数形结合研究方程 的根的情况，然后将原问题等价转换
为一元二次方程的根的分布问题即可得解.
【详解】在同一平面直角坐标系中画出函数 的图象与直线 的图象如图所示：
当 时，两函数图象有1个交点，即方程 有一个根，
当 时，两函数图象有2个交点，即方程 有两个根，
当 时，两函数图象有3个交点，即方程 有三个根，当 时，两函数图象有4个交点，即方程 有四个根，
若 有 个零点，
则关于 的方程 的两个为 ，不妨设 ，
且满足 或 或 ，
设 ，若 ，则 ，解得 ；
若 ，则 ，解得 ，此时方程 ，
即 ，但 ，故 不符合题意；
若 ，则 ，解得 ，此时方程 ，
即 ， ，解得 满足题意；
综上所述，满足题意的 的取值范围为 ，对比选项可知 的可能取值有：
.
故选：CD.
37．已知函数 ，若函数 恰有5个零点，则m
的值可以是（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】BC
【分析】先作出函数 的图象，然后结合函数的零点与方程的根的关系，得到方程
36
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！的一个根在 ，一个根在 ，结合一元二次方程的根的分布问题即可
求解．
【详解】记 ，作出函数 的图象如图所示，
令 ，则由图可知，当 时，方程 只有一个根；
当 时，方程 有两个根；当 时，方程 只有一个根；
显然 不是方程 的根；
若 是方程 的根，则 ，此时 ，
结合图象可知，此时方程 和方程 共有4个根，则函数 有4个零点，
不满足题意；
所以 恰有5个零点等价于方程 恰有5个实根，
等价于方程 的一个根在 ，一个根在 ，
令 ，则 ，所以 ，
结合选项可知，m的值可以是1和 .
故选：BC
38．已知函数 ，下列说法正确的是（ ）A．若 有两个零点，则
B． 只有一个零点
C．若 有两个零点 ，则
D．若 有四个零点，则 .
【答案】BCD
【分析】由函数解析式分析 的性质并画出 的图象，数形结合法可判断A、B、
C，结合二次函数性质讨论 ，且 的位置情况，求出m的取值范围.
【详解】作出函数 的图象，如图所示，若 有两个零点，则 与
的图象有两个交点，由图可知， 或 ，故A错误；
由图可知， 只有一个零点 ，故B正确；
若 有两个零点 ，不妨设 ，则 且 ，
所以 即 ，
所以 ，故C正确；
令 ，则若 有四个零点，则 在 内有一根，在 内有一
根，或在 内有一根，且有一根为1，或在 内有一根，且有一根为0，
所以当 在 内有一根，在 内有一根时， ，得 ；
当 有一根为1时， ， ，此时 另一根为2，不符
38
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！合题意；
当 有一根为0时，不符合题意；
综上， ，故D正确；
故选：BCD.
39．已知函数 ，且关于 的方程 有3个不等实数根，则下
列说法正确的是（ ）
A．当 时，
B． 在 上单调递减
C． 的取值范围是
D． 的取值范围是
【答案】ABD
【分析】
对 进行求导，利用导数研究 的图象判断AB，令 ，将问题转化为
和 共有三个不同的实数根，结合 的图象判断CD.
【详解】
由指数函数的图象和性质可知当 时， ，当 时， ，A正确；
因为 ，令 解得 ，令 解得 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，B正确；
又当 趋于 时， 趋于 ，当 趋于 时， 趋于 ，当 时， ，
故可作 的草图如图，
令 ，则 ，即方程 的两根为 ，
若 是方程 的根，则 ，显然不符合题意，
因为方程 有3个不等实数根，
所以 或 ，
当 时， 解得 ，所以 ，即 异号，不满足
题意；
当 时，即有 解得 ，
即 的取值范围为 ，C错误，D正确；
故选：ABD
40
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！40．设函数 ，函数 ，则下列说法
正确的是（ ）
A．当 时，函数 有3个零点
B．当 时，函数 有5个零点
C．若函数 有2个零点，则 或
D．若函数 有6个零点，则
【答案】ABC
【分析】画出函数 的草图，结合函数 的图象和关于 的一元二次方程
的根的分布判断个选项的真假.
【详解】对函数 ，做出函数草图如下：
结合图象可知：
当 或 时，方程 有且只有一解；
当 或 时，方程 有两解；
当 时，方程 有三解；
当 时，方程 无解.设 ，可得方程 （*）.
若 ，方程（*）无解， 无零点，故D不成立；
若 或 .
当 时， ，此时方程 只有一解，即 只有一个零点；
当 时， ，此时方程 有三个解，即 有三个零点，故A
正确；
当 时，方程（*）有两解，且 ，
此时，方程 有三个解，方程 有两个解，故 有5个零点.故B正确；
若函数 有2个零点，则需要方程（*）有两解，且：
①两个解要满足： ， ，所以有： ；
②两个解要满足： ， ，此时无解；
③两个解要满足： ，所以
综上，C正确.
故选：ABC
41．已知函数 ，若关于 的方程 有5个
不同的实根，则实数 的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
42
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【答案】BCD
【分析】作出函数 的图象，结合图象可知关于 的一元二次方程根的分布，根据一
元二次根的分布列出不等式求解即可．
【详解】作出函数 ，的图象如下：
因为关于 的方程 有5个不同的实根，
令 ，则方程 有2个不同的实根 ，
则 ，解得 或 ，
若 ，则 或 ，
令 ，
若 ，则 ，解得 ；
若 ，则 ，解得 ，
此时 ，解得 ， ，不符合题意，故舍去；
综上所述： .
故选：BCD
42．已知函数 ，有4个零点 ，则（ ）A．实数 的取值范围是
B．函数 的图象关于原点对称
C．
D． 的取值范围是
【答案】AD
【分析】根据分段函数的性质，以及二次函数零点与方程的根的关系，即可分析零点，进
而判断正误.
【详解】对于A选项：当 时， 有2个零点，故 ，解得 ；
当 时， ，而 ，易知，此时 也有2个零点，故 ，故
A正确；
对于B选项：因为 ，故B错误；
对于C选项： 的4个零点满足 ，
则 是方程 的两个根，则 且 ，
所以 ，故C错误；
对于D选项：由C选项知， ，
由 ,所以 ，得 ，而函数 在 上单调递减，所以
，故D正确，
故选：AD．
44
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！43．已知函数 ，若方程 恰有6个不相等的
实数根，则实数 的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】画出 的图象，令 ，结合函数图象可得关于 的方程 在
上有两个不同实根，从而求出 的取值范围.
【详解】画出函数 的图象，如图所示，令 ，
则方程 可化为关于 的方程 ，
因为方程 恰有6个不相等的实数根，
所以由图可知关于 的方程 在 上有两个不同实根，
令 ，
则 解得： ，
故选：BC.
44．在下列命题中，正确的是（ ）A．已知命题 ：“ ，都有 ，则命题 的否定：“ ，都有
”
B．若函数 满足 ，则
C．“方程 有两个不相等的正实数根”的充要条件是“ ”
D．若函数 是定义在区间 上的奇函数，则
【答案】CD
【分析】根据命题的否定即可判断A，根据方程组法可得 ，代入即可求解
B，根据一元二次方程根的分布即可求解C，根据奇函数的性质即可求解D.
【详解】对于A，命题 的否定：“ ，都有 ”，故A错误，
对于B，由 可得 ，所以 ，故
，B错误，
对于C, 有两个不相等的正实数根等价于 ，解得 ，故C正
确，
对于D， 为奇函数，则 且 ，解得 ，故
D正确
故选：CD
45．已知函数 的定义域为 ，且 ，若函数 在 的值域为 ，
则称 为 的“ 倍美好区间”.特别地，当 时，称 为 的“完美区间”，
46
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！则（）
A．函数 存在“ 倍美好区间”
B．函数 不存在“完美区间”
C．若函数 存在“完美区间”，则
D．若函数 存在“完美区间”，则
【答案】AC
【分析】分析每个函数的定义域及其在相应区间的单调性，按“k倍美好区间”，“完美
区间”的定义，列出相应方程，再根据方程解的情况，判断正误.
【详解】对于A， 开口向下，对称轴为 ，
若 存在“ 倍美好区间”，则可设定义域为 ，值域为 ，
当 时， 在 上单调递增，
此时易得 为方程 的两根，解得 或 .
故存在定义域 ，使得 的值域为 ，故A正确；
对于B，易得 在区间 与 上均为增函数，
故若 存在“完美区间” （ 同号），则有 ，
即 为 的两根，即 有两根 ，
由于 ，且 ，则故 存在“完美区间” ，故B错误；
对C，因为 为减函数，若函数 存在“完美区间” ，则 ，
则 ， ，即 ，
因为 ，所以 ，易得 ，
所以 ，令 ，则 ，
代入化简可得 ，同理 也满足 ，
则 在区间 上有两根不相等的实数根，
故 ，解得 ，故C正确.
对于D，因为 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，
当 时， ，则 在 上单调递减，
若函数 存在“完美区间” （ 同号），
当 时，则 ，即 为 的两根，
即 为 的两根，则 ，解得 ；
当 时，则 ，两式相减，得 ，
48
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，此时 ；
综上：若函数 存在“完美区间”，则 ，故D错误.
故选：AC.
题型四 根据指对幂函数零点的分布求参数范围问题
46．已知函数 的定义域为 ，且 ，若 ，则（ ）
A．
B．
C．方程 有唯一的实数解
D．函数 有最小值
【答案】ABD
【分析】赋值法令 ，求解判断A；令 ，求出 .令 ，求出
，因为 为增函数，且 ，判断 B；
等价于 .设 ，用零点存在性定理判断C;因为
，所以函数 有最小值，判断D.
【详解】令 ，得 .
因为 ，所以 ，即 ，A正确.令 ，得 ，由 ，得 .
又 ，所以 .
令 ，得 ，即 ，所以 ，
因为 为增函数，且 ，所以 ，B正确.
所以 等价于 .设 ，因为
，所以 在 上必有一个零点，又 ，
所以 的零点不唯一，从而方程 的实数解不唯一，C错误.
因为 ，所以函数 有最小值，D正确.
故选：ABD.
47．已知函数 存在n个零点 ，则（ ）
A．n为偶数
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】先确定函数 的图象关于直线 对称，当 时，对 求导，判断其单
调性，再依次对每一选项进行判断．
【详解】对于A，当 时， ，且当 时 ，
50
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！则 的图象关于直线 对称， ，
不妨设 满足 ，则 ，则 ，
即 的所有零点成对出现，故A正确；
对于B，当 时，由 ，得 ，
若 ，则 在 上恒成立， 在 上单调递增，
则 在 上恒成立， 不存在零点；
若 ，则当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
由 存在零点，得 ，解得 ，故B错误；
对于C，若 ，则 的所有零点为 ，
此时 ， ．
若 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，且当 时
，
所以存在 ， ，使得 ，
则 的所有零点为 ，则 ，故C错误；
对于D，由 ，得 ．
若 ，则
若 则 ，即 ，解得 ，由 ，得 ，
则 ，则 ，
则 ．令 ，
易知 在 上单调递减，则 ，
即 ，
从而 ，故D正确．
故选：AD．
48．已知实数 满足： ，则下列不等式中可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】在同一坐标系中作出 的图象，利用函数零点思想，结
合图象逐一判断即得.
【详解】
52
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！如图在同一坐标系中分别作出函数 的图象，
依题意直线 与三个函数都有交点，需判断这些交点的横坐标之间有怎样的大小关系.
由图知，有三种不同的情况：当直线 在①位置时，显然有： ；
当直线 在②位置时，显然有： ；
当直线 在③位置时，显然有： .
故选：ABD.
49．已知函数 ，若函数 有三个零点 、 、 ，且
，则（ ）
A．
B．
C．函数 的增区间为
D． 的最小值为
【答案】AD
【分析】作出函数 与函数 的图象，数形结合可判断A选项；结合图形可得出关
于 的不等式，解之可判断B选项；由图得出函数 的单调递增区间，进而可求出函
数 的增区间，可判断C选项；利用二次函数的对称性可得出 ，结合基
本不等式可判断D选项.
【详解】由 可得 ，作出函数 与函数 的图象如下图所示：对于A：方程 有三个解 与直线 有 个交点，
由图可知， ，故A正确；
对于B选项，由图可知， 在函数 的图象上，
由 可得 ，解得 ，故B错误；
对于C，函数 的增区间为 ，
对于函数 ，由 得 ，
所以 的增区间为 ，故C错误；
对于D，二次函数 的对称轴为直线 ，
由图可知，点 、 关于直线 对称，则 ，
，
由 得 或 ，由图可知 ，
54
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！，
当且仅当 时，即 时成立，故D正确.
故选：AD.
50．已知函数 ，若方程 有4个不同实根
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】画出函数图像，结合函数性质逐项分析得答案.
【详解】当 时 ，即 ，当且仅当 时取等号，
在 上 递增，在 上 递减，
当 时 ，且在 上 递减，在 上 递增，
综上，可得 图象如下，当且仅当 时方程 有4个不同实根，A错误；
结合图象及题设知： ，B正确；
由题得 且 ，
所以 ，C正确；
是方程 的两个根，即方程 的两个根，
所以 则 ，
由 ，得 ，所以 ，D正确.
故选：BCD.
51．已知 ， 为函数 的两个零点，则下列结论中正确的有
（ ）
A． B．
C． D．若 ，则
【答案】ABD
【分析】作出函数图象，得到零点范围，在逐个分析选项即可.
【详解】将问题化为 与 在 上有两个交点，且横坐标分别为
56
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！， ，
由 在 上递减，且值域为 ；
由 ，且 时 ，
在 上递减，对应值域为 ；
在 上递增，对应值域为 ；
综上， 与 交点在 两侧，
即原函数的两个零点分别在区间 、 上各一个，
故 恒成立，故A正确，
不妨设 ，则
，
故解得 ，故B正确，C错误，
令 ，由指数函数单调性得 在 上单调递增，
若证 ，则证 ， ，显然D正确，
故选：ABD
52．已知函数 ，下列关于函数 的零点个数的说法中，
正确的是（ ）
A．当 ，有1个零点 B．当 时，有3个零点
C．当 时，有9个零点 D．当 时，有7个零点
【答案】AD
【分析】
设 ，即有 ，再按 和 讨论并作出函数 图象，数形结合即可判断得解.
【详解】由 ，得 ，则函数 的零点个数即为 解
的个数，
设 ，则 ，二次函数 ，其图象开口向上，过点 ，对称轴为
，
当 时， 在 上单调递减，且 ，如图，
由 ，得 ，解得 ，由 ，得 ，解得 ，
因此函数 的零点个数是1，A正确，B错误；
当 时， ，作出函数 的图象如图，
由图象知 有3个根，当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ，
当 时， ，若 ，则 ，若 ，则 ，此时
58
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！共有3个解；
当 时， ，此时 有1个解，
，即 有2个解，
当 时， ，此时 有1个解，
即 无解，
因此当 时，函数 的零点个数是7，D正确，C错误.
故选：AD
53．记函数 ，若 （ ， ， 互不相等），则
的值可以是（ ）
A． B．6 C．8 D．9
【答案】BC
【分析】作出函数 的图象，令 ，结合图象得到
，利用指数函数的性质可求解.
【详解】作出 的图象，如图：
令 ，根据图象知，
实数 的取值范围为 ，且 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，
结合选项知， 的值可以是6，8.
故选：BC
54．已知函数 ， ， ， 是函数 的4个零点，
且 ，则（ ）
A． 的取值范围是 B．
C． 的最小值是4 D． 的最大值是
【答案】BD
【分析】作出 的大致图象，将函数 的零点的个数问题转化为两个函数
图象交点个数的问题，以此确定 的取值范围，根据零点的大小关系，确定函数值之间的
关系.
【详解】作出 的大致图象，如图：
对于A， 有四个零点，即 有四个不同的根，
的图象与 的图象有四个不同的交点，由图可知 ，故A错误；
对于B，因为 ， 是 的两根，所以 ，
60
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以 ，即 ，则 ，故B正确；
对于C，因为 ， 是 的两根，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，则 ，
令 ，易知 在 上单调递减，在 上单调递增，
易得 ，所以 在 单调递减，
，即 ，故C错误；
对于D，因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
因为 ，所以 的最大值是 ，故D正确.
故选：BD.
55．已知函数 ，若关于 的方程 有6个不相等的实根，则实数
的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】令 ，求出 的值域，作出 的图象，根据图象得出
函数 的图象与 的图象交点的个数与 的关系，然后分类讨论结合图形即得.【详解】令 ，则 ，
因为 ，
所以 ， 的值域为 ，
所以， ，
作出函数 的图象，
由图象可知，当 时，函数 的图象与 的图象有4个交点，
当 时，函数 的图象与 的图象有3个交点，
当 或 时，函数 的图象与 的图象有2个交点，
当 时，函数 的图象与 的图象没有交点，
因为 ， ，
所以当 时，方程 有两根 ，且 ，此时方程 有2个
不相等的实根；
当 时，方程 有三个根 ，且 ，此时方程
有4个不相等的实根；
当 时，方程 有四个根 ，且 ，
62
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！此时方程 有6个不相等的实根；
当 时，方程 有四个根 ，且 ，此时方
程 有5个不相等的实根；
当 时，方程 有四个根 ，且 ，
此时方程 有4个不相等的实根；
当 时，方程 有两个根 ，且 ，此时方程 有2个不
相等的实根；
当 时，方程 没有实数根，此时方程 没有实根；
综上所述，当 时，关于 的方程 有6个不相等的实根.
又 ，所以 ，所以 .
对于A项， 不满足，故A错误；
对于B项， 满足，故B正确；
对于C项， 不满足，故C错误；
对于D项， ， 满足，故D正确.
故选：BD.
56．已知函数 ， 的零点分别为 ，
则（ ）A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据函数 ， 与 的图象关于直线 对称建立 的关系，
从而逐项分析判断即可得解.
【详解】因为 ， ，
令 ， ，得 ， ，
因为 与 互为反函数，所以它们的图象关于直线 对称，
因为 ，
所以由 的图象向右向上各平移一个单位得到 图象，
故函数 的图象关于直线 对称，即可知点 关于直线 对称，
作出 ， 与 的大致图象，如图，
由图象可知 的横坐标为 ， 的横坐标为 ，
对于A，由上述分析得 ，则 ，
64
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以 ，故A错误；
对于B，由上述分析得 ，故B正确；
对于C，由 ，故C正确；
对于D， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
显然 ，则 ，故等号不成立，
所以 ，故D正确.
故选：BCD.
57．已知函数 ，若 ，且
，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根据分段函数的表达式作出函数图象，由二次函数的对称性即可判断A，根据对
数的运算性质可判断B，结合函数图象即可求解CD.
【详解】解：由函数 ，作出其函数图象如图所示，由图可知， ；
当 时，令 ， 或 ，
所以 ；
由 ，得 ，
即 ，
所以 ，由图可知 ，
故选:BCD.
58．已知函数 ，若存在实数 使得方程 有四个互不相等的
实数根 ，则下列叙述中正确的有（ ）
A． B．
C． D． 有最小值
【答案】BD
【分析】作出函数图象，根据图象确定 的范围，然后利用图象逐一分析即可.
66
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【详解】作出函数 的图象，
由图可知， ，
不妨取 ，则 ，得 ，则 ，A错误；
由 是方程 的两个不相等的实根，
即 是方程 的两个不相等的实根，所以 ，B正确；
由图可知，当直线 向下平移时，存在 ，C错误；
，
当且仅当 ，即 时等号成立，D正确.
故选：BD
59．已知函数 ，若关于 的方程 有
个不等的实根 、 、 、 且 ，则下列判断正确的是（ ）
A．当 时， B．当 时， 的范围为
C．当 时， D．当 时， 的范围为
【答案】ABC
【分析】令 ，求出方程 的两根，数形结合可判断A选项；根据
零点个数得出关于 的不等式组，求出 的范围，可判断BD选项；利用二次函数的对称性与对数运算可判断C选项.
【详解】令 ，则 ， ，
A.当 时， ， ，由 有 解， 有4解，故 ，A对；
B.当 时，则方程 、 各有一解，
当 时， ，当且仅当 时，等号成立，
由图可得 ，解得 ，B对；
C.当 时，如下图所示：
由图象可知，点 、 关于直线 对称，则 ，
由图可知， ， ，由 可得 ，所以， ，
则 ，因此， ，C对；
D.当 时，有两种情况： 或 ，
从而可得 的范围为 ，D错.
故选：ABC.
60．已知函数 ，实数 、 是函数 的两个零点，
则下列结论正确的有（ ）
68
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】分析可知 的零点即函数 与 的图象交点的横坐标，作出
图象可判断AB选项；由图可得 ，由 化简可判断C选项；利用基本不
等式可判断D选项.
【详解】因为 ，
所以， ，
且当 时， ，此时 ，
的零点即函数 与 的图象交点的横坐标，如下图所示，
由图象可知，当 时，函数 与 的图象有两个交点，A错B对；
由图可知， ，由 可得 ，化简可得 ，C对；
由 ，
因为 ，所以等号取不到，可得 ，所以 ，D对,
故选：BCD．1．函数 的零点是（ ）
A． B． C．10 D．
【答案】A
【分析】令 即可求解.
【详解】令 ，可得 ，解得 ，
故函数 的零点是 .
故选：A.
2．已知函数 的零点分别为 ，则
的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查函数的零点问题，指数函数与对数函数互为反函数，令
，利用指数函数与对数函数互为反函数和函数的对称性求出
，即可求 的值．
【详解】由题意， ，
令 ，
因为 与 互为反函数，两个函数的图象关于直线 对称，
且 的图象也关于直线 对称，
70
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！设 ，
则 关于直线 对称，
所以 且
由 可得 ，
所以 ．
由 可得 ，
所以 ，
又 代入上式可得 ，
则 ．
故选：A．
3．已知正数 满足 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，构造函数，借助函数的单调性及零点存在性定理比较大小.
【详解】由 ，得 ，
令函数 ，显然函数 在 上单调递增，
而 ， ，则 ；
令函数 ，函数 在 上单调递增， ，
而 ， ，则 ；
令 ，函数 在 上单调递增，而 ，， ，则 ，
所以 的大小关系为 .
故选：D
4．已知 是方程 的实根，则下列各数为正数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据 是方程 的实根可得 ，计算判断各个选项.
【详解】因为 是方程 的实根，令 ，当 时，
，当 时， ，可得
对于A，因为 ，所以 ，则 ，A错误；
对于B，因为 ，所以 ，则 ，B正确；
对于C，. 因为 ，所以 ，C正确；
对于D，因为 ，所以 ，则 ，D错误；
故选：BC.
5．下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则
B．函数 的定义域为 ，则 的定义域为
C．若幂函数 的图像过点 ，则
72
原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！D．函数 的零点所在区间可以是
【答案】AC
【分析】对于A，使用反证法即可证明；对于B，利用函数定义域的性质即可判断；对于
C，使用幂函数的定义及已知条件即可验证；对于D，证明 在 上没有零点即可判
断.
【详解】对于A，假设 ，则 ，所以 ，故 ，矛盾，所以
，故A正确；
对于B，由于 的定义域为 ，故 的定义域为 ，所以 的定义域为
，故B错误；
对于C，由于 是幂函数，故可设 ，而 的图像过点 ，故 ，
所以 ，即 ，故C正确；
对于D，由于当 时有 ，所
以 在 上没有零点，故D错误.
故选：AC.
6．关于函数 ，下列结论正确的是（ ）
A． 是 的一个对称中心
B．函数 在 上单调递增
C．函数 图像可由函数 的图像向右平移 个单位得到D．若方程 在区间 上有两个不相等的实根，则
【答案】BC
【分析】根据三角函数图像性质分别判断各选项.
【详解】A选项：由 ，令 ， ，解得 ，
，所以其对称中心为 ，所以 不是其对称中心，A选项错误；
B选项：令 ， ，解得 ， ，即函数
的单调递增区间为 ， ，又 ， ，B选
项正确；
C选项：由 ，向右平移 可得
，C选项正确；
D选项： ，即 ，
设 ，则 ，
即函数 与函数 在 上有两个交点，
做出函数图像，如图所示，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！所以可得 ，解得 ，D选项错误；
故选：BC.
7．对于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A． 有最小值但没有最大值
B．对于任意的 ，恒有
C． 仅有一个零点
D． 有两个极值点
【答案】BC
【分析】AD选项，求导，得到函数单调性，从而得到AD错误；BC选项，结合函数特征
得到当 时， ，且函数只有一个零点0，BC正确.
【详解】AD选项， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 有最大值但没有最小值且 只有一个极值点，AD错误；
BC选项，由于 恒成立，故当 时， ，
令 ，得 ，所以函数 仅有一个零点，B，C正确.故选：BC
8．已知函数 ，若 ，且 ，
则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】作出函数 的图象，设 ，则直线 与函数
的图象 个交点横坐标分别为 ，可得出 ，再结合对称性与对数
运算即可得正确选项.
【详解】函数 的图象如图所示，
设 ，则 ，
则直线 与函数 的图象 个交点横坐标分别为 ，
对于A：函数 的图象关于直线 对称，则 ，故A正确；
对于B：由图象可知 ，且 ，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！∴ ，即 ，所以 ，故B正确；
对于C，当 时， ，
由图象可知 ，则 ，故C错误；
对于D，由图象可知 ，
所以 ，故D错误.
故选：AB.
9．（多选）已知函数 ，若函数 恰好有4个不同的零
点，则实数 的取值可以是（ ）
A．-3 B．-2 C．0 D．2
【答案】BC
【分析】令 ，则 ，将函数的零点问题分解成两个步骤完成，先求 的值，
再求x的值，结合函数图象分析运算.
【详解】由题意可知，
当 时， 在 上单调递减，则 ；
当 时， 在 上单调递增，则 ；
若函数 恰好有4个不同的零点，
令 ，则 有两个零点，可得，
当 时，则 ，解得 ；
当 时，则 ，可得 ；
可得 和 均有两个不同的实根，即 与 、 均有两个交点，
则 ，且 ，解得 ，
综上所述：实数 的取值范围为 .
且 ，故A、D错误，B、C正确.
故选：BC.
10．已知函数 ，则下列选项中正确的是（ ）
A． 的值域为
B． 在 处取得极小值为2
C． 在 上是增函数
D．若方程 有2个不同的根，则
【答案】AB
【分析】根据题意，求导可得 ，即可得到函数 的单调性以及值域，即可判断
ABC，再结合函数图像即可判断D
【详解】因为函数 ，则 ，
令 ，即 ，解得 或 （舍），
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！当 时， ，则函数 单调递减，
当 时， ，则函数 单调递增，故C错误；
则 时，函数有极小值即最小值，即 ，故B正确；
且 ， ，则函数值域为 ，故A正确；
由函数 的单调性以及值域可得函数的大致图像，如图所示，
结合图像可知，若方程 有2个不同的根，则 ，故D错误；
故选：AB
11．已知函数 ，下列选项中正确的是（ ）
A． 在 上单调递增，在 上单调递减
B． 有极大值
C． 无最小值
D．若函数 恰有6个零点，则实数 的取值范围是
【答案】ABD
【分析】对于A，利用导数判断 在 的单调性，对于B，由选项A中的单调性进行判断，对于C，分别求出 和 时的值域分析判断，对于D，作出 的图象，
结合函数图象，根据一元二次方程根的分布得到关于 的不等式，解不等式即可得到实数
的取值范围.
【详解】对于A，当 时， ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以A正确，
对于B，由选项A可知 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值，所以B正确，
对于C，当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时， ，
因为 在 上单调递增，在 上单调递减，且当 时， 恒成立，
综上， 的值域为 ，所以 有最小值0，所以C错误，
对于D，因为 在 上单调递增，在 上单调递减， ， ，
所以 的大致图象如图所示
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！由 ，得 ，
令 ，则 ，
由 的图象可知，要使 有6个零点，则方程 有两个不相等的实数根
，不妨令 ，
若 ，则由图可知 有6个零点，但 ，所以不符合题意，
所以 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，即实数 的取值范围是 ，所以D正确，
故选：ABD
12．方程 有两个实根，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】一元二次方程的根的情况用根的判别式可解.
【详解】方程 有两个实根,则 ，
即 ，解得 或 .
故答案为： .
13．若函数 在 上有 个零点，则 的取值范围是 .【答案】
【分析】利用二倍角公式化简得到 ，令 ，参变分离可
得 ，令 ， ，从而得到 ，分析 ，
的单调性，从而得到 在 上有 个解，结合正弦函数的性质求出 的范
围，即可求出 的范围.
【详解】因为 ，
由 ，可得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
令 ，则 ，所以 ，令 ， ，
因为 与 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，
因为 在 上有 个解，
则 在 上有 个解，
则 ，则 ，所以 .
故答案为：
14．若关于x的方程 无解，则实数k的取值范围是 .
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【答案】
【分析】分析可知 与 没有交点，利用辅助角公式结合正弦函数值域分
析求解.
【详解】由题意可知： 与 没有交点，
因为 ，
且 ，可得 ，
可知 ，所以实数k的取值范围是 .
故答案为： .
15．已知函数 ， ， 的零点分别为a，
b，c，则 ．若 满足 ， 满足 ，则
.
【答案】 3
【分析】根据 ， 和 在R上单调递增，得到 ，
即 ，所以 ，同理可得 ，从而得到
【详解】 ， 的零点分别为a，b，
故 ， ，
由于 在R上单调递增，
故 ，即 ， ，又 在R上单调递增，且 ，所以 .
所以 .
，
，
故 ，
由于 在R上单调递增，故 ，
故
所以
故答案为：3，
16．设函数 若关于 的方程 有5个不
相等的实数根，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】令 ，代入方程解得 或 ，则 和 共有5个不
同的实数根.作出 的图象，观察图象即可求出 的取值范围.
【详解】令 ，则 ，即 ，即
，解得 或 ，则 和 共有5个不同的实数
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！根.作出 的图象，如图：
由图可知， ，解得 .
故答案为： .
17．已知函数 ，若对于正数 ，直线 与函数
的图像恰好有 个不同的交点，则 ．
【答案】
【分析】由题意首先确定函数的性质，然后结合直线与圆的位置关系得到 的表达式，最
后裂项求和即可求得 的值.
【详解】当 时， ，即 ，
表示以 为圆心， 为半径的圆在 轴（含 轴）的上半部分，
当 时， ，函数周期为4，
如图作出函数 的图象，
因为 与函数 恰有 个不同的交点，
根据图象知，直线 与第 个半圆相切，第 个半圆的圆心为 ，半径为 ，
故直线 的斜率 ，
所以 ，
所以 ．
故答案为： .
18．若函数 有两个零点，则a的取值范围为 .
【答案】
【分析】把函数 的零点转化为直线 与函数 的图象的交点问题即可
作答.
【详解】由 得 ，令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
于是得 在 上递增，在 上递减，
且 ，而 ， ， ，
从而得 有两个不同零点，
当且仅当直线 与函数 的图象有两个不同交点，
即 .
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！故答案为：
19．已知函数 ，关于以下四个结论：
①函数 的值域为 ；
②当 时，方程 有两个不等实根；
③当 ， 时，设方程 的两个根为 ， ，则 为定值；
④当 ， 时，设方程 的两个根为 ， ，则 ．
则所有正确结论的序号为 ．
【答案】①②④
【分析】分析函数 的性质求出值域判断①；求出方程的根依次判断②③④即得.
【详解】对于①，函数 ，由于 ，故 ，
因此函数 的值域为 ，①正确；
对于②，当 时，方程 ，解得 或 ，
而 ，方程 有两个不等实根，②正确；
对于③，当 时， ，不妨令 ， ，则 ，
则 ，由于 在 上单调递增，
故 随 的增大而增大，③错误；
对于④，当 时， ，不妨令 ， ，
则 ，④正确，
所以所有正确结论的序号为①②④.
故答案为：①②④
20．已知函数 .
(1)若曲线 在 处的切线与 轴垂直，求 的极值.
(2)若 在 只有一个零点，求 .【答案】(1)极小值 ，无极大值；(2) .
【分析】（1）求出函数 的导数，结合几何意义求出 ，再分析单调性求出极值.
（2）由函数零点的意义，等价变形得 在 只有一解，转化为直线与函数图象只
有一个交点求解.
【详解】（1）函数 的定义域为R，求导得 ，
，
依题意， ，则 ， ，
当 时， ，当 时， ，
因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 在 处取得极小值 ，无极大值.
（2）函数 在 只有一个零点，等价于 在 只有一个
零点，
设 ，则函数 在 只有一个零点，当且仅当 在 只有一
解，
即 在 只有一解，于是曲线 与直线 只有一个公共点，
令 ，求导得 ，当 时， ，当 时，
，
因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
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原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！函数 在 取得极小值同时也是最小值 ，
当 时， ；当 时， ，
画山 大致的图象，如图，
在 只有一个零点时， ，
所以 在 只有一个零点吋， .
