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专题 01 巧用八种运算规律简化有理数的运算
题型 01 归类组合法
【典例分析】
【例1-1】（24-25七年级上·全国·假期作业）用简便方法计算：
【答案】6
【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．利用有理数的加法运算律计算，即可求解．
【详解】解：原式【例1-2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：
(1) ．
(2) ．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题考查有理数的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）利用有理数的加减法则计算即可．
（2）利用有理数的加减法则计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
＝
．
【例1-3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：
．
【答案】【分析】本题主要考查了有理数加减运算，掌握有理数加减运算法则是解决问题的关键．应用加法的交换，
结合律，即可计算．
【详解】解：
．
【变式演练】
【变式1-1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）用合理的方法计算下列各题：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)12
【分析】本题考查有理数的加法，关键是掌握有理数的加法法则．
（1）把原式写成去掉括号的形式，分别计算正数和负数的和，即可得到答案；
（2）应用加法的交换，结合律，即可计算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：．
【变式1-2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算：
；
【答案】
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．通常将分母相同的两个数分别结合为一组求解．
【详解】解：
；
【变式1-3】（23-24六年级下·上海长宁·期中）计算： ；
【答案】
【分析】本题考查的是有理数的加减运算，按照同分母的结合法则，运用加法的交换律和结合律计算是解
本题的关键．
【详解】解：
．
题型 02 逆用乘法对加法的分配律
【典例分析】
【例2-1】（24-25七年级上·全国·假期作业）简便计算
【答案】
【分析】本题考查了有理数的乘法分配律，先把原式整理得 ，再运算括号内，最后
运算乘法，即可作答．【详解】
【例2-2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： ．
【答案】0
【分析】本题考查了有理数的乘法分配律，根据乘法分配律的逆运算可先把 提出，可得
再计算括号里面的减法，后计算乘法即可．
【详解】解：
【例2-3】（24-25七年级上·全国·假期作业）简便运算
【答案】0
【分析】本题考查了有理数的乘法分配律的运算，先把 提出来，即原式整理得 ，
再运算括号内，即可作答．
【详解】解：【变式演练】
【变式2-1】（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习） ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的混合运算进行计算即可求解．
【详解】解：
【变式2-2】（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）．计算下列各题：
【答案】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则以及运算顺序是解题的关键．根据乘
法分配律进行计算即可求解．
【详解】解：
．
【变式2-3】（23-24七年级上·陕西咸阳·期中）用简便方法计算： ．
【答案】
【分析】本题考查有理数混合运算，涉及有理数乘法运算律，利用有理数乘法分配律简化运算即可得到答案，熟记有理数乘法分配律是解决问题的关键．
【详解】解：
．
题型 03 凑整法
【典例分析】
【例3-1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）利用有理数的加法运算律计算，使运算简便．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)1.9
【分析】考查了有理数加法，解题关键是综合应用加法交换律和结合律，简化计算．
（1）把互为相反数的数和相加为整数的分别结合相加，便可得出结果；
（2）把互为相反数的数结合相加，同号的结合相加，便可求得结果．
【详解】（1）
；
（2）
．
【例3-2】（23-24七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）计算(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查有理数的加减混合运算．
（1）首先将分数转化为小数形式，然后观察数据运用运算律简便运算；
（2）先去掉括号，然后观察数据运用运算律简便运算．
【详解】（1）
；
（2）
．
【例3-3】（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）计算．
(1) ；
(2) ；(3) ；
(4) ．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【分析】本题考查有理数的加法，熟练掌握相关运算法则及运算律是解题的关键．
（1）利用有理数的加法法则及运算律进行计算即可；
（2）利用有理数的加法法则及运算律进行计算即可；
（3）利用有理数的加法法则及运算律进行计算即可；
（4）利用有理数的加法法则及运算律进行计算即可．
【详解】（1）
解：原式
；
（2）
原式
；
（3）
原式
；
（4）
原式
．【变式演练】
【变式3-1】（23-24七年级上·吉林长春·期中）计算： ．
【答案】20
【分析】先化简符号，再正数结合负数结合，最后相加．
本题主要考查了有理数的加减混合运算．熟练掌握化简符号，加法结合律，是解决问题的关键．
【详解】
．
【变式3-2】（23-24七年级上·陕西渭南·期中）用简便方法计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据加法的交换律和结合律计算即可．
【详解】解；
【变式3-3】（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）计算：
(1) ．
(2)
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）根据有理数的加法运算律计算，即可求解；（2）根据有理数的加法运算律计算，即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：原式
【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算律，熟练掌握有理数的加法运算律是解题的关键
题型 04 拆分变形法
【典例分析】
【例4-1】（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）数学张老师在多媒体上列出了如下的材料：
计算：
解：原式
上述这种方法叫做拆项法．请仿照上面的方式计算：
【答案】
【分析】根据材料中的方法将带分数的整数部分和小数部分拆开计算即可．【详解】解：原式
【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，读懂材料中的方法是解题的关键
【例4-2】（23-24七年级上·山西朔州·期中）阅读下题中的计算方法，解决问题．
(1)
解：原式
上面这种方法叫拆项法．
仿照上面的拆项法可将 拆为_________， 拆为_________．
(2)类比上述计算方法计算：
．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算；
（1）根据题干信息进行解答即可；
（2）利用题干提供的信息，运用有理数加减混合运算法则进行计算即可．
解题的关键是熟练掌握有理数加减混合运算法则，准确计算．
【详解】（1）解： ， ，故答案为： ； ；
（2）解：
【例4-3】（23-24七年级上·河南信阳·阶段练习）阅读下题的计算方法．
计算： ．
解：原式
．
上面这种解题方法叫拆项法．
按此方法计算： ．
【答案】
【分析】按照题目中的拆项法解答即可．【详解】原式
．
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，读懂题意、掌握解法是关键
【变式演练】
【变式4-1】（23-24七年级上·山东菏泽·期中）对于 可以进行如下计算：
原式
．
上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？仿照上面的方法，你会计算下面的式子吗？
．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的简便计算，把有理数分成整数与分数的和，再归类计算即可．
【详解】【变式4-2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读下面的解题方法．
计算： ．
解：原式
上述解题方法叫做拆项法，按此方法计算：
．
【答案】11
【分析】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在
一起，再根据有理数的加法，可得答案．
【详解】解：原式
【变式4-3】（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法求“有理数
加法”的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．试题：计算： ．
小明：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算．
小军：我认为小明的方法很单一，而且有点麻烦，下面是我按照“拆项法”进行解答的过程：
解：原式
．
老师：小军的方法很有创意，值得提倡与学习．
任务：请根据片段中的“拆项法”，进行下面的计算：
(1) ．
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案．
【详解】（1）解：（2）
【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，利用题干中的拆项法拆项后再利用运算律解答是解题的
关键．
题型 05 分组搭配法
【典例分析】
【例5-1】（23-24七年级上·广东东莞·期中）计算： 的值．
【答案】
【分析】本题考查有理数加减的简便运算，从左边第一个数开始，相邻的两个数为一组，每组的值为 ，
共有 组，由此可解，正确分组是解题的关键．
【详解】解：
【例5-2】（2024七年级·全国·竞赛）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，科学运用结合律是解题的关键．
【详解】解：原式
【例5-3】（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算： ．
【答案】0
【分析】从第1个数开始，每4个数为一组，每组结果为0，由此可解．
【详解】解：【点睛】本题考查有理数加减混合运算的简便方法，正确分组是解题的关键
【变式演练】
【变式5-1】（23-24七年级上·全国·课堂例题）计算： ．（要求写出必
要的过程）
【答案】
【分析】根据有理数的加减运算求解即可．
【详解】解：原式
【点睛】此题考查了有理数的加减运算，解题的关键是掌握有理数的加减运算法则
【变式5-2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算:
【答案】1011
【分析】本题考查了数的规律，整式的加减法的速算与巧算，根据分组的方法计算是解答本题的关键．
根据观察，式子中一共有 个加数，每两个加数为一组，和是3，这些数分成
组，再算出结果即可．
【详解】解：
【变式5-3】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算．
(1)
(2)
【答案】(1)(2)1012
【分析】（1）根据带分数的意义，可将算式变为
，然后去掉括号，将算式变为
，然后根据带符号搬家和括号的应用，将算式
变为 ，再计算括号里面的结果，
接着根据乘法的意义，将算式变为 进行简算即可．
（2）合理分组： 每两个数为一组，
结果是3；一共有337组；进行简算即可．
【详解】（1）
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝ ；
（2）每两个数为一组，结果是3；
则
即一共有337组；
原式 ．
题型 06 拆项法
【典例分析】
【例6-1】（20-21七年级上·安徽合肥·阶段练习）计算：
．
【答案】
【分析】把整数与整数部分、分数与分数部分分别加在一起，然后把每个分数分别拆成两个分数相减的形
式，通过分数的加减，相互抵消，求出结果．
【详解】解：观察分数， ， ， ， ，
，
∴
．
【点睛】本题考查了数字类探究题，对于这类问题，应首先仔细审题，运用运算技巧或所学知识进行简算．
【例6-2】（23-24七年级上·重庆·阶段练习）计算： ．【答案】
【分析】将带分数分为整数和分数分别进行计算，将分数进行变形，简化计算．
【详解】）解：原式
．
【点睛】本题考查的是有理数的加减混合运算，在解答此类题目时要注意各种运算律的灵活应用
【例6-3】（22-23七年级上·广东广州·开学考试）计算：
；
【答案】
本题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算；将原式变形，裂项抵消后计算即可；
【详解】解：原式
；
【变式演练】
【变式6-1】（22-23七年级上·广东广州·开学考试） ；
【答案】
【分析】通过观察可以发现用裂项相消的方法可以进行简便运算；
【详解】；
【变式6-2】（22-23七年级上·广东广州·开学考试）
；
【答案】 ；
【分析】将每个分数变成两个分数和的形式，然后进行简便运算；
此题主要考查有理数的简便运算，掌握实数的各种简便运算是解决本题的关键．
【详解】
；；
【变式6-3】（22-23七年级上·江苏盐城·阶段练习）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某
些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作
同分母，然后分子相加减，例如： ，我们将上述计算过程倒过来，得到
，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于 可以用裂项的方法变形为：
．类比上述方法，解决以下问题．(1)猜想并写出： ________；
(2)类比裂项的方法，计算： ；
(3)探究并计算： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题中材料即可得结果；
（2）根据（1）中的裂项方法，把每一个分数进行裂项，由有理数的加减法则即可完成计算；
（3）先变形，再由阅读感知把每个分数进行裂项，最后进行加减乘运算即可．
【详解】（1）由题意知： ；
（2）
，
，
，
；
（3）
，
，，
，
．
【点睛】本题考查有理数的加法中的简便计算．关键是读懂题中的材料，根据材料提供的方法进行简便．
题型 07 倒数法
【典例分析】
【例7】（23-24七年级上·湖南湘西·期末）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复
习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算
刘聪和他的小伙伴选择常规解法： 张明开动脑
筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法：原式的倒数：
所以，原式
(1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？ 为什么？
(2)请选择你喜欢的解法计算：
【答案】(1)更喜欢张明的解法，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了有理数的乘法分配律：
（1）根据解答过程可知张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便，则更喜欢张明的解法；
（2）仿照题意先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求出 的值，进而求出的值的倒数即可得到答案．
【详解】（1）解：更喜欢张明的解法，理由如下：
观察两人的解题过程可知，张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便，
∴更喜欢张明的解法；
（2）解：原式的倒数为：
，
．
【变式演练】
【变式7-1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）阅读材料，回答问题．
计算： ．
解：方法一：原式 ．
方法二：原式的倒数为：
故原式 ．
用适当的方法计算： ．
【答案】
【分析】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
求出原式的倒数，即可确定出原式的值．【详解】解：∵
，
∴原式 ．
【变式7-2】（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）阅读下面材料：
计算：
解法①：
原式
；
解法②：
原式
；
解法三：
原式的倒数为
，故原式 ．
(1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法_____是错误的（填序号）
(2)在正确的解法中，你认为解法______比较简便．（填序号）
请你进行简便计算： ．
【答案】(1)①
(2)③；
【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算和分配律、倒数等知识，熟练掌握相关运算法则和运算律是
解题的关键．
（1）解法①中，除法当中的除式不能进行加减法分解，故解法①错误；
（2）解法三运用了倒数的知识使得运算比较简便；先计算原式的倒数，再转化为原式即可．
【详解】（1）解：三种解法得出的结果不同，解法①是错误的．
故答案为：①；
（2）解：在正确的解法中，解法③比较简便．
故答案为：③；
原式的倒数为
，
∴原式 ．
【变式7-3】．计算：
(1)前后两部分之间存在着什么关系？
(2)先计算哪部分比较简单?请给予解答；
(3)利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果；
(4)根据上述分析，求出原式的结果．【答案】(1)前后两部分互为倒数
(2)先计算后面的部分比较简单，解答过程见解析
(3)另一部分的结果为
(4)
【分析】（1）根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，即可；
（2）把后面部分的除法化为乘法，根据乘法分配律，进行计算，根据分母均为36的公因数，故先算后面
部分，较方便；
（3）根据第二问的结果，倒数的关系，即可；
（4）根据第二问，第三问的结果，进行有理数的加减，即可．
（1）
解：∵乘积为1的两个数互为倒数
∴前后两部分互为倒数．
（2）
解：计算 应先通分，然后化除法为乘法，最后进行计算；
计算 ，先化除法为乘法，然后根据乘法分配律，进行加减计算；
∴先计算后面部分比较方便
计算如下：
．
（3）解：∵前后两部分互为倒数，后面部分：
∴前面部分： ．
（4）
解：
．
【点睛】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握倒数的定义，有理数除法的运算法则，乘法分配律等．
题型 08 倒序相加法
【典例分析】
【例8-1】（23-24七年级上·辽宁朝阳·期末）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100
这100个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，且易出错，聪明的
小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程：
解：设 ，①
则 ．②
① ②，得 ．
（①②两式左右两端分别相加，左端等于 ，右端等于100个101的和）
所以 ， ．③
所以 ．
后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”
请你运用上述方法计算：一条沿途有n个站点的高铁线上，单向行驶的“和谐号”列车，需要印多少种车
票 ．
【答案】
【分析】此题考查了规律型：数字的变化类，正确找出数字的变化规律是解题的关键．根据题意，一条沿
途有n个站点的高铁线上，则单向行驶的“和谐号”列车需要 种车票，根据“倒序相加
法”即可求解．【详解】解：由题意得：需要 种车票，
设 ①，
则 ②，
① ②，得 ．（①②两式左右两端分别相加，左端等于 ，右端等于 个n的
和），
，
，
故答案为： ．
【例8-2】．（22-23七年级上·广西南宁·期中）【材料阅读】高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计
算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且
易出错．聪明的高斯经过探索后，给出了下面的解答过程：
解：设 ，①
则 ．②
①＋②，得（即左右两边分别相加）：
．
所以， ．
所以， ．
后来人们将高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．
【问题解决】利用“倒序相加法”解答下面的问题：
(1)计算： _________；
(2)猜想： __________并利用“倒序相加法”说明理由．
(3)利用（2）中的结论，计开： ．
【答案】(1)
(2)
(3)【分析】（1）根据题目中的例子可以求得所求式子的值；
（2）根据题目中的例子，可以写出猜想的结果；
（3）根据（2）中结论即可得到结果．
【详解】（1）解：设 ①
则 ②
①+②， ．
所以， ，
所以， ，
故答案为： ；
（2）解：解：设 ①
则 ②
①+②， ．
猜想： ，
故答案为： ；
（3）解： ．
【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变
化特点，求出所求式子的值
【变式演练】
【变式8-1】（22-23七年级上·广东广州·期中）阅读材料：
材料一：对实数 ， ，定义 的含义为：当 时， ；当 时， ．
例如： ； ．
材料二：关于数学家高斯的故事：2000多年前，高斯的老师提出了下面的问题：
？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，十岁的高斯却用下面的方法迅速算出
了正确答案： ．
也可以这样理解：令 ①，
则 ②，①+②得： ，
即 ．
解决问题：
(1) ； ；
(2)已知 ，且 ，求 的值；
(3)对于正数 ，满足关系式 时，求：
值．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】（1）利用新定义计算解题即可；
（2）根据 ,且 ,可得 , ,再根据当 时, ；当 时,
,即可求解；
（3）由于 由 可得 根据 是正数可求 ，再代入
求值即可.
【详解】（1）解： ；
；
故答案为： ， ；
（2）∵ ,且
∴ ,∴
，
故 的值为 ；
（3）∵a为正数,
，
，
，
则 (负值舍去)，
∴
∴
．
【点睛】此题考查了规律型：数字的变化类，关键是通过观察得出题目中的规律，并用公式表示出来，注
意公式的灵活应用【变式8-2】（23-24七年级上·四川达州·期中）阅读理解：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算
“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，且易
出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程．
解：设 ，①
则 ，②
①+②，得
（两式左右两端分别相加，左端等于 ，右端等于100个101的和）
所以 ， ③
所以 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．
请解答下面的问题：
(1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算： ；
(2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想： ．
(3)计算： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了数字类规律探索．熟练掌握运算规律是解题的关键．
（1）记 ，则 ， ，计算求解即可；
（2）记 ，则 ， ，计算求解即可；
（3）记 ，则 ，
，计算求解即可．
【详解】（1）解：记 ，则 ，
∴ ，
解得， ，
∴ ；
（2）解：记 ，则 ，∴ ，
解得， ，
故答案为： ；
（3）解：记 ，则 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
【变式8-3】（21-22七年级上·河北保定·期末）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100
这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的
小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程．
解：设S＝1+2+3+…+100 ①
则S＝100+99+98+…+1 ②
①+②，得（即左右两边分别相加）：
2S＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1），
＝ ，
＝100×101，
所以，S＝ ③，
所以，1+2+3+…+100＝5050．
后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．请你利用“倒序相加法”解答下面的问题．
（1）计算：1+2+3+…+101；
（2）请你观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现的类似③式，猜想：1+2+3+…+n＝ ；
（3）至少用两种方法计算：1001+1002+…+2000．
方法1：
方法2：
【答案】（1）5151；（2） ，（3）见解析.
【分析】（1）根据题目中的例子可以求得所求式子的值；
（2）根据题目中的例子，可以写出猜想的结果；（3）根据题目中的例子可以用两种方法求出所求式子的值
【详解】（1）设S＝1+2+3+…+101①，
则S＝101+100+…+3+2+1②，
①+②，得
2S＝102+102+102+…+102＝101×102，
∴S＝ ＝5151，
即1+2+3+…+101＝5151；
（2）猜想：1+2+3+…+n＝ ，
故答案为： ；
（3）方法一：1001+1002+…+2000
＝（1+2+3+…+2000）﹣（1+2+3+…+1000）
＝ ﹣
＝2001000﹣500500
＝1500500；
方法2：设S＝1001+1002+…+2000，
则S＝2000+1999+…+1001，
两式相加，得
2S＝1000×3001，
则S＝ ＝1500500，
即1001+1002+…+2000＝1500500．
【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变
化特点，求出所求式子的值
