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七年级上册数学《第 2 章有理数及其运算》
2.2 有理数的加减运算
有理数的加法
知识点一
★有理数的加法法则：
1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．
2．绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
3.互为相反数的两个数相加得 0．
4.一个数与0相加，仍得这个数．
【注意】在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有 0．从而确定用
那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．
有理数的加法运算律
知识点二
★1、有理数的加法交换律：
有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．
即a + b = b + a.
★2、有理数的加法结合律：
有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．
用字母表示为：(a + b) + c = a + (b + c).有理数的减法
知识点三
★1、有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.
ab a(b)
用字母表示为：
★2、有理数减法的运算方法：
①把减号变为加号(改变运算符号)
②把减数变为它的相反数(改变性质符号)
③按照加法运算的步骤进行运算
【注意】
在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律.减法法则不能与加法法则
类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．
有理数的加减混合运算
知识点四
★有理数的加减混合运算
引入相反数后，有理数的加减混合运算统一成加法运算.即：
a+b−c=
a+b+(﹣c)
方法 步骤
直接计算 利用有理数的加法及减法法则,按从左到右的顺序运算.
(1)利用减法运算法则,将有理数加减混合运算转化为加法运算;
统一为加法计算
(2)适当运用加法运算律简化运算.题型一 有理数的加法
解题技巧提炼
有理数加法运算的步骤：
1. 先判断类型（同号、异号等）；
2. 再确定和的符号；
3. 最后进行绝对值的加减运算.
1．（2024•河北区二模）计算（﹣2）+（﹣4），结果等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣62．（2024•文昌三模）下列各数中，与2024的和为0的是（ ）
1 1
A．2024 B．﹣2024 C． D．−
2024 2024
3．（2024•朔州模拟）计算：﹣2024+2023的结果是（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣4047 D．4047
4．如果a+b+c＝0且|c|＞|b|＞|a|．则下列说法中可能成立的是（ ）
A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数
C．b、c为正数，a为负数 D．a、b、c为正数
5．（2023秋•宿豫区期末）若两个数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相加所得的和（
）
A．一定是正数 B．一定是负数
C．一定是0 D．以上都不对
3 2
6．（2023秋•射阳县期末） 的相反数与− 的绝对值的和是 ．
5 5
7．下列说法正确的是（ ）
A．两数之和大于每一个加数
B．两数之和一定大于两数绝对值的和
C．两数之和一定小于两数绝对值的和
D．两数之和一定不大于两数绝对值的和
8．计算：
1
（1）（－3）＋（－7） （2）0＋（＋5 ）
6
2 5
（3）（﹣2.2）＋（＋3.8） （4）(+ )+(− )
3 6
7 7
（5）|﹣7│+│﹣9 │ （6）﹣│-7│+│-9 │
15 15
题型二 有理数的减法解题技巧提炼
有理数的减法法则是一个转化法则，减号转化为加号，同时要注意减数变为它的
相反数，这样就可以用加法法则来解决减法问题.
1．（2024•微山县二模）比﹣1小1的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
2．（2024•临淄区二模）|﹣2|﹣1的计算结果是（ ）
A．﹣3 B．1 C．2 D．3
3．（2024•陈仓区二模）计算：（﹣2）﹣（﹣3）＝（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
4．下列计算结果正确的是（ ）
A．﹣3﹣7＝﹣3+7＝4 B．4.5﹣6.8＝6.8﹣4.5＝2.3
1 1 1 1 1 1
C．﹣2﹣（− ）＝﹣2+ =−2 D．﹣3﹣（− ）＝﹣3+ =−2
3 3 3 2 2 2
5．（2024•南岗区校级三模）某冰箱冷藏室的温度是5℃，冷冻室的温度是﹣20℃，则冷藏室比冷冻室温
度高（ ）
A．15℃ B．﹣15℃ C．﹣25℃ D．25℃
3
6．（2024春•宝山区期末）如果一个数加上−1 所得的和是6，那么这个数是 ．
4
7．（2024•伊通县一模）长春市2月18日至2月21日天气预报的最高气温与最低气温如表：
日期 2月18日 2月19日 2月20日 2月21日
最高气温/℃ 8 ﹣4 ﹣10 ﹣7
最低气温/℃ ﹣6 ﹣16 ﹣16 ﹣15
其中温差最大的日期是（ ）
A．2月18日 B．2月19日 C．2月20日 D．2月21日
8．计算下列各题：
1 2 1
（1）(− )−(+ )． （2）（﹣2.5）﹣（+2 ）
3 3 2
1 1 1
（3）|−7.5|−|− |． （4）(− )−(−1 )．
2 2 3题型三 有理数的加减混合运算
解题技巧提炼
有理数加减混合运算的步骤：
（1）将减法转化为加法运算；
（2）省略加号和括号；
（3）运用加法交换律和结合律，将同号的数分别相加；
（4）按有理数加法法则计算．
1．（2024•湖南模拟）下面算法正确的是（ ）
A．（﹣4）+8＝﹣（8﹣4） B．5﹣（﹣8）＝5﹣8
C．（﹣5）+0＝﹣5 D．（﹣3）+（﹣4）＝3+4
2．（2023秋•唐县期末）把﹣（﹣3）﹣4+（﹣5）写成省略括号的代数和的形式，正确的是（ ）
A．3﹣4﹣5 B．﹣3﹣4﹣5 C．3﹣4+5 D．﹣3﹣4+5
3．（2023秋•沈丘县期末）下列交换加数的位置的变形中，正确的是（ ）
A．1﹣4+5﹣4＝1﹣4+4﹣5
1 3 1 1 1 3 1 1
B．− + − − = + − −
3 4 6 4 4 4 3 6
C．1﹣2+3﹣4＝2﹣1+4﹣3
D．4.5﹣1.7﹣2.5+1.8＝4.5﹣2.5+1.8﹣1.7
4．（2024•罗湖区校级三模）一天早晨的气温是﹣7℃，中午上升了10℃，半夜又下降了8℃，半夜的气
温是（ ）
A．﹣9℃ B．﹣5℃ C．5℃ D．11℃
5．（2022秋•鹿邑县月考）下列各式不成立的是（ ）
A．20+（﹣9）﹣7+（﹣10）＝20﹣9﹣7﹣10
B．﹣1+3+（﹣2）﹣11＝﹣1+3﹣2﹣11
C．﹣3.1+（﹣4.9）+（﹣2.6）﹣4＝﹣3.1﹣4.9﹣2.6﹣4
D．﹣7+（﹣18）+（﹣21）＝﹣（﹣18﹣21）
6．（2023秋•沙坪坝区校级月考）列式并计算：
1 2 5
（1）2 减去− 与 的和，所得的差是多少？
3 3 6
（2）﹣4，5，﹣6这三个数的和比这三个数的绝对值的和小多少？7．（2023秋•小店区校级月考）计算：
（1）1.4+（﹣0.2）+0.6+（﹣1.8）；
（2）5+（﹣6）+3﹣（﹣4）；
（3）﹣20+（﹣14）﹣（﹣18）﹣13；
1 3 2 1 1
（4）(− )+ +(− )+ +(− )．
2 5 3 2 3
8．（2023秋•朝阳区校级月考）计算：
（1）（﹣52）+（﹣19）﹣（+37）﹣（﹣24）；
1 5 2 1
（2）− + + − ；
4 6 3 2
1 1 1 1 1
（3）3 −(−2 )+(− )− −(+ )；
2 4 3 4 6
3 1 1 1
（4）|−7 +4 |+(−18 )+|−6− |．
8 2 4 2
题型四 运用加法运算律进行简便计算解题技巧提炼
1. 一般地，总是先把正数或负数分别结合在一起相加；
2. 有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整；
3. 有分母相同的分数时，可先把分母相同的分数结合.
1．下列变形，运用运算律正确的是（ ）
A．2+（﹣1）＝1+2
B．3+（﹣2）+5＝（﹣2）+3+5
C．[6+（﹣3）]+5＝[6+（﹣5）]+3
1 2 1 2
D． +（﹣2）+（+ ）＝（ + ）+（+2）
3 3 3 3
2．6﹣2+5﹣8+12＝（6+5+12）+（﹣2﹣8）是应用了（ ）
A．加法交换律 B．加法结合律
C．分配律 D．加法的交换律与结合律
3．计算：1+（﹣2）+（+3）+（﹣4）+（+5）+（﹣6）+…+（+99）+（﹣100）+（+101）的结果是（
）
A．0 B．﹣1 C．﹣50 D．51
4．用适当的方法计算：
（1）0.34+（﹣7.6）+（﹣0.8）+（﹣0.4）+0.46；
（2）（﹣18.35）+（+6.15）+（﹣3.65）+（﹣18.15）．
5．（2023秋•黔南州期中）阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题．
5 2 3 1
计算﹣1 +(−2 )+9 +(−3 )．
6 3 4 2
5 2 3 1
解：原式＝[（﹣1）+（− ）]+[（﹣2）+（− ）]+（9+ ）+[（﹣3）+（− ）]
6 3 4 2
5 2 3 1
＝[（﹣1）+（﹣2）+9+（﹣3）]+[（− ）+（− ）+ +（− ）]
6 3 4 25
＝3+（− ）
4
7
=
4
以上解题方法叫做拆项法．
请你利用拆项法计算下面式子的值．
5 2 1 5 3
（﹣2023 ）+（﹣2022 ）+（﹣1 ）+（− ）+4045
6 3 2 6 4
6．利用有理数的加法运算律计算，使运算简便．
（1）（﹣248）+433+（﹣752）+（﹣433）；
（2）（﹣0.8）+1.2+（﹣0.7）+（﹣2.1）+0.8+3.5．
7．计算：
4 1 3 1
（1）1 +（﹣2 ）+ + ；
7 3 7 3
4 4 4 13
（2）（− ）+（− ）+ +（− ）；
13 17 13 17
2 1 1 1
（3）（﹣4 ）+（﹣3 ）+6 +（﹣2 ）．
3 3 2 48．计算:
（1）23+（﹣17）+6+（﹣22）
（2）﹣6.35+（﹣1.4）+（﹣7.6）+5.35
1 5 2 1
（3）（− ）+（− ）+（− ）+（+ ）
3 2 3 2
（4）（+0.56）+（﹣0.9）+（+0.44）+（﹣8.1）
5 2 1
（5）（﹣3 ）+（+15.5）+（﹣6 ）+（﹣5 ）
7 7 2
题型五 有理数加减法与数轴的综合
解题技巧提炼
用有理数的减法可以表示数轴上两点之间的距离，若A、B 两点在数轴上分别表
示 a、b，则 AB两点间距离公式：AB＝|a﹣b|＝|b﹣a|，即在数轴上任意两点之间
的距离等于这两点所表示的数之差的绝对值.
1．（2023秋•茂名期中）有理数a、b的对应点在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a+b＞0 B．a﹣b＞0 C．﹣a+b＜0 D．﹣a﹣b＞0
2．如图，四个有理数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q＝0，则m，n，p，q
四个数中负数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．43．（2023春•香坊区期末）如图，在数轴上，点O是原点，A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．
根据图中各点的位置（OA＞OB），下面式子结果为正数的是（ ）
A．a+b B．a+c C．c+（﹣b） D．a+（﹣c）
4．已知a，b是有理数，若a在数轴上的对应点的位置如图所示，且a+b＜0，有以下结论：①b＜0；②
a﹣b＜0；③b＜﹣a＜a＜﹣b；④|a|＜|b|，其中结论正确的有 （填序号）．
5．（2023秋•鼓楼区校级期中）已知有理数a，b，c在数轴上对应点分别为A，B，C，点A，B在数轴上
的位置如图所示．若|b|＝5，AC＝2，则a+b﹣c的值为 ．
6．（2023秋•东莞市校级期中）在数轴上，a，b，c对应的数如图所示，|b|＝|c|．
（1）确定符号：a 0，b 0，c 0，b+c 0，a﹣c 0；
（2）化简：|a|+|c|﹣|b|；
（3）化简：|a|﹣|a﹣c|．
7．（2023秋•浑南区月考）数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段
AB＝0﹣（﹣1）＝1；线段BC＝2﹣0＝2；线段AC＝2﹣（﹣1）＝3．
则：（1）数轴上点M、N代表的数分别为﹣9和1，则线段MN＝ ；
（2）数轴上点E、F代表的数分别为﹣6和﹣3，则线段EF＝ ；
（3）数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为2，则另一个点表示的数为 ．题型六 有理数加减法与相反数、绝对值的综合
解题技巧提炼
1、利用相反数的意义：互为相反数的两个数的和为0；
2、利用绝对值的非负性：几个非负数的和为0，每个非负数都要为0.
3、利用有理数的加法运算法则：异号的两个数相加，取绝对值较大的数的符
号，再让较大的绝对值减去较小的绝对值．
1．（2024春•香坊区校级月考）已知：|x|＝8，y＝﹣5，且x＜y，则x﹣y的值为 ．
2．（2024•邹城市校级模拟）已知|a|＝5，|b|＝3，且|a﹣b|＝b﹣a，则b﹣2a＝ ．
3．如果a﹣b＞0，且a+b＜0，那么一定正确的是（ ）
A．a为正数，且|b|＞|a| B．a为正数，且|b|＜|a|
C．b为负数，且|b|＞|a| D．b为负数，且|b|＜|a|
4．（2023秋•兴化市校级月考）设a是最小的自然数，b是最小的正整数，c是最大的负整数，则a、b、
c三数绝对值的和为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
5．（2023秋•双流区期中）若有理数x，y满足|x|＝4，|y﹣2|＝3，且|x+y|＝|x|+|y|，求x﹣y的值．
6．（2022秋•崇川区期中）若|a|＝5，|b|＝3．
（1）若a＞0，b＜0，求a+b的值；
（2）若|a+b|＝a+b，求a﹣b的值．
7．（2023秋•江油市月考）已知|x|＝3，|y|＝7．（1）若x＞0，y＜0，求x+y的值；
（2）若x＜y，求x﹣y的值．
8．（2023秋•镜湖区校级期中）对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝
1 1 1 1 1 1 1 1
对值符号去掉，例如：|7﹣6|＝7﹣6；|6﹣7|＝7﹣6；| − |= − ；| − |= − ．
2 3 2 3 3 2 2 3
观察上述式子的特征，解答下列问题：
（1）把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）：
①|23﹣47|＝ ；
2 2 2 2
② | − |= − ；
3 5 3 5
（2）当a＞b时，|a﹣b|＝ ；当a＜b时，|a﹣b|＝ ；
1 1 1 1 1 1 1
（3）计算：| −1|+| − |+| − |+⋯+| − |．
2 3 2 4 3 2022 2021
题型七 有理数加减法的程序计算题
解题技巧提炼
利用有理数的加减混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出的计算程
序，根据程序列出算式解答即可．
1．按如图所示的程序分别输入﹣1进行计算，请写出输出结果（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
2．按图中程序运算，如果输出的结果为4，则输入的数据不可能是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．2
3．按图中计算程序计算，若开始输入的值为﹣2，则最后输出的结果是 ．
4．根据如图所示的程序计算，若输入的x值为6，则输出的结果为 ．
5．根据如图所示的程序计算，若输入x的值为6和﹣4，则输出的值分别为 ．题型八 有理数加减法的新定义运算问题
解题技巧提炼
有理数加减法的新定义运算问题主要是根据新定义运算的法则列出算式，然后再
进行计算即可．
1．（2022秋•石门县期末）规定图形 表示运算a﹣b+c，图形 表示运算x+z﹣y﹣w，则
+ ＝ （直接写出答案）．
2．我们规定“※”是一种数学运算符号，A※B＝（A+B）﹣（A﹣B），那么3※（﹣5）＝ ．
3．“△”表示一种新的运算符号，已知：2△3＝2﹣3+4，7△2＝7﹣8，3△5＝3﹣4+5﹣6+7，…；按此
规则，计算：
（1）10△3＝ ．
（2）若x△7＝2003，则x＝ ．
4．（2023秋•孝南区期末）对于有理数a、b，定义一种新运算“ ”，规定：a b＝|a+b|﹣|a﹣b|
（1）计算2 （﹣3）的值； ⊕ ⊕
（2）若a a⊕＝8，则a＝ ．
⊕ 5
5．设[a]表示不超过a的最大整数，例如：[3.1]=3，[−3 ]=−4，[4]=4．
6
1
（1）填空：[2 ]= ；[3.6]＝ ．
5
4 4
（2）令（a）＝a﹣[a]，求（3 ）﹣[﹣2.4]+（﹣7 ）（说明：此式第一，三项表示所定义的运算）．
5 5|a−b+c|−(a+b−c)
6．阅读下列材料，并解答问题定义一种新运算：a★b★c= （等号右边是常规的
c
有 理 数 加 减 法 则 运 算 ） ， 例 如 ： （ ﹣ 2 ） ★ （ ﹣ 1 ） ★ 3
|(−2)−(−1)+3|−[(−2)+(−1)−3] |−2+1+3|−(−2−1−3) 2−(−6) 8
= = = =
3 3 3 3
（1）计算：（﹣5）★3★4；
4
（2）计算：（﹣4）★（− ）★2．
5
题型九 有理数加减混合运算在实际生活中的应用
解题技巧提炼
用有理数的加减混合运算求解实际问题时，关键是审清题意，把实际问题转化成
数学问题，常见的实际问题有距离问题、高度问题、温差问题等.
1．（2023秋•宝鸡期末）某校七年级六个班组织举办了“废纸回收，变废为宝”活动，各班收集的废纸
均以5千克为标准，超过的记为“+”，不足的记为“﹣”，一班到五班收集的废纸质量分别是+1，+2，
﹣1.5，0，﹣1（单位：千克），六个班共收集了33千克的废纸．
（1）求六班收集的废纸的质量；
（2）若本次活动收集废纸质量排名前三的班级可获得荣誉称号，请计算获得荣誉称号的班级收集废纸的
总质量．2．（2023秋•遂川县期末）国家对进出口茶叶的衡量检验规定，500g装茶叶实际重量与标明重量允许误
差为±2.5g．误差范围内为重量合格品，超出误差值为重量不合格品，今抽查10袋某品牌茶叶，每袋茶叶
的标准重量是500克，超出部分记为正，统计成下表：
茶叶的袋数 2 3 3 1 1
每袋超出标准的克数 +1 +1.4 0 ﹣2.6 ﹣2
（1）求所抽查的10袋茶叶中的合格率；
（2）求这10袋茶叶的总重量．
3．（2023秋•西华县期末）某市一公交车从起点到终点共有8个站．一天，公交车从起点开往终点，在
起点站开出时上了一部分乘客，从第二站开始下车、上车的乘客数如表：
站次 二 三 四 五 六 七 八
下车 8 5 7 13 11 7 10
上车 6 12 11 8 10 4 0
（1）求起点站上车的人数；
（2）若每上1人次收费1.5元，求这趟公交车从起点到终点的总收入．
4．（2023秋•西城区校级期中）一辆货车从仓库出发在东西街道上运送水果，规定向东为正方向，依次
到达的5个销售地点分别为A，B，C，D，E．最后回到仓库．货车行驶的记录（单位：千米）如下：
+1，+3，﹣6，﹣1，﹣2，+5．
（1）试求出该货年共行驶了多少千米；
（2）如果货车运送的水果以100千克为标准质量，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，则
运往A，B，C，D，E五个地点的水果质量可记为+50，﹣15，+25，﹣10，+15，则该货车运送的水果总质量是多少千克？
5．（2023秋•黔南州期末）小伟是一个懂事的孩子，他每天都会从妈妈给的零花钱中存下一部分，他原
计划每天存5元，下表是小伟在某一周实际各天存钱的情况（多存记为“+”，不足记为“﹣”）．
星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
存钱 ﹣1 +2 0 ﹣3 +1 ﹣1 +3
（元）
（1）小伟在这一周中存钱最多的一天是星期 ，这一天存了 元．
（2）请计算小伟这一周存了多少钱？
6．（2023秋•兴隆县期末）学校图书馆以每天借出50册图书为标准．超出部分用正数表示，不足部分用
负数表示．上星期图书馆借出图书记录如下：
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
0 +8 +6 ﹣3 ﹣7
（1）星期五借出 册图书；
（2）星期二比星期四多借出 册图书；
（3）这五天共借出多少册图书？
7．（2023秋•玉门市期末）宜宾叙州区水泥厂仓库6天内进出水泥的吨数如下（“+”表示进库，“﹣”
表示出库）：+50、﹣45、﹣33、+48、﹣49、﹣36．
（1）经过这6天，仓库里的水泥是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？
（2）经过这6天，仓库管理员结算发现库里还存200吨水泥，那么6天前，仓库里存有水泥多少吨？
（3）如果进出仓库的水泥装卸费都是每吨5元，那么这6天要付多少元装卸费．
8．某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划
量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减 +5 ﹣2 ﹣4 +13 ﹣10 +16 ﹣9
（1）根据记录可知前三天共生产 辆；
（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产 辆；
（3）该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元
少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？
